Collatzova hypotéza David Brebera XIV. seminář z historie matematiky pro vyučující na středních školách Poděbrady 19. 8. 019 1
Lothar Collatz 6. 7. 1910, Arnsberg, Německo 6. 9. 1990, Varna, Bulharsko 198 1933 Greifswald, Michov, Göttingen, Berlín Výrazně ovlivněn přednáškami Davida Hilberta 1935, Berlín (numerické metody řeš. lineárních diferenciálních rovnic) 1937 Collatzova hypotéza 1943 profesor, Hannover 195 Hamburg, zakládá Institut aplikované matematiky 36 publikací, převážně numerická matematika credit: uni-hamburg.de Lothar Collatz 1910 1990 1937: Collatzova hypotéza (stále nevyřešena) a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché a 1 N n N a n = 1 Pro libovolnou počáteční hodnotu a 1 se v konečném počtu kroků vždy dostaneme k hodnotě a n = 1 credit: uni-hamburg.de
Příklady 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 19, 58, 9, 88, 44,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1,4,,1 7, 8, 41, 14, 6, 31, 94, 47, 14, 71, 14, 107, 3, 161, 484, 4, 11, 364, 18, 91, 74, 137, 41, 06, 103, 310, 155, 466, 33, 700, 350, 175, 56, 63, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 50, 51, 754, 377, 113, 566, 83, 850, 45, 176, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 158, 1079, 338, 1619, 4858, 49, 788, 3644, 18, 911, 734, 1367, 410, 051, 6154, 3077, 93, 4616, 308, 1154, 577, 173, 866, 433, 1300, 650, 35, 976, 488, 44, 1, 61, 184, 9, 46, 3, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 8, 14, 7,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1 Průběh posloupnosti pro a 1 = 7 3
Podat důkaz tvrzení nebo Řešení Najít protipříklad, tedy počáteční hodnotu, pro kterou bude posloupnost divergovat skončí posloupnost jiným než triviálním cyklem 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, Hrubou silou ověřeno do 1.003 10 0 (BOINC) stále platí (to ale není důkaz, Pólya conjecture) Pólya conjecture George Pólya 1887 (Budapešť) 1985 (Palo Alto, California) ETH Zürich, Stanford University 1919: V radě přirozených číslech převažují čísla s lichým počtem členů prvočíselného rozkladu 18 = 1 3, 1 + = 3 60 = 3 5, + 1 + 1= 4 1958: teoretické řešení (1.845 10 361 ) 1980: nalezen protipříklad pro hodnotu 906 150 57 poprvé zvítězí sudé rozklady 4
1958 1960 196 1964 1966 1968 1970 197 1974 1976 1978 1980 198 1984 1986 1988 1990 199 1994 1996 1998 000 00 004 006 008 010 01 014 016 018 BOINC University of California, Berkeley BOINC - Berkeley Open Infrastructure for Network Computing využití volné výpočetní kapacity osobních počítačů (v součtu kapacit jde o 4. nejvýkonnější superpočítač) SETI@home (hledání signálů mimozemských civilizací zatím nic) LHC@home (CERN), NFS@home (faktorizace velkých čísel) celkem 35 různých projektů ze všech oborů Collatz: 100 304 170 900 795 686 91 = 87 60 = 1.003 10 0 (kalkulačky) WoS + Scopus + Google Scholar Scopus: 77 článků Web of Science: 67 článků Google Scholar: 470 článků 9 8 7 6 5 4 3 1 0 5
Současný stav 1977: existuje pouze jeden triviální cyklus délky (1 -> 4 -> -> 1 -> 4...) 1993: délka netriviálního cyklu bude minimálně 17 087 915 kroků 005: pokud existuje netriviální cyklus, musí obsahovat hodnotu minimálně 385 50 Co se zkoumá? Maximální hodnota 6
Co se zkoumá? Maximální hodnota Počet kroků nutných k dosažení 1 7
Co se zkoumá? Collatzova mapa (strom) http://www.jasondavies.com/collatz-graph/ Další zkoumání Celkový počet kroků nutných k dosažení 1 (A006577) Maximální hodnota (A05586) poměr počtu lichých(a006667) a sudých kroků (A006666) Počet kroků nutných k dosažení známé hodnoty Chování zrychlené varianty (A006666) a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché 8
lichá OEIS.ORG On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Neil Sloane (1939, Wales) kombinatorika, samoopravné kódy sběratel celočíselných posloupností (od r. 1964) od roku 1996 na webu oeis.org 30 000 posloupností (červen 019) databáze je otevřena všem přispěvatelům Další zkoumání I. Počet sudých a lichých kroků 0.7 70 s/l 60 0.6 50 0.5 40 0.4 30 0.3 0 0. 10 0.1 0 0 0 40 60 sudá 80 100 10 140 0 0 500 1000 1500 000 a_1 9
Další zkoumání II. Délka nové cesty 140 10 100 80 60 40 0 0 0 00 400 600 800 1000 100 binární posloupnost 7 111 10110 11 1011 34 100010 17 10001 5 110100 6 11010 13 1101 40 101000 0 10100 10 1010 Další zkoumání III. 5 101 16 10000 8 1000 4 100 10 1 1 65 + 1 http://pageperso.univ-brest.fr/~huisman/ 10
Stephen Wolfram (1959) Mathematica New Kind of Science (1995) Cellular automata Rule 150, n -1 Další zkoumání IV. Collatzovo síto (A17779) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 11
Collatzovy zlomky Další zkoumání V. 6 3 10 5 16 8 4 1 6 3 5 8 4 1 a n+1 = a n 3a n + 1 a n sudé a n liché 6 1 6 0 4 64 8 64 16 64 3 64 64 1
Hledání funkce pro x N f x = x 3x + 1 x sudé x liché 1 x + 1 1 x 1 = = 1 x sudé 0 x liché 0 x sudé 1 x liché f x = 1 x + 1 x 1 x 1 3x + 1 pro x N Zobecnění pro x R (zrychlená varianta) f x = 1 x + 1 x 1 x 1 3x + 1 pro x N pro x R: 1 x = cos πx f x = cos πx + 1 x cos πx 1 3x + 1 f x = 1 4 4x + 1 x + 1 cos πx pro x C: f z = 1 4 + 7z + 5z cos πz (nezrychlená) 13
f x = 1 4 4x + 1 x + 1 cos πx V reálném oboru cobweb plot zdroj: Thomas Prellberg 14
cobweb plot (logistické zobrazení) x n+1 = rx n (1 x n ) V komplexním oboru Collatzův fraktál f z = 1 4 + 7z + 5z cos πz zdroj: Nathaniel Johnston 15
Mandelbrotova množina Benoit Mandelbrot (194 010) V oboru komplexních čísel, z = z + c Závěr Využití při výuce na ZŠ (elementární počítání) na SŠ (funkce, grafy, programování) na VŠ (fraktály, publikační činnost) otevírá prostor do mnoha dalších odvětví matematiky odměna 500 USD za vyřešení Mathematics may not be ready for such problems Paul Erdős (1913 1996) 16
Děkuji za pozornost 17