Semestrální práce z předmětu Teorie systémů
|
|
- Romana Ševčíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3..
2 Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Přenosovou funkce systému Nuly a póly systému Impulsní funkce Přechodovou funkce Frekvenční přenos Nyquistovu křivka Bodeho křivka....8 Stavový popis systému Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) Metoda postupné integrace Vnější popis Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému.... Standardní fundamentální matici systému Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Regulátor dof....4 kritériem stability... 3 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici) Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Dvourozměrný regulátor Závěr :... 4
3 Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je popsán diferenciální rovnicí: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t). Přenosovou funkce systému Zadání: Napište přenosovou funkci tohoto systému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky Použijeme větu o derivaci originálu: Y s s y s y + 4Y s s 4y + Y s = U s s u + 3U(s) Y s s + 4s + = U s s + 3 Dostáváme přenosovou funkci systému G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s +. Nuly a póly systému Zadání: Určete nuly a póly systému a rozhodněte o periodicitě (kmitavosti) a fázovosti (minimálně, neminimálně fázový systém). A) nuly s + 3 = s = 3 Stabilní nula (záporná) Tento dynamický systém má dále ještě jednu nuly v nekonečnu. B) poly s + 4s + = s + 4 s + = D = 4 4 j s = = j 4 + j s = = + j Póly s, s jsou komplexně sdružené, nachází se v levé polovině komplexní rovině, komplexní kořeny způsobují stabilní a kmitavý charakter Systém je dále fázově minimální, protože neobsahuje ani jednu kladnou nulu.
4 .3 Impulsní funkce Analyticky vypočítejte impulsní funkci a vykreslete ji jako impulsní charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.). Impulsní charakteristiku získejte také pomocí příkazu impulse MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. i t = L I s = L G s = L s + 3 { s + 4s + } i t = L s + 3 ( (s + + j 4 )(s + ) j 4 ) Postup řešení pomocí residuí: i t = res lim s j 4 s + + j 4 s + + j 4 s + 3 s + j 4 e st + res lim s +j 4 s + j 4 ( s + + j 4 s + 3 s + j 4 ) e st i t = ( j ) + 3 j + j e ( j )t + ( + j ) j + + j e ( +j )t i t = j + 3 j + j e( i t = j + 3 j + j e( j j )t + + j j + + j e( )t + + j j + + j e( +j )t +j )t i t = j + + j3 e ( j j )t + + j3 e ( +j )t i t = j + e ( j j )t + e ( +j )t
5 i(t) i t = (j )e( j )t + ( j ) e( +j )t i t = i t = j j cos t + cos t j t cos t + j t e t t e t,8 Impulsní funkce,6,4, -, -,4 cas (t) Impulsní fce- Matlab Impulsní funkce - Vypočítaná Pro systém jsme vypočítali impulzní charakteristiku, která je odezvu na vstupní signál u(t)= δ(t) (impulsní). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.
6 .4 Přechodovou funkce Zadání: Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a vykreslete ji jako přechodovou charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.) Přechodovou charakteristiku získejte také pomocí příkazu step MATLABu a výsledky společně v jednom grafu porovnejte. t = L H s == L s + 3 { s + 4s + s } t = L s + + j 4 s + 3 s + j 4 s t = res + res lim lim s j 4 s +j 4 + res lim s s ( s + s + + j 4 s + j 4 + j 4 s + 3 ( s + s + + j 4 s + j 4 s j 4 s ) s + j 4 s + 3 s + s j 4 e st s ) e st t = ( j ) + 3 j + j + + ( j ) e ( + j ) j + + j 3 + j j ( j )t ( + j ) e ( +j )t t = j (4j 6)/ e( j )t + + j ( 4j 6)/ e( +j )t + 3
7 h(t) t = j 6 4j j 6 4j e ( j )t + + j 6 4j ( 6 4j + 6 4j + e ( +j )t t = j 6 e ( j )t j 6 e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) e j t + (,3 j,343 ) e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) cos t j t t =,6 cos +,3 j,343 cos t +,686 t + j t e t + 3 t e t + 3, Přechodová funkce,8,6 Přechod. fce-matlab,4, cas (s) Přechodová funkce vypočítaná Pro systém jsme vypočítali přechodovou charakteristiku, která je odezvou na vstupní signál u(t)= (přechodová ch.). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.
8 . Frekvenční přenos Určete frekvenční přenos daného dynamického systému a upravte jej na složkový i exponenciální tvar komplexního čísla. G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + G jω = Y jω U jω = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + + 4jω ω + 4jω ω + 4jω = j3ω3 + jω + ω ω + jω ω + + 6ω = j3ω3 ω + 3jω + ω + + 6ω Dostáváme složkový tvar komplexního čísla frekvenčního přenosu Y jω G jω = U jω = ω + 3ω 3 + 3ω ( ω + ) + j + 6ω ( ω + ) + 6ω Převedeme frekvenční přenos na exponenciální tvar. A = P(ω) + Q(ω) = ω + ω + + 6ω + 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω = ω 4 3ω + + ω 6 9ω ω ( ω + + 6ω ) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω Q ω φ ω = arctan P ω = arctan ( 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω 3ω 3 + 3ω ω ) = arctan ( + ω + ) ω + + 6ω Exponenciální tvar: G jω = Ae jφ(ω) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω e jarctan ( 3ω 3 +3ω ω + ) Dosazením jω za S jsme získali frekvenční přenos ve složkovém tvaru, který jsme dále převedli na exponenciální tvar.
9 Im.6 Nyquistovu křivka Zadání: S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního čísla vykreslete amplitudově-fázovou frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu nyquist MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu.,4, Nyguist -, -,,, -,4 -,6 -,8 - -, Re matlab Excel Dosazením reálných hodnot do složkového tvaru získáváme nyquistovu charakteristiku. Vypočítaná nyquistova char. se shoduje s charakteristikou získanou z matlabu.
10 . Bodeho křivka Zadání: Na základě analytického výpočtu vykreslete frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Stejné charakteristiky vykreslete také s využitím příkazu bode MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. Příkazy: >> cit=[ 3] >> jm=[ 4 ] >> bode(cit,jm) Obrázek bode diagram z matlabu
11 A(ω) [db] ϕ(ω) [db] Frekvenční chrakteristika v log. souř.,,3,3, -, 8, -4-6 matlab excel -8 - ω [rad*s - ] Obrázek fr. char. log. souř. Frekvenční chrakteristika v log. souř.,8,6,4,,8,6,4,,, ω [rad*s - ] Matlab Excel Obrázek 3fr. char. log. souř. Bodeho křivka získaná dosazením hodnot do exponenciálního tvaru se dle grafů shoduje s Bodeho křivkou z Matlabu. U legendy Matlab (hodnoty jsou získány z matlabu), Excel (dosazení hodnot omega do fáze a amplitudy u frekvenčního přenosu.)
12 .8 Stavový popis systému. Zadání: Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému..8. Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) Provedeme dekompozici na původní diferenciální rovnice na dvě rovnice vždy s nulovou derivací na jedné straně a zavedeme pomocnou proměnnou z(t). Diferenciální rovnice z t + 4z t + z t = u(t) y t = z (t)+3z(t) Volba stavových proměnných x t = z(t) x t = z t = x t Dif. rovnice prvního řádu x t = x t x t = z t = u t 4 z t z t = u t 4 x t x t Odtud lze určit matice α,β jako: α = 4, β = Matice C a D získáme z předchozích rovnic (po dekompozici) y t = x (t)+3x (t) C = 3, D = Stavový popis získaný pomocí přímé metody. x t x t = 4 x t x t + u(t) y t = 3 x t x t + u(t)
13 .8. Metoda postupné integrace Dif. rovnice: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = y t 3u t => x = (y t 3u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + 4y t + x t = u t / y t + 4y t + x t = u(t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = 4y t + x t u t => x = (4y t + x t u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + x t = / y t + x t = => y t = x t / soustava diferenciálních rovnic. Řádu x t = y t 3u t = x t 3u t x t = 4y t + x t u t = 4 x t + x t u t výstupní rovnice y t = x t Stavový popis získaný pomocí integrační metody. x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) Pro zjištění stavového popisu byly vybrány dvě metody evropská-přímá metoda a metoda postupné integrace.
14 .9 Vnější popis Zadání: Pro jeden (libovolný) stavový popis z bodu 8 proveďte zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis, tedy ověřte získané parametry stavového popisu. stavový model (vnitřní popis) x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) G s = C si A B + D = G s = G s = s + 4 s + s s Cadj si A B + D det ( si A ) 4 s s G s = s + 4 s + s + 4 s 3 G s = s + 4 s + s 3 = 3 + s s + 4s + Byla ověřena správnost výpočtů z bodu.8. Diferenciální rovnice získaná ze stavového popisu se shoduje se zadáním, můžeme tedy říct, že výpočet jsme provedli správně. Správnost výpočtu je důležitá pro další výpočty.
15 . Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému Systém je řiditelný (dosažitelný), jestliže P C má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P c. matice řiditelnosti: P c = (B, AB A n B) A = 4, B = 3 P C = 3 det = 8/ Determinant matice řiditelnosti se nerovná nule, systém je tedy řiditelný. Systém je pozorovatelný (rekonstruovatelný), jestliže P O má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P O. C matice pozorovatelnosti P O = CA C n A A = 4,C = P O = 4 det = / Determinant matice pozorovatelnosti se nerovná nule, systém je tedy pozorovatelný. Po sestavení matice pozorovatelnosti a řiditelnosti můžeme říct, že systém je pozorovatelný a řiditelný.
16 . Standardní fundamentální matici systému. Zadání: Vypočtěte standardní fundamentální matici systému Fundamentální matici systému φ(t) lze určit dvojím způsobem zpětnou Laplaceovou transformací výrazu (si A) - rozvinutím výrazu e At v řadu Vlastnostmi fundamentální matice jsou φ t = I φ t = e At = φ (t) φ t + t = φ t φ t Aφ t = φ(t)a Pro výpočet standardní fundamentální matice použiji řešení pomocí Laplacovy transformace. φ s = si A = s s + 4 = s + 4 s + s + 4 s φ s = j 4 + j 4 φ s = s + + s + 4 s φ s = s + 4 s + s s + s s Nyní provedeme úpravu a tj. rozklad na parciální zlomky
17 s + s = s + + = s + s + s s + = s s + + s + + s + s + s + s + = + = + s + s + = s + = s + s + s s + = s + + s + + s + + Zpětná L.-T. φ t = L φ s = L s + s s + s s + s + + s + + s + + Standardní fundamentální matice systému je tedy : φ t = cos t e t + t e t t e t cos t e t t e t Tato fundamentální matice byla dále využita pro zjištění výstupu ze systému jako reakce na jednotkový skok. Tento výpočet byl poté opětovně ověřen simulací v matlabu. Řešená stavová rovnice odpovídá ověřenému řešení z bodu.4. t e t
18 . Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Zadání: Vyřešte stavovou rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) =. Odtud určete výstup ze systému. Výsledek srovnejte s výsledkem z bodu 4. Stavová rovnice autonomního systému Vstupní signál u(t)= t Řešení stavové rovnice neautonomního systému x t = φ t x + φ t τ Bu τ dτ Určení partikulárního řešení Ψ t = t φ t τ Bu τ dτ t = φ t τ t 3 dτ = φ t τ 3 dτ Ψ t = t cos (t τ) e (t τ) + t e (t τ) (t τ) e (t τ) cos (t τ) e (t τ) t e (t τ) (t τ) e (t τ) 3 dτ = t 3cos (t τ) e (t τ) 6 (t τ) e t cos (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) = t 3cos cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) Ψ t = t 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ t Ψ t = 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ= s= t τ ds=-dτ dτ = -ds
19 Horní mez : s = t - t s = Dolní mez : s = t - s = t Ψ t = t 3cos s e s ds 9 t s e s ds t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t Ψ t = 3 e t cos t + t e t ( t) + cos t + Ψ t = 6 cos s e t cos t e t + 9 s e s t e t Ψ t = 39 cos t e t 66 3 t e t +
20 t Ψ t = cos Ψ t = t Ψ t = Ψ t = cos e s 4 + e t (t τ) e (t τ) s e s s e s cos ( e s 4 + cos (t τ) e (t τ) dτ s= t τ ds s) + s s cos s t + t + t ds=-dτ dτ = -ds t e t t cos t + Ψ t = cos s e t + cos t e t s e t + t e t Ψ t = + cos s e t 33 s e t Ψ t = 39 cos t e cos t 66 3 s e t 33 t e t + s e t
21 Výstup: Přechod: y t = t = Po zaokrouhleni: h t =, 6cos s e Ψ t = cos 3 t +, 68 Výsledná přechodová funkce z úlohy.4 h t =,6 cos t +, 686 s e t s e t + 3 t e t + 3 s e t + 3 Přechodové funkce jsou po zaokrouhlení téměř totožné (liší se u jedné cifry v tisícině, tenhle rozdíl vznikl zaokrouhlováním). Z výsledku lze odvodit, že jsme počítali správně.
22 .3 Regulátor dof Zadání: Je uvažováno, že jedinou vstupní veličinou regulačního obvodu je pouze žádaná hodnota ve tvaru skoku o hodnotě. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro DOF strukturu řízení pro tři různé hodnoty násobného pólu -m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte funkčnost regulátoru. Vykreslete regulační pochody pro u(t) a y(t) (do jednoho grafu srovnejte výsledky tří regulačních pochodů) a výsledky slovně porovnejte. y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + = b s + b a s + a s + a a s = s + 4s + b s = s + 3 Vstupní hodnota: w t = w s = s f w s = s Porucha: d t = d s = f s d s = s Určení stupně polynomu f s = NSN f w s, f d s = s deg f = Eliminace poruch působící v systému a jmenovatelů obrazů referenčního signálu p = fp Zápis diofantické rovnice ap + bq = c ve tvaru afp + bg = c Určení stupně polynomu q s, p s, c(s) deg q = deg a + deg f = + = q s = q s + q s + q deg p deg a = = p s = p s + p deg c = deg a + deg f = 4 + = c s = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c Dosadíme do diofantické rovnice afp + bg = c a dostaneme: (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q Po úpravě dostaneme: = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c
23 a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c s 4 : a p = c 4 s 3 : a p + a p + b q = c 3 s : a p + a p + b q + b q = c s : a p + + b q + b q = c s : b q = c Řešením výše uvedené soustavy rovnic, se získají koeficienty regulátoru, který je ve tvaru: Q s = q(s) p(s) = q(s) f(s)p(s) = q s + q s + q s(p s + p ) Koeficienty polynomu c(s) jsou voleny tak, aby byla zajištěna stabilita systému řízení, například c s = (s + m) deg c = (s + m) 4 = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 kde m je volený kladný koeficient, přičemž pro každý volený koeficient m, respektive polynom c(s) je nutno ověřit stabilitu výsledného regulátoru. Volba m= c s = s 4 + 4s 3 + 6s + 4s + = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c a p = c 4 p = p = a p + a p + b q = c 3 4 p + p + q = p + q = 4 a p + a p + b q + b q = c p + 4p + 3q + q = 6 + 4p + 3q + q = 6
24 a p + b q + b q = c p + 3q + q = 4 p + 3q + 3 = 4 b q = c 3q = q = 3 p = 4 + p + q = 4 q = 4 3 p + 4 = p p + 3q + 3 = 4 q = 3 p = 3 p p + 3q + q = 6 + 4p + 3 p p + 9 = 6 + 4p p p = p = 6 8 p = 6 8 p = 8 p = 4 p = 4 8 = 344 q = p = = =,9 q = 3 p + 9 = = = = = = 3 9 q = 3 Regulátor pak pro násobný kořen m= bude Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,9s s + 3 s( s 344 ) V simulinku jsem vytvořil zapojení odpovídající vypočteným hodnotám.
25 Obrázek 4 Schéma zapojení pro m= Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina
26 Volba m=, a s = s + 4s + b s = s + 3 (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Po úpravě dostaneme: a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 +,s +,s +,6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q =, s : p q + q =, s : 3q =,6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p =,46, q =,8886, q =,866, q =,6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,8886s,866s +,6 3 s( s +,46)
27 Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=, Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Volba m= a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Dosazení:
28 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 + s + s + 6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q = s : p q + q = s : 3q = 6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p = 89,4, q = 9,86, q = 3,948, q = 6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) = 9,86 s + 3,948s s( s 89,4) Obrázek 8 schéma zapojení pro m=
29 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Z regulačních pochodů pro volbu m=, ; m= ; m= jde krásně vidět, že čím vyšší m zvolíme, tím je agresivnější zásah regulátoru. Volba koeficientu m=,, byla velmi nešťastná, lze vidět, že regulátor nedokáže nastavit regulovanou veličinu na žádané hodnotě. Volba koeficientu m= je taky velice nešťastná, vznikají zde veliké překmity při změnách žádané hodnoty. Dá se říct, že volba koeficientů v rozmezí - je pro návrh daného regulátoru asi nejlepší volbou.
30 .4 kritériem stability Zadání: Libovolným kritériem stability (algebraickým či geometrickým) ověřte asymptotickou stabilitu regulačního obvodu (nikoliv pouze řízené soustavy! Přenos regulátoru: m= G Q s = q s + q s + q s(p s + p ) Přenos regulované soustavy G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + =,9s s + 3 s( s 344 ) Při zjišťování stability použijeme Routh shurovo kritérium stability. Charakteristická rovnice soustavy je tedy c(s)=ap+bg s + 4s + s s + 3,9s ,s + = s 4 + 4,s 3 +,9s + Routh-shurovo kritérium: 4,,9 4, / 4 4 6,6 4, / 4 6,6 6,6 3,4 Zbylé tři hodnoty jsou kladné můžeme tedy říct že systém je stabilní, což jsme si mohli ověřit v matlabu příkazem: nyquist(conv([ 3],[.9 3/9.333]),conv([ 4 ],[/ -/344 ])) Obrázek nyquist m=
31 Přenos regulátoru: m= Příkaz: nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/ ])) s + 4s + s 89,4s + s + 3 9,86 s + 3,948s = +, /* 6, /* 6, 6, 8 Poslední 3 koeficienty jsou kladné, regulátor je stabilní. Obrázek nyquist m= m=, nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/.46 ]))
32 Obrázek nyquist m=, Dle geometrického kriteria lze usoudit, že všechny tři zvolené regulátory jsou stabilní.
33 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Popis mnohorozměrného lineárního spojitého dynamického systému ze zadání je popsán diferenciální rovnicí: Podle individuálního zadání: a a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) b y ( t) b u ( t) b u ( t) b u ( t) y (t) + y (t) + y (t) = u (t) + 8u (t) y (t) + 3y (t) + 6y (t) = u (t) + u (t) u ( t) - Jedna vstupní veličina ovlivňuje obecně více výstupních veličin. - V případě, že jedna vstupní veličina ovlivňuje vždy jen jednu výstupní a zároveň naopak (tj. pokud určitá výstupní veličina je ovlivňována vždy jen jedním vstupem), hovoříme o autonomním systému.. Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici). Aplikujeme L-transformace na zadanou soustavu ze které pak rovnic dostaneme: Sestavíme matici: s + Y s + Y s = U s + 8U s 3Y s + s + 6 Y s = U s + U s AY=BU s + 3 s + 6 Y s Y s = 8 U (s) U (s) Výpočet levého maticového zlomku: G = A B = s + 3 s + 6 = s + 8s 9 8 = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s s s + 8
34 Pro řešení pravého maticového zlomku se řeší diofantické rovnice, pro které platí: Obrázek 3 matice rotací s + 3 s s + 3 s s + 4s 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s 39 s + 4s + 6 s s + 3 Výsledek pravého maticového zlomku upravíme na přenos G = A B = s + 6 s + 8 4s + 6 s + 3 = 6 6s 8s + 34 s + 3 s 8 4s 6 s + 6 = s + 8s 9 s + 3 s 8 8s 34 s + = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Levý maticový zlomek: G = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Pravý maticový zlomek: G p = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Přenosy jsou si rovny a platí: G = G p
35 .6 Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Poly získáme ze jmenovatele levého maticového zlomku s + 8s 9 = s =-, s =-8 Jedná se o polynom druhého stupně, oba poly jsou reálné a záporné, systém je stabilní.
36 . Dvourozměrný regulátor Zadání: Je uvažováno, že jedinými vstupními veličinami regulačního obvodu jsou žádané hodnoty ve tvaru skoku o hodnotě. Zvolte vhodné póly uzavřeného regulačního obvodu. Navrhněte spojitý dvourozměrný regulátor (splňující požadavek asymptotického sledování žádaných hodnot) a simulujte regulační pochod v prostředí Matlab-Simulink (pro u(t) a y(t)). Umístění pólu pro asymptotické sledování žádané veličiny lze vyjádřit maticovou Diofantickou rovnicí: A L FP P + B L Q P = D Přenos řízení MIMO reg. obvodu je : G WY = B P (PA P + QB P ) Q = P P (AP P + BQ P ) BP Q Spojitý stabilní dvourozměrný regulátor budeme hledat ve tvaru: G Q s = Q P s P P (s) Levý maticový zlomek z bodu. je G = A B = s + 3 s Požadavky pro návrh regulátoru budou splněny řešením maticové diofantické rovnice:
37 Z vektoru obrazů žádaných hodnot w(s) po zjištění nejmenšího společného násobku všech jmenovatelů získáváme kompenzátor: Stabilní matici C(s) zvolíme tak, že determinant této matice tvoří char. polynom všech přenosů v uzavřeném reg. obvodu. Póly systému zvolíme stabilní například m =-, m =-. Matice C bude tedy ve tvaru: c s = (s + ) (s + ) = s + s + s + 4s + 4 Matici tvaru: převedeme na tvar : s + s s 3s s + 6s 8 s + s s 3s s + 6s s + s + s 3s s + 4s + 4 s 8s s + 6 s s + s + s + 4s + 4 s s s + 6 4s Regulátor je tedy : G Q s = Q p s ( F(s)P p (s) ) = s 6 s + s s 8 ( s s ) ( ) G Q s = s s 6 s + s s 8
38 Zákon řízení PFU=QE: s s U U = s 6 s + s s 8 E E Přenos regulované soustavy z bodu. : G = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Simulace v Matlabu : Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém
39 Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope
40 Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém Z přechodové charakteristiky systému můžeme říct, že se jedná o systém z neminimální fází a systém je stabilní ( ustálí se na požadované hodnotě v konečném čas). Pravděpodobně při volbě menších kořenů m, m by se velikost neminimální fáze zmenšila, ale požadovaná veličina by se dosáhla v pozdějším čase.
41 3 Závěr: Vzhledem k imaginárním kořenům bylo řešení místy velmi zdlouhavé a náchylné na chyby vzniklé z nepozornosti při počítání. Zdlouhavé bylo často i vypisování matematických postupů ve wordu. Velká většina matematických výpočtů jsem prováděl přímo ve wordu (sem tam při psaní v editoru rovnic, MS Word přestal fungovat a havaroval, což bylo velmi nemile a donutila mě, abych co min pravidelně ukládal práci). Pod jednotlivými částmi (-) se nachází odpověď, kde konstatuji, k jakému závěru jsem u daného příkladu došel.
42 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY *+ NAVRÁTIL, Pavel. Automatizace : vybrané statě.. vyd. ve Zlíně: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně,, 89 s. ISBN *+ Pekař Libor, Ing. Sylabus ke cvičením
43 Seznam Obrázků: Obrázek bode diagram z matlabu... Obrázek fr. char. log. souř.... Obrázek 3fr. char. log. souř.... Obrázek 4 Schéma zapojení pro m=... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=,... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 8 schéma zapojení pro m=... 8 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... 9 Obrázek nyquist m=... 3 Obrázek nyquist m=... Obrázek nyquist m=,... 3 Obrázek 3 matice rotací Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém... 4
Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceOpakování z předmětu TES
Opakování z předmětu TES A3B35ARI 6..6 Vážení studenti, v následujících měsících budete každý týden z předmětu Automatické řízení dostávat domácí úkol z látky probrané v daném týdnu na přednáškách. Jsme
VíceAutomatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
VíceRegulační obvod s měřením regulováné veličiny
Regulační obvod s měřením regulováné veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující
VícePraha technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P. ))I~~
Jaroslav Baláte Praha 2003 -technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P ))I~~ @ ZÁKLADNí OZNAČENí A SYMBOLY 13 O KNIZE 24 1 SYSTÉMOVÝ ÚVOD PRO TEORII AUTOMATICKÉHO iízení 26 11 VYMEZENí POJMU - SYSTÉM 26 12 DEFINICE SYSTÉMU
VíceRegulační obvod s měřením akční veličiny
Regulační obvod s měřením akční veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 203 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
VíceAnalýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
Více15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
Více25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VícePozorovatel, Stavová zpětná vazba
Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.
VíceIdentifikace systémů
Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VíceIvan Švarc. Radomil Matoušek. Miloš Šeda. Miluše Vítečková. c..~"f~ AKADEMICKÉ NAKlADATEL.STVf. Brno 20 I I
Ivan Švarc. Radomil Matoušek Miloš Šeda. Miluše Vítečková AUTMATICKÉ RíZENí c..~"f~ AKADEMICKÉ NAKlADATEL.STVf Brno 0 I I n ~~ IU a ~ o ~e ~í ru ly ry I i ~h ~" BSAH. ÚVD. LGICKÉ RÍZENÍ. ""''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''oooo
Více4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost
4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně
VíceVlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů
VíceStudijní opory k předmětu 6AA. 6AA Automatizace. Studijní opory k předmětu. Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA AUTOMATIZACE 6AA - cvičení
6AA Automatizace Studijní opory k předmětu Ing. Petr Pokorný 1/40 6AA Obsah: Logické řízení - Boolova algebra... 4 1. Základní logické funkce:... 4 2. Vyjádření Booleových funkcí... 4 3. Zákony a pravidla
VíceCW01 - Teorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceReference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému
Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceKYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie
VíceFrekvenční charakteristiky
Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci
VíceDiskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
VíceTeorie automatického řízení I. studijní opory a návody. Karel Ševčík
Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody Karel Ševčík Bakalářská práce 6 ABSTRAKT Práce je příspěvkem a podporou pedagogického procesu v předmětu Teorie automatického řízení I. Hlavním
Více19 - Polynomiální metody
19 - Polynomiální metody Automatické řízení 218 16-4-18 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný
VíceZpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek
Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v raze MAS 2012/13 ČVUT v raze
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Více6 Algebra blokových schémat
6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceVyšetření stability mnohorozměrových diskrétních systémů v souvislosti s GPC prediktivním řízením
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Vyšetření stability mnohorozměrových diskrétních systémů v souvislosti s GPC prediktivním řízením Barot Tomáš Elektrotechnika 08.08.2012 Většina odborné
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceOdpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován
VíceZápadočeská univerzita. Lineární systémy 2
Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,
VíceNastavení parametrů PID a PSD regulátorů
Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Pardubice Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů Semestrální práce z předmětu Teorie řídicích systémů Jméno: Jiří Paar Datum: 9. 1. 2010 Zadání Je dána
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceNejjednodušší, tzv. bang-bang regulace
Regulace a ovládání Regulace soustavy S se od ovládání liší přítomností zpětné vazby, která dává informaci o stavu soustavy regulátoru R, který podle toho upravuje akční zásah do soustavy, aby bylo dosaženo
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceIV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková
IV120 Spojité a hybridní systémy Základní pojmy teorie řízení David Šafránek Jiří Barnat Jana Fabriková Problém řízení IV120 Základní pojmy teorie řízení str. 2/25 Mějme dynamický systém S definovaný stavovou
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceNávrh frekvenčního filtru
Návrh frekvenčního filtru Vypracoval: Martin Dlouhý, Petr Salajka 25. 9 2010 1 1 Zadání 1. Navrhněte co nejjednodušší přenosovou funkci frekvenčního pásmového filtru Dolní propusti typu Bessel, která bude
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VíceOCHRANA VOJENSKÝCH OBJEKTŮ PROTI ÚČINKŮM VÝKONOVÝCH ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ, SIMULACE EMC FILTRŮ
OCHRANA VOJENSKÝCH OBJEKTŮ PROTI ÚČINKŮM VÝKONOVÝCH ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ, SIMULACE EMC FILTRŮ Anotace: Ing. Zbyněk Plch VOP-026 Šternberk s.p., divize VTÚPV Vyškov Zkušebna elektrické bezpečnosti a
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
VícePROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24
VíceCVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.
CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného
VíceStatická analýza fyziologických systémů
Statická analýza fyziologických systémů Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control Systems Chapter 3 Static Analysis of Physiological Systems Statická analýzy
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceAutomatizační technika. Regulační obvod. Obsah
30.0.07 Akademický rok 07/08 Připravil: Radim Farana Automatizační technika Regulátory Obsah Analogové konvenční regulátory Regulátor typu PID Regulátor typu PID i Regulátor se dvěma stupni volnosti Omezení
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
VíceDoplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým
Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 Metody diskrétního návrhu Metody diskrétního návrhu, které jsou stejné (velmi
Více7.1. Číslicové filtry IIR
Kapitola 7. Návrh číslicových filtrů Hraniční kmitočty propustného a nepropustného pásma jsou ve většině případů specifikovány v[hz] společně se vzorkovacím kmitočtem číslicového filtru. Návrhové algoritmy
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VícePŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY
PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRHÉHO ŘÁD ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY A) Časová oblast integro-diferenciální rovnice K obvodu na obrázku je v čase t 0 napětí u b (t). t 0 připojen zdroj
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VícePřenos pasivního dvojbranu RC
Střední průmyslová škola elektrotechnická Pardubice VIČENÍ Z ELEKTRONIKY Přenos pasivního dvojbranu R Příjmení : Česák Číslo úlohy : 1 Jméno : Petr Datum zadání : 7.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VícePředmět A3B31TES/Př. 13
Předmět A3B31TES/Př. 13 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 13: Kvantování, modulace, stavový popis PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen 2015 1 / 28 Obsah 1 Kvantování 2 Modulace
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VícePodpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík
Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík Bakalářká práce 6 ABSTRAKT Abtrakt čeky Tato bakalářká práce e zabývá vzorovým vypracováním zápočtových protokolů polu návrhem zadání
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceKMS cvičení 9. Ondřej Marek
KMS cvičení 9 Ondřej Marek SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceUNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky. NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky NASTAVENÍ PARAMETRŮ PID REGULÁTORU JAKO OPTIMALIZAČNÍ ÚLOHA Ondřej Zouhar Bakalářská práce 2015 1 2 3 Prohlášení Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval
VíceTeoretická elektrotechnika - vybrané statě
Teoretická elektrotechnika - vybrané statě David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni September 26, 202 David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Teoretická
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více