Semestrální práce z předmětu Teorie systémů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Semestrální práce z předmětu Teorie systémů"

Transkript

1 Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3..

2 Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Přenosovou funkce systému Nuly a póly systému Impulsní funkce Přechodovou funkce Frekvenční přenos Nyquistovu křivka Bodeho křivka....8 Stavový popis systému Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) Metoda postupné integrace Vnější popis Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému.... Standardní fundamentální matici systému Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Regulátor dof....4 kritériem stability... 3 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici) Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Dvourozměrný regulátor Závěr :... 4

3 Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je popsán diferenciální rovnicí: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t). Přenosovou funkce systému Zadání: Napište přenosovou funkci tohoto systému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky Použijeme větu o derivaci originálu: Y s s y s y + 4Y s s 4y + Y s = U s s u + 3U(s) Y s s + 4s + = U s s + 3 Dostáváme přenosovou funkci systému G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s +. Nuly a póly systému Zadání: Určete nuly a póly systému a rozhodněte o periodicitě (kmitavosti) a fázovosti (minimálně, neminimálně fázový systém). A) nuly s + 3 = s = 3 Stabilní nula (záporná) Tento dynamický systém má dále ještě jednu nuly v nekonečnu. B) poly s + 4s + = s + 4 s + = D = 4 4 j s = = j 4 + j s = = + j Póly s, s jsou komplexně sdružené, nachází se v levé polovině komplexní rovině, komplexní kořeny způsobují stabilní a kmitavý charakter Systém je dále fázově minimální, protože neobsahuje ani jednu kladnou nulu.

4 .3 Impulsní funkce Analyticky vypočítejte impulsní funkci a vykreslete ji jako impulsní charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.). Impulsní charakteristiku získejte také pomocí příkazu impulse MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. i t = L I s = L G s = L s + 3 { s + 4s + } i t = L s + 3 ( (s + + j 4 )(s + ) j 4 ) Postup řešení pomocí residuí: i t = res lim s j 4 s + + j 4 s + + j 4 s + 3 s + j 4 e st + res lim s +j 4 s + j 4 ( s + + j 4 s + 3 s + j 4 ) e st i t = ( j ) + 3 j + j e ( j )t + ( + j ) j + + j e ( +j )t i t = j + 3 j + j e( i t = j + 3 j + j e( j j )t + + j j + + j e( )t + + j j + + j e( +j )t +j )t i t = j + + j3 e ( j j )t + + j3 e ( +j )t i t = j + e ( j j )t + e ( +j )t

5 i(t) i t = (j )e( j )t + ( j ) e( +j )t i t = i t = j j cos t + cos t j t cos t + j t e t t e t,8 Impulsní funkce,6,4, -, -,4 cas (t) Impulsní fce- Matlab Impulsní funkce - Vypočítaná Pro systém jsme vypočítali impulzní charakteristiku, která je odezvu na vstupní signál u(t)= δ(t) (impulsní). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

6 .4 Přechodovou funkce Zadání: Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a vykreslete ji jako přechodovou charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.) Přechodovou charakteristiku získejte také pomocí příkazu step MATLABu a výsledky společně v jednom grafu porovnejte. t = L H s == L s + 3 { s + 4s + s } t = L s + + j 4 s + 3 s + j 4 s t = res + res lim lim s j 4 s +j 4 + res lim s s ( s + s + + j 4 s + j 4 + j 4 s + 3 ( s + s + + j 4 s + j 4 s j 4 s ) s + j 4 s + 3 s + s j 4 e st s ) e st t = ( j ) + 3 j + j + + ( j ) e ( + j ) j + + j 3 + j j ( j )t ( + j ) e ( +j )t t = j (4j 6)/ e( j )t + + j ( 4j 6)/ e( +j )t + 3

7 h(t) t = j 6 4j j 6 4j e ( j )t + + j 6 4j ( 6 4j + 6 4j + e ( +j )t t = j 6 e ( j )t j 6 e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) e j t + (,3 j,343 ) e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) cos t j t t =,6 cos +,3 j,343 cos t +,686 t + j t e t + 3 t e t + 3, Přechodová funkce,8,6 Přechod. fce-matlab,4, cas (s) Přechodová funkce vypočítaná Pro systém jsme vypočítali přechodovou charakteristiku, která je odezvou na vstupní signál u(t)= (přechodová ch.). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

8 . Frekvenční přenos Určete frekvenční přenos daného dynamického systému a upravte jej na složkový i exponenciální tvar komplexního čísla. G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + G jω = Y jω U jω = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + + 4jω ω + 4jω ω + 4jω = j3ω3 + jω + ω ω + jω ω + + 6ω = j3ω3 ω + 3jω + ω + + 6ω Dostáváme složkový tvar komplexního čísla frekvenčního přenosu Y jω G jω = U jω = ω + 3ω 3 + 3ω ( ω + ) + j + 6ω ( ω + ) + 6ω Převedeme frekvenční přenos na exponenciální tvar. A = P(ω) + Q(ω) = ω + ω + + 6ω + 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω = ω 4 3ω + + ω 6 9ω ω ( ω + + 6ω ) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω Q ω φ ω = arctan P ω = arctan ( 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω 3ω 3 + 3ω ω ) = arctan ( + ω + ) ω + + 6ω Exponenciální tvar: G jω = Ae jφ(ω) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω e jarctan ( 3ω 3 +3ω ω + ) Dosazením jω za S jsme získali frekvenční přenos ve složkovém tvaru, který jsme dále převedli na exponenciální tvar.

9 Im.6 Nyquistovu křivka Zadání: S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního čísla vykreslete amplitudově-fázovou frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu nyquist MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu.,4, Nyguist -, -,,, -,4 -,6 -,8 - -, Re matlab Excel Dosazením reálných hodnot do složkového tvaru získáváme nyquistovu charakteristiku. Vypočítaná nyquistova char. se shoduje s charakteristikou získanou z matlabu.

10 . Bodeho křivka Zadání: Na základě analytického výpočtu vykreslete frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Stejné charakteristiky vykreslete také s využitím příkazu bode MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. Příkazy: >> cit=[ 3] >> jm=[ 4 ] >> bode(cit,jm) Obrázek bode diagram z matlabu

11 A(ω) [db] ϕ(ω) [db] Frekvenční chrakteristika v log. souř.,,3,3, -, 8, -4-6 matlab excel -8 - ω [rad*s - ] Obrázek fr. char. log. souř. Frekvenční chrakteristika v log. souř.,8,6,4,,8,6,4,,, ω [rad*s - ] Matlab Excel Obrázek 3fr. char. log. souř. Bodeho křivka získaná dosazením hodnot do exponenciálního tvaru se dle grafů shoduje s Bodeho křivkou z Matlabu. U legendy Matlab (hodnoty jsou získány z matlabu), Excel (dosazení hodnot omega do fáze a amplitudy u frekvenčního přenosu.)

12 .8 Stavový popis systému. Zadání: Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému..8. Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) Provedeme dekompozici na původní diferenciální rovnice na dvě rovnice vždy s nulovou derivací na jedné straně a zavedeme pomocnou proměnnou z(t). Diferenciální rovnice z t + 4z t + z t = u(t) y t = z (t)+3z(t) Volba stavových proměnných x t = z(t) x t = z t = x t Dif. rovnice prvního řádu x t = x t x t = z t = u t 4 z t z t = u t 4 x t x t Odtud lze určit matice α,β jako: α = 4, β = Matice C a D získáme z předchozích rovnic (po dekompozici) y t = x (t)+3x (t) C = 3, D = Stavový popis získaný pomocí přímé metody. x t x t = 4 x t x t + u(t) y t = 3 x t x t + u(t)

13 .8. Metoda postupné integrace Dif. rovnice: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = y t 3u t => x = (y t 3u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + 4y t + x t = u t / y t + 4y t + x t = u(t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = 4y t + x t u t => x = (4y t + x t u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + x t = / y t + x t = => y t = x t / soustava diferenciálních rovnic. Řádu x t = y t 3u t = x t 3u t x t = 4y t + x t u t = 4 x t + x t u t výstupní rovnice y t = x t Stavový popis získaný pomocí integrační metody. x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) Pro zjištění stavového popisu byly vybrány dvě metody evropská-přímá metoda a metoda postupné integrace.

14 .9 Vnější popis Zadání: Pro jeden (libovolný) stavový popis z bodu 8 proveďte zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis, tedy ověřte získané parametry stavového popisu. stavový model (vnitřní popis) x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) G s = C si A B + D = G s = G s = s + 4 s + s s Cadj si A B + D det ( si A ) 4 s s G s = s + 4 s + s + 4 s 3 G s = s + 4 s + s 3 = 3 + s s + 4s + Byla ověřena správnost výpočtů z bodu.8. Diferenciální rovnice získaná ze stavového popisu se shoduje se zadáním, můžeme tedy říct, že výpočet jsme provedli správně. Správnost výpočtu je důležitá pro další výpočty.

15 . Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému Systém je řiditelný (dosažitelný), jestliže P C má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P c. matice řiditelnosti: P c = (B, AB A n B) A = 4, B = 3 P C = 3 det = 8/ Determinant matice řiditelnosti se nerovná nule, systém je tedy řiditelný. Systém je pozorovatelný (rekonstruovatelný), jestliže P O má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P O. C matice pozorovatelnosti P O = CA C n A A = 4,C = P O = 4 det = / Determinant matice pozorovatelnosti se nerovná nule, systém je tedy pozorovatelný. Po sestavení matice pozorovatelnosti a řiditelnosti můžeme říct, že systém je pozorovatelný a řiditelný.

16 . Standardní fundamentální matici systému. Zadání: Vypočtěte standardní fundamentální matici systému Fundamentální matici systému φ(t) lze určit dvojím způsobem zpětnou Laplaceovou transformací výrazu (si A) - rozvinutím výrazu e At v řadu Vlastnostmi fundamentální matice jsou φ t = I φ t = e At = φ (t) φ t + t = φ t φ t Aφ t = φ(t)a Pro výpočet standardní fundamentální matice použiji řešení pomocí Laplacovy transformace. φ s = si A = s s + 4 = s + 4 s + s + 4 s φ s = j 4 + j 4 φ s = s + + s + 4 s φ s = s + 4 s + s s + s s Nyní provedeme úpravu a tj. rozklad na parciální zlomky

17 s + s = s + + = s + s + s s + = s s + + s + + s + s + s + s + = + = + s + s + = s + = s + s + s s + = s + + s + + s + + Zpětná L.-T. φ t = L φ s = L s + s s + s s + s + + s + + s + + Standardní fundamentální matice systému je tedy : φ t = cos t e t + t e t t e t cos t e t t e t Tato fundamentální matice byla dále využita pro zjištění výstupu ze systému jako reakce na jednotkový skok. Tento výpočet byl poté opětovně ověřen simulací v matlabu. Řešená stavová rovnice odpovídá ověřenému řešení z bodu.4. t e t

18 . Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Zadání: Vyřešte stavovou rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) =. Odtud určete výstup ze systému. Výsledek srovnejte s výsledkem z bodu 4. Stavová rovnice autonomního systému Vstupní signál u(t)= t Řešení stavové rovnice neautonomního systému x t = φ t x + φ t τ Bu τ dτ Určení partikulárního řešení Ψ t = t φ t τ Bu τ dτ t = φ t τ t 3 dτ = φ t τ 3 dτ Ψ t = t cos (t τ) e (t τ) + t e (t τ) (t τ) e (t τ) cos (t τ) e (t τ) t e (t τ) (t τ) e (t τ) 3 dτ = t 3cos (t τ) e (t τ) 6 (t τ) e t cos (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) = t 3cos cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) Ψ t = t 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ t Ψ t = 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ= s= t τ ds=-dτ dτ = -ds

19 Horní mez : s = t - t s = Dolní mez : s = t - s = t Ψ t = t 3cos s e s ds 9 t s e s ds t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t Ψ t = 3 e t cos t + t e t ( t) + cos t + Ψ t = 6 cos s e t cos t e t + 9 s e s t e t Ψ t = 39 cos t e t 66 3 t e t +

20 t Ψ t = cos Ψ t = t Ψ t = Ψ t = cos e s 4 + e t (t τ) e (t τ) s e s s e s cos ( e s 4 + cos (t τ) e (t τ) dτ s= t τ ds s) + s s cos s t + t + t ds=-dτ dτ = -ds t e t t cos t + Ψ t = cos s e t + cos t e t s e t + t e t Ψ t = + cos s e t 33 s e t Ψ t = 39 cos t e cos t 66 3 s e t 33 t e t + s e t

21 Výstup: Přechod: y t = t = Po zaokrouhleni: h t =, 6cos s e Ψ t = cos 3 t +, 68 Výsledná přechodová funkce z úlohy.4 h t =,6 cos t +, 686 s e t s e t + 3 t e t + 3 s e t + 3 Přechodové funkce jsou po zaokrouhlení téměř totožné (liší se u jedné cifry v tisícině, tenhle rozdíl vznikl zaokrouhlováním). Z výsledku lze odvodit, že jsme počítali správně.

22 .3 Regulátor dof Zadání: Je uvažováno, že jedinou vstupní veličinou regulačního obvodu je pouze žádaná hodnota ve tvaru skoku o hodnotě. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro DOF strukturu řízení pro tři různé hodnoty násobného pólu -m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte funkčnost regulátoru. Vykreslete regulační pochody pro u(t) a y(t) (do jednoho grafu srovnejte výsledky tří regulačních pochodů) a výsledky slovně porovnejte. y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + = b s + b a s + a s + a a s = s + 4s + b s = s + 3 Vstupní hodnota: w t = w s = s f w s = s Porucha: d t = d s = f s d s = s Určení stupně polynomu f s = NSN f w s, f d s = s deg f = Eliminace poruch působící v systému a jmenovatelů obrazů referenčního signálu p = fp Zápis diofantické rovnice ap + bq = c ve tvaru afp + bg = c Určení stupně polynomu q s, p s, c(s) deg q = deg a + deg f = + = q s = q s + q s + q deg p deg a = = p s = p s + p deg c = deg a + deg f = 4 + = c s = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c Dosadíme do diofantické rovnice afp + bg = c a dostaneme: (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q Po úpravě dostaneme: = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c

23 a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c s 4 : a p = c 4 s 3 : a p + a p + b q = c 3 s : a p + a p + b q + b q = c s : a p + + b q + b q = c s : b q = c Řešením výše uvedené soustavy rovnic, se získají koeficienty regulátoru, který je ve tvaru: Q s = q(s) p(s) = q(s) f(s)p(s) = q s + q s + q s(p s + p ) Koeficienty polynomu c(s) jsou voleny tak, aby byla zajištěna stabilita systému řízení, například c s = (s + m) deg c = (s + m) 4 = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 kde m je volený kladný koeficient, přičemž pro každý volený koeficient m, respektive polynom c(s) je nutno ověřit stabilitu výsledného regulátoru. Volba m= c s = s 4 + 4s 3 + 6s + 4s + = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c a p = c 4 p = p = a p + a p + b q = c 3 4 p + p + q = p + q = 4 a p + a p + b q + b q = c p + 4p + 3q + q = 6 + 4p + 3q + q = 6

24 a p + b q + b q = c p + 3q + q = 4 p + 3q + 3 = 4 b q = c 3q = q = 3 p = 4 + p + q = 4 q = 4 3 p + 4 = p p + 3q + 3 = 4 q = 3 p = 3 p p + 3q + q = 6 + 4p + 3 p p + 9 = 6 + 4p p p = p = 6 8 p = 6 8 p = 8 p = 4 p = 4 8 = 344 q = p = = =,9 q = 3 p + 9 = = = = = = 3 9 q = 3 Regulátor pak pro násobný kořen m= bude Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,9s s + 3 s( s 344 ) V simulinku jsem vytvořil zapojení odpovídající vypočteným hodnotám.

25 Obrázek 4 Schéma zapojení pro m= Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina

26 Volba m=, a s = s + 4s + b s = s + 3 (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Po úpravě dostaneme: a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 +,s +,s +,6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q =, s : p q + q =, s : 3q =,6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p =,46, q =,8886, q =,866, q =,6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,8886s,866s +,6 3 s( s +,46)

27 Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=, Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Volba m= a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Dosazení:

28 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 + s + s + 6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q = s : p q + q = s : 3q = 6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p = 89,4, q = 9,86, q = 3,948, q = 6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) = 9,86 s + 3,948s s( s 89,4) Obrázek 8 schéma zapojení pro m=

29 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Z regulačních pochodů pro volbu m=, ; m= ; m= jde krásně vidět, že čím vyšší m zvolíme, tím je agresivnější zásah regulátoru. Volba koeficientu m=,, byla velmi nešťastná, lze vidět, že regulátor nedokáže nastavit regulovanou veličinu na žádané hodnotě. Volba koeficientu m= je taky velice nešťastná, vznikají zde veliké překmity při změnách žádané hodnoty. Dá se říct, že volba koeficientů v rozmezí - je pro návrh daného regulátoru asi nejlepší volbou.

30 .4 kritériem stability Zadání: Libovolným kritériem stability (algebraickým či geometrickým) ověřte asymptotickou stabilitu regulačního obvodu (nikoliv pouze řízené soustavy! Přenos regulátoru: m= G Q s = q s + q s + q s(p s + p ) Přenos regulované soustavy G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + =,9s s + 3 s( s 344 ) Při zjišťování stability použijeme Routh shurovo kritérium stability. Charakteristická rovnice soustavy je tedy c(s)=ap+bg s + 4s + s s + 3,9s ,s + = s 4 + 4,s 3 +,9s + Routh-shurovo kritérium: 4,,9 4, / 4 4 6,6 4, / 4 6,6 6,6 3,4 Zbylé tři hodnoty jsou kladné můžeme tedy říct že systém je stabilní, což jsme si mohli ověřit v matlabu příkazem: nyquist(conv([ 3],[.9 3/9.333]),conv([ 4 ],[/ -/344 ])) Obrázek nyquist m=

31 Přenos regulátoru: m= Příkaz: nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/ ])) s + 4s + s 89,4s + s + 3 9,86 s + 3,948s = +, /* 6, /* 6, 6, 8 Poslední 3 koeficienty jsou kladné, regulátor je stabilní. Obrázek nyquist m= m=, nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/.46 ]))

32 Obrázek nyquist m=, Dle geometrického kriteria lze usoudit, že všechny tři zvolené regulátory jsou stabilní.

33 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Popis mnohorozměrného lineárního spojitého dynamického systému ze zadání je popsán diferenciální rovnicí: Podle individuálního zadání: a a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) b y ( t) b u ( t) b u ( t) b u ( t) y (t) + y (t) + y (t) = u (t) + 8u (t) y (t) + 3y (t) + 6y (t) = u (t) + u (t) u ( t) - Jedna vstupní veličina ovlivňuje obecně více výstupních veličin. - V případě, že jedna vstupní veličina ovlivňuje vždy jen jednu výstupní a zároveň naopak (tj. pokud určitá výstupní veličina je ovlivňována vždy jen jedním vstupem), hovoříme o autonomním systému.. Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici). Aplikujeme L-transformace na zadanou soustavu ze které pak rovnic dostaneme: Sestavíme matici: s + Y s + Y s = U s + 8U s 3Y s + s + 6 Y s = U s + U s AY=BU s + 3 s + 6 Y s Y s = 8 U (s) U (s) Výpočet levého maticového zlomku: G = A B = s + 3 s + 6 = s + 8s 9 8 = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s s s + 8

34 Pro řešení pravého maticového zlomku se řeší diofantické rovnice, pro které platí: Obrázek 3 matice rotací s + 3 s s + 3 s s + 4s 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s 39 s + 4s + 6 s s + 3 Výsledek pravého maticového zlomku upravíme na přenos G = A B = s + 6 s + 8 4s + 6 s + 3 = 6 6s 8s + 34 s + 3 s 8 4s 6 s + 6 = s + 8s 9 s + 3 s 8 8s 34 s + = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Levý maticový zlomek: G = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Pravý maticový zlomek: G p = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Přenosy jsou si rovny a platí: G = G p

35 .6 Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Poly získáme ze jmenovatele levého maticového zlomku s + 8s 9 = s =-, s =-8 Jedná se o polynom druhého stupně, oba poly jsou reálné a záporné, systém je stabilní.

36 . Dvourozměrný regulátor Zadání: Je uvažováno, že jedinými vstupními veličinami regulačního obvodu jsou žádané hodnoty ve tvaru skoku o hodnotě. Zvolte vhodné póly uzavřeného regulačního obvodu. Navrhněte spojitý dvourozměrný regulátor (splňující požadavek asymptotického sledování žádaných hodnot) a simulujte regulační pochod v prostředí Matlab-Simulink (pro u(t) a y(t)). Umístění pólu pro asymptotické sledování žádané veličiny lze vyjádřit maticovou Diofantickou rovnicí: A L FP P + B L Q P = D Přenos řízení MIMO reg. obvodu je : G WY = B P (PA P + QB P ) Q = P P (AP P + BQ P ) BP Q Spojitý stabilní dvourozměrný regulátor budeme hledat ve tvaru: G Q s = Q P s P P (s) Levý maticový zlomek z bodu. je G = A B = s + 3 s Požadavky pro návrh regulátoru budou splněny řešením maticové diofantické rovnice:

37 Z vektoru obrazů žádaných hodnot w(s) po zjištění nejmenšího společného násobku všech jmenovatelů získáváme kompenzátor: Stabilní matici C(s) zvolíme tak, že determinant této matice tvoří char. polynom všech přenosů v uzavřeném reg. obvodu. Póly systému zvolíme stabilní například m =-, m =-. Matice C bude tedy ve tvaru: c s = (s + ) (s + ) = s + s + s + 4s + 4 Matici tvaru: převedeme na tvar : s + s s 3s s + 6s 8 s + s s 3s s + 6s s + s + s 3s s + 4s + 4 s 8s s + 6 s s + s + s + 4s + 4 s s s + 6 4s Regulátor je tedy : G Q s = Q p s ( F(s)P p (s) ) = s 6 s + s s 8 ( s s ) ( ) G Q s = s s 6 s + s s 8

38 Zákon řízení PFU=QE: s s U U = s 6 s + s s 8 E E Přenos regulované soustavy z bodu. : G = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Simulace v Matlabu : Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém

39 Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope

40 Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém Z přechodové charakteristiky systému můžeme říct, že se jedná o systém z neminimální fází a systém je stabilní ( ustálí se na požadované hodnotě v konečném čas). Pravděpodobně při volbě menších kořenů m, m by se velikost neminimální fáze zmenšila, ale požadovaná veličina by se dosáhla v pozdějším čase.

41 3 Závěr: Vzhledem k imaginárním kořenům bylo řešení místy velmi zdlouhavé a náchylné na chyby vzniklé z nepozornosti při počítání. Zdlouhavé bylo často i vypisování matematických postupů ve wordu. Velká většina matematických výpočtů jsem prováděl přímo ve wordu (sem tam při psaní v editoru rovnic, MS Word přestal fungovat a havaroval, což bylo velmi nemile a donutila mě, abych co min pravidelně ukládal práci). Pod jednotlivými částmi (-) se nachází odpověď, kde konstatuji, k jakému závěru jsem u daného příkladu došel.

42 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY *+ NAVRÁTIL, Pavel. Automatizace : vybrané statě.. vyd. ve Zlíně: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně,, 89 s. ISBN *+ Pekař Libor, Ing. Sylabus ke cvičením

43 Seznam Obrázků: Obrázek bode diagram z matlabu... Obrázek fr. char. log. souř.... Obrázek 3fr. char. log. souř.... Obrázek 4 Schéma zapojení pro m=... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=,... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 8 schéma zapojení pro m=... 8 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... 9 Obrázek nyquist m=... 3 Obrázek nyquist m=... Obrázek nyquist m=,... 3 Obrázek 3 matice rotací Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém... 4

Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu

Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Opakování z předmětu TES

Opakování z předmětu TES Opakování z předmětu TES A3B35ARI 6..6 Vážení studenti, v následujících měsících budete každý týden z předmětu Automatické řízení dostávat domácí úkol z látky probrané v daném týdnu na přednáškách. Jsme

Více

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné

Více

Regulační obvod s měřením regulováné veličiny

Regulační obvod s měřením regulováné veličiny Regulační obvod s měřením regulováné veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující

Více

Praha technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P. ))I~~

Praha technic/(4 -+ (/T'ERATU'P. ))I~~ Jaroslav Baláte Praha 2003 -technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P ))I~~ @ ZÁKLADNí OZNAČENí A SYMBOLY 13 O KNIZE 24 1 SYSTÉMOVÝ ÚVOD PRO TEORII AUTOMATICKÉHO iízení 26 11 VYMEZENí POJMU - SYSTÉM 26 12 DEFINICE SYSTÉMU

Více

Regulační obvod s měřením akční veličiny

Regulační obvod s měřením akční veličiny Regulační obvod s měřením akční veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané

Více

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 203 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská

Více

Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control

Více

15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení

15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení 15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [

Více

25.z-6.tr ZS 2015/2016

25.z-6.tr ZS 2015/2016 Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.

Více

Identifikace systémů

Identifikace systémů Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,

Více

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března

Více

Ivan Švarc. Radomil Matoušek. Miloš Šeda. Miluše Vítečková. c..~"f~ AKADEMICKÉ NAKlADATEL.STVf. Brno 20 I I

Ivan Švarc. Radomil Matoušek. Miloš Šeda. Miluše Vítečková. c..~f~ AKADEMICKÉ NAKlADATEL.STVf. Brno 20 I I Ivan Švarc. Radomil Matoušek Miloš Šeda. Miluše Vítečková AUTMATICKÉ RíZENí c..~"f~ AKADEMICKÉ NAKlADATEL.STVf Brno 0 I I n ~~ IU a ~ o ~e ~í ru ly ry I i ~h ~" BSAH. ÚVD. LGICKÉ RÍZENÍ. ""''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''oooo

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů

Více

Studijní opory k předmětu 6AA. 6AA Automatizace. Studijní opory k předmětu. Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení

Studijní opory k předmětu 6AA. 6AA Automatizace. Studijní opory k předmětu. Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení 6AA Automatizace Studijní opory k předmětu Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA Obsah: Logické řízení - Boolova algebra... 4 1. Základní logické funkce:... 4 2. Vyjádření Booleových funkcí... 4 3. Zákony a pravidla

Více

CW01 - Teorie měření a regulace

CW01 - Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

KYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie

Více

Frekvenční charakteristiky

Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci

Více

Diskretizace. 29. dubna 2015

Diskretizace. 29. dubna 2015 MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace

Více

Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody. Karel Ševčík

Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody. Karel Ševčík Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody Karel Ševčík Bakalářská práce 6 ABSTRAKT Práce je příspěvkem a podporou pedagogického procesu v předmětu Teorie automatického řízení I. Hlavním

Více

19 - Polynomiální metody

19 - Polynomiální metody 19 - Polynomiální metody Automatické řízení 218 16-4-18 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný

Více

Zpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek

Zpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v raze MAS 2012/13 ČVUT v raze

Více

X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky

X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt

Více

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

6 Algebra blokových schémat

6 Algebra blokových schémat 6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový

Více

Vyšetření stability mnohorozměrových diskrétních systémů v souvislosti s GPC prediktivním řízením

Vyšetření stability mnohorozměrových diskrétních systémů v souvislosti s GPC prediktivním řízením 1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Vyšetření stability mnohorozměrových diskrétních systémů v souvislosti s GPC prediktivním řízením Barot Tomáš Elektrotechnika 08.08.2012 Většina odborné

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován

Více

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,

Více

Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů

Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Pardubice Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů Semestrální práce z předmětu Teorie řídicích systémů Jméno: Jiří Paar Datum: 9. 1. 2010 Zadání Je dána

Více

CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I

CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Nejjednodušší, tzv. bang-bang regulace

Nejjednodušší, tzv. bang-bang regulace Regulace a ovládání Regulace soustavy S se od ovládání liší přítomností zpětné vazby, která dává informaci o stavu soustavy regulátoru R, který podle toho upravuje akční zásah do soustavy, aby bylo dosaženo

Více

Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému

Flexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková IV120 Spojité a hybridní systémy Základní pojmy teorie řízení David Šafránek Jiří Barnat Jana Fabriková Problém řízení IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 2/25 Mějme dynamický systém S definovaný stavovou

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Návrh frekvenčního filtru

Návrh frekvenčního filtru Návrh frekvenčního filtru Vypracoval: Martin Dlouhý, Petr Salajka 25. 9 2010 1 1 Zadání 1. Navrhněte co nejjednodušší přenosovou funkci frekvenčního pásmového filtru Dolní propusti typu Bessel, která bude

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()

Více

OCHRANA VOJENSKÝCH OBJEKTŮ PROTI ÚČINKŮM VÝKONOVÝCH ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ, SIMULACE EMC FILTRŮ

OCHRANA VOJENSKÝCH OBJEKTŮ PROTI ÚČINKŮM VÝKONOVÝCH ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ, SIMULACE EMC FILTRŮ OCHRANA VOJENSKÝCH OBJEKTŮ PROTI ÚČINKŮM VÝKONOVÝCH ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ, SIMULACE EMC FILTRŮ Anotace: Ing. Zbyněk Plch VOP-026 Šternberk s.p., divize VTÚPV Vyškov Zkušebna elektrické bezpečnosti a

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24

Více

CVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.

CVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4. CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného

Více

Statická analýza fyziologických systémů

Statická analýza fyziologických systémů Statická analýza fyziologických systémů Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control Systems Chapter 3 Static Analysis of Physiological Systems Statická analýzy

Více

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Automatizační technika. Regulační obvod. Obsah

Automatizační technika. Regulační obvod. Obsah 30.0.07 Akademický rok 07/08 Připravil: Radim Farana Automatizační technika Regulátory Obsah Analogové konvenční regulátory Regulátor typu PID Regulátor typu PID i Regulátor se dvěma stupni volnosti Omezení

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE

Více

Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým

Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 Metody diskrétního návrhu Metody diskrétního návrhu, které jsou stejné (velmi

Více

7.1. Číslicové filtry IIR

7.1. Číslicové filtry IIR Kapitola 7. Návrh číslicových filtrů Hraniční kmitočty propustného a nepropustného pásma jsou ve většině případů specifikovány v[hz] společně se vzorkovacím kmitočtem číslicového filtru. Návrhové algoritmy

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY

PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRHÉHO ŘÁD ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY A) Časová oblast integro-diferenciální rovnice K obvodu na obrázku je v čase t 0 napětí u b (t). t 0 připojen zdroj

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Přenos pasivního dvojbranu RC

Přenos pasivního dvojbranu RC Střední průmyslová škola elektrotechnická Pardubice VIČENÍ Z ELEKTRONIKY Přenos pasivního dvojbranu R Příjmení : Česák Číslo úlohy : 1 Jméno : Petr Datum zadání : 7.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Předmět A3B31TES/Př. 13

Předmět A3B31TES/Př. 13 Předmět A3B31TES/Př. 13 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 13: Kvantování, modulace, stavový popis PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen 2015 1 / 28 Obsah 1 Kvantování 2 Modulace

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík

Podpora výuky předmětu Teorie automatického řízení I Petr Žajdlík Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík Bakalářká práce 6 ABSTRAKT Abtrakt čeky Tato bakalářká práce e zabývá vzorovým vypracováním zápočtových protokolů polu návrhem zadání

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

KMS cvičení 9. Ondřej Marek

KMS cvičení 9. Ondřej Marek KMS cvičení 9 Ondřej Marek SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky. NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky. NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar Bakalářská práce 2015 1 2 3 Prohlášení Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval

Více

Teoretická elektrotechnika - vybrané statě

Teoretická elektrotechnika - vybrané statě Teoretická elektrotechnika - vybrané statě David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni September 26, 202 David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Teoretická

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více