NEPARAMETRICKÝ HEURISTICKÝ PŘÍSTUP K ODHADU MODELU GARCH-M A JEHO VÝHODY

NEPARAMERICKÝ HEURISICKÝ PŘÍSUP K ODHADU MODELU GARCH-M A JEHO VÝHODY Jaromír Kukal, České vysoké učení echnické; ran Van Quang, Vysoká škola ekonomická v Praze* 1. Úvod Volailia je důležiý ukazael pro řízení rizik a je aké jedním z několika přímých vsupů pro ocenění opčních deriváů. Je dokonce předměem přímého obchodování na různých rzích. Proo má přesné modelování volailiy velký význam jak pro eoreiky, ale i pro obchodníky. Bylo zjišěno, že nepodmíněný rozpyl vypočený přímo z finančních da není dosaečně výsižným měříkem jejich volailiy. aké byla pozorována vysoká servačnos ve volailiě finančních akiv. Na základě ěcho skuečnosí Engle (1982, specifikace ARCH) a později Bollerslev (1986) vypracovali model (zobecněné) auoregresní podmíněné heeroskedasiciy ((G)ARCH). Ukazuje se, že modely éo řídy jsou cennými násroji pro modelování volailiy ve finančních časových řadách s časově proměnlivou volailiou. Ve srovnání s výsledky modelování volailiy získanými jinými posupy (např. sochasická volailia, realizovaná volailia, implikovaná volailia), modely podmíněné volailiy poskyují velmi solidní výsledky při nesrovnaelně snadnějším modelovacím posupu a s menší náročnosí požadavků na vsupní daa. I proo, v konkurenci s ěmi již jmenovanými meodami, jsou modely řídy GARCH sále velmi populární (Mishra, Su a Ullah, 2010). Výše zmíněná skuečnos neznamená, že odhad modelu podmíněné volailiy z finančních da je zcela bezproblémový. Finanční daa, jak známo, ve věšině případů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení bývají lepokurická, o znamená, že jsou špičaější a mají lusší konce než normální rozdělení (Filaček, Kapička a Vošvrda, 1998). Zpočáku eno fak nebývá brán na zřeel při odhadu paramerů modelu z éo řídy. Spíše omu je naopak, proože paramery modelu GARCH jsou nejčasěji odhadovány meodou maximální věrohodnosi, při keré se musí specifikova yp rozdělení náhodné složky modelu. Časá specifikace odhadu je normální rozdělení. uo specifikaci lze modifikova Sudenovým -rozdělením, případně obecným rozdělením náhodného členu modelu. Víme, že chybná specifikace ypu rozdělení při odhadu paramerů meodou maximální věrohodnosi může vés k jejich nekonzisenním odhadům a proo při odhadu paramerů modelu GARCH paramericky pomocí * Auor Jaromír Kukal děkuje za finanční podporu při vzniku článku granu SGS11/165/OKH4 /3/14 CU v Praze. Auor ran Van Quang děkuje za finanční podporu při vzniku článku GAČR v rámci granu č. P402/12/G097 100 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014

určiého ypu rozdělení nemusí zajisi konzisenní odhad jeho paramerů. eno nedosaek se snažíme odsrani odhadem paramerů modelů GARCH neparamerickou meodou. Lze dokonce vrdi, že v posledních leech dochází k prudké renesanci ohoo přísupu (Linon a Yan, 2011). Při odhadu paramerů modelu GARCH se vyskyuje další problém, kerý je spojen s nalezením opima věrohodnosní funkce. Opimální řešení maximalizující věrohodnosní funkci se obvykle hledá pomocí radičních ieraivních opimalizačních meod. Používá se přiom např. Newonova-Raphsonova meoda, Berndův-Hallův- Hallův a Hausmanův algorimus (zkráceně BHHH, 1977) nebo Marquardova meoda (Marquard, 1963). yo meody vycházejí z určiých počáečních hodno všech odhadovaných paramerů modelu a v každém kroku se připočíají k ěmo hodnoám jisé přírůsky ak dlouho, až hodnoy hledaných paramerů přibližně maximalizují hodnou věrohodnosní funkce. Má-li ao funkce jedno jediné maximum, jsou odhadované paramery modelu vždy nalezeny po určiém poču ierací. Pokud jich má však více, yo meody mohou naléz pouze lokální, nikoliv globální maximum. Neexisuje žádný způsob, jak dosa opimalizační ierace z lokálního opima ke globálnímu opimu. Globálně opimální řešení je možné získa pouze v případě, že začínáme opimalizační posup s hodnoami paramerů v okolí bodu opima. o však nemůžeme předem lokalizova. U základních modelů GARCH se zmíněné problémy ješě dají zvládnou. U složiějších modelů z řídy GARCH vyřeši yo problémy už ak jednoduché není. Jeden z akových modelů je GARCH-M. V uvedeném modelu je výnos finančních akiv mimo jiné aké funkcí podmíněné volailiy. Podmíněná volailia se objevuje jak v rovnici podmíněného rozpylu, ak v rovnici podmíněného průměru. Paramerický odhad modelu je možný, ale musí zajisi jak konvergenci ke globálnímu maximu, ak i o, aby odhadnué paramery zaručily sabiliu a nezápornos nepodmíněného rozpylu za předem specifikovaného rozdělení chybového členu modelu. Podle Linona a Yana (2011) odhadnué paramery modelu při chybné specifikaci rozdělení mohou bý konzisenní, ale nejsou vydané. Proo paramery obvykle nejsou saisicky významné. Aby model byl sabilní a nepodmíněný rozpyl nebyl záporný, už nelze při paramerickém odhadu nijak ovlivni. Aby se zmírnily výše jmenované problémy, navrhujeme v naší práci neparamerický posup pro odhad paramerů modelu GARCH. Při omo posupu nejen paramery modelu, ale i pravděpodobnosní rozdělení chybové složky modelu jsou odhadnuy z da. eno posup vyřeší problém s možnou chybnou specifikaci ypu rozdělení, kerá vede časo k nekonzisenním odhadům paramerů modelu. Pokud jde o problém spojený s radičními opimalizačními meodami, míso nich navrhujeme heurisickou opimalizační echniku, konkréně diferenciální evoluci, kerá přímo najde hodnoy paramerů modelu maximalizující jejich věrohodnosní funkci. Heurisické meody sice nezaručí, že nalezené hodnoy jsou skuečně opimální hodnoy, ale spolehlivě zabraní omu, aby se opimalizační proces uvízl v lokálním maximu věrohodnosní funkce. Heurisický přísup aké umožňuje, aby hledané paramery splnily podmínky, keré zaručují sabiliu modelu a nezápornos nepodmíněného rozpylu. ako zvolená POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 101

meodika, pokud je nám známo, je zcela nová a výrazně se liší od časo ciovaného přísupu od Buhlmanna a McNeila (2002), ale i od jiných algorimů shrnuých v práci Mishra, Su a Ullah (2010). Správnos námi navrženého posupu bude ověřena na odhadu paramerů modelu GARCH-M s cílem idenifikova rizikovou prémii forwardového měnového kurzu české koruny vůči společné měně Euru a americkému dolaru v období 2007 2012. yo výsledky jsou následně porovnány s výsledky získanými radiční opimalizační meodou při paramerickém odhadu pro sejný daový soubor. 2. Model GARCH Engle (1982) přišel s jednoduchým modelem auoregresní podmíněné heeroskedasiciy, jehož specifikace se skládá ze dvou rovnic. První z nich je rovnice podmíněného průměru y X b (1) Kde y je podmíněný průměr, X je maice vysvělujících proměnných, b je vekor koeficienů a ϵ je náhodná složka neznámého rozdělení s nulovým průměrem a podmíněným rozpylem h vzhledem k množině informací dosupných v čase 1 ϵ / 1 ~ 0, h. Druhá rovnice je rovnice podmíněného rozpylu, kerý je auoregresní proces čverců náhodné složky řádu p h (2) 2 2 2 0 1 1 2 2... p p Aby byla zajišěna podmínka nezápornosi podmíněného rozpylu, všechny koeficieny v rovnici podmíněného rozpylu musí bý kladné a jejich souče musí bý menší než 1. Bollerslev (1986) zobecnil Engleův model ARCH na model GARCH zahrnuím q zpožděných členů od h 1 až h q do vzahu pro podmíněný rozpyl a rovnice (2) nabývá následující podobu: p q 2 0 i i h j i1 j1 h (3) Podmínka nezápornosi podmíněného rozpylu opě vyžaduje, aby všechny koeficieny v rovnici (3) byly nezáporné a jejich souče byl menší než 1. Engle, Lilien a Robins (1987) začlenili podmíněný rozpyl do rovnice (1), ím vyvořili zv. model ARCH-M, jehož rovnice podmíněného rozpylu má následující podobu y X bh. (4) Začleněním podmíněného rozpylu do rovnice podmíněného průměru činí podmíněný průměr funkcí podmíněného rozpylu. o znamená, že podmíněná variabilia průměru zpěně ovlivní samoný průměr a čím vyšší je ao variabilia v minulosi, ím více se o projeví na samoném podmíněném průměru. ao původní specifikace ARCH-M byla později rozšířena o členy zpožděného podmíněného rozpylu v rovnici pro podmíněný rozpyl a ak vznikl zobecněný model GARCH-M. 102 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014

Paramery modelu GARCH-M jsou nejčasěji odhadovány meodou maximální věrohodnosi, pokud jsou p a q jsou relaivně malá čísla. Na začáku jsme předpokládali, že náhodná složka modelu pochází z nějakého pravděpodobnosního rozdělení s nulovým průměrem a podmíněným rozpylem ϵ. Z rovnice (3) ji můžeme vyjádři jako y X b h. (5) p q 2 0 i i h j i1 j1 Dosadíme h do rovnice (5) a dosaneme p q 2 y X b 0 i i h j i1 j1 (6) kde y je vekor vysvělované proměnné, X je maice vysvělujících proměnných, oba jsou známé. Z oho je parné, že odpovídající věrohodnosní funkce náhodné složky modelu musí bý funkcí neznámých paramerů b, α 0, α i a β j, keré spojíme do vekoru neznámých paramerů θ, a jejího podmíněného rozpylu h. Souhrnně můžeme věrohodnosní funkci l formalizova ako:, i; ;, l h y X f y X h (7) Proože máme pozorování a jednolivý člen náhodné složky musí bý nezávislý na osaních, je celková věrohodnosní hodnoa rovna 1 L f y X ;, h (8) Zlogarimujeme-li vzah (8), obdržíme zv. logarimickou věrohodnosní funkci ln L f y X ;, h (9) 1 Je-li rozdělení náhodné složky modelu známé, odhad vekoru paramerů θ se sává běžným opimalizačním problémem, j. nají akový vekor θ, kerý maximalizuje hodnou ln L. Např. předpokládejme, že náhodná složka má normální rozdělení 1 s nulovým průměrem a podmíněným rozpylem h, poom její věrohodnosní funkce je f 1 ;0, h exp 2 h Zlogarimujeme rovnici (10), dosaneme y 2 X b h 2h 1 1 1 ln f ;0, h ln 2 ln h 2 2 2 y 2 X b h h (10). (11) 1 S ohledem na lepokurickou vlasnos rozdělení finančních da s lusými konci se při paramerickém odhadu modelu GARCH ješě používá -rozdělení nebo GED (Generalized Error Disribuion) rozdělení, viz Hamilon (1994). POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 103

Hodnoa logarimické věrohodnosní funkce je kde h h (12) 104 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 y X b h 2 1 1 1 ln L ln 2 ln, 2 2 2 h 1 1 1 p q 2 0 i i h j i1 j1. Odhad paramerů modelu GARCH-M paramerickou meodou je v principu velmi pohodlný. K nalezení opimálního vekoru paramerů modelu θ můžeme použí někerou ze známých opimalizačních meod pro nelineární věrohodnosní funkci ln L. akový odhad ovšem nemusí bý konzisenní v případě, že rozdělení náhodné složky je španě specifikováno. Abychom omu předešli, jedna z možnosí je odhadnou z vsupních da i rozdělení náhodné složky. 3. Kernelový odhad rozdělení náhodné složky modelu Paramerický odhad paramerů modelu GARCH-M je nenáročný, proože apriorně předpokládá funkční var pravděpodobnosního rozdělení náhodné složky modelu. Neparamerický přísup odhadu posupuje jinak. eno přísup vyžaduje, aby funkční var rozdělení byl odhadnu z da sejně ak jako paramery modelu (Hardle, 1992). Vychází z definice husoy pravděpodobnosi, podle keré pro spojiou náhodnou veličinu X s husoou rozdělení f(x) musí plai b P a X b f (x) dx (13) a uo husou f(x) neznáme a musíme ji odhadnou z pozorování (x 1, x 2,..., x n ), keré jsou považovány za nezávislé realizace náhodné veličiny X. V našem případě je o náhodná složka modelu ϵ, kerá uo podmínku splňuje. Vzah (13) můžeme aproximova následujícím způsobem xh (x) dx 2hf x P x h X x h f xh (14) kde h je malé kladné číslo. Vzah (14) dále můžeme upravi na následující podobu 1 f ˆ x Pxh X x h 2h. (15) P xh X x h můžeme vypočís jako Proože # x xh, xh Pxh X xh,, n kde n je celkový poče pozorování, poom upravíme (15) na následující var fˆ 1 x # x xh, xh 2h n (16)

Vzah (16) není nic jiného než definice hisogramu. A hisogram je v podsaě hrubý odhad husoy rozdělení náhodné veličiny. Poskyuje základní informace o ypu rozdělení náhodné veličiny, její šikmosi a špičaosi. Nicméně je o pouze hrubý odhad husoy, proože jednak je o nehladká funkce a jednak v případě, že někerý z ěch inervalů je prázdný, je o i nespojiá funkce. Hladkos a spojios odhadnué husoy lze zajisi následujícím způsobem. Rovnici (16) upravíme na následující podobu n 1 fˆ x wxxi, h, (17) n i 1 kde (x 1, x 2,..., x n ) jsou realizace náhodné veličiny X a w(,h) je zv. váhová funkce definovaná následovně 1 když h wh, 2h. 0 jinak Je snadné dokáza, že funkce ˆf (x) splňuje všechny podmínky pro husoy pravděpodobnosi, j. je nezáporná a wxxi, h1. 1 n 1 n n 1 Ukazuje se, že odhadnué hladké rozdělení pravděpodobnosi je vážený průměr ěch pozorování, keré padají do symerického okolí bodu, ve kerém odhadujeme, přičemž jejich váhy jsou určeny váhovou funkcí. uo váhovou funkci lze nahradi kernelovou (jádrovou) funkcí, kerou značíme jako. Exisuje poměrně velké množsví kernelových funkcí, keré by měly splni dva požadavky: měly by bý symerické a ohraničené. Nejčasěji používané kernelové funkce pro eno účel jsou: normální, Epanečnikovova a rojúhelníková. Z rovnice (17) je parné, že vlasnos odhadnué husoy rozdělení závisí jak na volbě kernelové funkce, ak na zvolené délce inervalu kolem bodu, okolo keré odhadujeme husou. Ukazuje se, že odhad husoy nezávisí olik na volbě kernelu, ale je silně závislý na délce vyhlazovacího okna. Čím širší je oo okno, ím hladší je odhadnuá husoa, což ale aké znamená, že odklon od skuečné husoy bude věší. Naopak, pokud je délka ohoo okna je menší, odklon skuečné husoy bude menší, zao však má věší rozpyl. Volba délky ohoo okna proo musí bý kompromisem mezi ěmio dvěma fakory (Wassermann, 2007). Předpokládejme, že máme odhadnuou husou rozdělení náhodné složky modelu GARCH-M ve formě ˆ 1 f, h 1 h (19) poom odhad paramerů modelu GARCH-M znamená nají vekor paramerů θ, kerý maximalizuje hodnou logarimické věrohodnosní funkce 1 ln L ln, 1 h 1 h kde ϵ y X b h. (18) (20) POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 105

4. Diferenciální evoluce Opimální řešení pro logarimickou věrohodnosní funkci (20) je možné nají pomocí radičních opimalizačních meod. Funkce (20) je funkce s poměrně velkým počem nezávislých proměnných se složiým průběhem, proo nelze vylouči, že se jedná o vícemodální funkci. Z oho plyne, že opimální řešení nemusí bý globální, ale pouze lokální. Abychom obešli omuo problému, navrhujeme využí heurisický algorimus zvaný diferenciální evoluce pro hledání opimálního řešení. Diferenciální evoluce je poměrně nový heurisický posup pro hledání globálního opima funkcí více proměnných, kerý navrhli Sorn a Price (1997) na konci 90. le minulého soleí. Diferenciální evoluce je vlasně jednoduchý model Darwinovy evoluční eorie vývoje populací a proo lze zde se sekáva s různými pojmy z evoluční eorie jako jedinec, populace, generace, evoluce, rodič, poomek, křížení, muace, jejichž význam posupně vysvělujeme. Na začáku posupu se vygeneruje populace (v našem případě je o vekor paramerů modelu (b 0, δ, α 0, α 1,...,α p, β 1,..., β q ) s požadovanými vlasnosmi, kerý chceme odhadnou) s určiým počem jedinců. Přechod k nové generaci probíhá ak, že se každý jedinec z původní generace kříží se svým vlasním náhodným muanem. ím vznikne nový poomek, a pokud je poomek kvalinější než jeho rodič (v našem případě znamená, že nový vekor paramerů vygeneruje vyšší hodnou logarimické věrohodnosní funkce), ak eno poomek nahradí svého rodiče v původní populaci. ím vzniká nová populace. Jednoduchým cyklem přes všechny jedince saré populace ak dosaneme celou novou populaci, kerá nemůže bý horší, než a sará. Probíhá edy určié přibližování se k opimálnímu řešení a ím se liší diferenciální evoluce od náhodného prohledávání. Podsaou úspěchu diferenciální evoluce je edy generace náhodného muana a jeho křížení s rodičem. d Při hledání opima spojié funkce f(x) na neprázdné oblasi D xr : a xb vycházíme z náhodné populace N jedinců, edy z množiny P = {x 1,..., x N } D. Poom pro každý vekor x k ze saré populace určíme muana y s využiím nových vzájemně různých jedinců r 1, r 2, r 3 z populace P podle vzahu y = r 1 + F(r 2 r 3 ), (21) kde 0 < F 1 je paramer ovlivňující rozsah muace. Uvedená echnika muace je označována jako náhodná evoluce. Alernaivním posupem při vygenerování nové generace je cílená muace, kdy vybereme nejlepšího (má nejlepší hodnou účelové funkce f) jedince x bes z populace P a čyři od sebe různé jedince r 1, r 2, r 3, r 4 z populace P podle vzahu bes 1 2 3 4. 106 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 y x F r r r r (22) ako vzniklý muan y nemusí bý prvkem oblasi D. V om případě ho překlopíme zpě s využiím jedné nebo několika hraničních nadrovin oblasi. Uvedená korekce polohy je nazývána zrcadlení. Při křížení rodiče x k s (případně korigovaným) muanem y vyjadřujeme geneickou převahu muana paramerem 0 C 1 a náhodného křížence z generujeme po složkách vzahem

y j pro rnd j C z j, (23) x j jinak jinak kde j = 1,..., d a rnd j je náhodné číslo z rovnoměrného rozdělení na inervalu (0,1). Nejen pro C = 0 se může sá, že z = x k V akovém případě náhodně vybereme index j a modifikujeme z j na y j. Souboj křížence z s rodičem x k vyhrává kříženec, pokud hodnoa věrohodnosní funkce f(z) je vyšší než f(x k ). V opačném případě vyhrává rodič, j. původní vekor paramerů zůsane ve vygenerované populaci beze změny. Jeden z nich se ak dosane do nové populace Q D. ako se posupně dopracujeme až ke konečné populaci, kerou poznáme podle oho, že rozpěí funkčních hodno a jednolivých souřadnic prvků populace nepřekračuje předem sanovené meze. Pro diferenciální evoluci jsou důležié ři paramery: N, F a C. Vysoký poče jedinců N v populaci usnadňuje výběr, ale znesnadňuje výpoče. Paramer F, kerý se aké nazývá diferenciální váha, umožňuje opimalizačnímu posupu přeskakova z jedné lokální oblasi na druhou. Paramer C určí, jak bude vypada nová generace. Diferenciální evoluce je poměrně závislá na volbě ěcho paramerů. Sorm a Price (1997), a aké vrdík (2004) doporučují, aby se volilo N = 4d, F = 0,8 a C = 0,5. Má se za o, že diferenciální evoluce je z hlediska programování jednoduchá a rychlá. Opimum se najde s vysokou pravděpodobnosí. 5. Implemenace navrženého posupu a verifikace jejích výsledků Výše popsaný posup pro neparamerický odhad koeficienů modelu GARCH-M budeme aplikova na odhad rizikové prémie forwardového měnového kurzu české koruny vůči Euru a americkému dolaru modelem GARCH-M. Oprávněnos využií ohoo modelu pro eno případ hned vysvělujeme. Podle kryé verze eorie pariy úrokové míry musí plai 1 F f 1r 1 r, (24) S kde r je výnos akiv denominovaných v domácí měně, r f je výnos akiv denominovaných v zahraniční měně, S je spoový měnový kurz v čase, kde F +1 je forwar- dový měnový kurz sjednaný v čase a planý v čase + 1. Vzah (24) zlogarimujeme a po malé úpravě dosaneme f f s r r, (25) ( 1) +1 kde F = ln F +1 a s = ln S. Podobným způsobem můžeme odvodi vzah pro očekávaný spoový měnový kurz v nekryé verzi eorie pariy úrokových sazeb, a sice musí plai ES 1 f 1r 1 r, (26) S POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 107

kde S +1 je očekávaný spoový měnový kurz v čase pro období +1. Vzah (26) opě zlogarimujeme a dosaneme: f Es ( 1) s r r, (27) kde S +1 = ln S 2 + 1 Dříve se mělo za o, že by forwardový měnový kurz měl bý nesranným odhadem budoucího spoového měnového kurzu, j. F E S S (28) 1, 1 1 1 kde v +1 je náhodná složka s nulovým průměrem a nenulovým rozpylem. Nicméně, planos éo hypoézy není povrzena výsledky výzkumu. Naopak, zaznamenává se sysemaická deviace forwardového kurzu od budoucího spoového kurzu a předpokládejme, že uo deviaci vyjadřujeme jako procenuální čás samoného forwardového kurzu. ao odchylka by měla bý prémií za riziko pro majiele forwardového konraku. Je nuné podoknou, že ao prémie může mí v závislosi na charakeru spekulaivních obchodů jak kladné, ak i záporné znaménko a formálně lze vzah mezi forwardovým měnovým kurzem a jeho očekávaným budoucím spoovým kurzem v příomnosi rizikové prémie zapsa následujícím způsobem 1 1 1 E S 1 F rpf 1 rp F, (29) kde rp je riziková prémie forwardového měnového kurzu. Zlogarimujeme (29) a dosadíme do (27) a po malé úpravě dosaneme následující vzah pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu f 1 rp r r f s. (30) Rizikovou prémii se snaží idenifikova mnoho sudií. Zpočáku byla modelována lineárním modelem. Pakliže plaí hypoéza, kerá posuluje, že forwardový měnový kurz je nesranným odhadem budoucího měnového kurzu, v následujícím lineárním modelu 1 s s f s. 1 1 Musí plai α = 0 a β = 1 současně. Mnoho prací se věnovalo esování éo hypoézy (viz rozsáhlý přehled o ěcho pracích od Engleho (1996), případně práce Haie, Marka a Wua (1997). Výsledky ěcho prací sice deekují saisicky významnou deviaci forwardového měnového kurzu od budoucího spoového kurzu, což vyvrací hypoézu, že forwardový měnový kurz je nesanným odhadem budoucího spoového kurzu. Nicméně, eno posup nedokázal spolehlivě kvanifikova velikos éo deviace (Ballie a Bollerslev, 2000). ES 1 S 1 S 1 2 Jelikož E Eexp ln Eexps1sE1s1s1 Es 1s, S S S když je s_(+1)-s_ malé. Za planosi éo podmínky poom plaí 108 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 ES Es s 1 ln 1. S

Ve snaze překona eno nedosaek lineární regrese jiní auoři využívali různé posupy. Jedni (Bhar, Chiarella a Pham, 2001 a Poša, 2012) pro eno účel používají Kalmanův filr. Při omo posupu forwardová riziková prémie je nepozorovaelná savová veličina a pozorovaelné veličiny jsou spoový a forwardový měnový kurz (Bhar a kol.) nebo změna spoového kurzu (Poša). Druzí pro kvanifikaci rizikové prémie forwardového měnového kurzu využívali model oceňování akiv. eno model předpokládá, že v rovnováze pro invesora, kerý opimalizuje svoje chování na rhu s cizími měnami, musí plai, že výnos jeho invesice do finančních akiv denominovaných v různých měnách diskonovaný sochasickým diskonním fakorem musí bý sejný, edy 1 f F E M11r E M11r 1, (31) S kde M +1 je sochasický diskonní fakor. Zlogarimujeme (31), využíváme vzah (30) definující rizikovou prémii a vlasnos momenové generující funkce pro normální rozdělení 3 a po malé úpravě dosaneme 1 1 Erp Var rp Cov rp, m 1. (32) 2 2 Riziková prémie forwardového měnového kurzu je edy funkcí volailiy budoucího kurzu a volailiy sochasického diskonního fakoru. eno přísup sice poskyuje solidní eoreický základ exisence rizikové prémie forwardového měnového kurzu, ale výsledná kvanifikace rizikové prémie založená na omo přísupu není nijak přesvědčivá. Přehled výsledků modelování lze nají v práci Sulze (1994). Jako příčinu ohoo savu Bekaer (1994) uvádí omezený výběr vhodných užikových funkcí pro eno model. Rizikovou prémii forwardového měnového kurzu definovanou vzahem (32) lze zjednoduši na funkci jenom její volailiy za předpokladu, že diskonní fakor je sabilní a zdrojem forwardové rizikové prémie je poom pouze nejisoa ohledně jejího budoucího vývoje. eno předpoklad je přípusný zejména v případě vysokofrekvenčních da, kdy hodnoa sochasického diskonního fakoru nemůže ak rychle měni. Za zmíněného zjednodušeného předpokladu můžeme aproximova rizikovou prémii forwardového měnového kurzu modelem GARCH-M s následující specifikací rovnice podmíněného průměru: rp b h ϵ, (33) 0 rovnice podmíněného rozpylu: 0 1 h ϵ 21. 1h 1 (34) ao základní specifikace pro rovnici podmíněného rozpylu je zvolena na základě 2 3 Momenová generující funkce pro náhodnou veličinu ~, její průměr a σ 2 je její rozpyl. X 2 X N je Ee e, kde μ je POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 109 1 2

výsledků práce Hansena a Lundeho (Hansen a Lunde, 2005), keří vrdí, že žádná jiná specifikace modelu GARCH nemůže překona predikivní schopnos základní specifikace modelu GARCH(1,1). 4 ako poprvé modelovali forwardovou rizikovou prémii Domowiz a Hakkio (1985). V průběhu času se časo auoři snaží o různá vylepšení ohoo modelu, např. Kočenda a Poghosyan (2010). Zde auoři chějí využí kovarianční srukuru vysvělujících proměnných prosřednicvím vícevarianním modelem GARCH. 5.1 Použiá daa a jejich předběžná analýza Pro ověření námi navrženého posupu při odhadu paramerů modelu GARCH-M(1,1) za účelem modelování rizikové prémie forwardového měnového kurzu používáme yo časové řady: dvě řady denních spoových měnových kurzů CZK/EUR a CZK/ USD. Dále jsou využívány čyři řady denních forwardových prémií na euro a USD pro dvě lhůy: ři měsíce a šes měsíců. yo prémie přičíáme k hodnoám spoových kurzů, čímž získáváme řady denních forwardových kurzů CZK/EUR a CZK/USD na ři měsíce a 6 měsíců. Proože v České republice nejsou dosupné řady denních výnosů vládních dluhopisů se splanosí 3 a 6 měsíců, používáme míso nich úrokovou sazbu na mezibankovním rhu v Praze PRIBOR na období 3 a 6 měsíců. Odpovídající sazby na mezibankovním rhu pro zahraniční měny jsou EURIBOR na euro a LIBOR na americký dolar na období ři a šes měsíců. Všechna daa použiá k odhadu paramerů modelu GARCH-M(1,1) jsou v období z kvěna roku 2007 do února roku 2012. Jejich deskripivní saisiky jsou uvedeny v abulkách 1 a 2. abulka 1: Deskripivní saisiky da spojených s Eurem CZK/EUR Forward 3m Forward 6m Euribor3 Euribor6 Pribor3 Průměr 25,53 25,53 25,52 2,26 2,45 1,98 Medián 25,34 25,37 25,37 1,429 1,68 1,490 Maximum 29,53 29,55 29,57 5,39 5,44 4,24 Minimum 22,94 22,89 22,83 0,63 0,94 0,74 Sd. odch 1,18 1,18 1,19 1,68 1,59 1,26 Šikmos 0,839 0,768 0,702 0,690 0,714 0,557 Špičaos 3,213 3,102 2,999 1,673 1,715 1,621 Poče pozorování 1230 1230 1230 1230 1230 1230 4 Odhad paramerů obecného modelu GARCH-M (p,q) ouo meodou se v podsaě neliší od odhadu parameru základního modelu GARCH-M (1,1). Při odhadu paramerů obecného modelu se míso generace populace jedinců ypu (b 0, δ, α 0, α 1, β 1 ) vygeneruje zvýšená populace jedinců ypu (b 0, δ, α 0, α 1,...,α p, β 1,..., β q ), pro keré plaí 0 α i, β j,< 1 pro i = 1,, p a j =1,, q a aké p q j1. Pak se už posupuje sejně jako při odhadu paramerů modelu GARCH-M (1,1). i 1 1 110 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014

abulka 2 Deskripivní saisiky da spojených s americkým dolarem CZK/USD Forward 3m Forward 6m Libor 6m Libor U3m Pribor6 Průměr 18,42 18,43 18,44 1,54 1,73 2,19 Medián 18,40 18,42 18,42 0,52 0,76 1,72 Maximum 23,44 23,48 23,48 5,72 5,44 & 5,59 Minimum 14,40 14,44 14,46 0,24 0,38 1,03 Sd. odch 1,55 1,54 1,52 1,72 1,62 1,17 Šikmos 0,144 0,153 0,153 1,196 1,097 0,557 Špičaos 2,822 2,853 2,883 1,673 2,847 1,633 Poče pozorování 1230 1230 1230 1230 1230 1230 Z ěcho da vygenerujeme čyři řady rizikové prémie forwardového měnového kurzu EUR/CZK a USD/CZK podle vzahu (30), keré značíme jako RPE3, RPE6, RPU3, RPU6. Jejich vývoj v čase je uveden na obrázku 1. Pro ověření jejich sacionariy je proveden es jednokového kořenu upraveným Dickey-Fullerovým (ADF) esem. Výsledky ohoo esování jsou uvedeny v abulce 3. abulka 3 es jednokového kořenu na řadách rizikových prémií ŘADA Coefficien S.E. Sa. p-value RPE3-0,001513 0,000815-1,856831 0,0636 RPE6-0,001608 0,000830-1,936223 0,0531 RPU3-0,002536 0, 001420-1,786448 0,0745 RPU6-0,003526 0,001872-1,883183 0,0602 Obrázek 1 Vývoj vypočených rizikových prémií v čase rpu 6 rpu 3 rpe 6 rpe 3 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 111

Z výsledků esu jednokového kořenu je parné, že yo řady nejsou sacionární, proo musíme je ransformova na řady jejich prvních diferencí, keré už jsou sacionární. Řady prvních diferencí jsou použiy pro odhadu modelu GARCH-M. 5.2 Výsledky odhadu modelu GARCH-M neparamerickou meodou Model GARCH-M pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu české koruny vůči Euru a americkému dolaru specifikovaný ve vzazích (33) a (34) je odhadován meodou maximální věrohodnosi. Odpovídající věrohodnosní funkce je definována vzahem (20), kde ϵ 1 rp b0 h a h je definována vzahem (34). První hodnoa 1 2 ϵ 1 h1 rp. Proože odhad rozdělení náhodné složky modelu není ovlivněn volbou kernelu, používáme normální kernel jako kernelovou funkci. Pokud se 1 1 5 jedná o délku vyhlazovacího okna, doporučuje se v lierauře, aby h 1, 06h. My oo doporučení respekujeme. Odhadovaný vekor koeficienů je pěiprvkový: b0,, 0, 1, 1, edy máme d = 5. Koeficieny α 0, α 1, β 1 musí bý nezáporné a jejich souče nesmí bý vyšší než 1. Na β 0, δ není kladen žádný apriorní požadavek. Hodnoy ěcho koeficienů maximalizující věrohodnosní funkce jsou odhadnuy diferenciální evolucí, jejíž paramery jsou: N = 10d = 50, F = 0,8 a C = 0,5, jak je doporučeno v lierauře. Pro každou řadu provádíme 100000 opimalizací. Pokud jde o přesnos odhadů, proože se jedná o odhady meodou maximální věrohodnosi, měly by mí asympoické vlasnosi. Pro jejich rozpyl musí plai, že je omezen zdola, edy: Var ˆ 1, I 2 kde I E log f 2 X, je zv. Fisherova informační maice. ao maice je vypočíána numericky. Celý výpoče je proveden v prosředí Malab. Výsledky neparamerického odhadu koeficienů modelu GARCH-M pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu české koruny vůči Euru a americkému dolaru jsou uvedeny v abulce 4. Výsledky neparamerického odhadu koeficienů modelu GARCH-M pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu české koruny vůči Euru a americkému dolaru jsou uvedeny v abulce 5. V obou abulkách jsou v hranaých závorkách uvedeny hodnoy odhadnué sandardní chyby. 112 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014

abulka 4 Výsledky neparamerického odhadu modelu GARCH-M b 0 RPE3 RPE6 RPU3 RPU6 7,4440e-4 [0,0054e-4] 7,8239 δ [0,5718e-4] 8,5751e-4 α 0 [0,0038e-4] 0,0867 α 1 [0,0647e-4] 0,8560 β 1 [0,0638e-4] 2,0619e-4 [0,2218e-4] 4,1048 [0,3356e-4] 7,9337e-4 [0,0001e-4] 0,0296 [0,0246e-4] 0,9598 [0,0012e-4] 1,9696e-3 [NaN] 3,6916 [0,0045e-6] 5,5706e-4 [1,0317e-6] 4,6487e-3 [3,5106e-6] 0,9886 [8,6481e-6] 8,7083e-4 [1,6771e-4] 4,3378 [0,0014e-0] 5,2224e-4 [NaN] 5,0721e-3 [3,0359e-5] 0,9862 [6,6635e-9] ln L -21,280-13,081-46,225-59,810 abulka 5 Výsledky paramerického odhadu modelu GARCH-M b 0-0,0023 [0,0008] 4,4603 δ [1,4660] 5,55E-6 α 0 [9,86E-7] 0,0547 α 1 [0,0049] 0,9378 β 1 [0,0043] RPE3 RPE6 RPU3 RPU6 0,0004 [0,0009] 0,2441 [0,5325] 2,85E-05 [0,0001e-4] 0,1817 [0,0063] 0,8502 [0,0048] 0,0003 [0,0005] -0,0738 [0,6956] 3,15E-06 [1,44E-06] 0,1840 [0,012] 0,8523 [0,0085] 0,0012 [0,0012] -0,1182 [0,4105] 6,33E-05 [8,69E-06] 0,1540 [0,0100] 0,8404 [0,0081] ln L -122,680-103,108-186,522-229,112 Výsledky ukazují, že výsledky neparamerického odhadu se podsaně liší od výsledků paramerického odhadu modelu GARCH-M. Podle hodnoy věrohodnosní funkce se jeví neparamerický odhad modelu GARCH-M pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu koruny vůči euru a americkému dolaru jako lepší ve všech čyřech řadách. Hodnoy věrohodnosní funkce neparamerickým odhadem jsou vyšší než hodnoy éo funkce při paramerickém odhadu (paramerické odhady po dosazení do věrohodnosní funkce pro neparamerický odhad dávají nižší hodnoy věrohodnosní funkce, jsou edy subopimální z hlediska neparamerického odhadu). aké koeficien δ v rovnici podmíněného průměru je saisicky významný při neparamerickém odhadu ve všech případech, zaímco eno koeficien při paramerickém odhadu je saisicky významný pouze pro řadu RPE3. Další rozdíl mezi dvěma způsoby odhadu je en, že zaímco můžeme velmi dobře konrova podmínku kladenou na hodnoy koeficienů α 0, α 1, β 1 při neparamerickém odhadu s využiím diferenciální evoluce, v případě paramerického odhadu koeficienů modelu GARCH-M s využiím radiční POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 113

opimalizační meody (Newonovy-Raphsonovy meody) oo nemůžeme ovlivni. Proo při neparamerickém odhadu souče hodno koeficienů α 0, α 1, β 1 je vždy menší než 1, při paramerickém odhadu s radiční opimalizační echnikou ao podmínka není splněna v případě řady RPE6 a řady RPU3. Jsme si vědomi, že odhad koeficienů modelu GARCH je vždy spojen s řadou problémů. Odhad modelu GARCH-M je ješě složiější, proože se podmíněný rozpyl objeví v rovnici podmíněného průměru. Nicméně námi navržený způsob odhadu koeficienů modelu GARCH-M se jeví jako spolehlivý. Proo rizikovou prémii forwardového měnového kurzu české koruny vůči Euru a americkému dolaru můžeme vyjádři ako: rp = r p 1 + b 0 + δh + ϵ, (35) kde h je podmíněný rozpyl Δrp. 6. Závěr Paramery modelů GARCH jsou obvykle odhadovány meodou maximální věrohodnosi. ako lze je poměrně snadně odhadnou paramerickým způsobem, kdy se apriorně předpokládá yp rozdělení náhodné složky modelu. o však hrozí určié nebezpečí. Pokud rozdělení náhodné složky není správně zvoleno, výsledné odhady koeficienů modelu mohou bý nekonzisenní. Navíc se při hledání opima může vyskynou problém, kdy nalezené řešení může bý jedno z mnoha lokálních opim, nikoliv globální opimum. Proo v našem příspěvku navrhujeme alernaivní přísup, kdy jak koeficieny modelu, ak i rozdělení náhodné složky jsou odhadnuy současně z da. eno neparamerický přísup ješě vylepšíme ím, že na řešení úlohy maximalizace věrohodnosní funkce používáme heurisickou echniku zvanou diferenciální evoluce. kerá umožňuje ieračnímu opimalizačnímu posupu uniknou z lokálních exrémů a ím se vyřeší již zmíněný problém lokálního opima. Vhodnos našeho přísupu je ověřena na modelování forwardové prémie směnného kurzu, a o kurz české koruny vůči americkému dolaru a společné měně euro modelem GARCH-M v období od roku 2007 do roku 2012. Sejný model je aké odhadován radiční opimalizační meodou s apriorním předpokladem o rozdělení chybového členu modelu. Ukazuje se, že náš přísup zajišťuje vydanější odhad koeficienů modelu GARCH-M pro rizikovou prémii forwardového měnového kurzu s vyššími hodnoami věrohodnosní funkce než radiční přísup. aké námi navržený přísup lépe konroluje splnění podmínek kladených na odhadované paramery než radiční přísup, proože hledá paramery modelu pouze v populaci jedinců splňujících požadované vlasnosi. Náš přísup dokáže idenifikova saisicky významný vliv podmíněného rozpylu na rizikovou prémii forwardového měnového kurzu ve všech případech ve zkoumaném období, zaímco radiční přísup eno vliv zaznamená pouze ve dvou případech. Podle ěcho výsledků se jeví, že volailia ve měnovém kurzu ovlivňuje výši rizikové prémie forwardového měnového kurzu české koruny vůči americkému dolaru a společné měně Euro, což je v souladu s eorií. 114 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014

Lieraura BAILLIE, R..; BOLLERSLEV,. 2000. he Forward Premium Anomaly Is No as Bad as You hink. Journal of Inernaional Money and Finance. 2000, Vol. 19, pp. 471 488. BEKAER, G. 1994. Exchange Rae Volailiy and Deviaion from Unbiasedness in a Cash-in- Advance Model. Journal of Inernaional Economics. 1994, Vol. 36, pp. 29 52. BERND, E.; HALL, B.; HALL, R.; HAUSMAN, J. 1974. Esimaion and Inference in Nonlinear Srucural Models. Annals of Economic and Social Measuremen. Vol. 3, No. 4, pp. 653 665. BHAR, R.; CHIARELLA, C.; PHAM. 2001. Modelling he Currency Forward Risk Premium: A New Perspecive. Asia-Pacifi c Financial Markes. 2001, Vol. 8, No. 4, pp. 341 360. BÜHLMANN, P.; MCNEIL, A. J. 2002. An Algorihm for Nonparameric GARCH Modelling. Journal of Compuaional Saisics and Daa Analysis. 2002, Vol. 40, pp. 665 683. BOLLERSLEV,. 1986. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics. 1986, Vol. 31, No. 4, pp. 307 327. DOMOWIZ, I.; HAKKIO, C. S. 1985. Condiional Variance and he Risk Premium in he Foreign Exchange Marke. Journal of Inernaional Economics. Vol. 19, pp. 47 66. ENGLE, R. F. 1982. Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Infl aion. Economerica. Vol. 50, No. 4, pp. 987 1007. ENGEL, C. 1996. he Forward Discoun Anomaly and he Risk Premium: A Survey of Recen Evidence. Journal of Empirical Finance. Vol. 3, No. 2, pp. 123 192. ENGLE, R. F.; LILIEN, D.; ROBINS, A. 1987. Esimaing ime Varying Risk Premia in he erm Srucure: he ARCH-M Model. Economerica. March 1987, Vol. 55, pp. 391 407. FILAČEK, J.; KAPIČKA, M.; VOŠVRDA, M. 1998. esování hypoézy efekivního rhu na BCPP. Finance a úvěr. 1998, Vol. 48, No. 9, pp. 554 566. HAI, W.; MARK, N. C.; WU, Y. 1997. Undersanding Spo-Forward Exchange Rae Regressions. Journal of Applied Economerics. 1997, Vol. 12, pp.715 734. HAMILON, J. D. 1994. ime Series Analysis. Princeon, NJ: Princeon Universiy Press, 1994. HANSEN, P. R.; LUNDE, A. 2005. A Forecas Comparison of Volailiy Models: Does Anyhing Bea a GARCH(1,1). Journal of Applied Economerics. 2005, Vol. 20, pp. 873 89. HARDLE, W. 1992. Applied Nonparameric Regression. Cambridge, UK: Cambridge Universiy Press, 1992. KOČENDA, E.; POGHOSYAN,. 2010. Exchange Rae Risk in Cenral European Counries. Finance a úvěr. 2010, Vol. 60, No. 1, pp. 22 39. LINON, O. B.; YAN Y. 2011. Semi- and Nonparameric ARCH processes. Journal of Probabiliy and Saisics, Vol. 2011, Aricle ID 906212, 17 pages. MANDEL, M.; OMŠÍK, V. 2008. Moneární ekonomie v malé oevřené ekonomice. 2. rozšířené vydání. Praha: Managemen Press, 2008. MARQUARD, D. 1963. An Algorihm for Leas-Squares Esimaion of Nonlinear Parameers. Journal on Applied Mahemaics. 1963, Vol. 11, No. 2, pp. 431 441. MISHRA, S.; SU, L.; ULLAH, A. 2010. Semiparameric Esimaor of ime Series Condiional Variance. Journal of Business & Economic Saisics. 2010, Vol. 28, No. 2, pp. 256 274. POŠA, V. 2012. Esimaion of he ime Varying Risk Premium in he Czech Foreign Exchange Marke. Prague Economic Papers. 2012, Vol. 21, No. 1, pp. 3 17. SORN, R.; PRICE, K. 1997. Differenial Evoluion a Simple and Effi cien Heurisic for Global Opimizaion. J. Global Opimizaion. 1997, Vol. 11, pp. 341 359. SULZ, R. 1994. Inernaional Porfolio Choice and Asse Pricing: An Inegraive Survey. NBER Working paper No. 4645, NBER, Cambridge, MA. VRDÍK, J. 2004. Evoluční algorimy. Učební exy Osravské Universiy, Osrava, 2004. WASSERMAN, L. 2007. All of Nonparameric Saisics. Secaucus, NJ: Springer-Verlag New York, Inc., 2007. POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014 115

ESIMAING A GARCH-M MODEL BY A NON-PARAMERIC HEURISIC MEHOD AND IS ADVANAGES Jaromír Kukal, Czech echnical Universiy, rojanova 13, CZ 120 00 Praha 2 (jaromir.kukal@fjfi.cvu.cz); ran Van Quang, Universiy of Economics, nám. W. Churchilla 4, CZ 130 67 Praha 3 (ran@vse.cz). Absrac he models from he GARCH family are ofen esimaed by maximum likelihood mehod, eiher paramerically or non-paramerically. Since he parameric esimaion procedure is based on an a priori disribuion, is misspecifi caion can lead o he inconsisency of he esimaors. herefore non-parameric approach, in which boh model s parameers and he disribuion of error erms are esimaed from he daa, seems o be a beer alernaive. In our work, we propose a non-parameric echnique wih he use of a heurisic called differenial evoluion o esimae he parameers of a GARCH-M model. his echnique can more likely reach o a global soluion of maximum likelihood esimaion (MLE) ask. Furher, i can also more effecively conrol he required properies of he esimaes. he suiabiliy of our approach is verifi ed on modeling he CZK/USD and CZK/ EURO forward exchange rae premium of period from 2007 o 2012 by a GARCH-M model. Keywords GARCH-M model, Non-parameric mehod, heurisic, forward risk premium JEL Classificaion pc14, C61, F31 116 POLIICKÁ EKONOMIE, 1, 2014