PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude málo bodů z testů) Modely operačního výzumu Optmalzační modely Dstrbuční a dopravní modely Plánování a řízení projetů eore rozvrhování Modely struturální analýzy Smulační a stohasté modely eore rozhodování a teore her Optmalzační modely Cílem je najít řešení splňujíí omezujíí podmíny a optmalzujíí hodnotu rtéra. Dstrbuční a dopravní modely Řešení problémů spojenýh s dopravou, dstrbuí nebo přřazováním. Plánování a řízení projetů Umožňují časovou, náladovou a zdrojovou analýzu projetů - proesů, ve terýh probíhá víe operaí, teré jsou na sobě závslé eore rozvrhování Časové a prostorové uspořádání průmyslovýh operaí z mnoha různýh hledse. Modely struturální analýzy Blanují vztahy mez produí jednotlvýh hospodářsýh odvětví a vyhledávají rovnovážný stav systému. Smulační modely Napodobují jednotlvé roy hování zoumaného systému. Stohasté modely Popsují výsledy systémů se stohastým hováním, nolv jejh jednotlvé roy. eore rozhodování a teore her Modelování onfltníh stuaí. Vznly z potřeby modelovat hování hráčů hazardníh her. OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh pef-nfo.wz.z - - Chrsty
Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru př. půjdu s oupt rohlíy h mn 2, jeden stojí,5 2 ena mn,5 mnmum v - - to není možné, proto omezení defnčního oboru - úloha na vázaný etrém y,5 2 Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (, 2,..., n ) R n }, f() a q () jsou reálné fune víe proměnnýh a je prve vetorového prostoru R n. Optmalzační úloha Záladní prvy optmalzačního modelu proměnné - proesy omezujíí podmíny rterální - účelová fune Záladní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optmální řešení Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody pef-nfo.wz.z - 2 - Chrsty
Nalezení přípustného řešení Problém - neonvenost množny přípustnýh řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, ja najít to optmální. Nalezení etrému účelové fune Problém - neonvenost účelové fune - loální a globální etrémy. Kterým směrem postupovat optmálnímu řešení? hledáme-l mnmum - neonvenost hledáme-l mamum - neonávnost Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Numeré metody Gradentní metody + + λ.s s...směr, λ...doba,...bod ze terého vyjdeme, +...bod de sončíme Penalzační a barérové metody mn {f() + p () R n } Heursté metody metoda OP WENY pef-nfo.wz.z - 3 - Chrsty
LINEÁRNÍ OPIMALIZAČNÍ MODEL Obsah Cíl modelu Defne modelu Grafé zobrazení modelu Záladní pojmy Záladní věty Cíl lneárního optmalzačního modelu Optmální rozsahy proesů Splnění omezení Mamalzae č mnmalzae hodnoty rtéra Přílad Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere 35 5 2 Kol mnmálně rozřezat dese? Defne modelu Všehny prvy modelu jsou vyjádřeny pomoí lneárníh funí z( ) MIN A b -> rtérum -> optmalzační podmíny... ena proměnné, rterální oefent proměnné - proesy (jednoty) omezujíí podmíny - zformulujeme pomoí lneárníh rovn a nerovn rtérum - taé podle lneární fune lneární fune a lneární rovne a nerovne Přílad - počet rozřezanýh dese podle plánu A 2 - to samé podle plánu B 3 - to samé podle plánu C. +. 2 +. 3 MIN. + 5. 2 + 4. 3 35. + 5. 2 +. 3 2,2,3 2 3 5 4 > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z - 4 - Chrsty
Grafé zobrazení modelu Prostor řešení - prostor proměnnýh Zobrazují se jednotlvé omezujíí podmíny Krterální fune - směr růstu Metody operačního výzumu Konvení polyedr Polyedrý užel Konvení polyedr Δf() Polyedrý užel Δf() Přílad 3 Prostor řešení neuvažujeme řezný plán A 2 2 5 X opt obdélníy čtvere rtérum 2 3 4 5 pef-nfo.wz.z - 5 - Chrsty
Grafé zobrazení modelu Prostor požadavů - prostor vetorů oefentů jednotlvýh proměnnýh transformovanýh na jednotovou enu Složením vetorů musí být vetor pravýh stran n j a j j b Optmální řezný plán Prostor požadavů 4 35 3 25 2 2 3 b 5 5 Dvě možnost 2 3 4 Záladní pojmy Přípustné řešení - množna přípustnýh řešení - všehna řešení, terá splňují omezujíí podmíny včetně podmíny nezápornost Bázé řešení (vrhol) - řešení, ve terém požadavové vetory nenulové proměnné jsou lneárně nezávslé - odpovídají vrholům přípustnýh řešení Optmální řešení - nejlepší přípustné řešení Alternatvní řešení - další optmální řešení Suboptmální řešení - pod optmálním - blíží se optmálnímu, ale hodnota rtéra je horší Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení pef-nfo.wz.z - 6 - Chrsty
Záladní věty Metody operačního výzumu Má-l úloha LP přípustné řešení, má přípustné bázé řešení. Má-l úloha LP optmální řešení, má optmální bázé řešení. Řešení úlohy LP leží vždy na hran množny přípustnýh řešení. Má-l úloha LP víe než jedno optmální řešení řešení, je optmálním řešením jejh onvení ombnae. SIMPLEXOVÝ ALGORIMUS Obsah Defne lneárního optmalzačního modelu Soustava omezujííh podmíne Smpleový algortmus Řešení modelu Lneární optmalzační model Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení Soustava omezujííh podmíne Numery umíme řešt pouze soustavy lneárníh rovn, nolv nerovn Jordanova elmnační metoda bázé řešení A b převedeme na A ~~ b Kapatní podmíny A b A + Ed b, d doplňové proměnné A Ed b Požadavové podmíny A b A - Ed + Ep b, d doplňové proměnné A -Ed Ep b pef-nfo.wz.z - 7 - Chrsty
Podmíny v rovnovém tvaru b, p pomoné proměnné ostup řešení modelu IMPLEXOVÝ ALGORIMUS íh podmíne - Jordanova elmnační metoda ordanova elmnační metoda ráenou hodnotou řídíího prvu.. ázé řešení soustavy rovn - mate soustavy obsahuje jednotovou submat určení, blanční a pod. A b A + Ep P S - Nalezení řešení soustavy omezují - Nalezení optmálního řešení J Povolené elmnační úpravy Násobení řídíí rovne přev Přčtení vhodného násobu řídíí rovne upravované rovn B Kanoný tvar Proměnné s jednotovým vetory - bázé Jestlže A (A N, E), ( N, B ) (, b), pa B A. A N. N + E. B b B est optmalty? ární ombnae j... ena testované proměnné z j - j né v mat Celov o neladné) odvození Estuje lepší řešení Cena evvalentní lne z j - j Σ α j. - j sutečná ena nžší než bázá α j... sloupe testované proměn z j - j sutečná ena vyšší než bázá á změna eny - j.(z j - j ) Nutně musí být j nezáporné (neb - N B A N E b A Ep b p N ), ( ), β β + + p p p p p p ) ( p p p ),,, ( ), ( α β + + + ) ( ) ( ),, ( ) ( p p p p α β α β B B B B N + + + + + + + p p z z z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + α α β α β B B B B p p ( B z B B B B N B B N B N B N z N N pef-nfo.wz.z - 8 - Chrsty
est přípustnost Splnění omezujííh h podmíne Nezápornost řešení pro vybrané j b - α j. j - odvození α j >... j b j / α j α j... platí vždy β α β α, B. Metody operačního výzumu poud α pa β α S mpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty est přípustnost Nové bázé řeše ní - JEM S mpleová tabula A B b Optmální řezný plán 2 3 d d2 p p2 b p 5 4 - p2 35 5-2 5,74286 349 99 49 - - 3 p 5 4-2,42857,34286 -,2857,2857 5,74286 4 49,4286 39,3429 - -,2857-9,9743 5,74 2,8 -,2,2 2 25,2,2857 -,2857 -,2857,2857 2,85743 4,2857 -,743 -,2857-9,82857-9,9743 22,8574 pef-nfo.wz.z - 9 - Chrsty
Optmální řezný plán 2 3 d d2 b 2,8 -,2 2,2,2857 -,2857 2,85743 -,743 -,2857 22,8574 2-4 -,3429,4286 8,57429 3 5,42857 -,4286 4,2857 Optmální řešení: 2,857 dese podle prvního řezného plánu - alternatva dese 2 dese podle druhého řezného plánu - alternatva 8,57 dese dese podle třetího řezného plánu - alternatva 4,28 dese Optmalzae portfola dománost Dománost he uložt své volné fnanční prostředy do něterého z následujííh atv: - ae - termínovaný vlad - podílový lst podílového fondu nebo je nehat doma v hotovost K dspoz má Kč. Portfolo nesmí přeročt stanovenou míru rza, musí být dostatečně lvdní a dománost musí mít požadovanou úroveň zušeností s jednotlvým typy produtů. Cílem je dosáhnout mamálního výnosu elého portfola. Podladové údaje jsou v tabule: Na Kč Ae ermínovaný vlad Podílový lst Slamní Omezení Jednota Rzo,5, ma. body Lvdta 8 2 ma. 5 dny Zušenost, 8, mn. 3 body Zs,2,7, 5, MAX t s. Kč pef-nfo.wz.z - - Chrsty
.. Ae 2.. V 3.. PF 4 slamní Kč Kč Kč Kč,2,,5-2 3 4 d d2 d3 d4 p4 b d d2,5, d3 8 2 5 -- - p4, 8, - 3 3-33 zj - j -2,2-8 -2,5 - -3 3 d,99,2,99, -, 997 4985 d2,42, -, 7 666,667 d3 8 2 5 27,77778 4,,8, -,, 3 375 zj - j -,9-7,2 -,4 -,, 3 3 7 d,98,99 -, -, 996994,4 933 99633 d2 9,98,99 -, -, 688,3333 692,256-7,7,7 2,6,, 27,77778 25-78,354 2 4 -,3 - -,, 2977,778 268 3724,4 2977 zj - j 999,9 43, -,4, -,, 35,75 d -8,93 -,99,9 -,9 9963,6 625,5 3, -, -, 692,256 68833,7 2 -,6 -,, - 2,864 --- 4 -,5 - - -,, 2977,9 --- zj - j,47,7,44 - -,9,9 3724,4 d -98,8-8,96 -,2 99, 44555 d4 998 99,4 -,23-68833,33-295,7 2,6,, 27,77778 5 4 99,7 9,94 -,3 986, -355 zj - j 99,82,7 8,96 -,2 9889,83 d -99-4 -9-99 d4 42 99,9-7 d3 8 2 5 4 5 zj - j,278 5 8,95 5-99 -4-9 - 99 8 2 5 999,9 42 99,9-7 B B-, - - - pef-nfo.wz.z - - Chrsty
ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO OPIMALIZAČNÍHO MODELU Obsah Formulae modelu Výpočet modelu Optmální řešení Alternatvní řešení Suboptmální řešení Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám pravýh stran Změny formulae modelu - rozsahu modelu Formulae (defne) modelu Proměnné - proesy (jednoty) Omezujíí podmíny - soustava lneárníh rovn a nerovn Krtérum - účelová fune (lneární) Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere 35 5 2 Kol mnmálně rozřezat dese? 2 3 5 4 > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > Smpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty - proměnná zařazovaná do báze - vybere proměnou, jejíž ena je výhodnější než ena bázýh proměnnýh est přípustnost - proměnná vyřazovaná z báze - terý proes bude novým výhodným proesem nahrazen JEM (Jordanova elmnační metoda) - nové bázé řešení Jordanova elmnační metoda - máme pouze dva způsoby ja to provést - řídíí řáde vydělíme řídíím prvem - jedná povolené operae s řídíím řádem - e aždému jnému řádu přčteme řídíí řáde - počítáme špatně - dyž vyjde záporná hodnota na pravé straně - dyž zmzí anoný tvar anoná jednotová báze změna báze nahrazení jednoho bázého vetoru druhým Stentzova věta o výměně mate bázýh vetorů B mate přehodu od báze báz B - pef-nfo.wz.z - 2 - Chrsty
Smpleový algortmus - najít optmální řešení za danýh omezujííh podmíne Metody operačního výzumu Algortmus ončí nalezením optmálního řešení, poud není v báz pomoná proměnná, je to optmální přípustné řešení modelu, poud pomoná proměnná v báz zůstala a je nenulová, neestuje přípustné řešení problému, nebo zjštěním, že účelová fune je neomezená poud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze. Analýza výsledů řešení Do modelu můžeme přdat další podmínu, rovn účelové fune + 2 + 3 z a po úpravě z - - 2-3 z 2 3 5 4 > 35 5 > 2 - -, 2, 3 > Analýza smpleové tabuly Vlv proměnné 3 na optmální řešení Inverzní mate báze B - 2 3 d d2 p p2 b 2,,,8 -,2,,2, 2,,,,2,3 -,3 -,3,3 2,86 z,,, -,7 -,3-9,83-9,97 22,86 Mate Hodnoty z j - j Hodnoty bázýh proměnnýh Hodnota rtéra B A B ~ ( A, E) ( B ~ A, B E) ( B ~ A, B Řešení modelu Optmální řešení - bázé řešení s optmální hodnotou rtéra ve výsledné smpleové tabule Alternatvní řešení - aždé další bázé nebázé optmální řešení, lze odvodt z výsledné smpleové tabuly Suboptmální řešení - bázé nebázé řešení problému s dostatečně dobrou hodnotou rtéra, odvozuje se z výsledné smpleové tabuly Další řešení modelu Interval přípustnýh hodnot nebázé proměnné j, mn α αj j > β est přípustnost Nové řešení bázé nebo nebázé ) pef-nfo.wz.z - 3 - Chrsty
Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 první řezný plán druhý řezný plán třetí řezný plán Optmální řešení 2,86 dese 2 dese dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 2, -4,,, -,3, 8,57 3, 5,,,,4 -,4 4,29,,, -,7 -,3 22,86 Optmální řešení Alternatva první řezný plán 2,86 dese dese druhý řezný plán třetí řezný plán 2 dese dese 8,57 dese 4,29 dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Suboptmální řešení první řezný plán 2,86 -,3 d druhý řezný plán 2 +,2 d přeročení obdélníů z n tervalu, 95.3 Analýza tlvost vzhledem změnám vstupníh dat Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Analýza tlvost vzhledem změnám en Změnu sledované eny j vyjádříme jao + λ j Přepočítáme rt erální řáde a zísáme hodnoty s parametrem λ est optmalty - soustava lneárníh nerovn s parametrem λ Interval stablty - nemění se báze řešení an hodnoty proměnnýh, mění se hodnota rtéra Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Změnu sledované pravé strany b vyjádříme jao b + μ Přepočítáme vetor pravýh stran a zísáme hodnoty s parametrem μ est přípustnost - soustava lneárníh nerovn s parametrem μ Interval stablty - nemění se báze řešení, mění se hodnoty proměnnýh a hodnota rtéra pef-nfo.wz.z - 4 - Chrsty
Přepočet pravýh stran Řešení soustavy lneárníh rovn pomoí JEM - A b - báze B - B - A B - b Parame trzovaný vetor pravýh stran - b + µ bude přepočítán B - (b + µ) Optmální řezný plán Metody operačního výzumu 2 3 d d2 b,,,,, p, 5, 4, -,,, p2 35, 5,,, -, 2, 349, 99, 49, -, -, 3, p, 5, 4, -,,,,,4,3, -,3 5,7, 49,4 39,3 -, -,3 5,7 2,,,8 -,2, 2,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Změna oefentu bázé proměnné - tvoří nový vetor s ostatním bázým vetory opět báz? - Nejlépe přdat nový vetor, novou proměnnou Změna oefentu nebázé proměnné - - Přepočítat vetor pomoí B, test optmalty a případně další výpočet Změny formulae modelu - rozsahu modelu Přdání podmíny Vynehání podmíny Přdání proměnné Vynehání proměnné ( bázá, nebázá) EORIE DUALIY Obsah Dualta Dualta lneárníh modelů vorba duálního modelu Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Duální smpleová metoda Dualta Vztah mez dvěma objety Umožňuje na záladě vlastností jednoho odvodt vlastnost druhého Mamalzační optmalzační model a mnmalzační optmalzační model pef-nfo.wz.z - 5 - Chrsty
Dualta lneárníh modelů A b A b Dualta lneárníh modelů Mate oefentů A v prmárním modelu a mate A v duálním Vetor pravýh stran b v prmárním modelu a vetor en b v duálním Vetor en v prmárním modelu a vetor pravýh stran v duálním yp omezení a typ proměnnýh!!!!!!!!!!!!!! vorba duálního modelu - pravdla pro tvorbu MAX A b A b A b A b lbovolné Ma MIN A b y y y lbovolné y A y A y A y b y Mn Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere 35 5 2 Kol mnmálně rozřezat dese? MODEL 2 3 y 5 4 > y2 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z - 6 - Chrsty
Optmální řezný plán Prmární model Duální model. +.2 +.3 MIN.y + 2.y2 MAX. + 5.2 + 4.3.y + 35.y2 35. + 5.2 +.3 2 5.y + 5.y2,2,3 4.y +.y2 y,2 Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Nehť prmární úloha je mnmalzační a p je její přípustné řešení, nehť současně y p je přípustné řešení příslušné duální úlohy, pa platí p b y p. Mnmum rterální fun e je omezeno zdola mamem sdružené rterální fune a naopa. aže estuje onečné optmální řešení. - Hodnota účelové fune mn. úlohy je vyšší nebo rovna než hodnota fune ma. úlohy Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární úloha má optmální řešení o právě tehdy, dyž má duální úloha optmální řešení y o. Naví platí o b y o. Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y, pro terá platí b y, pa jsou tato řešení optmálním řešením obou úloh. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Věta o dualtě Pro dvoj duálně sdruženýh úloh platí buď: obě úlohy mají přípustná řešení, pa mají optmální řešení nebo jedna z úloh přípustné řešení nemá, pa druhá nemá optmální řešení (buď taé nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účeovou fun) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Krtérum optmalty Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí y (A - b) (A y - ) Je-l pr oměnná bázá, odpovídajíí podmína musí být splněna jao rovne, je-l nebázá, podmína musí platt. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární a duální přípustnost řešení lneární optmalzační úlohy Prmárně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny nezápornost (test přípustnost). Duálně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny optmalty (test optmalty). pef-nfo.wz.z - 7 - Chrsty
Optmální řezný plán Prmární model. +. 2 +. 3 MIN -. 5. 2 4. 3 - -35. 5. 2. 3-2,2,3 duálně přípustné bázé řešení (,, ), d (-, -2) test optmalty z- (-, -, -,, ) Duální model.y + 2.y 2 MAX.y + 35.y 2 5.y + 5. y 2 4.y +.y 2 y,2 prmárně přípustné bázé řešení y (, ), d (,, ) test optmalty z- (-, -2,,, ) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Grafá nterpretae Dualta prostoru řešen í a prostoru požadavů lneární úlohy Prostor řešení prmární úlohy splývá s prostorem řešení duální úlohy a naopa. Grafá nterpretae 34 29 24 Prostor požadavů prmární úlohy 2 3 b d d2 Dualta prostoru řešení a prostoru požadavů Prostor řešení duální úlohy,3,25 9 4,2,5,. omez 2. omez 3. omez Gradent 9,5 4,5,,5,2,25,3-3 5 - pef-nfo.wz.z - 8 - Chrsty
Estene řešení sdruženýh modelů Prmární úloha přípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení nepřípustné řešení Duální úloha přípustné řešení nepřípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení optmální řešení Duální smpleová metoda Prmární SA - prmárně přípustné řešení prmárně duálně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zlepšuje Duální SA - duálně přípustné řešení duálně prmárně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zhoršuje Duální smpleová metoda Podmíny - duálně přípustné a prmárně nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze r mn est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze Optmální řezný plán Prmární smpleová metoda Podmíny - prmárně přípustné a duáln ě nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze pro mamalza z mn z z < s s α α rj < rs z j mn α 2 3 d d2 b d -5-4 - d2-35 -5 - -2 - - - d -5-4 -,4,3 -,3 5,7 -,86 -,69 -,3 5,7 2,8 -,2 2,2,3 -,3 2,86, -,7 -,3 22,86 s rj j s z < j j j j est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze b r b mn s > α α α rs s pef-nfo.wz.z - 9 - Chrsty
OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (,,..., ) R n 2 n }, f() a q oměnnýh a je prve vetorového prostoru R n () jsou reálné fune víe pr. Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody - lneární modely - jsou tam jen lneární fune - nelneární modely - alespoň jedna nelneární fune - onvení model - model jehož množna řešení je onvení, onvení rterální fune u MIN, onávní MAX pef-nfo.wz.z - 2 - Chrsty
Nalezení přípustného řešení Nalezení etrému účelové fune Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Kuhn-uerovy podmíny Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Konvení optmalzační úloha má řešení právě tehdy, dyž estuje vetor u opt a platí opt opt u opt L( opt, uopt ),,...,m u u L( opt, uopt ).,,...,m u opt L( opt j opt, u j opt L( opt, u. j ), j,...,n opt ), j,...,n Kvadratá úloha mn { C + p A b, j, j,..., n, R n } C je mate oefentů vadratýh členů účelové fune, p je vetor oefentů lneárníh členů v účelové fun, A je mate oefentů soustavy omezujííh podmíne a b je vetor pravýh stran těhto podmíne pef-nfo.wz.z - 2 - Chrsty
Wolfeho podmíny Metody operačního výzumu Úprava Kuhn-uerovýh podmíne pro vadratou optmalzační úlohu lneární podmíny A + y b -C - A u + v p, u, v, y nelneární vadraté podmíny u opt y opt + opt v opt Pomoná optmalzační úloha lneární omezujíí podmíny A + y b, C + A u - v + w -p podmíny nezápornost, u, v, y, w účelová fune w + w 2 +... + w n mn. dodatečná nelneární podmína u opt y opt + opt v opt Řešení pomoné optmalzační úlohy Smpleový algortmus pro lneární část Rozšíření testu optmalty vstup proměnnýh do báze Výpočet se lší podle hodnot ve vetoreh p a b Wolfeho algortmus. ro Kuhn-uerovy podmíny 2. ro Wolfeho podmíny 3. ro Pomoná lneární optmalzační úloha 4. ro Optmální řešení původní vadraté úlohy Vetor opt zísaný jao řešení Wolfeho podmíne je optmálním řešením původní vadraté optmalzační úlohy. Hodnotu rterální fune vypočítáme dosazením, tedy z f( opt ) C + p opt. Numeré metody Gradentní metody + + λ.s Penalzační a barérové metody mn {f() + p ) R n ( } Heursté metody DISRIBUČNÍ A DOPRAVNÍ SYSÉMY Obsah Dopravní problémy Zobeněné dstrbuční problémy Přřazovaí problémy Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Metody nalezení výhozího řešení pef-nfo.wz.z - 22 - Chrsty
Dopravní problémy Sutečná přeprava zboží, materálu, ldí o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja (čím) - ndey - Přes o - mezslady - stupně - Kam spotřebtelé -Co (ol) - podle apat a požadavů M S Jednostupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá - Odud - dodavatelé - Kam spotřebtelé - Co (ol) Dopravní (dvoundeová) tabula D S Přeprava e spotřebte lům Přeprava od dodavatelů Dvoustupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů přes mezslady místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se sčítá D - Odud - dodavatelé - Přes o - mezslady - Kam spotřebtelé M - Co (ol) Dvoustupňová (dvoundeová) dopravní tabula S pef-nfo.wz.z - 23 - Chrsty
Přeprava mezsladům Přeprava od dodavatelů Přepravaa od mezsldů Přeprava e spotřebtelům Jednostupňová tříndeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby různým způsoby o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja nebo čím - Kam spotřebtelé - Co (ol) S Jednostupňová tříndeová dopravní tabula Přeprava e spotřebte lům Způsob přepravy Přeprava od dodavatelů Zobeněné dstrbuční problémy Rozdělení práe, materálu apod. Dohází e změně jednote sčítání rozdělovaného množství s různým oefenty pef-nfo.wz.z - 24 - Chrsty
Složtější problémy - obený lneární model Rozdělení práe strojů na obdělání polí (oefenty sčítání výon strojů) Přřazovaí problémy Kapaty požadavy jsou jednotové přřazení buď je nebo není Většnou stejný počet zdrojů a spotřebtelů Rozdělení praovníů po jednom na jednotlvé práe, jejh výon, shopnost jsou různé Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j - hledáme - nde dodavatel, j - nde spotřebtele Mnmalzae eny přepravy - apaty - ol terý dodavatel může dodat služeb atd. Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností 6 23 8 2 7 Z terého sladu mají být podny zásobovány? - tunolometry - dopravní náročnost je vyjádřená množstvím tun na lometr (tuny rát lometry) Jednostupňová dopravní úloha Nelze přeročt an apaty an požadavy Podmíny dodavatelů - nedodá ví než má Σ j j a,,,m Podmíny spotřebtelů - nepřjme ví než he Σ j b j, j,,n Nezápornost j Krtérum Σ Σ j j. j MIN D D D S S S S Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Matematý model + 2 + 3 5 2 + 22 + 23 2 + 2 8 2 + 22 6 3 + 23 5 Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN S pef-nfo.wz.z - 25 - Chrsty
j 6 + 2 +23 3 +8 2 +2 22 +7 23 MIN Matové shéma modelu 2... 2 22... m... mn a a 2... b b 2... Řeštelnost dopravního modelu Frobenova věta - požadave vyváženost Omezujíí podmíny jsou vždy řeštelné Bázé řešení - počet bázýh proměnnýh Lneární závslost tras Vyváženost systému elová apata dodavatelů se rovná elovému pozadavu spotřebtelů Σ j a Σ j b j ftvní dodavatel - a m+ Σ j b j - Σ j a (hybí dodávy) ftvní spotřebtel - b n+ Σ j a - Σ j b j (hybí spotřeba) Jednostupňová dopravní tabula Řády - dodavatelé Sloupe spotřebtelé Pole - trasa P P2 P3 S 6 23 5 S2 8 2 7 2 8 6 5 Systém nutno vyvážt Výhozí řešení Záladní prnp - volba jednotlvýh tras a vyčerpání dodávy č uspoojení požadavu Obeně v aždém rou je vyčerpán dodavatel nebo naplněn požadave Volba trasy Mamální přepravované množství je dáno zbývajíí apatou dodavatele nebo zbývajíím požadavem spotřebtele Úprava apat nebo dodavatelů Výhozí řešení Metody, ja postupně vybírat trasy pef-nfo.wz.z - 26 - Chrsty
Metoda severozápadního rohu Indeová metoda Vogelova apromační metoda Habrova frevenční metoda Nejjednodušší metody Metoda severozápadního rohu Vždy se volí volná trasa na severozápadě tabuly Indeová metoda (nejmenší eny) Vždy se volí volná trasa s nejnžší sazbou Vogelova apromační metoda Volba tras s největší dferení a nejlepší sazbou Mnmalzae ztráty z použtí nevhodného spoje - trasy Vogelovy dferene - rozdíl mez nejlepší a druhou nejlepší sazbou Čím vyšší dferene, tím větší ztráta hrozí Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM P P2 P3 PF Dferene S 8 6 6 23 5, 5, 7 S2 8 2 4 7 6 2 7, 8 6 5 6 Dferene 2 9 6 DOPRAVNÍ ÚLOHA Postup řešení a analýza výsledů Obsah Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Duální model est optmalty est přípustnost Algortmus řešení Analýza výsledů Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j Mnmalzae eny přepravy pef-nfo.wz.z - 27 - Chrsty
Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností 6 23 8 2 7 Z terého sladu mají být podny zásobovány? Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN Matematý model + 2 + 3 5 2 + 22 + 23 2 + 2 8 2 + 22 6 3 + 23 5 j 6 + 2 +23 3 +8 2 +2 22 +7 23 MIN Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM Metody operačního výzumu P P2 P3 PF Dferene S 8 6 6 23 5, 5, 7 S2 8 2 4 7 6 2 7, 8 6 5 6 Dferene 2 9 6 Matové shéma modelu 2... 2 22... m... mn u u 2... a a 2... v v 2... b b 2... 2... 2 22... m... mn Duální model u + v j j,,..., m, j,...,n Σ a.u + Σ j b j.v j MAX pef-nfo.wz.z - 28 - Chrsty
Krtérum optmalty Metody operačního výzumu Využtí výsledů teore dualty v dopravníh modeleh Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a ní duální úloha přípustné řešení u,v. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) Krtérum optmalty Využtí v algortmu tato Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a nehť platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) oto řešení je optmální řešení dopravní úlohy právě tehdy, dyž u,v jsou přípustným řešením duální úlohy. est optmalty řešení Lze najít lepší řešení - vztah mez sazbam Metoda MODI a) u + v j j pro (,j) B B je množna bázýh tras, bázýh proměnnýh j b) z j - j u + v j - j pro všehny trasy (,j) Cena evvalentní ombnae přeprav z rs r + j -... + ls trasa (r,s) je nepoužtá trasa, z rs vyhází z možné úpravy řešení Degenerae řešení Degenerované řešení Nedegenerované řešení Odstranění degenerae Metoda MODI a degenerae řešení - počet duálníh proměnnýh m+n - počet bázýh proměnnýh - řešení soustavy m+n rovn pro m+n proměnnýh u + v j j pro (,j) B Rozvoz hnojv est optmalty P P2 P3 PF S 8 6 6 23 6 S2 první ro druhý ro -8 8-5 2 4 7 6-6 Nové řešení - test přípustnost 6 23 6 u + v 6... + v 6... atd. ověření, že platí u + v j j pro všehna, j Změna přepravního plánu - vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras - od aždého dodavatele v sumě stejně - aždému spotřebtel v sumě stejně - v aždém řádu a sloup dopravní tabuly musí být suma změn rovna nule Σ j Δ j,,,m Σ Δ j, j,,n pef-nfo.wz.z - 29 - Chrsty
Nové řešení - test přípustnost Změna přepravního plánu vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras Metody operačního výzumu v dopravní tabule musí být v aždém řádu a aždém sloup dvě trasy pro vyrovnání změny nebo žádná Dodavatel Spotřebtel Rozvoz hnojv Nalezení nového řešení M P P2 P3 PF S 8 6 6 23 6 M -8 8-5 2 S2 4 7 6 6 23 6 Rozvoz hnojv est optmalty Optmální řešení -6 S 8 P P2 P3 PF 6 6-6 23-2 8-9 2 S2 5 7 5 6 7 Algortmus řešení Podmíny algortmu - vyváženost Výhozí bázé řešení est optmalty - metoda MODI est přípustnost - Dantzgovy oruhy Přehod na nové bázé řešení Analýza výsledů Optmální řešení - odud, am, ol a zač? Alternatvní řešení Suboptmální řešení Perspetvta tras - suboptmální řešení - analýza hodnot z j - j Propustnost tras - substtue tras - možnost nebázýh přeprav - uzavřené oruhy Rozvoz hnojv Analýza optmálního řešení Zásobování S - P, P2, nevyužtý S2 - P3, nevyužtý Dopravní nálady 8.6 + 6. + 5.7 449 P P2 P3 PF S 8 S2 6 6-6 23-2 8-9 2 5 7 5 6 7 pef-nfo.wz.z - 3 - Chrsty
Rozvoz hnojv Analýza propustnost tras S - P3: propustnost, substtuuje trasu S-PF S2 - P propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF S2 - P2 propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF vysoá propustnost - 5 a víe nízá propustnost - méně než 5 S 8 P P2 P3 PF 6 8 6 S2 5 5 5 7 5 6 7 2 23 Rozvoz hnojv Analýza perspetvty řešení hodnoty, 2, 6, 9 vysoe perspetvní trasa... perspetvní trasa... neperspetvní trasa... S S2 P P2 P3 PF 6-6 23-2 8-9 2 7 6 7 Rozvoz hnojv Analýza perspetvty a propustnost tras 8 6 4 2 P P2 P3 PF 6 4 2 8 6 4 2 S-persp S2-persp S-prop S2-prop DÚ: Do příštího pátu, zadání s vymyslet VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení pef-nfo.wz.z - 3 - Chrsty
Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z ( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere 35 5 2 K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Záladní pojmy Ideální a bazální varanta - bazální řešení - má nejhorší hodnoty o terýh jsme ohotn uvažovat Domnane řešení - jedno řešení domnuje druhé řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I pef-nfo.wz.z - 32 - Chrsty
Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 - a a a2 jsou nedomnovaná a domnují a3 a a4 - a3 a a4 jsou vzájemně nedomnovaná - a a a2 jsou paretovsým řešením D a 3 a 4 - D - bazální řešení - H - deální řešení - ompromsní řešení - blízé deálnímu - vybráno bude řešení podle toho, teré rtérum je pro nás důležtější Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - preferene mez rtér - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma - vyjádření pořadím ardnální nformae - vanttatvní - víme o je důležtější a olrát Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j Dílčí optmalzae ( ) j MAX A b Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému pef-nfo.wz.z - 33 - Chrsty
Dílčí řešení Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam v j j Z( ) v C MAX j A b Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - - - MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z - 34 - Chrsty
Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a a a 2 z 2 z 2 () z 2 z pef-nfo.wz.z - 35 - Chrsty
Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Dese méně než 3,666667 28,33333 3 4, 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena y + d d + y Cílové programování ;d,d + d d, + Z(d) (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + d - a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + pef-nfo.wz.z - 36 - Chrsty
Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů 5 4-25 Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Dese méně než 3,666667 28,33333 3 4, 6667 Cíl 3/25 5 5 25 VÍCEKRIERIÁLNÍ ANALÝZA VARIAN Obsah ypy modelů víerterálního rozhodování Záladní pojmy ypy nformaí Cíl modelů Užte, fune užtu Grafé zobrazení Metody víerterální analýzy varant ypy modelů Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model y( ) MAX y ( ) MIN A b pef-nfo.wz.z - 37 - Chrsty
Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí a a a 2 p f y y 2 yp f y y y 2 2 22 p2 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení f y y 2 y p Ideální a bazální varanta Metody operačního výzumu Ideální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované ve všeh rtéríh současně nejlepším možným hodnotam. - varanta H s ohodnoením (h,..., h ) Bazální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované nejhorším ohodnoením podle všeh rtérí. - varanta D s ohodnoením (d,..., d ). Domnane řešení V této defn předpoládáme všehna rtéra mamalzační. Varanta a domnuje varantu a j, jestlže pro její ohodnoení platí (y, y 2,, y ) (y j, y j2,, y j ) a estuje alespoň jedno rtérum f l, že y l > y jl. Řešení je nedomnované (efetvní) řešení problému, poud neestuje žádné jné řešení, teré by jej domnovalo. Paretovsé řešení Varanta (řešení), terá není domnovaná žádnou jnou varantou, je nedomnovaná varanta, často se též nazývá efetvní nebo paretovsá. (Wlfredo Paretto) Kompromsní řešení Kompromsní varanta (řešení) má od deální varanty (řešení) nejmenší vzdálenost podle vhodné metry (měřenou vhodným způsobem). Kompromsem může být zanedbání něterýh rtérí. Cíl řešení modelů Nalezení jedné ompromsní varanty, ompromsního řešení (Nalezení určtého počtu ompromsníh varant) Rozdělení řešení na efetvní a neefetvní Uspořádání všeh řešení od nejlepšího nejhoršímu Problémy umožňujíí ompenza a problémy nepovolujíí ompenza Užte, fune užtu Každé ohodnoení varanty je možno vyjádřt ve formě užtu, terý tato varanta přnáší pef-nfo.wz.z - 38 - Chrsty
Dílčí hodnoty užtu lze sloučt do elového užtu varanty a podle toho varanty vybírat Fune užtu Fune užtu převádí ohodnoení řešení do ntervalu, Podle jejího tvaru lze haraterzovat rozhodovatele Přístupný rzu Neutrální rzu Odmítajíí rzo Grafé zobrazení problému I f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Grafé zobrazení problému II f S a a 2 S a a 2 Modely víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí - rterální mate a a a 2 p f y y 2 yp f y y y 2 2 22 p2 f y y 2 y p pef-nfo.wz.z - 39 - Chrsty
Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn ypy nformaí Inter a ntra rterální preferene - Preferene jednotlvýh rtérí - Hodnoení varant podle aždého rtéra žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání ardnální nformae - vanttatvní Metody vantfae nformae Metoda pořadí - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum bude první v pořadí Bodovaí metoda - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum dostane nejvíe bodů Párové porovnávání - porovnává se důležtost rtérí č ohodnoení varant podle jednotlvýh rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor Součet Váhy Cena 3,3 Výon 3,3 Hmotnost 2,2 Názor 2,2 Metody řešení problému Informae o atrbuteh Metody řešení Žádná Nomnální Ordnální Kardnální Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní Metoda váženého součtu Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Informae o alternatváh Ordnální Kardnální Bodovaí metoda, metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní metoda ORESE Metoda váženého součtu, Saatyho metoda metoda OPSIS Jednotlvé varanty budou ohodnoeny pořadovým čísly mez a počtem varant Jednotlvé varanty budou ohodnoeny podle jednotlvýh rtérí vždy ve stejné bodové stupn, např. až pef-nfo.wz.z - 4 - Chrsty
Pořadí nebo body se sečtou Oba postupy mohou být rozšířeny o váhy rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Metoda pořadí Součet 722 S 3 3 8 726 D 2 2 2,5 2 8,5 735 S 3 2,5 7,5 Metoda aspračníh úrovní Konjuntvní metoda - přpustíme pouze varanty, teré splňují všehny asprační úrovně Dsjuntvní metoda - přpustíme všehny varanty, teré splňují alespoň jeden požadave Iterační postup - zpřísňování nebo uvolňování aspračníh úrovní Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Asprační úrovně,-,7 W/mn 6 nevím 722 S 726 D 735 S 722 S 726 D 735 S,-,7 W/mn 6 ne Metoda váženého součtu Převedeme mnmalzační rtéra na mamalzační podle vztahu y ma(y ) j,...,s j y j Určíme deální varantu H s ohodnoením (h,..., h ) a bazální varantu D s ohodnoením (d,..., d ). Vytvoříme standardzovanou rterální mat R, jejíž prvy zísáme pomoí vzore yj d j rj h j d Pro jednotlvé varanty vypočteme užte j u(a ) v r Varanty seřadíme sestupně podle hodnot u(a ). j j j pef-nfo.wz.z - 4 - Chrsty
Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 726 D 735 S 96 9 295,7,8, 5,8 6,2 6,2 2 3 mn ma mn ma Metody operačního výzumu 335,7,4 25,8 2, 3 D,7 H 335,,4 3 Součet 722 S 726 D 735 S,694,25,5,5,358582,5,3,3,2,2 VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere 35 5 2 K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z - 42 - Chrsty
Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma ardnální nformae - vanttatvní Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru pef-nfo.wz.z - 43 - Chrsty
- Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Metody operačního výzumu Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j ( ) j MAX A b Dílčí optmalzae Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Dílčí řešení Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam pef-nfo.wz.z - 44 - Chrsty
v j j Z( ) v C MAX j A b Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - - - MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) - pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) pef-nfo.wz.z - 45 - Chrsty
z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a 2 a a z 2 z 2 () z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Dese méně než 3,666667 28,33333 3 4, 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena + d y d ;d,d + d d, + y + pef-nfo.wz.z - 46 - Chrsty
Cílové programování Z(d) d - (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů 5 4-25 Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2,85743 2 22,8574 Ma obdélníů 7 7 35 Ideální řešení 22,8574 35 Bazální řešení 7 Agregae 5: 4 4 2 Dese méně než 3,666667 28,33333 3 4, 6667 Cíl 3/25 5 5 25 EORIE ROZHODOVÁNÍ Obsah Formulae rozhodovaího modelu Rozhodování za jstoty, rza a nejstoty Možnost řešení rozhodovaího modelu Krtéra řešení rozhodovaího modelu Rozhodovaí a pravděpodobnostní stromy eore her Nalezení optmální stratege v hazardníh hráh Model onfltní stuae John von Neumann, Osar Morgenstern - 928 Eonomé hování - volba alternatvy rozhodnutí Rozhodovaí modely Volba nejlepšího rozhodnutí ovlvňovaného budouím stavem světa pef-nfo.wz.z - 47 - Chrsty
Většnou neopaovatelné stuae Alternatvy rozhodnutí Stavy oolností Rozhodovaí tabula - výplaty pro ombnae alternatva/stav oolností Rozhodovaí rtérum Jstota, rzo a nejstota Rozhodovaí tabula Stavy oolností s s 2... s n a v v 2... v n Alternatvy a 2 v 2 v 22... v 2n............... a m v m v m2... v mn Rzo p p 2... p n Volba stratege frmy Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena Pravděpodobnost,4,2,4 Jstota, rzo a nejstota rozhodování s jstotou pravděpodobnost realzae jstého stavu oolností je rovna a pravděpodobnost ostatníh stavů oolností jsou rovny nule rozhodování s rzem pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou odhadovány č známy rozhodování za nejstoty pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou neznámé Možnost řešení rozhodovaíh modelů Volba domnantní alternatvy Volba nejvýhodnější alternatvy Volba alternatvy podle nejvyššího užtu Volba domnantní alternatvy (ma) Domnane podle výplat: a I domnuje Dom nane podle stavů oolností : a I domnuje a K a K mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj vij vkj j, j,..., n Dom nane podle pravděpodobností : a I domnuje a K P( v ) P( v ) I K pef-nfo.wz.z - 48 - Chrsty
Domnane podle výplat,2,8,6 mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj,4,2 mn ma ANO,7 NE,6, Domnane podle stavů oolností,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE vij vkj j, j,..., n velý střední malý Domnane podle pravděpodobností,2,8,6 P( v ) P( v ) I K,4,2 ANO NE,2,4,6,8,2 Volba nejvýhodnější alternatvy Rozhodování za jstoty Rozhodování za nejstoty - mamaové pravdlo - Waldovo - mamnové pravdlo - Savageovo pravdlo mnmální ztráty - Laplaeovo pravdlo nedostatečné evdene - Hurwtzovo pravdlo Rozhodování za rza - pravdlo EMV - očeávané hodnoty výplaty - pravdlo EOL - očeávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení asprační úrovně pef-nfo.wz.z - 49 - Chrsty
Volba stratege za jstoty Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena a I : v IJ ma v,...,m J Pravděpodobnost,4,2,4 Volba stratege za nejstoty Zájem velý střední malý MAXIMIN MAXIMAX LAPLACE Kontrola valty ANO,95,7,7,883 Kontrola valty NE,,8,6,6,,8333333 SAVAGE Kontrola valty ANO,, Kontrola valty NE,5,,5 a a I I : : v v IJ IJ ma mn,...,m j,...,n ma ma,...,m j,...,n v v j j a I : v I n ma n v,...,m j j a I : z IJ mn ma ( ma,... m j,..., n,..., m v j v j ) Volba stratege za nejstoty ma mn HURWICZ Kontrola valty ANO,7,7,79,88 Kontrola valty NE,,6,6,75,9, t,3,6,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE a + I : vi ma (t.h ( t).d ),...,m d h mn v j,...,n j,...,n j ma v j,2,4,6,8,2 pef-nfo.wz.z - 5 - Chrsty