Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t) x(t )=x y(t) = Cx(t)+Du(t), x(k+)=mx(k)+nu(k) x(k )=x y(k) = Cx(k)+ Du(k), () kde vektor u má rozměr r, x má rozměr n, y má rozměr m, matice A respektive M má rozměr (n n), B respektive N má rozměr (n r), C má rozměr (m n) a D má rozměr (m r). Řešení stavových rovnic spojitého systému () x(t) = e A(t t ) x(t ) + e At t t e Aτ Bu(τ)dτ. (2) Průběh výstupu získáme dosazením řešení stavové rovnice (2) do výstupní rovnice spojitého systému (). Módy spojitého systému řešíme-li nejprve homogenní maticovou diferenciální rovnici ẋ(t) = Ax(t) s počáteční podmínkou x(t ) = x, pak můžeme řešení zapsat ve tvaru n x(t) = α i r i e λ it, (3) i= kde λ i jsou vlastní čísla matice A a r i jsou pravé vlastní vektory matice A odpovídající vlastním číslům λ i. Členy r i e λ it v součtu (3) se nazývají módy systému.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 2 Dominantní mód spojitého systému je takový mód r i e λ it, jehož vlastní číslo má největší reálnou část. Je zřejmé, že pro t se řešení stavové rovnice systému blíží dominantnímu módu. Řešení stavových rovnic diskrétního systému () x(k) = M k k x(k ) + k i=k M k i Nu(i). (4) Průběh výstupu získáme dosazením řešení stavové rovnice (4) do výstupní rovnice diskrétního systému (). Módy diskrétního systému řešíme-li nejprve homogenní maticovou diferenční rovnici systému x(k + ) = Mx(k) s počáteční podmínkou x(k ) = x, pak můžeme řešení zapsat ve tvaru x(k) = n α i r i λ k i, (5) i= kde λ i jsou vlastní čísla matice M a r i jsou pravé vlastní vektory matice M odpovídající vlastním číslům λ i. Členy r i λ k i v součtu (5) se nazývají módy systému. Dominantní mód diskrétního systému je takový mód r i λ k i, jehož vlastní číslo má největší absolutní hodnotu. Je opět zřejmé, že pro t se řešení stavové rovnice systému blíží dominantnímu módu. Matice impulsních funkcí a matice impulsních posloupností G(t) = Ce At B + Dδ(t) = L {G(s)} G(k) = CM k N(k ) + Dδ(k) = Z {G(z)} (6) 2 Příklady Příklad 2.: Nalezněte řešení diferenciální rovnice popisující spojitý lineární stacionární systém ẋ(t) = a x(t) + b u(t) s počáteční podmínkou x(t ) = x, kde a, b jsou reálné konstanty a u(t) je libovolný vstup systému. Poté uvažujte vstup u(t) = pro t, pro t <. a určete x(t) pro t. Diskutujte zda je nutné znát počáteční podmínku x, pokud chcete určit x(t) pro t.
počáteční podmínkou x(t ) = x x(t ) = k e at. TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 3 Řešení: Budeme nejprve řešit homogenní rovnici systému ẋ(t) = a x(t) s počáteční podmínkou x(t ) = x. Obecné řešení této homogenní rovnice lze zapsat ve tvaru x(t) = k e at, kde k je zatím blíže neurčená konstanta. Toto řešení musí být samozřejmě splněno i pro Vyjádřeme-li podíl x(t) a x(t ), získáme řešení pro x(t) ve tvaru x(t) x(t ) = k e at k e at = e a(t t ) = x(t) = x e a(t t ). Nyní budeme řešit nehomogenní diferenciální rovnici ẋ(t) = a x(t) + b u(t). Použijeme metodu variací konstant a můžeme psát x(t) = k(t) e a(t t ) = ẋ(t) = k(t) e a(t t ) + k(t) a e a(t t ). Dosadíme-li do diferenciální rovnice ẋ(t) = a x(t) + b u(t), dostaneme Odtud platí ẋ(t) = k(t) e a(t t ) + k(t) a e a(t t ) = a k(t) e a(t t ) + b u(t). k(t) = e a(t t ) b u(t) = k(t) = k(t ) + Dosadíme-li vztah pro k(t) do rovnice pro x(t), získáme x(t) = k(t ) e a(t t t ) + e a(t t ) Po dosazení počáteční podmínku x(t ) = x diferenciální rovnice psát x(t) = x e a(t t t ) + e at t t e a(τ t ) b u(τ) dτ. t e a(τ t ) b u(τ) dτ. do této rovnice, dostaneme řešení původní t e aτ b u(τ) dτ. Uvažujeme-li vstup u podle zadání a počáteční podmínku x v čase t =, můžeme dále x(t) = x e at + e at t e aτ dτ b = x e at + e at [ b a e aτ ] t = x e at b a ( e at).
podmínkou x s X(s) x = a X(s) + b U(s). TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 4 Nyní vyšetříme ustálenou hodnotu stavu x pro t. Podíváme-li se na předchozí rovnici, zjistíme, že pro a > budou exponenciely divergovat. Naopak pro a < budou exponenciely pro t konvergovat k nule z čehož vyplývá, že stav x bude konvergovat k hodnotě x b b, pro a < = x a a. Protože se jedná o lineární systém, platí princip separace. Počáteční podmínka tedy odezní a nepotřebujeme ji pro určení ustálené hodnoty stavu x znát. Jinými slovy, ustálená hodnota stavu x na počáteční podmínce nezávisí. Později až se budeme zabývat stabilitou systému, zjistíme, že je zadaný systém asymptoticky stabilní právě pro a <. Pak můžeme použít k určení ustálené hodnoty x úvahu, že v ustáleném stavu platí ẋ =. Potom platí = a x(t)+b u(t) pro t. Odtud opět vidíme k jaké hodnotě stav x konverguje. Rozmyslete si jak to bude s ustálenou hodnotou stavu x v případě, když bude a =. Příklad 2.2: Uvažujte systém z příkladu 2.. Nalezněte řešení pro x(t) pomocí Laplaceovy transformace pro počáteční podmínku x a pro stejný vstupní signál u(t) (jednotkový skok) jehož Laplaceův obraz je U(s) = s. Řešení: Nejprve provedeme Laplaceovu transofmaci zadané diferenciální rovnice s počáteční Po vyjádření X(s) a dosazení za U(s) získáme X(s) = (s a) x + (s a) b s. Provedeme-li zpětnou Laplaceovu transformaci tohoto výrazu, obdržíme samozřejmě stejné řešení jako v příkladě 2. x(t) = x e at b ( e at). a Nyní vyšetříme ustálenou hodnotu stavu x pro t. Uvažujeme pouze případ, kdy a <. Z vět o limitě Laplaceovy transformace platí { s lim t x(t) = lim s X(s) = lim s s [ (s a) x + (s a) b s ]} = b a. Příklad 2.3: Uvažujte systém z příkladu 2.. Zvolte dvě kombinace konstant [a, b ] a vykreslete průběhy x(t) pro různé počáteční podmínky x a pro vstup u(t) = pro t, pro t <.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 5 Ověřte hodnoty x(t) pro t s teoretickým výpočtem. Řešení: Zvolíme konstanty [ a; b ] = [ ; ], [ a; b ] = [ 2; ], a vykreslíme průběhy stavu x pro různé počáteční podmínky. Na obr. jsou vykresleny průběhy pro obě kombinace konstant a nulovou počáteční podmínku. Na obr. 2 jsou tyto průběhy vykresleny pro různé počáteční podmínky. Z těchto obrázků vidíme, že ustálený stav skutečně nezávisí na počáteční podmínce a že odpovídá teoretickým výpočtům. Stav systemu.8.6 x.4.2 a =, b = a = 2, b = 2 3 4 5 6 7 8 Cas (s) Obrázek : Průběh stavu x pro [ a, b ] = [, ], [ a, b ] = [ 2, ] a x =.4 Stav systemu.7 Stav systemu.2.6.5.8.4 x x.6.3.4.2.2 x = x = x =.4 2 3 4 5 6 7 8 Cas (s) (a) Konstanty a =, b =. x = x =.5 x =.7 2 3 4 5 6 Cas (s) (b) Konstanty a = 2, b = Obrázek 2: Průběh stavu x pro různé konstanty a, b a pro různé počáteční podmínky
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 6 Příklad 2.4: Uvažujte spojitý lineární stacionární autonomní systém popsaný diferenciální rovnicí ẋ(t) = x(t) 4 s počáteční podmínkou x(t ) = x. Určete hodnotu x(t) pro t a načrtněte stavový portrét tohoto systému. Řešení: Podívejme se nejprve blíže na rovnici ẋ(t) = Ax(t). Matice A reprezentuje lineární operátor, který každému vektoru x(t) přiřazuje tečný vektor, tj. vektor, který ukazuje směr příštího vývoje stavové trajektorie. Pro první odhad průběhu stavové trajektorie použijeme spektrum matice (operátoru) A A = [-, ; -4]; [lambda,r] = eig(a) λ = 4, r =, λ 2 =, r 2 =. Víme, že ve směru vlastních vektorů má operátor A pouze účinek změny velikosti (směr zůstává stejný). Zvolíme-li počáteční vektor x() někde ve směru vlastních vektorů, bude ve stejném směru ležet i ẋ(t) = Ax(t) pro všechna t. Začneme tedy nakreslením invariantních podprostorů (přímek) odpovídajícím vlastním vektorům matice A. Protože jsou obě vlastní čísla záporná, víme, že všechny trajektorie půjdou s rostoucím časem k počátku souřadnic. Pro malé časy se bude nejprve projevovat rychlejší mód (s vlastním číslem λ = 4 a r = [ ] T ). S rostoucím časem bude převažovat vliv dominantního módu (s vlastním číslem λ 2 = a r 2 = [ ] T ). Toto je patrné ze stavového portrétu na obr. 3. V Matlabu můžeme stavový portrét vykreslit takto stateportrait( model stateportrait.mdl ); kde model stateportrait.mdl je název souboru se simulinkovým modelem zadaného systému. Funkci stateportrait.m si můžete stáhnout na [2]. Tuto funkci lze využít i pro vykreslení stavového portrétu nelineárního systému. Na obr. 3 je také zvlášt vykreslena trajektorie stavu pro počáteční podmínku 2 x() =. 2
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 7 2.5 2 Stavovy portret systemu Procatecni podminka x init = [2, 2] Prubeh stavu pro x init = [2, 2].5.5 x 2.5.5 2 2.5 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5 x Obrázek 3: Stavový portrét systému Příklad 2.5: Nalezněte řešení diferenciální rovnice na intervalu t, popisující spojitý autonomní lineární stacionární systém ẋ(t) = 3 64 x(t), 3 4 kde x = [x, x 2 ] T. Určete počáteční podmínku stavu x () tak, aby řešení vyhovovalo počáteční, respektive koncové podmínce x 2 () = 5, x 2 () =. Řešení: Vlastní čísla matice systému jsou λ,2 = ±5. Řešení můžeme zapsat ve tvaru 8 x(t) = c e 5t 32 + c 2 e 5t Konstanty c a c 2 určíme z okrajových podmínek na stav x 2 x 2 () = 5 = c + c 2 x 2 () = = c e 5 + c 2 e 5. Odtud dostaneme c = 5 e, c 2 = 5 e e.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 8 Obecné řešení systému tedy je x (t) = 4 e e5t 6 e + e e 5t, x 2 (t) = 5 e e5t + 5 e e e 5t. Dosazením do první rovnice t = určíme počáteční hodnotu stavu x () x () = 4 + 6e. e Ověřte tento výsledek simulací systému v Matlabu. 3 Domácí úlohy Příklad 3.: Určete analytické řešení spojitého lineárního stacionárního systému ẋ(t) = a x(t) + b u(t) s počáteční podmínkou x(t ) = x, kde a, b jsou reálné konstanty a u(t) je nezávislý vstup systému. Dále určete odezvu systému pro dvě různé počáteční podmínky x() a pro vstupní signál u typu skok v čase t = 5s u(t) = 2 pro t 5, pro t < 5. Vypočítejte ustálenou hodnotu stavu x pro t (pokud vůbec existuje). Zvolte konstanty a, b a vykreslete průběh stavu x. Porovnejte výsledky simulace s analytickým řešením. Dále určete přenos systému a určete jeho statické zesílení. Diskutujte jeho souvislost s ustálenou hodnotou stavu x. Příklad 3.2: Řešte příklad 3. s uvažováním vstupního signálu definovaným u(t) = pro t, jinde. Příklad 3.3: U systému z příkladu 3. zvolte dvě kombinace konstant [a, b ]. Proved te diskretizaci tohoto systému pro dvě různé vhodně zvolené periody vzorkování a určete odezvu systému pro dvě různé počáteční podmínky x a pro vstupní signál u typu jednotkový skok u(t) = pro t, pro t <.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému 9 Příklad 3.4: U systému z příkladu 3. zvolte dvě kombinace konstant [a, b ]. Proved te diskretizaci tohoto systému pro dvě různé vhodně zvolené periody vzorkování a určete odezvu systému pro dvě různé počáteční podmínky x a pro vstupní signál u typu skok u(t) = 2 pro t 5, pro t < 5. Příklad 3.5: U systému z příkladu 3. zvolte dvě kombinace konstant [a, b ]. Proved te diskretizaci tohoto systému pro dvě různé vhodně zvolené periody vzorkování a určete odezvu systému pro dvě různé počáteční podmínky x a pro vstupní signál u definovaný u(t) = pro t, jinde. Příklad 3.6: Uvažujte systém popsaný přenosem G(s) = Y (s) U(s) = s 2 + 3s + 2. Nalezněte stavový popis tohoto systému a určete jeho módy. Určete který mód je dominantní. Nalezněte analytický vztah pro y(t) pomocí řešení stavových rovnic. Vykreslete odezvu tohoto systému na jednotkový skok a porovnejte ji s analytickým řešením. u(t) = pro t, pro t < Příklad 3.7: Určete módy autonomních systémů popsaných stavovými rovnicemi 2 2 ẋ(t) = x(t), ẋ(t) = x(t) 2 3 a načrtněte jeho stavový portrét. Diskutujte jak se jednotlivé módy projevují v čase. Příklad 3.8: Určete módy autonomních systémů popsaných stavovými rovnicemi 3 2 ẋ(t) = x(t), ẋ(t) = x(t) 2 2 3 a načrtněte jeho stavový portrét. Diskutujte jak se jednotlivé módy projevují v čase. Příklad 3.9: Určete módy autonomních systémů popsaných stavovými rovnicemi 2 2 3 ẋ(t) = x(t), ẋ(t) = x(t) 2 6 4 a načrtněte jeho stavový portrét. Diskutujte jak se jednotlivé módy projevují v čase.
TEORIE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ Módy systému Příklad 3.: Načrtněte stavový portrét nelineárního systému (popisojícího vývoj populace dravců x a obětí x 2 v uzavřeném prostoru) ẋ (t) = x +, x x 2, ẋ 2 (t) = x 2, x x 2. Nalezněte rovnovážné body tohoto systému a proved te v nich linearizaci. Porovnejte stavové portréty nelineárního a linearizovaného systému. Reference [] Štecha, J. a Havlena, V.; Teorie dynamických systémů. Praha: Vydavatelstní ČVUT, 999. [2] Roubal, J., Hurák, Z. a Hromčík, M.; Teorie dynamických systémů [online]. Poslední revize 26-3- [cit. 26-3-], http://dce.felk.cvut.cz/tds/.