Proseminář z matematiky pro fyziky

Transkript

1 Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. riha@prfnw.upol.cz Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc

2 Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové, každá s maimálním ziskem 0 bodů) zisk nejméně 0 bodů každou písemku napsat alespoň na 3 body odevzdat vyřešené domácí úlohy

3 Doporučená literatura BRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III.. SNTL, Praha, 989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 004. KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV, Praha, 963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 004. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 00. ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 00. WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University Press, 997.

4 Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis, podle něhož právě je každému prvku množiny jeden prvek množiny Definiční N R. obor funkce Obor hodnot funkce N M M H D ( f ) ( f ) R přiřazen Možnosti zadání funkce TABULKOU GRAFEM FUNKČNÍM PŘEDPISEM eplicitně parametricky implicitně

5 Vlastnosti funkce Ohraničená funkce (shora, zdola ohraničená) C R, D : ( f ) f ( ) C Parita funkce Funkce f se nazývá sudá Funkce Periodická funkce f ( ) D( f ): f ( ) f ( ) ( ) se nazývá lichá D( f ): f ( ) f ( ) ( f ) f ( + p) f ( ) p R, p 0; R D : Složená funkce Jsou dány funkce hodnotu funkce u definovaná, vnější funkce... y vnitřní funkce... z f ( z) a u( ). Jestliže a, b lze přiřadit ( ) z α, β, ve kterém je funkce y f ( z) y f [ u( ) ] se nazývá složenou funkcí. f ( z) u( ) pak funkce

6 Vlastnosti funkce Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá a,b D ( ) na intervalu ( f ), a,b f ( ) f ( ) : Inverzní funkce Inverzní funkcí k funkci f jestliže ji lze zapsat ve tvaru ( ) nazveme funkci y f ( ) f ( y). Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající Funkce a,b Funkce a,b f D f D ( ) se nazývá rostoucí na intervalu ( f ), a,b < f ( ) < f ( ) : ( ) se nazývá klesající na intervalu ( f ), a,b < f ( ) > f ( ) :,

7 Vlastnosti funkce Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající Funkce a,b Funkce a,b f D f D ( ) se nazývá nerostoucí na intervalu ( f ), a,b : < f ( ) f ( ) ( ) se nazývá neklesající na intervalu ( f ), a,b < f ( ) f ( ) :

8 Přehled elementárních funkcí TYPY FUNKCÍ ALGEBRAICKÉ TRANSCENDENTNÍ RACIONÁLNÍ IRACIONÁLNÍ GONIOMETRICKÉ CELÉ LOMENÉ CYKLOMETRICKÉ EXPONENCIONÁLNÍ LOGARITMICKÉ HYPERBOLICKÉ

9 Celé racionální funkce Lineární funkce Kvadratická funkce ( a) b y + Kubická funkce atd.

10 Lomené racionální funkce k y + a b

11 Iracionální funkce y 3

12 Goniometrické funkce y sin

13 Goniometrické funkce y cos

14 Goniometrické funkce y sin cos tg

15 Goniometrické funkce y cos sin cotg

16 Cyklometrické funkce ( f ),, H ( ) y arcsin, D f π π,

17 Cyklometrické funkce y ( f ),, H ( ) 0, π arccos, D f

18 Cyklometrické funkce y π π arctg, D ( f ) R, H ( f ),

19 Cyklometrické funkce y ( f ) R, H ( ) ( 0,π ) arccotg, D f

20 Eponenciální funkce y a, a > 0, a

21 Logaritmická funkce y log, a > 0, a a

22 Hyperbolické funkce y sinh e e, y cosh e + e

23 Hyperbolické funkce y tgh sinh cosh e e + e e, y cotgh cosh sinh e e + e e

24 Úlohy. Rozhodněte, zda jsou funkcemi relace: f, y R R; y + 0, a) ( ) b) (, y) c) (, y) { } { R R; + y, 0} { R R; + y + 0} f, y f. 3 y. Určete definiční obory funkcí a) f : y, 3 3 b) f : y 4 +, 6 c) f 3 : y cos, d) f 4 : y ln( ln( ln ) ). 3. Sestrojte grafy funkcí a) g : y 3, + b) g : y 3, c) ( ) g 3 : y sgn, g 4 : y ma,. 4 f t 3sin t π, 3 d) { } e) ()

25 Úlohy 3. Sestrojte grafy funkcí f) f () t sin t + π, 3 g) π f 3 () t cos 3t, f t Asin ω t + ϕ + A, ω, ϕ R, h) () ( ) i) f () t A cos( ω t + ϕ ) 4, 5, t j) f () t, 6 e -t k) f () t, 7 e l) () t e t-5 3 f, 8 + ω t + ϕ m) f () t Ae 9, A ω, ϕ R A ω, ϕ R +,, γ n) f () t Ae t sin( ωt + ϕ ) 0, +,, A +, ω, ϕ, γ R. 4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce f, g, h. f : y, g : y, h : y Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce: a) 4 f : y 4 + 5, b) f : y tg sin, + c) f : y, 3 d) f : y. 4

26 Úlohy 6. Zjistěte, zda jsou dané funkce periodické, a v kladném případě určete periodu: a) π π f : y sin + cos, 3 4 b) g : y sin, c) d) ϕ : y tg - 3tg Dokažte, že funkce f : y je na intervalu (, ) rostoucí Rozhodněte, zda jsou omezené, shora omezené nebo zdola omezené funkce dané vzorci: y ,,, h : y sin, a) ( ) b) y 3 + 4,,, c) y, (, ) Dokažte, že k daným funkcím eistují funkce inverzní a najděte je: a) f : y,, 5, b) : g y, { 3} + 3 R, c) ϕ : y + 0 7, (, 5, d) ψ : y + 0 7, 5, ).