1 L Hospitalovo pravidlo

Transkript

1 L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje také f) g) a platí f) g) f ) g ). Řešené příklady Příklad.. Spočtěte L H Příklad.. Spočtěte 8 3. [ ] [ ] 8 3 L H 3 L H 6. Příklad.3. Spočtěte Příklad.. Spočtěte n n n n. L H n n n n. n e. n [ ] e L H n n e L H n n ) n e L H L H n! e.

2 Příklad.5. Spočtěte cos sin. cos sin sin sin cos L H L H sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin. Příklad.6. Spočtěte tg 3 tg. [ ] tg 3 tg L tg 3 H cos 3 cos 6 cos sin cos 3 sin 3 3 L H sin sin cos cos 3 cos cos 3 Příklad.7. Spočtěte ln ). ln ) ln ) [ ] ln [ ] L H ln ln. Příklad.8. Spočtěte a. a a [ ] L H a a a a. Příklad.9. Spočtěte.

3 [ ] e. Protože e je spojitá funkce, můžeme s itou přejít do eponentu. [ ] [ ] L H. e e e. Příklad.. Spočtěte. e Poslední rovnost opět plyne ze spojitosti funkce e. L H e.. Příklad.. Spočtěte e e e. tg ) tg. tg ) tg [ ] e ln tg tg e ln tg tg. ln tg ln tg tg sin cos sin tg L H tg cos tg cos sin sin cos sin. tg ) tg e ln tg tg e e. Příklad.. Spočtěte cotg )sin. 3

4 cotg )sin eln cotg sin. ln cotg Příklad.3. Spočtěte sin L H sin cos sin sin cos sin cos. cotg )sin eln cotg sin e ln cotg sin e. ln. ) ln ) [ ] eln ln e ln ln. ln ln ln ln Příklad.. Spočtěte [ ] L H ln ) ln ) e ln ln e. ) e. ln. ) e Příklad.5. Spočtěte e e ) L H L H e e e e e e e. ). Příklad.6. Spočtěte ) ) L H L H sin. ).

5 sin ln sin ) cos sin sin sin sin cos e ln sin ln sin [ ] e ln sin. L H cos sin sin L H sin cos cos sin cos L H cos cos cos sin 6. Dohromady pak Příklad.7. Spočtěte sin ) e ln sin e 6. tg ). tg ) e ln tg e ln tg. Dohromady ln tg L H tg tg tg cos cos cos tg tg cos sin cos sin cos sin sin sin L H cos sin cos L H sin sin cos cos sin sin sin 8 cos sin L H cos cos 8 cos 6 sin 8 sin cos cos cos sin 8 cos 3. tg ) e ln tg 5 e ln tg e 3.

6 Příklad.8. Spočtěte arctg ). Nejprve ukážeme, že tedy L H arctg ) e ln arctg ) arctg ln. arctg ln arctg arctg ln. L H e ln arctg )., arctg arctg ln ln ln. ln arctg ) arctg ) arctg ) L H arctg arctg arctg ) arctg ) arctg arctg ) ) arctg arctg arctg ) arctg L H arctg arctg 3. arctg ) e ln arctg ) e ln arctg ) e 3. 3 Diferenciál funkce a Taylorův polynom Definice 3.. Necht má v bodě vlastní derivaci. Lineární zobrazení df ): R R dané předpisem df )h) f ) h se nazývá diferenciál funkce f v bodě. 6

7 6 f h) 5 τh) df )h) f ) 3 h 3 Diferenciál funkce f v bodě udává přírustek na tečně ke grafu funkce v bodě [ ; f )]. Příklad 3.. Určete diferenciál funkcí a) e, b). a) Funkce e má derivaci ve všech bodech reálné osy. Bud R libovolné. df )h) f ) h e e ) h. b) Funkce má derivaci ve všech bodech svého definičního oboru. Bud R libovolné. df )h) f ) h f ) h ln Celá idea diferenciálu spočívá v tom, že funkci aproimujeme pomocí lineárního polynomu. Nyní budeme chtít funkci aproimovat pomocí polynomů libovolného stupně. Necht má funkce f v bodě všechny derivace až do řádu n, které jsou vlastní. Chceme funkci nahradit polynomem tvaru P n a a ) a n ) n tak, aby polynom P n aproimoval funkci f co nejpřesněji. Je jistě rozumné požadovat, aby f i) ) P i) n ) pro i,..., n. 7 ).

8 f ) P n ) a, f ) P n ) a, f ) P n ) a, Odtud dostáváme hledaný polynom P n ) f ) f )!. f n) ) P n) n n n ) a n n!a n. ) f )! ) f n) ) ) n. n! Tento polynom se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f se středem a značí se T n ). Taylorův polynom se středem v bodě se nazývá Maclaurinův polynom. Věta 3.3. Necht má funkce f v okolí bodu vlastní derivace až do řádu n pro některé n N {}. pro všechna z toho okolí platí: f) f ) f )! ) f )! ) f n) ) ) n R n ), 3.) n! kde R n ) f n) ξ) n)! ) n, přičemž ξ je vhodné číslo mezi a. Chyba R n ) se nazývá zbytek a vzorec 3.) se nazývá Taylorův vzorec. Další řešené příklady Příklad.. Rozviňte polynom P ) 3 do Taylorova polynomu se středem. Podle Taylorova vzorce máme T ) P ) P )! ) P )! přičemž R ), nebot P 5) ). Proto T ) P ) P )! Spočítejme jednotlivé koeficienty. ) P )! ) P 3) ) 3! ) P 3) ) 3! P ) 6 5, P ) 3 6, P ) 6, P ) 8, P ). ) 3 P ) ) R ),! ) 3 P ) ).! T ) 5 ) ) 8 ) 3 ). 8

9 Příklad.. Určete přibližnou hodnotu arctg, pomocí diferenciálu. arctg, ) arctg) d arctg), ), ), 5, Příklad.3. Pomocí Maclaurinových polynomů y sin vyjádřete sin 5 s chybou menší než 5 a dokažte, že chyba uvedeného vyjádření je menší než 5. K tomu, abychom mohli sestavit Maclaurinovy polynomy, potřebujeme znát sin n) ). Pro obecné n pak máme sin ) cos), sin ) cos ) sin), sin ) cos ) sin ) cos). sin n) ) {, pro n sudé ) n, pro n liché. Je-li n liché, pak maclaurinův polynom stupně n je tvaru Pro n sudé platí tedy přičemž pro platí T n ) 3 3! 5 5! 7 n n ) 7! n!. T n ) T n ), R n ) R n ), R n ) n )! n, zde jsme využili toho, že sin n). Nyní si vyjádřeme 5 v radiánech Našim úkolem je najít n ideálně co nejmenší) takové, že Protože 36 ) Rn ) sin T n < 36) , můžeme použít předchozí odhad velikosti zbytku. Chceme, aby platilo R n 36 ) n )! 36 ) n < 5. Vzhledem k tomu, že < 3, 6, dostáváme, že ) n n < n )! 36 n )!. To znamená, že stačí vzít n, pak budeme mít zaručeno, že chyba bude menší než 5. Hodnota sin 5 je pak přibližně ) ) T T ! ) 3. 9