- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin 7) Algebrické výrz 8) Početní operce s výrz 9) Lomené výrz 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí ) Rovnice ekvivlentní úprv ) Lineární rovnice ) Soustv lineárních rovnic ) Kvdrtické rovnice ) Řešení kvdrtických rovnic ) Nerovnice jejich soustv 7) Rovnice s bsolutní hodnotou 8) Nerovnice s bsolutní hodnotou 9) Ircionální rovnice 0) Doplnění shrnutí učiv pololetí Vučuje: RNDr Věr Schuhová Litertur (pro celé studium): povinně: ( ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studi edice Mturit(N Kubešová ECibulková) doporučeně: ( ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY nkldtelství Didktik díl rozsáhleji je zde teorie pěkné doporučuji hlvně pro t kteří uvžují o mturitě z mtemtik ( ) Mtemtik v kostce pro střední škol (Z Vošický) ( ) Mtemtik pro SOŠ studijní obor SOU (kol utorů-odvárko Cld ) část určeno spíše pro denní studium ( ) Tbulk mtemtické fzikální chemické pro střední škol dále eistují různé sbírk úloh k probírné temtice řešené příkld i teorii lze hledt i n internetu (mtemtik po loptě mtemtik on line td)
- - pololetí Číselné obor bsolutní hodnot intervl ( ) str - kp str7 kp str kp str kp str 0 kp ( ) str 9 kp str kp str kp str kp ( ) str kp ( ) první část: str7 kp str kp str7 kp N { }- množin přirozených čísel: pojm: prvočíslo složená čísl vět o dělitelnosti největší společný dělitel vět o dělitelnosti Z N 0 čísl opčná množin celých čísel: zákldní operce v Z: 8 - -- -8 -- -(-)8 -()- -(-) -(-(-)) - 0 cokoliv 0 - - - - - - totéž pro dělení 0: čímkoliv 0 cokoliv : 0nelze td Q množin rcionálních čísel: lze je npst ve tvru zlomku či desetinným konečným nebo periodickým rozvojem zákldní operce se zlomk: složený zlomek krácení rozšiřování sčítání odčítání násobení dělení opkování ze ZŠ SOU I množin ircionálních čísel npř π td R množin reálných čísel lze je znázornit n číselné ose Části číselné os se nzývjí intervl Pltí R Q Z N I QR Př: Znázorněte n číselné ose zpište množinově tj pomocí příslušných závorek: >- < < > > - td Př: Sjednocení průnik intervlů A B A B npř A ( 0) B 7 (hledejte přípdnou pomoc v doporučené litertuře) Absolutní hodnot reálného čísl se znčí je to nezáporné reálné číslo pro které pltí: ) je-li 0 je ) je-li < 0 je - Absolutní hodnot reálného čísl je (geometrick) vzdálenost obrzu tohoto čísl od počátku souřdnic ( 0) tjdélk této úsečk Její vlstnosti: 0-0 0 b b b b b b Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: < < > - Nulový bod je reálné číslo které získáme tk že výrz uvnitř bsolutní hodnot položíme rovný nule Nulový bod pro je 0 pro - je pro je - pro je - pro - je Př: Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů: - < - > Příkld n procvičení:
- - Vpočítejte: ) -- b) --(-) c) 8-0 - -9 d) - -7 e) -- -8 f) - - Znázorněte zpište: ) < b) c) < d) >0 Určete průnik sjednocení intervlů: ) ( - ; ; ) b) ( ; ) ( ; ) c) (; ) d) ( -; ) ( ; ) e) (- ; 0 0 f) ( 0; ) 0 Znázorněte zpište: ) - b) c) - < d) - e) - > f) - < dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Mocnin odmocnin ( ) str 7 kp ( ) str kp 8 ( ) str 0 kp ( ) první část: str kp 7 8 druhá část: str kp mocnin n neponent(mocnitel) zákld mocnin je n-krát vnásobené stejné číslo mocnin s přirozeným eponentem pro všechn reálná čísl mocnin s celým eponentem pro všechn reálná čísl 0 mocnin s rcionálním eponentem pro všechn kldná reálná čísl tj > 0 Prvidl pro počítání s mocninmi: Sčítt(odčítt) lze pouze mocnin stejného zákldu stejného eponentu Pro všechn přípustná b n r s pltí: 0 r s rs r : s r-s ( r ) s rs n (-) n pro sudé n (-) n - pro liché n -n n m n n n m n n b n (b )n n n b b n zvedení druhé třetí odmocnin: z libovolného nezáporného čísl je tkové nezáporné číslo pro které pltí z libovolného čísl je tkové číslo pro které pltí že npř 9 8 8 dlší vlstnosti odmocnin příkld viz litertur ( )
- - částečné odmocňování - npříkld: 0 8 8 Při počítání se zlomk nemůže být ve jmenovteli odmocnin zbvíme se ji tk že dný zlomek rozšíříme říká se tomu usměrňování zlomků npříkld: 9 8 9 7 Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Použití pro usměrňování npříkld: ( ) Příkld n procvičování: ( ) ( ) ( ) - - ( - ) ( ) ( ) 9 8 0 z : 7 ( ) dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Algebrické výrz ( ) str kp ( ) str7 kp str kp 7 ( ) str kp ( ) str kp 7 8 9 0
- - výrz obshuje číselné konstnt proměnné (písmen mlé beced) zákldní operce s nimi (-: ) mocnin odmocnin zlomkové čár znk funkcí ( log sin ) Neobshuje ted znk rovnosti či nerovnosti Člen výrzu jednočlen mnohočlen hodnot výrzu lomený výrz smsl výrzu neboli podmínk z nichž má výrz smsl u lomeného výrzu je zákldním prvidlem že ve jmenovteli nesmí po doszení z proměnné vjít nul zákldní operce s výrz: sčítání(odčítání) mnohočlenů jen člen stejného stupně npř -( - )(-7 ) - -7 - násobení mnohočlenů: (- ) - 9 ( )( - ) - - : Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu důležité!!! proto znovu (AB) A AB B (A-B) A AB B A B (AB)(A-B) A B rozložit v R nelze Vzorce pro třetí mocnin dvojčlenu nejsou povinné Úprv lomených výrzů: vtýkání před závorku rozkld podle vzorců rozkld kvdrtického trojčlenu krácení n zákldní tvr sčítání lomených výrzů násobení dělení lomených výrzů Příkld n procvičování: - b 9 9b (b)(-b)9(b) (b)(-b9) ()-- ()-() ()(-) - ()(-) (-) () (-) (9) ( - ) - uprvte smi 70 ()() - ()(-) -8 (-)(-) -- (-)() td 9 0 8 : 9 8 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( z b b b b b b b
- - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Shrnutí učiv pololetí vzorový test ke zkoušení v pololetí: ) Znázorněte n číselné ose zpište pomocí intervlů ) < b) < ) Usměrněte zlomk: ) b) 9 ) Uprvte n co nejjednodušší tvr nezpomeňte n podmínk z kterých mjí dné výrz smsl: ( ) ) b) ( ) ) Uprvte n zákldní tvr: 9 0 ) 8 z b) Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu (viz vzor) dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik v pololetí pololetí Řešení lineárních rovnic ( ) str kp- str 0 pročíst str - lineární funkce ( ) str 8-0 kp 9 str kp ( ) str kp str kp ( ) druhá část: str kp
- 7 - Lineární funkce je dán rovnicí b kde b R 0 D(f) R Řešení lineárních rovnic pk znmená určit všechn tk b výrz b se rovnl 0 Řešením rovnice b 0 je - b tj lineární rovnice( dále LR) má řešení eistuje-li výrz n prvé strně Řešit rovnici znmená njít všechn tková pro která pltí že výrz n levé strně rovnice je roven výrzu n prvé strně řeší se vžd v nějké zákldní množině nejčstěji v množině R LR obecně má buď jedno řešení nebo žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení Při řešení se používjí tzv ekvivlentní úprv: ) Strn rovnice lze změnit je jedno jestli píšu nebo ) Převádíme-li výrz (člen) rovnice z jedné strn n druhou musíme změnit jeho znménko n opčné: 7 7- ) Obě strn rovnice můžeme násobit (dělit) stejným výrzem různým od nul: Zkoušk řešení se provádí doszením zvlášť do levé i do prvé strn rovnice ( v přípdě používání pouze ekvivlentních úprv není zkoušk nutná ) Doporučený postup řešení LR: Stnovit D(f) rovnice tj tzv podmínk Odstrnit lomené výrz (zlomk) vnásobit rovnici společným jmenovtelem Odstrnit závork roznásobením užitím vzorců td Převést člen obshující neznámou n jednu strnu rovnice bsolutní člen (čísl) n druhou strnu rovnice pk sečíst člen n příslušných strnách LR vdělit číselným koeficientem stojícím před Provést zkoušku je-li to nutné Příkld: ) 0 0 b) c) -0 - - - - - 0 0 0 - řešení nekonečně mnoho žádné řešení řešení ve zkušebním testu bude rovnice s neznámou ve jmenovteli! Příkld n procvičování: ) c) b) d) 0 7 7 [ -] [ ]
- 8 - e) ( ) ( ) [ ] f) [ ] g) 8 h) 8 0[ - řešení ] i) [ ] j) [ - tjnemá řešení] ( )( ) k) [ -] l) (-) () () (-) - dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Rovnice součinového podílového tpu Jedná se o rovnice tpu L() 0 kde n levé strně je součin dvou i více výrzů Řeší se n zákldě prvidl že součin několik činitelů se rovná nule pouze v přípdě že lespoň jeden z těchto činitelů je nule roven Příkld: ) (-) 0 0 nebo b) ()(-) 0 - nebo c) (-)()(-) 0 - d) ()(-)(7) 0 0 - -7 Rovnice podílového tpu má tvr lomeného výrzu který se rovná nule Řeší se n zákldě prvidl kd zlomek se rovná nule právě kdž se nule rovná čittel ztímco jmenovtel tohoto zlomku musí být různý od nul Příkld: ) 0 - ( - ) b) 0 0 - ( )( )( 7) c) 0 - -7 ( )( ) ( )( )( )( 8) d) 0 0-8 - - ( to už být nemůže!) ( )( ) ( 9)( ) ( ) ( )( ) e) 0 0 ( )( ) ( )( ) poznámk: výrz ( ) se nikd nule rovnt nemůže proto se neobjevuje zde v podmínkách kdb bl v čitteli tk b nedávl žádné možné řešení
- 9 - Rovnice s bsolutní hodnotou ( ) str 7 kp ( ) str 0 kp 9 ( ) str kp ( ) část kp 9 k řešení se používá definice bsolutní hodnot metod řešení pomocí intervlů tj metod nulových bodů Nulové bod získáváme tk že výrz v bsolutní hodnotě položíme rovný nule Tím se rozdělí číselná os n dv ( jedn bsolutní hodnot ) tři ( dvě různé bsolutní hodnot ) td intervl V nich se nhrdí bsolutní hodnot příslušným výrzem ( dle definice bsolutní hodnot ) v kždém intervlu zvlášť se příkld vpočítá Výsledné celkové řešení se získá sjednocením dílčích řešení Příkld: ) - nemá řešení ) 0 jedno řešení: - ) -7 dvě řešení: 8 nulový bod je 7 řešením jsou t čísl která jsou ve vzdálenosti jedn od tohoto nulového bodu n obě strn (řešení grfické) nebo výpočtem: 0 7 v intervlu (- 7) řešíme 7 - -7 v intervlu (7 ) řešíme -7 7 8 tj K { ; 8} ) 0 - v intervlu (- -) řešíme - - -8 v intervlu (- ) řešíme - tj K {-8 ; } ) - - 0 K { } ) 0 - v intervlu (- ; -) řešíme -- le v dném intervlu není řešení v intervlu (-; ) řešíme - nemá řešení tkže celkově rovnice nemá řešení 7) 7 nulové bod 0 vzniknou tři intervl: (- ;) (; ) (; ) přepis rovnice: -- 7 -- 7 -- 7-7 tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-; } 8) - 8 nulové bod 0 - vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; ) (; ) přepis rovnice: --- 8-8 - 8-8 8 tj celý intervl čili množin kořenů dné rovnice je uzvřený intervl < -; > 9) - - 7 nulové bod 0-7 vzniknou tři intervl: (- ;-7) (-7; ) (; ) přepis rovnice: --(--7) ---7 ---7
- 0 - - - tj NŘ tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je K {-} 0) ) - nulové bod 0 - - vzniknou tři intervl: (- ;-) (-; -) (-; ) přepis rovnice: ---(--) ---() -() - - tj celý intervl tj NŘ čili množin kořenů dné rovnice je intervl ( - ; - > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic v příslušné konzultci se budou podobným principem řešit nerovnice s bsolutní hodnotou Kvdrtické rovnice ( ) str 8 kp str 9 kp 7 str kp ( ) str 7 8 kp 0 str 8 ž 7 kp ( ) str kp str kp (jen kvdrtické funkce) ( ) část str 7 kp Kvdrtická funkce je dán rovnicí b c kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 Hledt průsečík grfu kvdrtické funkce s vodorovnou osou je vlstně totéž jko řešit kvdrtické rovnice Kvdrtická rovnice se nejprve převede ( n zákldě klsických úprv rovnic tj npř odstrnění zlomků závorek td ) do tzv nulovného tvru b c 0 kde kde bc jsou libovolná reálná čísl 0 je kvdrtický člen b je lineární člen c je bsolutní člen čísl b c se nzývjí koeficient kvdrtické rovnice Pk se spočítá tzv diskriminnt podle vzorce D b c Je-li D < 0 kvdrtická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení ( bude doplněno ve třetím ročníku v kpitole komplení čísl ) jeli D 0 kvdrtická rovnice má právě jedno reálné řešení nzývá se dvojnásobný kořen Je-li D > 0 kvdrtická rovnice má dvě různá reálná řešení která se počítjí podle vzorce: b ± D příkld: ) 0 D - NŘ ) 9 0 D 9 0 - - řešení
- - ) 0 D řešení b ± D ± 8 ) 0 0 D (-) ± 9 ± 7 -(-0) 9 0 9 ) 9 0 D (-9) 9 ± 9 ± 8 7 ) 0 D ± ± - (-) dlší příkld: 7 0 8 0 0 0 0 0 9 0 0 8 0 0 td jko metodu řešení lze použít i rozkld kvdrtického trojčlenu zvláště v přípdě kd koeficient : b c 0 ( )( - ) 0 kde -b c - 0 ( )( ) 0-0 ( )( ) 0-0 ( - )( ) 0 7 0 ( - )( ) 0 8 0 ( )( ) 0 - - 8 7 0 td 9 0 0-8 0 9 8 0 0 0 8 0 0 0 0 8 9 0 7 8 0 7 0 8 7 0 0 0 0 Neúplné kvdrtické rovnice lze řešit opět pomocí diskriminntu pouze s tím že buď koeficient b 0 ( kvdrtické rovnice bez lineárního členu ) nebo koeficient c 0 ( rze kvdrtické rovnice ) Jednodušší krtší způsob je pomocí příslušného rozkldu ( resp vzorců ): Příkld: ) 0 ± ± 0 D 0 (-) ± tj čísl -
- - nebo 0 ( )( ) 0-00 0 ( ) 0 0-9 0 nelze rozložit NŘ ( D --9 - ) 0 9 0 8 0 td Řešením rovnic tohoto tpu jsou ted vžd dvě opčná čísl nebo rovnice v množině reálných čísel vůbec řešení nemá ) 0 D (-) ± ± 0 0 nebo ( ) 0 0 ± 0 D 9 0 - nebo ( ) 0 0-0 ( ) 0 0-0 7 0 td Rovnice tohoto tpu mjí vžd jeden kořen roven 0 mjí tké vžd reálná řešení dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Lineární nerovnice jejich soustv ( ) str 9 kp str 7 kp ( ) str kp (jen lineární nerovnice td) ( ) str 9 kp 9 ( ) str kp 8 str kp 9 str kp 0 Mezi výrz n levé n prvé strně se používjí znménk > < Pro práci s nerovnicí se používjí stejné ekvivlentní úprv jko při práci s rovnicemi le při násobení (dělení) záporným číslem (výrzem) se musí změnit znménko nerovnosti n opčné Tké při přípdné výměně levé prvé strn nerovnice se musí znménko nerovnosti změnit n opčné Řešením nerovnic jsou obecně intervl
- - Příkld: ( ) ( ) > - > - - > - K ( - ; - -0 > - Dlší příkld: K ) < K (- ; ) ) ) ( ) ( ) K ) ) 7 K (- ; - 7 > NŘ ) Která přirozená čísl jsou řešením nerovnice? 8 ) (-)(-) > ) 8 Soustv dvou lineárních nerovnic o jedné neznámé se řeší tk že se kždá nerovnice vřeší zvlášť výsledné řešení se získá jko průnik Mohou nstt čtři možnosti výsledného řešení: ) < - b) < - c) > - d) > - - - < - < - > - > - (- -) ) (- -) (- (- ) (- (- ) ) K Ø K (- ; -) K (-; K ) Dlší příkld: ) () () > ) < (-) (-) <
- - Nerovnice součinového podílového tpu Ptří do ktegorie soustv nerovnic Součin resp podíl dvou výrzů je kldný právě kdž ob výrz mjí stejné znménko tj buď jsou ob kldné nebo jsou ob záporné Eistují ted dvě možnosti řešení kždou zvlášť ted vřešíme celkové řešení budeme hledt jko jejich sjednocení Součin resp podíl dvou výrzů je záporný právě kdž se výrz znménkem liší eistují ted opět dvě možnosti řešení Stejně se postupuje v přípdě nerovností tpu jen v přípdě zlomku musíme dát pozor n jmenovtel (nesmí se rovnt nule) Příkld: ) ()(-) 0 0 nebo 0-0 0 - - K ) U (- ) (-)() < 0 - > 0 nebo - < 0 < 0 > 0 Ø (-; ) K ) (-)(-) 0-0 nebo - 0 0 0 K ) U (- ) ()(-) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > - < - > < (-; ) K Ø ) > 0 > 0 nebo < 0 > 0 < 0 > < > - < - (-; ) K Ø ) 0 0 nebo 0 > 0 < 0 > - < - K ) U (- ) Dlší příkld:
- - 0 0 0 td dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Nerovnice s bsolutní hodnotou řeší se obdobně jko rovnice s bsolutní hodnotou tj n zákldě definice bsolutní hodnot metodou nulových bodů řešením v jednotlivých tk vzniklých intervlech Řešením bývjí intervl resp sjednocení intervlů Před zčátkem řešení je dobré zjistit jk se příkld chová v nulových bodech bchom zjistili ve které části číselné os bude řešení nerovnice jk uzvřené intervl budou Nezpomeňte tké zkontrolovt zd možné řešení leží v příslušném intervlu v němž zrovn provádíme výpočet Pro jednodušší příkld lze tké užít metodu grfickou tj zkreslování příslušných intervlů n číselné ose ) - nulový bod 0 pro nerovnost pltí řešení bude ve dvou intervlech v (- je v ) je - - U K ) 0 0 - v nulových bodech nerovnost nepltí v (- -) je --- - v (- 0) je - v (0 ) je - - - - -7-7 tj Ø 7 tj Ø tj Ø K Ø příkld nemá řešení ) - - > 0 0 - nerovnost pltí jen v bodě v (- - ) je ---(-)> 0 v (- je -(-)> 0 --- > 0 -> 0 - > > 0 < - > 0 v ) je -(-) > 0 - > 0 > - > - K (- ;-) U (0; ) ) - < 0 0 nerovnost pltí jen v čísle v (- 0) je -(-)- < v (0 je -- < v ) je -- < < -0 - < -0 < < - > 0
- - (- ; -) U (0; U ) K (- ; -) U (0; ) - - 0 - nerovnost pltí jen v čísle v (- -) je ---(-) v (- je -(-) v ) je -(-) --- - - 0 9-0 -7 Ø U ) K ) Dlší příkld: - 0 - < - > 7-9 > dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Ircionální rovnice ( ) str kp ( ) str kp ( ) str kp Rovnice s neznámou pod odmocninou obshují neznámou pod odmocninou Řeší se umocňováním což le není ekvivlentní úprv tj při jejím použití může dojít ke změně příkldu Proto nutnou nedílnou součástí řešení je zkoušk která zjistí zd kořen při výpočtu uprvené rovnice po umocnění řeší původní rovnici Umocněním zdné rovnice dostneme lineární nebo kvdrtickou rovnici kterou vřešíme (viz předcházející kpitol) ) / Zk ( 7) 9-7 - -7 není kořenem rovnice 8 ( ) - - je kořenem rovnice 0 9 K { - } 0 ( 7)( ) -7 - ) / Zk 9 - - není kořen tj zdná 0 rovnice nemá řešení 0 0 ) K { ; }
- 7 - ) K { } ) K Ø ( tj žádné řešení ) ) 7 ( ) kořen kvdrtické rovnice jsou - K { } dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Soustv lineárních rovnic ( ) str kp ( ) str kp 9 ( ) str 7 kp ( ) část - str kp str 7 kp Řešením soustv dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je tková uspořádná dvojice [ ; ] která po doszení do původní soustv z příslušné proměnné určí pltné rovnosti Eistuje několik klsických metod řešení soustv: srovnávcí doszovcí sčítcí kombinovná z předcházejících dvou grfická le tké pomocí determinntů Řešením soustv tří lineárních rovnic o třech neznámých je uspořádná trojice [ ; ; z] K řešení se užívá stejných metod jko u soustv dvou lineárních rovnic (kromě grfické) Soustv lineárních rovnic má buď nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení nebo jediné řešení ) ( I ) z - ( II ) z ( III ) z ( I ) -- -z doszovcí vzorec ten dosdíme do ( II ) ( III ) ( II ) ( ---z ) z ( III ) (---z) --z ( II ) - - - z - z ( III ) - - - 9z - - z ( II ) - - 9z / : -8-0z 8 / : ( II ) - z /(-) - z z - sečteme - z 7z 0 z 0 dosdíme npř do ( II ) - z - 0 - - pk do doszovcího vzorce ( I ) -- -z - -(-) -0 -
- 8 - Řešením je ted [ ; - ; 0] Dlší příkld: ) z ) z - ) z -7 z z z 8 z - z - z 7 [8 ] [ - 0] [ - ] ) z - - z - [ -] z 8 dlší příkld v příslušných kpitolách doporučených učebnic Doplnění shrnutí učiv Příkld n procvičování opkování příprvu n písemný test: ) kvdrtické rovnice: 0 8 0 0 0 0 0 7 0 0 7 0 8 0 00 0 9 0 0 0 ) )( ( ) ( ) lineární rovnice lineární nerovnice: 0 () (-) 7 7 ( ( > 8 < 8 ) soustv lineárních nerovnic: ) ( ) () > ( ) ( ) b) < < c)
- 9 - ) nerovnice součinového podílového tpu: (-)() > 0 (-)() < 0 < 0 0 0 > 0 - ) rovnice nerovnice s bsolutní hodnotou: - < - 7 > 7- < - < - - < - - > - < - - - - - 8 ) ircionální rovnice - 7) soustv lineárních rovnic - z - z z -8 z z - z 0 z z 7 z Závěrečný test pro druhé pololetí bude obshovt šest příkldů kždý bude z ) i z b): Zkoušení z mtemtik n konci pololetí se skládá z písemného testu dob trvání si minut - následného ústního zkoušení Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu b student mohl vkont ústní zkoušku z mtemtik k níž se doství osobně pk teprve bude klsifikován z mtemtik ve pololetí - konec tetu -