Matematika 1 pro PEF PaE

Transkript

1 Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných dvojic (x, y), kde x A a y B, takových že kdykoliv (x, y 1 ) f a (x, y 2 ) f, pak y 1 = y 2. Reálná funkce jedné proměnné je zobrazení z R do R. Úmluva Místo (x, y) f píšeme f (x) = y.

2 Reálné funkce Základní pojmy 3 / 21 Funkční obory Definiční obor reálné funkce f je množina takových x R, že existuje (právě jedno) y R, pro které f (x) = y. Značí se D(f ). Obor hodnot reálné funkce f je množina takových y R, že existuje (alespoň jedno) x R, pro které f (x) = y. Značí se H(f ). H(f ) D(f ) f (x) Vlastnosti funkcí Reálné funkce Základní pojmy 4 / 21 Reálná funkce f se nazývá prostá, pokud pro každé x D(f ) existuje právě jedno y H(f ) splňující f (x) = y. Reálná funkce f se nazývá rostoucí (respektive klesající), pokud pro každou dvojici x 1, x 2 z D(f ), splňující x 1 < x 2, platí f (x 1 ) < f (x 2 ) (respektive f (x 1 ) > f (x 2 )). Reálná funkce f se nazývá sudá, platí-li f ( x) = f (x), pro každé x D(f ). Reálná funkce f se nazývá lichá, platí-li f ( x) = f (x), pro každé x D(f ).

3 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 5 / 21 Konstantní funkce Konstantní funkce f (x) = a je sudá není prostá f (x) = 2 Lineární funkce Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 6 / 21 Lineární funkce f (x) = ax + b, a 0 je rostoucí pro a > 0 je klesající pro a < 0 je lichá pro b = 0 f (x) = 2x 1

4 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 7 / 21 Kvadratické funkce Kvadratická funkce f (x) = ax 2 + bx + c, a 0 pro a > 0 je to parabola obrácená vzhůru pro a < 0 je to parabola obrácená dolů pokud b = 0, pak se jedná o funkci sudou f (x) = x 2 x 2 Polynomiální funkce Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 8 / 21 Polynom f (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 číslo n se nazývá stupeň polynomu pokud jsou nenulové koeficienty jen u sudých mocnin, jedná se o sudou funkci pokud jsou nenulové koeficienty jen u lichých mocnin, jedná se o lichou funkci f (x) = 1 2 (x4 3x 3 x 2 + 3x)

5 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 9 / 21 Absolutní hodnota Absolutní hodnota f (x) = x H(f ) = 0, ) je sudá je klesající na (, 0 je rostoucí na 0, ) není elementární funkcí f (x) = x Lomené funkce Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 10 / 21 Lomená funkce f (x) = 1 x = x 1 {0} = (, 0) (0, ) H(f ) = R {0} = (, 0) (0, ) f (x) = 1 x je prostá není klesající na D(f ) je klesající na (, 0) je klesající na (0, ) je lichá nazývá se nepřímá úměrnost

6 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 11 / 21 Odmocniny Druhá odmocnina f (x) = x = x 1 2 D(f ) = 0, ) H(f ) = 0, ) je prostá je rostoucí f (x) = x Mocninné funkce Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 12 / 21 Mocninná funkce f (x) = a x, a > 0 ( 1 2 )x ( 1 10 )x 10 x 2 x H(f ) = (0, ), pro a 1 je prostá pro a 1 je rostoucí pro a > 1 je klesající pro a < 1 ( 1 2 ) x 2 x 1 x

7 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 13 / 21 Exponenciální funkce Exponenciální funkce f (x) = e x e = 2, f (x) = e x Leonhard Euler Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 14 / 21 Goniometrické funkce Sinus, H(f ) = 1, 1 je lichá funkce perioda je 2π kořeny jsou 0 + kπ, pro všechna k Z Kosinus, H(f ) = 1, 1 je sudá funkce perioda je 2π kořeny jsou π 2 + kπ, pro všechna k Z y = cos x y = sin x

8 Reálné funkce Základní elementární reálné funkce jedné proměnné 15 / 21 Goniometrické funkce Tangens tg x = sin x cos x D(tg(x)) = R { π 2 H(tg(x)) = R + kπ, k Z} Kotangens cotg x = cos x sin x D(cotg(x)) = R {kπ, k Z} H(cotg(x)) = R cotg x tg x Operace s funkcemi Reálné funkce Hledání maximálního definičního oboru 16 / 21 Tvrzení Bud te f, g dvě reálné funkce. pro h(x) = f (x) + g(x) platí D(h) = D(f ) D(g); pro h(x) = f (x) g(x) platí D(h) = D(f ) D(g); pro h(x) = f (x) g(x) platí D(h) = D(f ) D(g) {x; g(x) = 0} Bud te f, g dvě reálné funkce. Složená funkce f g je funkce, která každému x přiřadí f (g(x)). Tvrzení Bud te f, g reálné funkce a bud h = f g. Pak D(h) = {x D(g); g(x) D(f )}.

9 Reálné funkce Hledání maximálního definičního oboru 17 / 21 Příklad na hledání definičního oboru Úloha Nalezněte definiční obor funkce f (x) = x 2 x 6 x x 2. Řešení: Zkusíme-li zadat funci do počítače, vytiskne takovýto graf: z čehož se dá uhodnout, že definiční obor asi je 2, 0) (1, 3. To ale není výpočet. Takže znovu a pořádně. Reálné funkce Hledání maximálního definičního oboru 18 / 21 Příklad na hledání definičního oboru Řešení: Sepíšeme podmínky x 2 x 6 x x 2 0 (x 3)(x + 2) 0 x(1 x) + + t d d t x 2, 0) x (1, 3 x x 2 0 x(1 x) 0 x 0 x 1 Výsledek musí vyhovovat všem podmínkám. D(f ) = 2, 0) (1, 3

10 Reálné funkce Reálné funkce více proměnných 19 / 21 funkce více proměnných Reálná funkce n proměnných je zobrazení z R n do R. z z = f (x, y) y x Reálné funkce Reálné funkce více proměnných 20 / 21 Definiční obory funkcí více proměnných Úloha Načrtněte definiční obor funkce f (x, y) = x 2 + y y x 2 4 x 2. Řešení: Sepíšeme a vyřešíme podmínky 4 x 2 0 x 2 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 2y x 2 0 y x2 2 x 2 + y y x 2 0 x 2 + y 2 16 x 2 + y 2 16 y > x2 2 y < x2 2

11 Reálné funkce Reálné funkce více proměnných 21 / 21 Definiční obory funkcí více proměnných