Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou hranu. Necht M () označuje nejmenší počet hran -uniformního hypergrafu, terý není -obarvitelný. Lemma. 2 M 2 () = O( 2 2 ) Důaz. Uvažme náhodný -uniformní hypergraf na n = 2 + 2 vrcholech, de aždá -tice tvoří hranu náhodně nezávile pravděpodobnotí p = ( n n/2 ). Uvažme libovolné 2-obarvení ϕ vrcholů, přiřazující t vrcholům hodnotu a n t vrcholům hodnotu 0. Pa pravděpodobnot, že ϕ je dobré obarvení, je ( p) (t )+( n t ) ( p) ( n/2 ) e p( n/2 ) = e n, a tedy pravděpodobnotí (2/e) n 0 výledný hypergraf nemá 2-obarvení. Dle Marovovy nerovnoti má pravděpodobnotí alepoň /2 nejvýše 2p ( n ) = O( 2 2 ) hran. Naopa, má-li -uniformní hypergraf m hran, pa třední hodnota počtu monochromaticých hran v náhodném 2-obarvení je m. Je-li m < 2, pa 2 tedy hypergraf má nějaé dobré 2-obarvení. Věta 2. Každý bipartitní graf G méně než M 2 () vrcholy je -vybíravý. Důaz. Necht L je přiřazení eznamů dély vrcholům G. Uvažme hypergraf, jehož hrany jou -tice L(v) pro v V (G). Dle definice M 2 () je tento hypergraf 2-obarvitelný, barvy tedy můžeme rozdělit do množin A a B tž. L(v) A a L(v) B pro aždé v V (G). Vrcholy v jedné z partit obarvíme barvami z A, vrcholy ve druhé partitě barvami z B.
Věta 3. Jetliže n M 2 (), pa K n,n není -vybíravý. Důaz. Necht H je -uniformní hypergraf hranami e,..., e n, terý není 2-obarvitelný. Necht a i a b i pro i =,..., n jou vrcholy K n,n v různých partitách. Položme L(a i ) = L(b i ) = e i pro i =,..., n. Kdyby K n,n měl L- obarvení ϕ, položme A = {ϕ(a i ) : i =,..., n} a B = {ϕ(b i ) : i =,..., n}. Množiny A a B jou dijuntní a protínají aždou z hran H, dávaly by tedy dobré 2-obarvení H, což je por. 2 Seznamová barevnot grafů velého minimálního tupně Lemma 4. Graf G minimálního tupně δ obahuje bipartitní podgraf G minimálního tupně alepoň δ/2 tž. V (G ) = V (G). Důaz. Necht A, B je rozlad V (G) na dvě čáti taový, že počet hran jedním oncem v A a druhým v B je maximální. Pa aždý vrchol v V (G) má alepoň deg(v)/2 ouedů v opačné čáti. Věta 5. Má-li graf G minimální tupeň alepoň d = 2 ( ) 4 log [2 ( ) ] 4, pa eznamová barevnot G je větší než. Důaz. Dle Lemma 4 má G bipartitní podgraf G minimálního tupně alepoň d/2 tž. V (G ) = V (G). Necht A a B jou partity G a A B. Položme = 4 a C = {,..., }. Vrcholům G budeme přiřazovat jao eznamy -prvové podmnožiny C. Nejprve určíme eznamy vrcholů v B. Pro v B, necht X v je -prvové podmnožina C, zvolená uniformně a nezávile. Vrchol u A je univerzální vůči X, jetliže pro aždou -prvovou podmnožinu P C exituje uv E(G ) tž. X v = P. Pravděpodobnot, že u není univerzální, je nejvýše ( ) ( deg u ( )) ( ) ( d/2 ( )) ( )e 2( d ) = 2. Střední hodnota počtu vrcholů A, teré jou univerzální vůči X, je tedy alepoň A /2 B /2. Exituje tedy přiřazení -prvových podmnožin L v C vrcholům v B taové, že alepoň B /2 vrcholů z A je univerzálních vůči L. Seznamy L u C velioti pro vrcholy u A nyní zvolíme uniformně a nezávile. Uvažujme libovolné obarvení ϕ množiny B ze eznamů L. Je-li u A univerzální, pa na jeho oolí ϕ používá barvu z aždé -prvové podmnožiny 2
C, a tedy na jeho oolí používá alepoň + barev. Obarvení ϕ lze rozšířit na u pouze tehdy, dyž L u obahuje alepoň jednu z nejvýše barev, teré e nevyytují na oolí u. Pravděpodobnot, že to natane, je nejvýše ( ) ( ) ) < 2, ( a tedy pravděpodobnot, že ϕ lze rozšířit na všechny vrcholy A, je méně než ( 2 ) B /2. Možných voleb ϕ je B, a tedy pravděpodobnot, že alepoň jedno z těchto obarvení lze rozšířit, je méně než ( ) B 2 B /2 ( ) 4 B /2 = =. Proto exituje volba eznamů L u C velioti pro vrcholy u A taová, že žádné L-obarvení B nejde rozšířit na A, a tedy G (a tím píše G) není L-obarvitelný. Důlede 6. Necht d je nejmenší celé čílo taové, že aždý podgraf G má vrchol tupně nejvýše d. Pa ( ) d Ω χ l (G) d +. log d 3 Nezávilé množiny v grafech bez trojúhelníů Věta 7. Necht G je graf maximálního tupně n vrcholy. Jetliže G neobahuje trojúhelní, pa α(g) log 2 6 n. Důaz. Zvolme nezávilou množinu W v G uniformně. Necht v je libovolný vrchol G a Z je libovolná nezávilá množina v G N[v]. Necht je počet vrcholů v N(v), teré nemají oueda v Z. Povšimněme i, že N(v) je nezávilá množina v G. Podmíněná pravděpodobnot, že v W, za předpoladu, že W \ N[v] = Z, je. Střední hodnota počtu vrcholů W 2 + v N(v) za tejného předpoladu je 2. Necht X 2 + v = [v W ]+ N(v) W. Pa třední hodnota X v za předpoladu, že W \ N[v] = Z, je 2 + + 2 2 + 2 + + 4 log 2 8. 3
Jeliož tento odhad platí pro aždé Z, nepodmíněná třední hodnota X v je taé alepoň log 2, a třední hodnota 8 v V (G) X v je alepoň log 2 n. 8 Nicméně, v V (G) X v = W + v V (G) a proto třední hodnota W je alepoň log 2 6 n. N(v) W 2 W, Důlede 8. Graf G bez trojúhelníů na n vrcholech má nezávilou množinu velioti Ω( n log n). Rameyovo čílo R(3, m) je tedy O ( m 2 log m). Důaz. Jetliže (G) = Ω( n log n), pa oolí vrcholu nejvyššího tupně je nezávilá množina velioti Ω( n log n). Jetliže (G) = O( n log n), tvrzení plyne z Věty 7. 4 Barvení grafů bez trojúhelníů Funce f : A n R má reaci na změnu nejvýše c, jetliže pro aždé x a y, teré e liší pouze v jedné ouřadnici, platí f( x) f( y) c. Věta 9. Necht X,..., X n jou náhodné proměnné oborem hodnot A a necht f : A n R má reaci na změnu nejvýše c. Pa Pr [ f(x,..., X n ) E[f(X,..., X n )] > t ] < 2e t2 2c 2 n. Funce f : A R má r-certifiáty, jetliže pro aždé x tž. f( x) exituje nejvýše r ouřadnic I ta, že hoduje-li e y x na ouřadnicích I, pa f( y). Věta 0 (Talagrandova nerovnot). Necht X,..., X n jou náhodné proměnné oborem hodnot A a necht f : A n R má reaci na změnu nejvýše c a r- certifiáty. Necht E = E[f(X,..., X n )]. Pa pro 0 t E platí Pr [ f(x,..., X n ) E > t + 60c re ] < 4e t2 8c 2 re. Věta. Exituje 0 ta, že aždý graf G maximálního tupně 0 bez trojúhelníů má barevnot nejvýše ( ). Důaz. BÚNO G je -regulární (jina ho zanoříme do -regulárního grafu bez trojúhelníů). Přiřad me aždému vrcholu náhodně jednu z C = /2 barev uniformně nezávile. Náledně odbarvěme všechny vrcholy, teré mají 4
přiřazenu barvu hodnou barvou nějaého oueda. Uážeme, že nenulovou pravděpodobnotí pro aždý vrchol v exituje alepoň + barev, teré jou ( na ) oolí v použity alepoň dvarát. Proto můžeme G hladově dobarvit 2e barvami. Necht 6 X v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v, a ani z jednoho oueda nebyly odbarveny. Necht A v je jev, že X v < +. Níže uážeme, že Pr(A v ) <. Jeliož A e 4 v může být ovlivněno jevy A w pouze pro w ve vzdálenoti nejvýše 4 od v, a počet taových vrcholů w je menší než 4, z Lovázova loálního lemmatu pa bude plynout, že nenulovou pravděpodobnotí žádný jev A v nenatává. Abychom uázali Pr(A v ) <, budeme doazovat náledující dvě nerovnoti. e 4 E[X v ] e 6 () Pr [ X v E[X v ] > log ] < 2e 4 (2) Z nich požadované tvrzení zjevně plyne, jeliož 2 + log <. Pro důaz () odhadujme počet barev, teré jou přiřazeny přeně dvěma vrcholům u, w N(v) a náledně nejou odbarveny. To natane, dyž nějaá barva α je přiřazena u a w a žádnému dalšímu vrcholu v N(u) N(v) N(w) těchto vrcholů je nejvýše 3 3 6C. Pravděpodobnot, že to natane ( ) pro zvolené u, w a α je alepoň C 6C, ( 2 C a voleb u, w a α je C 2). Dotáváme tedy E[X v ] C ( ) ( ) 6C ( 4 ) > 2 C 2 C e 6 C e. 6 Pro důaz (2) rozepišme X v = T v R v, de T v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v, a R v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v a na alepoň jeden z nich byl odbarven. Stačí tedy uázat, že T v a R v jou obě oncentrovány olem vé třední hodnoty. Proměnná T v záleží pouze na barvách ouedů v a změna barvy jednoho z nich změní T v nejvýše o 2. Z Věty 9 tedy dotáváme Pr [ T v E[T v ] > t ] < 2e t2 8. Proměnná R v záleží na barvách vrcholů ve vzdálenoti nejvýše 2 od v a opět změna barvy jednoho z těchto vrcholů změní R v nejvýše o 2. Navíc má R v 3-certifiáty: pro aždou barvu α započítanou do R v tačí mít dva ouedy v obarvené α a dalšího oueda jednoho z nich obarveného α. Jeliož E[R v ] C <, z Věty 0 máme Pr [ R v E[R v ] > t + 20 3 ] < 4e t2 96. Doazením t = 3 log do těchto dvou nerovnotí dotaneme (2). 5