2. Vícekriteriální a cílové programování

Transkript

1 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě jao v úlohách matematcého programováí. Za předpoladu learty omezujících podmíe účelových fucí se mluví o úlohách vícerterálího leárího programováí. Tuto úlohu můžeme matematcy formulovat ásledově: maxmalzovat za podmíe z = c x c 2x 2... c x, z 2 = c 2 x c 22x 2... c 2x, : (2.) z = c x c 2x 2... c x, a x a 2 x 2... a x b, a 2 x a 22 x 2... a 2 x b 2, : (2.2) a m x a m2 x 2... a m x b m, x j 0, j =, 2,...,. Symbol maxmalzace je úmyslě uvede v uvozovách, protože elze jedozačě defovat, co se rozumí současou maxmalzací ěola rte-rálích fucí. Úlohu (2.) - (2.2) je možé zapsat matcově: maxmalzovat z = c x, z 2 = c 2 x, : (2.3) z = c x, za podmíe x X = { x R Ax b, x 0), (2.4) de c, =,2,..., je vetor ceových oefcetů -té účelové fuce. Podobě jao v úlohách VHV je možé v úloze vícerterálího leárího programováí (VLP) defovat vztah edomovaost ebo dom-ovaost mez dvěma přípustým řešeím a edomovaé řešeí úlohy VLP. Lbovolé přípusté řešeí x p X je charaterzováo vetorem rterálích hodot (c x p, c 2 x p,..., c x p ). Jestlže x p X a x q X jsou lbovolá přípustá řešeí úlohy VLP, potom mohou astat ásledující možost: řešeí x p domuje řešeí x q, jestlže platí (c x p, c 2 x p,..., c x p ) (c x q, c 2 x q,..., c x q ), de relace vylučuje rovost obou vetorů, řešeí x q domuje řešeí x p, jestlže platí (c x q, c 2 x q,..., c x q ) (c x p, c 2 x p,..., c x p ), de relace vylučuje rovost obou vetorů, řešeí x p a řešeí x q jsou avzájem edomovaá.

2 2 2. Vícerterálí a cílové programováí Říáme, že řešeí x p X je edomovaým řešeím úlohy VLP, poud eexstuje jé přípusté řešeí, teré by jej domovalo. Cílem př řešeí taové úlohy je zpravdla alezeí ějaého ompromsího řešeí podobě, jao tomu bylo př aalýze úloh VHV. Je užtečé s uvědomt, že ompromsí řešeí musí být vždy řešeím edomovaým. Pro výpočet ompromsího řešeí úlohy VLP je možé použít ěol záladích prcpů. Všechy z ch zpravdla vedou řešeí jedé č ěola stadardích úloh leárího programováí. Toto řešeí se provádí běžým postupy pro řešeí leárích optmalzačích úloh.. Prcp agregace účelových fucí Teto prcp je založeý a ohodoceí důležtost rterálích fucí váham v, v 2,..., v, Σv =. Místo úlohy (2.3) - (2.4) se potom řeší běžá úloha leárího programováí: maxmalzovat z = v c x, (2.5) = za podmíe (2.4). Za předpoladu ezáporost všech vah účelových fucí lze sado doázat, že tímto způsobem zísáme vždy edomovaé řešeí. 2. Kompromsí řešeí podle mmálí ompoety Cílem tohoto prcpu je alézt taové ompromsí řešeí, teré bude maxmalzovat mmálí, tedy ejhorší, hodotu ze všech rterálích fucí. Ozačíme-l tuto mmálí ompoetu δ, potom lze ompromsí řešeí podle mmálí ompoety ajít jao řešeí ásledující úlohy leárího programováí: maxmalzovat δ, za podmíe (2.6) c x δ, c 2 x δ, : c x δ, x X. 3. Mmalzace vzdáleost od deálích hodot Ideálí hodotu pro -tou účelovou fuc ozačíme z opt. Jedá se o optmálí hodotu této účelové fuce a možě přípustých řešeí. Ideálí hodotu by bylo možé zísat optmalzací příslušé rterálí fuce. Př použtí tohoto prcpu hledáme taové ompromsí řešeí, teré bude mmalzovat vážeý součet odchyle od deálích hodot. Budeme tedy řešt úlohu LP:

3 3 mmalzovat opt z = v (z c x), (2.7) = za podmíe x X, de v > 0, je váha -té účelové fuce. 4. Cílové programováí Pro zísáí ompromsího řešeí úlohy VLP se velm často používá cílové programováí. Záladí prcpy cílového programováí acházejí uplatěí v ěterých modelech aalýzy obalu dat, teré byly probráy rověž v tomto tématu Úloha cílového programováí obsahuje v typcém případě ěol záladích částí:. Pevé cíle jsou podmíy, teré jsou vyjádřey ve formě erovc ebo rovc a teré musí být v modelu respetováy, tz. elze aceptovat taové řešeí, teré by ěterý z pevých cílů esplňovalo. V matematcém vyjádřeí mají volé cíle podobu omezujících podmíe v běžé úloze leárího programováí, tj. a x b, j j =,2,..., m. 2. Volé cíle jsou podmíy, teré jsou blací mez hodotou levé stray omezující podmíy a mez zadaou cílovou hodotou. U volých cílů se používají pro vyjádřeí ladých a záporých odchyle od daých cílových hodot odchylové proměé. Záporé odchylové proměé od -té cílové hodoty budeme ozačovat d, ladé odchylové proměé d. Obecý záps -tého blačího omezeí může tedy vypadat ásle-dově: cj x j d d = g, =,2,...,. de c j x j je levá straa omezující podmíy a g je příslušá cílová hodota. 3. Účelová fuce modelu cílového programováí je obecě vyjádřea jao mmalzace odchyle od zadaých cílových hodot, tj. jedá se o mmalzac odchylových proměých. Do účelové fuce lze zahrout buď záporé ebo ladé ebo oba typy odchylových pro-měých: mmalzace záporé odchyly vede zísáí řešeí, teré se zdola co ejvíce přblžuje daé cílové hodotě, může být vša lbovolě vyšší ež tato cílová hodota - použtí apřílad tehdy, vyjadřuje-l cílová hodota požadave a dosažeí zadaé úrově zsu, mmalzace ladé odchyly vede zísáí řešeí, teré se shora co ejvíce přblžuje daé cílové hodotě, může být vša lbovolě žší ež tato cílová hodota - apřílad požadave a zísáí řešeí, teré se co ejvíce přblžuje cílovým áladům, mmalzace součtu ladé a záporé odchyly vede zísáí řešeí, teré se oboustraě co ejvíce přblžuje daé cílové hodotě - apřílad požadave a

4 4 2. Vícerterálí a cílové programováí poud možo co ejúplější využtí ějaého zdroje (aby c ezbylo a ebylo třeba zdroj dodatečě rozšřovat). V jaémolv, velm malém, modelu cílového programováí může být cílů defováo ěol. Ja jsme se jž zmíl v úvodu tohoto oddílu, důležtost těchto cílů může být vyjádřea buď jejch uspořádáímod ejdůležtějšího po ejméě důležtý (lexografcé cílové programováí), ebo pomocí bezrozměrých oefcetů (vah), teré vyjadřují stupeň důležtost splěí cíle. Poud odlšíme důležtost cílů váham, můžeme mmalzovat: o vážeý součet odchyle ebo o maxmálí vážeou odchylu. Př mmalzac vážeého součtu odchyle bude celá úloha cílového programo-váí aformulováa ásledově: mmalzovat z = (v d v d ) = za podmíe (2.8) aj x j b, =,2,...,m, cj x j d d = g, =,2,...,, d 0,d 0,d d = 0, =,2,...,. de v a v jsou váhy, ohodocující důležtost záporých a ladých odchyle volého cíle g. Př mmalzac vážeé maxmálí odchyly se výše uvedeý model bude modfovat ásledově: mmalzovat δ, za podmíe (2.9) aj x j b, =,2,...,m, cj x j d d = g, =,2,...,, 0,d 0,d d = 0, = v d v d δ, =,2,...,, d,2,...,, de proměá δ představuje maxmálí hodotu vážeé odchyly, terou se sažíme mmalzovat. Ve všech uvedeých prcpech je třeba sledovat, zda jsou hodoty dílčích rterálích fucí avzájem srovatelé. Poud tomu ta eí, tz. ěteré hodoty jsou v tsících, jé

5 5 třeba je v jedotách, je třeba výše uvedeé formulace optmalzačích úloh modfovat ta, že váhy účelových fucí v úlohách (2.5) a (2.7) a levou strau omezujících podmíe v úloze (2.6) vydělíme jejch deálím hodotam z opt. Po této úpravě budou všechy deálí hodoty rovy (00 %) a my budeme vlastě pracovat s procetím odchylam. V úlohách cílového programováí (2.8) a (2.9) doporučujeme vydělt váhy odchyle cílovým hodotam a ta vlastě mmalzovat pro-cetí odchyly od cílových hodot, teré jsou jž vzájemě srovatelé. Modely cílového programováí jsou obecější ež stadardí modely LP, protože často sutečě elze jedozačě určt jedé rtérum optmalty. Užvatelům je většou blžší zadáí ějaých žádoucích (cílových) hodot, e terým se v průběhu optmalzace shora č zdola přblžuje. Přílad formulace modelu cílového programováí Uvažujme rozhodovací problém, ve terém se jedá o áup dvou druhů ceých papírů (ace a oblgace). Pro teto áup jsou dspozc prostředy (00%), teré emohou být přeročey, emusí vša být plě vyčerpáy. Očeávaý výos z ací je 5%, z oblgací 0% p.a. Obě vestce jsou oceěy z hledsa rza bezrozměrým oefcetem, terý je u ací 5 a u oblgací 2 (čím vyšší oefcet, tím vyšší rzo). Do ací emůže být vestováo více ež 50% dostupých prostředů, do oblgací maxmálě 75% těchto prostředů. Model by měl avrhout taovou sladbu portfola, terá dosáhe průměrý výos 2% p.a. a vážeá míra rza bude rova 3. V tomto příladu lze zavést dvě proměé, teré budou udávat podíl prostředů vestovaých do ací (x ) a do oblgací (x 2 ). Podle zadáí by pro tyto proměé mělo platt: x x 2, (maxmálě 00% celem), x 0.5, (maxmálě 50% do ací), x , (maxmálě 75% do oblgací), x 0, x 2 0, (podmíy ezáporost). Poud bychom uvedeý model chtěl dále formulovat jao stadardí úlohu leárího programováí, potom máme dvě možost:. K modelu doplt omezující podmíu, terá bude omezovat celové rzo a 3 a maxmalzovat očeávaý výos. K výše uvedeým omezujícím podmíám by se v tomto případě dopllo omezeí 5x 2x 2 3, a maxmalzovala by se rterálí fuce z = 5x 0x 2. Čteář se může přesvědčt, že optmálí řešeí této úlohy je x = /3 a x 2 = 2/3. Př průměré míře rza 3 bude dosaže výos.67% p.a. 2. K modelu doplt omezující podmíu, terá zabezpečí dosažeí mmálího výosu 2% p.a. a mmalzovat celové rzo. Omezující podmía bude mít tvar 5x 0x 2 2. Mmalzovat se bude účelová fuce

6 6 2. Vícerterálí a cílové programováí z = 5x 2x 2. Optmálí řešeí tohoto modelu je x = 0.4 a x 2 = 0.6. Očeávaý výos 2% p.a. bude dosaže př průměrém rzu 3.2. Uvedeý přílad lze vša aformulovat jao úlohu cílového programováí, ve teré budou defováy dva cíle:. dosažeí očeávaého zsu alespoň a úrov 2% p.a. 2. dosažeí průměré míry rza 3. Pro lustrac, záps volého cíle pro očeávaý výos bude v aší úloze vypadat ásledově (cílová hodota je rova 2%): 5x 0x 2 d d = 2. ace (x ) oblgace (x 2 ) výos d Tab Hodoty odchylových proměých. Tabula 2. lustruje a ěola řešeích, jaých hodot abývají odchylové proměé (hodota průměrého výosu je v této tabulce vypočtea jao 5x 0x 2 ). Z údajů v této tabulce je zřejmé, že vždy alespoň jeda z obou odchylových proměých je rova 0. Je-l daá cílová hodota splěa přesě, jsou obě odchylové proměé rovy 0 (d = d = 0). Poud je sutečé plěí cíle žší ež cílová hodota, potom je záporá odchylová proměá větší ež ula (d > 0) a ladá odchylová proměá je ulová (d = 0) a aopa, je-l sutečé plěí cíle vyšší ež daá cílová hodota, potom je ladá odchylová proměá větší ež ula (d > 0) a záporá odchylová proměá je ulová (d = 0). Z uvedeého plye, že pro volé cíle může být levá straa omezeí, a rozdíl od pevých cílů, meší, rova ebo větší daé cílové hodotě (pravé straě). Tato relace závsí a hodotách ladých a záporých odchylových proměých. Soustavu struturích dvou blačích omezujících podmíe (včetě podmíe ezáporost) lze v tomto případě zapsat ásledově: x x 2, x 0.5, x , 5x 0x 2 d d = 2, 5x 2x 2 d 2 d2 = 3, x 0, x 2 0, d 0, d2 0, d 0, d2 0. d

7 7 V účelové fuc (ať už budou cíle odlšey preferecem ebo váham) se bude jedat o mmalzac záporé odchyly od požadovaého výosu, tj. mmalzac hodoty proměé d a zároveň o mmalzac ladé odchyly od požadovaé míry rza, tj. mmalzace hodoty proměé d 2. Př odlšeí cílů pomocí preferecí jsou cíle zařazey do jedotlvých preferečích stupňů - čím vyšší stupeň, tím vyšší míra preferece daého cíle. Řešeí úlohy probíhá potom v ěola rocích. V prvím rou se mmalzuje ežádoucí odchyla od cíle, terý má ejvyšší preferec. Poud se př této optmalzac aleze řešeí, teré eí jedé, potom se a možě optmálích řešeí z prvího rou mmalzuje ežádoucí odchyla od cíle s druhou ejvyšší preferecí atd. Uvažujme ejprve, že prví cíl (dosažeí výosu 2% p.a.) má vyšší důležtost ež cíl druhý (dosažeí míry rza 3). Výpočet bude v tomto případě probíhat ta, že budeme ejprve mmalzovat hodotu odchylové proměé příslušející ejdůležtějšímu cíl - v ašem případě hodotu proměé d. Je-l výsledem této optmalzace jedé optmálí řešeí, potom už dále ve výpočtu emá smysl poračovat, protože druhý cíl v pořadí důležtost elze zřejmě zlepšt bez zhoršeí cíle, terý má důležtost vyšší. Bude-l řešeí alteratví, potom lze ze všech optmálích řešeí vybrat řešeí, teré je elepší vzhledem e druhému cíl v pořadí - v ašem případě se bude mmalzovat hodota odchylové proměé d 2. Celý postup výpočtu je lustrová a obr. 2.. Moža přípustých řešeí je a tomto obrázu zvýrazěa stíováím. Dále jsou zde zaresley dvě přímy 5x 0x 2 = 2 resp. 5x 2x 2 = 3, teré jsou možam bodů, pro teré platí, že očeávaý výos je rove 2% resp. míra rza je rova 3. x 2 5x 0x 2 = x moža x 2 přípustých řešeí zvyšováí výosu x sžováí 5x 2x 2 = 3 rza Obr Řešeí úlohy cílového programováí. Všměte s, že elze dosáhout současě splěí obou cílů, eboť se obě uvedeé přímy protíají mmo oblast přípustých řešeí. Protože dosažeí výosu 2% má vyšší prortu,

8 8 2. Vícerterálí a cílové programováí jedá se př řešeí v prví fáz o alezeí taového řešeí, teré mmalzuje záporou odchylu od staoveého výosu. Taové řešeí exstuje a eí je jedé. Na obr. 2. je vdět, že všechy body, teré leží a hraě určeé body x a x 2, představují řešeí, teré posytuje výos 2% (a obr. 2. je moža těchto bodů zvýrazěa slou čarou). Z těchto řešeí se budeme sažt vybrat taové řešeí, teré mmalzuje ladou odchylu od požadovaé úrově rza 3. Z grafcého zázorěí plye, že tímto řešeím je bod x. Hodoty proměých odpovídajícího řešeí jsou x = 0.4 a x 2 = 0.6. Dosazeím do výosové fuce a do fuce rza s lze ověřt, že výos tohoto řešeí je sutečě 2% p.a. a míra rza je 5*0.4 2*0.6 = 3.2. Míra rza eí tedy a požadovaé úrov, ale řešeí s výosem 2% a s žší mírou rza eexstuje. Př odlšeí cílů váham se aždé ladé a záporé odchylce od cílových hodot přřadí váhy, tj. oefcety, teré ohodocují důležtost těchto odchyle. Př vlastím řešeí se potom mmalzuje celový vážeý součet všech odchyle. Protože jsou vša cíle a tedy odchyly od ch v růzých jedotách a tedy v růzé výš, je rozumé posuzovat odchyly e v absolutím vyjádřeí, ale jao relatví (procetí) odchyly. Výsledá účelová fuce může mít tedy v tomto případě tvar: d z = v v g = = d g, de je počet cílových hodot, v a v jsou váhy přřazeé ladým a záporým odchylám od - té cílové hodoty a g je -tá cílová hodota. Uvažujme, že v ašem příladu bude záporé odchylce od cílové hodoty očeávaého výosu (d ) přřazea váha 5 a ladé odchylce od staoveé hodoty rza (d 2 ) váha 2. Potom se bude a možě přípustých varat (vz obr.2.) mmalzovat vážeý součet odchyle 5d 2d z = Výpočtem smplexovou metodou dostáváme v tomto případě řešeí x = /3 a x 2 = 2/3. V tomto řešeí bude dosažeo očeávaého výosu 2/3% př míře rza 3. Všměte s, že zde je zcela splě druhý cíl (rzo), terý má žší váhu. Naopa eí dosaže požadovaý výos 2%, ale výos o /3% žší. Výpočetí aspety V tomto oddílu jsme se věoval spíše metodolog cílového programováí. Z výpočetího hledsa vša modely cílového programováí epřáší žádé vážější potíže. Užvatel vystačí s běžou zalostí smplexové metody, jejíž prcpy byly vyložey v aptole 2. Př zpracováí a počítač stačí mít dspozc jaýolv systém umožňující řešt úlohy leárího programováí. Poud jsou cíle odlšey váham, potom stačí mmalzovat jedou účelovou fuc. Př odlšeí cílů preferecem může být počet výpočetích roů vyšší - především v závslost a počtu cílových hodot a preferečích stupňů. I pro teto výpočet vša lze vystačt, dyž s jstým problémy, s běžým software pro řešeí úloh leárího programováí.