7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

Transkript

1 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v a n v n, kde a i ϵr, se nazývá lineární kombinace vektorův 1, v 2, v n. Čísla a 1, a 2,, a n se nazývají koeficientylineární kombinace. Příklad:Nechť u= (2, 1), v= (4, -2) z R², pak w= 3u+2v = ( 14, -1). Vektor wje lineární kombinací vektorů ua v. Definice:Nechť V je vektorový prostor a množina M = {v₁,v₂,, v n } je množinaz V. Pokud se každý vektor z V dá zapsat ve tvaru a 1 v 1 + a 2 v a n v n pak se množina M nazývá množinou generátorů prostoru Va vektory v₁, v₂, v n se nazývají generátory.

2 Příklad: Uvažujme aritmetický vektorový prostor R 3. Pak platí, že množina {e 1, e 2, e 3 } je množinou generátoru prostoru R 3, pokud e 1 =(1,0,0),e 2 =(0,1,0)ae 3 =(0,0,1). Řešení:Libovolnývektor(a,b,c)zR 3 můžemezapsatvetvaru (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1). Dodejme, že množinou generátorů může být např. i množina {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,-7,11)}, neboť (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)+0.(2,-7,11). Množina{(1,0,0),(0,1,0)}jižnegenerujeR 3.

3 Pokud je M množinou generátorů vektorového prostoru V, píšeme[m] = V. Množina [M] se někdy v matematické literatuře nazývá lineární obal množiny M. Definice: Množina vektorů {v 1, v 2,, v n } zvektorového prostoru Vse nazývá lineárně nezávislá, právě když ( a [a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 (a 1 = 0 a 2 = 0 a n = 0)], 1, a2,..., a R) n lineárně závislá, právě když a, a,..., a R) [a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 (a 1 0 a 2 0 a n 0)]. ( 1 2 n Příklady:G₂ množina lineárně závislá lineárně nezávislá lineárně závislá

4 Příklad: Ukažme, že množina vektorů{(2, 1, 2), (1, 0, -1), (3, -2, 0)} zprostoru R 3 jelineárně nezávislá. Řešení: Předpokládejme, že lineární kombinace uvedených vektorů dává nulový vektor a vypočítáme, jaké musí být koeficienty této lineární kombinace. a 1 (2, 1, 2) + a 2 (1, 0, -1) + a 3 (3. -2, 0) = (0, 0, 0) Dostaneme následující soustavu tří rovnic o třech neznámých: 2a 1 + a 2 + 3a 3 = 0 a 1 2a 3 = 0 2a 1 a 2 = 0 Řešením této soustavy dostaneme: (a 1, a 2, a 3 ) = (0, 0, 0). Množina {(2, 1, 2), (1, 0, -1), (3. -2, 0)} je tedy skutečně lineárně nezávislá.

5 Příklad:Zjistěte, zda množina vektorů {(1, 0, 2), (-2, 1, 1), (4, -1, 3)} zvektorového prostoru R 3 je lineárně nezávislá. Řešení:Opět budeme předpokládat, že lineární kombinace uvedených vektorů dává nulový vektor a vypočítáme, jaké musí být koeficienty: a 1 (1, 0, 2) + a 2 (-2, 1, 1) + a 3 (4, -1, 3) = (0, 0, 0) Dostaneme soustavu : a 1 2a 2 + 4a 3 = 0 a 2 a 3 = 0 2a 1 + a 2 + 3a 3 = 0 Dostaneme jednoparametrickýsystém řešení: (a 1, a 2, a 3 ) = t(2, -1, -1), kde t єr. Pokud za parametr dosadíme např. číslo 1, dostaneme jedno partikulární (konkrétní) řešení, tj. trojici (2, -1, -1). Takže vidíme, že platí: 2(1, 0, 2) (-2, 1, 1) (4, -1, 3) = (0, 0, 0). Odpověď:Množina vektorů {(1, 0, 2), (-2, 1, 1), (4, -1, 3)} je proto lineárně závislá.

6 Věta : Množina vektorů {v 1, v 2,, v n } z vektorového prostoru V, kde n > 1, je lineárně závislá, právě když aspoň jeden vektor znich je lineární kombinací ostatních. Příklady v G₂ Bohužel, věta nehovoří o tom, který z vektorů je lineární kombinací ostatních. Důkaz: Věta má stavbu ekvivalence, a proto bude mít její důkaz dvě části. 1. Předpokládejme, že např. vektor v 1 je lineární kombinací ostatních, tzn. v 1 = a 2 v 2 + a 2 v a n v n. Převedeme-li všechny vektory na jednu stranu rovnosti, dostaneme: 1.v 1 a 2 v 2 a 2 v 2 a n v n = 0 Zvektorů v i jsme pomocí lineární kombinace vytvořili nulový vektor, a přitom nejsou všechny koeficienty nulové (viz koeficient u v 1 ). Množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je proto lineárně závislá.

7 2. Předpokládejme, že množina {v 1, v 2,, v n } je lineárně závislá. To ale znamená, že existuje netriviální lineární kombinace, pro kterou platí: a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 Předpokládejme, že nenulovým koeficientem je a 1. Pak po úpravě dostaneme v 1 = (-a 2 /a 1 )v 2 + (-a 2 /a 1 )v (-a n /a 1 )v n. Vektor v 1 je tedy lineární kombinací ostatních vektorů.

8 Definice:Podmnožina B množiny Vse nazývá bázevektorového prostoru V, právě když splňuje následující dvě podmínky: 1. B je množina generátorů prostoru V, tzn. [B] = V, 2. B je lineárně nezávislá množina. Věta: Všechny báze vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů. Příklady: Báze v G₂ báze báze báze není báze není báze Nejjednodušší báze: báze R² =?, báze R³ =?, báze M₂,₂ =?, báze P3 =?, báze P =?

9 Definice: Počet vektorů libovolné báze vektorového prostoru V se nazývá dimenze tohoto prostoru a značí se dim V. Pokud je množina vektorů v bázi konečná, říkáme, že má prostor V konečnou dimenzi. Příklady: dimg₂=2,dimg₃=3,dimr²=2,dimr³=3,dimm₂,₂=4,dimp₃ =4, dimp=? Hodnost matice A je počet vedoucích jedniček v zubaté formě matice A. Hodnost matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Tyto vektory tvoří bázi řádkového prostoru matice A, a proto jejich počet určuje jeho dimenzi. Hodnost matice A je dimenze řádkového prostoru matice A. Věta: Dimenze řádkového i sloupcového prostoru matice A jsou si rovny.

10 Věta (Frobeniova): Uvažujme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých. Tato soustava má aspoň jedno řešení, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Důkaz: Nechť je dána soustava m lineárních rovnic o n neznámých x 1, x 2, x n a 11x 1 + a 12x 2 + +a 1nx n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 (1).. a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m.

11 Matice S má hodnost h: S = a11 a12... a1 n a21 a22... a2... am1 am2... a n mn Matice rozšířená R má hodnost h : R = a11 a12... a1 a21 a22... a... am1 am2... a a11 a21... a m 1 n 2n mn b b b 1 2 m a12 a... a m 2 a1n a2... a 22 x1+ x2+ + xn= n mn b1 b2... b m

12 Vlastní důkaz: 1) Předpokládejme, že soustava (1) má řešení. Je jím uspořádaná n-tice (r 1, r 2,, r n ). Pokud do (2) dosadíme za x i řešení r i, bude soustava splněna. To však b1 b... 2 znamená, že vektor prvé strany je lineární kombinací ostatních b m sloupcových vektorů. Vložíme-li tento sloupec do matice soustavy S, obdržíme rozšířenou matici soustavy R. Protože se ale dimenze vzniklého sloupcového prostoru nezmění, platí h = h. 2) Nyní obráceně. Předpokládejme, že hodnosti matic Sa R jsou stejné, tzn. h = h.protože rozšířená matice soustavy R vznikne zmatice soustavy S b b... 1 přidáním sloupce pravých stran 2, musí být tento sloupec lineární b m kombinací sloupců matice soustavy S. Označíme-li koeficienty této lineární kombinace r 1, r 2,, r n, je uspořádaná n-tice (r 1, r 2,, r n ) řešením soustavy (1).