HEMODYNAMIKA A KUBICKÝ ZÁKON Jan Ježek Hana Netřebská Ústav mechaniky tekutin a energetiky, Fakulta strojní, ČVUT v Praze jan.jezek@fs.cvut.cz, hana.netrebska@fs.cvut.cz Abstract: The paper deals with three cube laws: 1) Girard s law for hydraulic losses 2) Shear stress cube law 3) Murray s cube law, minimizing the total rate of energy expenditure Klíčová slova: Hydraulické ztráty, tečné napětí, metabolický výkon Proudění krve v kardiovaskulárním systému je velice složitý jev, a proto vznikají komplikace jak při teoretickém řešení tak i při experimentování. Velmi často se činí zjednodušující předpoklady např. se uvažuje stacionární laminární proudění newtonské tekutiny dlouhou tuhou trubicí s vyvinutým rychlostním profilem. Řešením je v tomto případě známý Hagenův Poiseuilleův zákon Q = (п Δp D4 ) / (128 μ L). Vzhledem k tomu, že laminární proudění je popisováno lineárními rovnicemi, a platí proto superposice řešení, je možno rozložit pulsační proudění na část stacionární a oscilační, proto se zabýváme i stacionárním prouděním. Třecí ztráty Ovšem první známé experimenty, jež se zabývaly třecímí ztrátami při laminárním proudění v trubicích kruhového průřezu provedl Girard (1813) /1/. Použil mosazné trubičky o průměru 2,0 až 3,0 mm a výsledky vyjádřil vztahem: Q=KD 3 (P 1 - P 2 )/L. O deset let později se Navier pokusil odvodit rovnici pro proudění vazké tekutiny trubicí kruhového průřezu a asi ovlivněn Girardovými pokusy dospěl také k výsledku, že průtok je úměrný třetí mocnině průměru /2/. Všechna poslední měření např.: Hagena a Poiseuilleaplatnost Gerardova zákona nepotvrdila. V roce 1839 publikoval Hagen /3/ výsledky svých experimentů rovněž s mosaznými trubicemi o průměru 2,81 mm, 4,05 mm, 5,96 mm. Na obrázku 1 jsou výsledky vyneseny jako závislost rychlosti (v rýnských palcích za sekundu) na teplotě (ve Reamura: 80 R=100 C) při různých výškách hladiny. Na obrázku 2 jsou tyto výsledky přepočteny na závislost mezi součinitel třecích ztrát λ a Reynoldsovým číslem Re (oba obrázky převzaty z ruského překladu práce o vzniku turbulence H. Schlichtinga: Vozniknovenie turbulentnosti, Moskva 1962). V /2/ se uvádí, že s ohledem na nepřesnost měření vychází exponent 4,12.
Z hlediska třecích ztrát v hemodynamice by byly nejvýhodnější co největší průměry cév, aby namáhání srdce bylo pokud možno co nejmenší.
Přesnější měření provedl francouzský lékař Poiseuille /4/ se skleněnými trubičkami o průměrech D=0,03 až 0,14 mm podle /2/ (podle Richtera /5/ D=0,014 mm až 0,652 mm). Výsledky vyjádřil vztahem: Q=KD 4 (P 1 - P 2 )/L. Hodnotu konstanty K na základě Stokesova řešení proudění vazké kapaliny nezávisle na sobě stanovili Wiedemann (1856) a Hagenbach (1860): K=π/(128μ). Podle Richtera /5/ byla platnost tohoto zákona potvrzena i pro velmi vazké tekutiny jako je např. Ricinový olej, jehož viskozita μ byla 4000krát větší než vody, a dokonce platil i pro koloidní směsi s viskozitou 10 9 krát větší než vody. Vliv drsnosti stěn se při laminárním proudění neprojevil pokud výška nerovností byla menší než 3,5% průměru trubice. Tečné napětí V hemodynamice je důležitou veličinou tečné napětí, jež může poškozovat červené krvinky hemolýza. Je-li tečné napětí větší než jeden asi 1kPa, dochází ve velmi krátkém čase k porušení membrány červených krvinek ČK (hemolýze). Pod hladinou 0,15 kpa již k poruše krvinek nedochází /7/. Pokud bude tečné napětí v rozsahu 0,15 až 1 kpa, bude porucha membrány červených krvinek vyvolána únavou její struktury. Významnou roli pak hraje doba účinku tečných napětí. Životnost erytrocytů se udává 100 až 120 dní. Těčné napětí se však špatně měří přímo. Zpravidla se stanovuje ze vztahu, který platí přesně při vyvinutém laminárním stacionárním proudění: (P 1 - P 2 )/L=4τ s /D, kde τ s je tečné napětí na stěně trubice, tj. maximální tečné napětí v průřezu. Dosadíme-li za tlakový spád z H.P. zákona dostaneme τ s =32 μ Q /(π D 3 ), kde tečné napětí je funkcí třetí mocniny průměru D. Průměr cév se v lidském těle mění asi od 5.10-6 m do 2,5.10-2 m tedy skoro o čtyři řády. Z tohoto vztahu lze určit závislost mezi průměrem cévy a maximálním průtokem, při kterém ještě nedochází k hemolýze kubický zákon: Q = τ s π D 3 /(32 μ). Dosadíme-li za tečné napětí spodní mez 0,15 kpa a za viskozitu 0,0037 Pa.s dostaneme vztah Q (m 3 /s) 4000 D 3 (m 3 ) Tento vztah není příliš názorný, a proto zavedeme do něj střední rychlost podle objemu a po zaokrouhlení dostaneme, že v arteriolách by měla být rychlost nejvýše v cm/s a v kapilárách nejvýše mm/s. Tento vztah by měl být respektován i v mimotělním oběhu. Je třeba
poznamenat, že v kapilárách jsou rozměry červených krvinek řádově stejné jako je průměr kapilár a tím je ovlivněno rychlostní pole. Jak vyplývá z omezené životnosti červených krvinek není tato podmínka splněna ani v lidském těle. I v tomto případě vliv velikosti tečného napětí na životnost červených krvinek se jeví jako výhodné velké průměry cév. Na rozdíl od strojařských problémů, kde se zabýváme prouděním v pasivních objektech v hemodynamics nesmíme zapomínat, že se jedná o proudění živých a aktivních objektech, což může značně ovlivnit závěry učiněné z našich mechanických řešení. Minimální metabolický výkon Pro zatížení srdce čerpadla je zapotřebí stanovit výkon, třeba jen teoretický, k dopravě krve. Zamir /6/ uvádí, že výkon, který označuje H, je dán součinitelem síla krát rychlost. Stanovil sílu působící na stěně trubice o poloměru a a délce L, že je rovna τ s 2 π a L. Tuto sílu násobí střední rychlostí proudící tekutiny u=-k s a 2 /(8μ) (kde -k s >0 je tlakový spád) i když třecí síla působící na stěně trubice resp. na povrchu vrstvy tekutiny, jenž lpí na stěně, má nulovou rychlost. Třecí síla je při stacionárním proudění v rovnováze s tlakovou silou působící na celý průřez trubice: τ s 2 π a L = -Δ p π a 2. Po dosazení za třecí sílu s uvážením, že Q= πa 2 u dostává známý vztah H=ΔpQ=8μLQ 2 /(πa 4 ). Výsledek je správný, ale tato úvaha není zcela korektní, neboť výkon je roven práci vykonané za čas, práce je rovna součinu síly a její dráhy, která je zde rovna nule. Přesnější odvození se získá integrací elementárních výkonů po celém průřezu trubice. V roce 1926 C.D.Murray /8/ předložil tento optimalizační problém: výkon potřebný pro čerpání toku krve Q cévou o poloměru a a délce L je přímo závislý na čtvrté mocnině poměru A/a 4, kde A = 8μLQ 2 /π. Z hlediska hydrodynamiky by tedy měl být poloměr a co největší, aby potřebný výkon byl co nejmenší. Z biologického hlediska však čím větší bude rozměr cév, tím větší bude množství krve potřebné k naplnění kardiovaskulárního systému a tím bude i větší spotřeba metabolické energie k jejímu obnovování. Předpokládal, že metabolický výkon je úměrný objemu a tedy i průřezu cévy Ba 2 a celkový výkon nutný pro čerpání a biologické účely bude dán součtem obou složek H=A/a 4 +Ba 2, B je konstanta reprezentující metabolický výkon. Derivováním podle a našel podmínku pro minimální potřebný výkon: dh/da=(-4a/a 5 )+2Ba=0 a 6 =2A/B Q a 3
V literatuře se tato podmínka označuje jako kubický zákon nebo Murrayův zákon. Jiní autoři zavádějí i jiné hodnoty exponentů /6/. Např. pro aortu a první generaci hlavních větví tepen /6, str. 51/, je mnohem příhodnější kvadratický zákon, kdy je průtok Q úměrný a 2. V periferních oblastech arteriálního kmene měřená data potvrzují (s určitým rozptylem) kubický zákon. Tyto optimalizační výpočty mají sloužit k minimalizaci výdajů energie pro dynamické i metabolické účely. Porovnáme-li výsledek Murrayovy optimalizace s naší úvahou o nepřekročení určité velikosti tečného napětí, aby se zabránilo hemolýze vidíme, že výsledky jsou stejné a to právě v oblasti, kde jsou největší úbytky tlaku v krevním oběhu. Poděkování: Tato práce vznikla za finanční podpory grantu GAČR 101/05/0675. Literatura: /1/ Girard (1813) citováno v Hatschek E: The Viskosity of Liquids,1928, London, Bell citováno též v /2/ nebo Szabó I. (1979): Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhäuser Verlag, Stuttgart, str. 262. /2/ Nichols W.W., O Rourke M.F. (2005): Mc Donalds Blood Flow in Arteries, 5. vyd., Hodder Arnold, London /3/ Hagen G. (1839), Ann. Physik 46,str.423 /4/ Poiseuille J.L.M. (1846) :Mém. des Savants Etrangers 9, str. 433 /5/ Richter H., (1962): Rohrhydraulik, Springer, Berlin /6/ Zamir M. (2000): The Physics of Pulsatile Flow, Springer N.Y., str.49 /7/ Valenta J. (1992): Biomechanika srdečně cévního systému, skriptum ČVUT, str. 241, 249 /8/ Murray C.D. (1926): citováno v /6/ Proceedings of the Nat. Acad. Of Science, 12: str. 207-214