Separovatelné diferenciální rovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Separovatelné diferenciální rovnice"

Transkript

1 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = Řešte diferenciální rovnici x = x 2 s počáteční podmínkou: a) x() = ; b) x( 2) = ; c) x( 2) = Řešte diferenciální rovnici x = t/x s počáteční podmínkou: a) x() = ; b) x(4) = Řešte diferenciální rovnici x = x 2 s počáteční podmínkou: a) x( ) = 0 ; b) x() = 3 ; c) x( 2) =. 5. Řešte diferenciální rovnici x = (x 2 x)/t s počáteční podmínkou: a) x() = 2 ; b) x( 2) = ; c) x() = 3 4 ; d) x(3) = 0 ; e) x() =. 6. Řešte diferenciální rovnici x = ( x 2 )/(2tx) s počáteční podmínkou: a) x() = 2 ; b) x( 2) = ; c) x(2) = 2 ; d) x(3) = 2 ; e) x( 3) = Řešte diferenciální rovnici x = 2 x s počáteční podmínkou: a) x(0) = ; b) x(0) = 0.

2 Výsledky. x(t) = ln( + ln t), t ( e, + ) ; obecné řešení je x(t) = ln ln ct pro c 0 na intervalu (, c ) pro c < 0, ( c, + ) pro c > Obecné řešení x(t) = 3 3(t c) na intervalech (, c) a (c, + ); a) x(t) = 3 3t 2, t ( 2 3, + ) ; b) x(t) = 3 3t + 7, t ( 7 3, + ) ; c) x(t) = 3 3t 2, t (, 2 3). 3. Obecné řešení x(t) = c 2 t 2, x(t) = c 2 t 2, t ( c, c) pro c > 0; a) x(t) = = 2 t 2, t ( 2, 2 ) ; b) x(t) = 25 t 2, t ( 5, 5). 4. Stacionární řešení x(t) = 0 na intervalu R, nestacionární řešení x(t) = t c na intervalech (, c) a (c, + ); a) x(t) = 0, t R; b) x(t) = 3 3t 2, t ( 2 3, + ) ; c) x(t) = t+, t (, ). 5. Stacionární řešení x(t) = 0, x(t) = na intervalech (, 0), (0, + ); nestacionární řešení x(t) = ct pro c 0 na maximálních intervalech neobsahujících 0, c ; a) x(t) = = t, t (0, 2); b) x(t) =, t (, 0); c) x(t) = 3+t, t (0, + ); d) x(t) = 0, t (0, + ); e) x(t) = 2t, t ( 2, + ). 6. Stacionární řešení x(t) =, x(t) = na intervalech (, 0), (0, + ); nestacionární řešení x(t) = c/t a x(t) = c/t na maximálních intervalech disjunktních s intervalem obsahujícím 0, c; a) x(t) = 3/(4t), t ( 3 4, + ) ; b) x(t) =, t (, 0); c) x(t) = + 6/t, t (0, + ); d) x(t) = + 9/t, t (0, + ); e) x(t) = + 5/(3t), t (, 5 3). 7. Stacionární řešení x(t) = 0 na intervalu R, nestacionární řešení x(t) = (t c) 2 na intervalech (c, + ), dají se prodloužit stacionárním řešením na R; a) x(t) = 0, t (,, (t + ) 2, t, + ) ; b) x(t) = 0, t R, nebo x(t) = 0, t (, c, (t c) 2, t c, + ), (c 0).

3 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Lineární diferenciální rovnice. řádu. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou: a) x = 2tx t 2, x(3) = 4 ; b) x = x + 2, x(2) = 4 ; t c) x = 2x + 4 t e) x = 3x + 3 t, x() = 3 ; d) x = x t +, x() = 2 ;, x() = 0 ; f) x = (x ) cos t, x(π) = 0 ; g) x = 2t (x + ), x(0) = 2 ; h) x = (x ) cotg t, x ( π 2 ) = 3 ; i) x = tx t +, x(0) = 2 ; j) x = tx t +, x(0) =. 2. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou: a) x = t x + t 3, x() = ; b) x = t x + t 2, x() = 2 ; c) x = 2 t x + t2 sin t, x(π) = 0 ; d) x = 2 x + 4t, x(2) = 5 ; t e) x = 3 t x t3 e t, x() = 0 ; f) x = 3 t x + 2 t 2, x() = 3 ; g) x = 2t x e t2, x(0) = 2 ; h) x = x tg t + cos t, x(0) = ; i) x = t + x +, x(0) = ; j) x = 2t t 2 + x + t 2 +, x() = 0.

4 Výsledky. Jedná se o lineární diferenciální rovnice, všechny lze řešit separací. a) x(t) = 2 (t2 ), t (, + ) (obecné řešení x(t) = c(t 2 )); b) x(t) = 3t 2, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 2); c) x(t) = 5t 2 2, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 2 2); d) x(t) = 4 c t+, t (, + ) (obecné řešení x(t) = t+ ); e) x(t) = t 3, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 3 ); f) x(t) = e sin t, t R (obecné řešení x(t) = c e sin t + ); g) x(t) = 3 e t2, t R (obecné řešení x(t) = c e t2 ); h) x(t) = 2 sin t +, t (0, π) (obecné řešení x(t) = c sin t + ); i) x(t) = 2(t + ) e t, t R (obecné řešení x(t) = c(t + ) e t ); j) x(t) = et c et t+, t (, + ) (obecné řešení x(t) = t+ ). 2. a) x(t) = 4 3 t 3 t 2, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 3 t 2 ); b) x(t) = (ln t + 2) t, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = c t + t ln t ); c) x(t) = ( + cos t) t 2, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 2 t 2 cos t); d) x(t) = 4t 2 + t 2, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 2 + t 2 ); e) x(t) = t 3 (e e t ), t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 3 t 3 e t ); f) x(t) = 2t 3 + t, t (0, + ) (obecné řešení x(t) = ct 3 + t ); g) x(t) = (2 t) e t2, t R (obecné řešení x(t) = c e t2 t e t2 ); h) x(t) = (t + ) cos t, t ( π 2, π 2 ) (obecné řešení x(t) = c cos t + t cos t); i) x(t) = (t + ) ( ln(t + ) ), t (, + ) (obecné řešení x(t) = c(t + ) + (t + ) ln t + ); j) x(t) = t, t R (obecné řešení x(t) = c t 2 + t t t 2 + ).

5 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami: a) x + 2x 3x = 0, x(0) = 3, x (0) = ; b) x + 5x = 0, x(0) = 0, x (0) = 5 ; c) x + 4x + 4x = 0, x(0) = 2, x (0) = 5 ; d) x + 2x + 5x = 0, x(0) = 0, x (0) = 6 ; e) x + 3x + 2x = 6 e t, x(0) = 3, x (0) = 0 ; f) x + 2x + x = 2 sin t, x(0) = 0, x (0) = 0 ; g) x + 4x = 3 cos t, x(0) = 4, x (0) = 2 ; h) x + 2x + 5x = 3 e t sin t, x(0) = 3, x (0) = 2 ; i) x + 3x + 2x = 2t e t, x(0) = 0, x (0) = 0 ; j) x + x = cos t, x(0) =, x (0) = Řešte diferenciální rovnici s počátečními podmínkami: a) x + x = sin t, x( ) π 2 = 0, x ( ) π 2 = 0 ; b) x + x = cos 3 t, x(0) =, x (0) = ; c) x 2x + x = et t, x() = 0, x () = e ; d) x 2x + x = et t 2 +, x(0) =, x (0) = 2.

6 Výsledky. a) x(t) = 2 e t + e 3t, t R ( x(t) = c e t + c 2 e 3t ); b) x(t) = e 5t, t R ( x(t) = c + c 2 e 5t ); c) x(t) = (2 t) e 2t, t R ( x(t) = (c + c 2 t) e 2t ); d) x(t) = 3 e t sin 2t, t R ( x(t) = e t (c cos 2t + c 2 sin 2t)); e) x(t) = 3 e t e 2t + e t, t R ( x(t) = c e t + c 2 e 2t, ˆx(t) = A e t ); f) x(t) = (t + ) e t cos t, t R ( x(t) = (c + c 2 t) e t, ˆx(t) = A cos t + B sin t); g) x(t) = 3 cos 2t+sin 2t+cos t, t R ( x(t) = c cos 2t+c 2 sin 2t, ˆx(t) = A cos t+b sin t); h) x(t) = e t (sin t+3 cos 2t), t R ( x(t) = e t (c cos 2t+c 2 sin 2t), ˆx(t) = e t (A cos t+ + B sin t)); i) x(t) = (t 2 2t + 2) e t 2 e 2t, t R ( x(t) = c e t + c 2 e 2t, ˆx(t) = t (At + B) e t ); j) x(t) = cos t + 2 t sin t, t R ( x(t) = c cos t + c 2 sin t, ˆx(t) = At cos t + Bt sin t). 2. a) x(t) = ( π 2 t) cos t + ln sin t sin t, t (0, π) ( x(t) = c cos t + c 2 sin t, ˆx(t) = t cos t + + ln sin sin t); b) x(t) = 2 cos t + sin t + 2 cos t, t ( π 2, π 2 ) ( x(t) = c cos t + c 2 sin t, ˆx(t) = 2 cos t ); c) x(t) = t e t ln t, t (0, + ) ( x(t) = (c + c 2 t) e t, ˆx(t) = t e t (ln t )); d) x(t) = ( + t + t arctg t 2 ln(t2 + ) ) e t, t R ( x(t) = (c + c 2 t) e t, ˆx(t) = = ( t arctg t 2 ln(t2 + ) ) e t ).

7 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Najděte fundamentální matici (přidružené homogenní) soustavy diferenciálních rovnic a řešení soustavy pro dané počáteční podmínky: a) x = 2x x 2, x (0) =, x 2 = 4x 3x 2, x 2 (0) = 2 ; c) x = x x 2, x (0) =, x 2 = x + 3x 2, x 2 (0) = 0 ; e) x = x + x 2, x (0) =, x 2 = 2x + 3x 2, x 2 (0) = ; g) x = x + x 2 + e t, x (0) = 0, x 2 = x x 2 + e t, x 2 (0) = 0 ; b) x = 2x x 2, x (0) = 5, x 2 = 2x + x 2, x 2 (0) = ; d) x = 2x 3x 2, x (0) = 2, x 2 = 3x 4x 2, x 2 (0) = ; f) x = x 2, x (0) =, x 2 = 2x + 2x 2, x 2 (0) = ; h) x = x x e t, x (0) = 0, x 2 = x + x 2 + e t, x 2 (0) = 3.

8 Výsledky. ( e t e a) X(t) = ) ( 2 e e t 4 e 2t, x(t) = e 2t ) 2 e t 4 e 2t, t R ; ( ) ( ) e 3t e 3t b) X(t) = 2 e 3t, x(t) = 4 3 e 3t, t R ; ( e 2t t e c) X(t) = ) ( ) (t ) e 2t e 2t (t + ) e 2t, x(t) = t e 2t, t R ; ( e t (3t + ) e d) X(t) = ) ( ) (3t + 2) e t e t 3t e t, x(t) = (3t + ) e t, t R ; ( e e) X(t) = cos t e 2t ) ( sin t e e 2t (cos t sin t) e 2t, x(t) = cos t (cos t + sin t) e 2t (cos t sin t) ( e f) X(t) = cos t e t ) ( sin t e e t (sin t cos t) e t, x(t) = (cos t 2 sin t) (cos t + sin t) e t (cos t + 3 sin t) ( ) ( e 2t e g) X(t) = e 2t, x(t) = ) e t, t R ; ( ) ( e 2t e h) X(t) = e 2t, x(t) = e 2t ) 2 e t + e 2t, t R. ), t R ; ), t R ;

9 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Obrazy v Laplaceově transformaci. Spočtěte obraz funkce v Laplaceově transformaci: a) 2t 2 3t + 4 ; b) e 2t + 3 e 4t ; c) sinh t ; d) cosh 2t ; e) 3 sin t 2 cos t ; f) 4 cos 2t + 3 sin 2t ; g) 3t e t + 2t 2 e 3t ; h) t sin 2t ; i) t cos 3t ; j) t 2 sin 3t ; k) t 2 cos 2t ; l) 3 e 3t sin 2t ; m) 2 e t cos 3t ; n) t e 2t sin 3t ; o) t e 3t cos 2t. 2. Spočtěte obraz funkce v Laplaceově transformaci:, t 0, 2), a) f(t) = 0, t 2, + ) ; sin t, t 0, π), c) f(t) = 0, t π, + ) ;, t 0, ), e) f(t) =, t, 2), 0, t 2, + ) ; t, t 0, 2), b) f(t) = 0, t 2, + ) ; t 2, t 0, ), d) f(t) =, t, + ) ; t, t 0, ), f) f(t) = 2 t, t, 2), 0, t 2, + ). 3. Spočtěte v Laplaceově transformaci obraz periodické funkce, která je na intervalu 0, T ) (T je její perioda) zadána předpisem: a) f(t) =, t 0, π), 0, t π, 2π) ; c) f(t) = cos t, t 0, π). b) f(t) = t, t 0, ), 2 t, t, 2) ;

10 Výsledky 4. a) p 3 p 2 p, p > 0; b) p p+4, p > 2; c) p 2, p > ; d) p p 2 4, p > 2; e) i) m) 3 2p p 2 +, p > 0; f) 4p+6 p 2 +4, p > 0; g) 3 + 4, p > 3; h) (p+) 2 (p 3) 3 p 2 9 8(p, p > 0; j) 2 3), p > 0; k) (p 2 +9) 2 (p 2 +9) 3 2(p+) (p+) 2 +9, p > ; n) 6(p 2), p > 2; o) ((p 2) 2 +9) 2 4p, p > 0; (p 2 +4) 2 2p 3 24p, p > 0; (p 2 +4) 3 l) 6 (p 3) 2 +4, p > 3; (p+3) 2 4 ((p+3) 2 +4) 2, p > a) p ( e 2p ); b) e 2p ( + 2 ) p 2 p 2 p ; c) p 2 + ( + e πp 2 ); d) e p ( ) p 3 p 3 p ; 2 e) p ( 2 e p + e 2p ); f) p 2 ( 2 e p + e 2p ). 3. a) p ; b) ( e p ) 2 +e πp p 2 e 2p = p 2 e p +e p ; c) p p 2 + +e πp e πp.

11 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Vzory v Laplaceově transformaci. Najděte předmět (vzor v Laplaceově transformaci) k dané funkci: a) d) g) j) p 2 + p 3 + 3p 2 + 2p ; b) p 3 + 6p 2 + 9p ; c) (p ) 2 (p + 2) ; (p 2) 3 ; e) (p + 3) 4 ; f) p 2 (p 2 + ) ; p 2 + 4p + 5 ; h) 3p + 4 p 2 + 2p + 0 ; i) 4p 3 p 2 2p + 5 ; 4p + 5 p 2 + 6p + 3 ; k) p + 3 p 2 4p + 20 ; l) 2p3 p 2 + p 2. 3p 2. Najděte předmět (vzor v Laplaceově transformaci) k dané funkci: a) p 2 e p ; b) p + 2 e 4p ; c) p p e πp.

12 Výsledky. a) 2 2 e t e 2t ; b) 9 ( 3 t + ) 9 e 3t ; c) 9 e 2t + ( 3 t ) 9 e t ; d) 2 t2 e 2t ; e) 6 t3 e 3t ; f) t sin t; g) e 2t sin t; h) e t ( 3 cos 3t + 3 sin 3t) ; i) e t ( 4 cos 2t + 2 sin 2t) ; j) e 3t ( 4 cos 2t 7 2 sin 2t) ; k) e 2t ( cos 4t sin 4t) ; l) neexistuje. 2. a) (t ) H(t ); b) e 8 2t H(t 4); c) cos 3t H(t π).

13 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Řešení diferenciálních a integrodiferenciálních rovnic. Řešte pomocí Laplaceovy transformace: a) x + x 2x = 0, x(0+) = 0, x (0+) = 3 ; b) x 2x + 2x = 0, x(0+) =, x (0+) = ; c) x + 5x + 6x = 4 e t, x(0+) = 0, x (0+) = 0 ; d) x + x = sin 2t, x(0+) = 0, x (0+) = 0 ; e) x + x = cos t, x(0+) =, x (0+) =. 2. Řešte pomocí Laplaceovy transformace: a) x = x + y, x(0+) =, y = 2x + 3y, y(0+) = ; c) x = x + y + e t, x(0+) = 0, y = x y + e t, y(0+) = 0 ; b) x = y, x(0+) =, y = 2x + 2y, y(0+) = ; d) x = x y + 2 e t, x(0+) = 0, y = x + y + e t, y(0+) = Řešte pomocí Laplaceovy transformace: a) x + 6x + 9 b) x + 2x + 5 c) x 4x + 5 d) x + t 0 t 0 t 0 t 0 x(u) du = 0, x(0+) = ; x(u) du = 0, x(0+) = ; x(u) du = 2 e t, x(0+) = ; cosh(t u) x(u) du = e t, x(0+) = Řešte pomocí Laplaceovy transformace: a) x 2 t, t 0, 2), x = 0, t 2, + ), b) x 5 cos 2t, t 0, π ) + x = 2, 0, t π 2, + ), c) x 4, t 0, π ) + 4x = 4, 8, t π 4, + ), d) x 8 sin t, t 0, π), + 9x = 0, t π, + ), x(0+) = ; x(0+) = ; x(0+) = 4, x (0+) = 0 ; x(0+) = 0, x (0+) = 0.

14 Výsledky. a) e t e 2t, t 0, + ); b) e t cos t, t 0, + ); c) 2 e t 4 e 2t + 2 e 3t, t 0, + ); 2 d) 3 sin t 3 sin 2t, t 0, + ); ( e) 2 t + ) sin t cos t, t 0, + ); 2. a) x(t) = e 2t cos t, y(t) = e 2t (cos t sin t), t 0, + ); b) x(t) = e t (cos t 2 sin t), y(t) = e t (cos t + 3 sin t), t 0, + ); c) x(t) = e t, y(t) = e t, t 0, + ); d) x(t) = e t e 2t, y(t) = 2 e t + e 2t, t 0, + ). 3. a) x(t) = ( 3t) e 3t, t 0, + ); b) x(t) = e t ( 2 sin 2t cos 2t), t 0, + ); c) x(t) = e t + 5 e 2t sin t, t 0, + ); d) x(t) = 2 t2 + t, t 0, + ); 4. t, t 0, 2), a) x(t) = e t 2, t 2, + ) ; cos 2t + 2 sin 2t, t 0, π ) b) x(t) = 2, e π/2 e t, t π 2, + ) ; 3 cos 2t +, t 0, π ) c) x(t) = 4, cos 2t sin 2t, t π 4, + ) ; sin t d) x(t) = 3 sin 3t, t 0, π), 0, t π, + ) ;

15 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Číselné řady. Určete součet: a) n ; b) (2n ) ; c) ; d) ; e) ; f) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řady: a) d) g) ( ) k k ; b) k 2 + ; e) 4 k k! ; h) ( ) k 2k + 3 ; c) k 3 k ; f) k k 8 k ; i) 3 k ; ( k) 7 2 k ; k! k k.

16 Výsledky. a) 2 n(n + ); b) n2 ; c) 550; d) 3; e) 4 ; f) nekonverguje. 2. a) neabsolutně; b) neabsolutně; c) nekonverguje; d) absolutně; e) absolutně; f) absolutně; g) absolutně; h) nekonverguje; i) absolutně.

17 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Mocninné řady. Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci mocninné řady: a) c) e) g) i) k) (3x ) k 2k + 3 ; b) k k ( ) x 2 k ; d) 3 3 k + (2 x 3 ) k ; f) 4 k k 2 (x 2)k ; h) 2 k2 (x + 2) k ; j) 3 k+2 (x )k ; l) (3 2x) k k ; 3 k ( x 2 + ) k ; 3 k k + 2 (x )k ; k! k 4 (x + )k ; ( ) x k 3k 2 2 ; (x 2) k + 3 k.

18 Výsledky. a) poloměr konvergence r = 3, absolutně na (0, 2 3 ), neabsolutně v 0; b) poloměr konvergence r = 2, absolutně na (, 2), neabsolutně v 2; c) poloměr konvergence r = 3, absolutně na (, 5), neabsolutně v ; d) poloměr konvergence r = 2, absolutně na ( 4, 0), neabsolutně v 4; e) poloměr konvergence r = 3, absolutně na (3, 9), neabsolutně v 9; f) poloměr konvergence r = 3, absolutně na ( 2 3, 4 3 ), neabsolutně v 2 3 ; g) poloměr konvergence r = 4, absolutně na 7 4, 9 4, neabsolutně nikde; h) poloměr konvergence r = 0, absolutně na }, neabsolutně nikde; i) poloměr konvergence r = +, absolutně na R, neabsolutně nikde; j) poloměr konvergence r = 2, absolutně na (0, 4), neabsolutně nikde; k) poloměr konvergence r = 3, absolutně na ( 2, 4), neabsolutně nikde; l) poloměr konvergence r =, absolutně na (, 3), neabsolutně nikde.

19 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Taylorovy řady. Najděte Taylorovu řadu funkce f v bodě x 0 a určete interval, na kterém k této funkci konverguje: a) f(x) = (x + 2) e 3x, x 0 = ; b) f(x) = (2x + 3) e x, x 0 = ; c) f(x) = x π 3 sin 3x + 2x, x 0 = π ; d) f(x) = (2x ) sin πx, x 0 = 2 ; e) f(x) = (x ) cos πx + x, x 0 = ; f) f(x) = cos 2x x, x 0 = π 4 ; g) f(x) = 3x x + 2, x 0 = 2 ; h) f(x) = 2x + 3 x + 2, x 0 = ; 3 i) f(x) = (x 2) 2, x 2 0 = ; j) f(x) = (x + 4) 2, x 0 = 2 ; k) f(x) = (x ) 3, x 0 =.

20 Výsledky. a) 3e 3 e 3 (k + 9)3 k + (x ) k, k! x R ; e(2k )( ) k b) e + (x + ) k, k! x R ; ( ) k 9 k c) 2π + 2(x π) + (x π) 2k, x R ; (2k 2)! 2 ( ) k π 2k ( d) x 2k+, x R ; (2k)! 2) ( ) k π 2k e) + (x ) 2k+, x R ; f) π 4 + (2k)! ( ) k (2k + )! ( x π 4 ) 2k+, x R ; g) ( ) k 4 k+ (x 2) k, x ( 2, 6) ; h) + i) j) k) ( ) k (x + ) k, x ( 2, 0) ; k + 3 k+ (x + )k, x ( 4, 2) ; (k + ) ( ) k 2 k+ (x + 2) k, x ( 4, 0) ; (k + ) (k + 2) 2 k+4 (x + ) k, x ( 3, ).

21 Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Fourierovy řady. Nalezněte Fourierovu řadu funkce: a) f(t) = t, t 0, π) ; b) f(t) = c) f(t) = t, t 0, ),, t, 2). 2. Nalezněte kosinovou Fourierovu řadu funkce: 2, t 0, 2), 3, t 2, 4) ; a) f(t) = t, t 0, ) ; b) f(t) = t 2, t 0, π). 3. Nalezněte sinovou Fourierovu řadu funkce: a) f(t) = t, t 0, ) ; b) f(t) = t, t 0, ),, t, 2).

22 Výsledky. 2. a) π 2 + k sin 2kt ; b) (2k )π c) ( ( ) k a) 2 + b) π2 3 + sin (2k )πt 2 (2k ) 2 cos kπt sin kπt π2 kπ 4 (2k ) 2 cos(2k )πt ; π2 4 ( ) k k 2 π 2 cos kt. ; ). 3. a) b) 2 sin kπt ; kπ ( 4 k 2 π 2 sin kπ 2 2 ( )k kπ ) sin kπt 2.

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx. Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c) VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a) ( ) + ( ) ( 6 ), b) ( π ). a) +, b) +, c) + + 4, f (4) (0) = 48, d) + 4 4, e) + 0, f), g) ++ 6 4, h) + 70 4, i) 4 j) + 6 k) 7 8 40. + o( ), 8 4. a), b), c), d) -, e) 4

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Předpoklady: a, b spojité na intervalu I.

Předpoklady: a, b spojité na intervalu I. Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice řádu n: F t, x, x, x,, x n Řešení na intervalu I: funce x : I R taová, že pro aždé t I je F t, xt, x t,, x n t Maximální řešení: neexistuje řešení na

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský

Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Michal Ostřanský Užití nekonečných řad při řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Ostřanský Bakalářská práce 2017 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je ukázat možnosti použití nekonečných řad při řešení obyčejných

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Rovnice matematické fyziky

Rovnice matematické fyziky Rovnice matematické fyziky cvičení 1 Rovnice matematické fyziky cvičení Michael Krbek Obsah Opakování ze známé matematické analýzy Parciální diferenciální rovnice metoda charakteristik Okrajová úloha pro

Více

9. cvičení z Matematické analýzy 2

9. cvičení z Matematické analýzy 2 9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní

Více

Obecné lineární problémy

Obecné lineární problémy Obecné lineární problémy Variace konstant V kapitolách o soustavách lineárních rovnic a o lineárních rovnicích n-tého řádu jsme se naučili řešit rovnice (soustavy) s nulovou pravou stranou, resp. s pravou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Zadání. Goniometrie a trigonometrie GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. )

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019 Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice I

4.3.1 Goniometrické rovnice I 4.. Goniometrické rovnice I Předpoklady: 4, 4, 46, 47 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika.

Více

Modelov an ı syst em u a proces

Modelov an ı syst em u a proces Modelování systémů a procesů 13. března 2012 Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3 Příklady na stavový popis dynamických systémů Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113

Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113 Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113 Lenka Cibochová Ústí nad Labem 016 Anotace: Tato

Více

V této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), (1)

V této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), (1) Nelineární systémy V této kapitole si ukážeme, jak lze řešit některé nelineární autonomní soustavy rovnic. Uvažujme soustavu X = F (X), () kde X : (a, b) R R n je neznámá funkce a F : Ω R n R n je spojitá

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R ) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Laplaceova transformace.

Laplaceova transformace. Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více