zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

Transkript

1 Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Zálady experimentální mechaniy

2 Frevenční analýza Proč se frevenční analýza provádí: B C a(t) A(f) A B C D E A čas D E vibrace frevence Jednotlivé jevy jsou v časové oblasti promíchány Jednotlivé jevy jsou ve frevenční oblasti od sebe odděleny 2/32

3 Digitální zpracování signálů Fourierova transformace (pro spojitou funci): funce x(t), periodicá v čase, může být vyjádřena jao neonečná posloupnost: x(t) = a n= a n 2πnt cos + b n 2πnt sin de a n a b n mohou být vypočteny ze znalosti x(t) pomocí vztahů 2 2πnt an = x(t) cos dt 0 2 2πnt bn = x(t) sin dt 0 2π = ω 3/32

4 Digitální zpracování signálů x Fourierova transformace (pro disretizovanou funci): funce x(t) je disretizována a trvá onečný čas, je definována na množině N jednotlivých časových oamžiů t : N / 2 a = 2 n= 2πnt 0 ( x( t )) = + a cos + b sin ;, N Koeficienty a n a b n jsou Fourierovy neboli spetrální oeficienty funce x(t) a často jsou zobrazovány ve tvaru amplitudy a fáze: 2πnt n n = cn c n = a n b n φ = n n arctg an x N / 2 b ( x( t )) = c cos + ϕ ;, N = n n = n= N / 2 2πnt tedy: 4/32

5 Disrétní Fourierova transformace - DF Vstupní signál je A/D převodníem digitalizován a zaznamenán jao množina N disrétních hodnot s pravidelnými časovými rozestupy v intervalu. Předpoládá se, že vzore v čase je periodicý. Je vypočtena onečná Fourierovařada (transformace) jao odhad požadované Fourierovy transformace. Platí záladní vztah mezi délou vzoru, počtem disrétních hodnot N, vzorovací (digitalizační) frevencí fs a rozsahem a rozlišením frevenčního spetra (fmax, f): fs fmax = = 2 f f = S = N 2 N f s vzorovací frevence f max Nyquistova frevence f frevenční rozlišení rozsah zísaného spetra je <0;f max > 5/32

6 Disrétní Fourierova transformace - DF Záladní rovnice pro určení spetrálního složení: x x x M x 2 3 N = cos cos cos cos ( 2π / ) sin( 2π / ) ( 4π / ) sin( 4π / ) ( 6π / ) sin( 6π / ) M M K a K a K b K M ( 2Nπ / ) sin( 2Nπ / ) K M 0 { x } = [ C] { } a n K určení neznámých spetrálních (Fourierových) oeficientů obsažených v {a n } tedy použijeme: { } [ ] a = C { x } n Nejpoužívanějším algoritmem výpočtu spetrální analýzy je rychlá Fourierova transformace - FF. ato metoda vyžaduje, aby N bylo celočíselnou mocninou 2. 6/32

7 Specificé rysy DF Digitální Fourierova analýza má mnoho rysů, teré mohou vést chybným výsledům, poud nejsou správně ošetřeny. Jsou důsledem disretizace nutnosti omezit délu časového signálu Je třeba uvážit: aliasing chyby úniem vliv oen filtrování frevenční lupu průměrování 7/32

8 Aliasing ento jev plyne z disretizace původně spojitého časového signálu. Při malé vzorovací frevenci je přítomnost vysoých frevencí v původním signálu při tomto disretizačním procesu špatně interpretována. yto vysoé frevence se ve spetru objeví jao nízé frevence, nebo spíše budou od sutečných nízofrevenčních slože nerozpoznatelné. nízofrevenční signál vysoofrevenční signál Spetrum zísané pomocí DF je zreslené, i dyž výpočet je proveden přesně! 8/32

9 Použití anti-aliasingového aliasingového filtru Nejvyšší frevence, terá může být ve spetru obsažena, je ω s /2. Vyšší frevence jsou zrcadleny do nižších frevencí. sutečné spetrum signálu spetrum zísané z DF 9/32

10 Použití anti-aliasingového aliasingového filtru Anti-aliasingový filtr podrobí původní časový signál nízopásmovému filtru s ostrou sestupnou hranou. nefiltrovaný signál anti-aliasingový filtr filtrovaný signál Protože filtry mají onečný slon sestupné hrany, odstraňují se i spetrální měření ve frevenčním rozsahu blízém Nyquistově frevenci ω s /2. Proto při 2048 bodové transformaci není výsledem úplné 024 čárové spetrum, ale typicy se zobrazuje pouze prvních 800 čar. Anti-aliasingová opatření tvoří nedílnou součást analyzátoru! 0/32

11 Chyba úniem - leaage,, použití váhových oen Když signál není periodicý, energie "unine" do mnoha spetrálních čar blízých sutečné frevenci a spetrum je rozprostřeno přes něoli čar: a(t) periodicý signál b(t) neperiodicý signál čas čas obdélníové ono (žádné vážení) A(f) B(f) frevence frevence /32

12 Chyba úniem - leaage,, použití váhových oen periodicý signál neperiodicý signál a(t) b(t) čas čas Hanningovo ono 2πt cos A(f) B(f) frevence frevence 2/32

13 Chyba úniem - leaage Vztah mezi časovým omezením signálu a chybou úniem ve spetru: spojitý signál a(t) A(f) a(t) w(t) w(t) čas * W(f) čas = = A(f)*W(f) * = frevence frevence čas a(t) digitální signál - naměřená data DF A(f) frevence čas časové omezení úni f = frevence 3/32

14 Chyba úniem - leaage Minimalizace chyby úniem: Změnou dély trvání měřeného vzoru ta, aby vyhověla záladní periodicitě signálu, např. změnou doby měření úplné odstranění chyby, málody realizovatelné Zvětšení dély trvání doby měření, taže frevenční rozlišení je jemnější vliv chyby se zmenší Uzavření signálu do oen - "oenní transformace" 4/32

15 Průměrování Dosavadní poznámy DF se týaly deterministicých dat. Vibrační data jsou náhodné signály nestačí vypočíst Fourierovu transformaci - ta ani pro náhodný proces neexistuje potřebujeme odhady spetrálních hustot a orelačních funcí (tyto jsou vypočteny z Fourierovy transformace) je nutné provést proces průměrování, terý zahrne něoli jednotlivých časových záznamů počet požadovaných průměrů ovlivňuje:» požadovaná statisticá spolehlivost» míra šumu v signálu 5/32

16 ypy průměrování bez přerytí s přerytím lineární exponenciální s držením špičy doba zpracování 6/32

17 ypy průměrování 7/32

18 a a frevenční analýza ještě jednou jina K frevenčním složám budeme přistupovat jao rotujícím vetorům fázorům Na obrázu je vetor F = a + ib zobrazený v omplexní rovině F = a + ib = F e iϕ F ϕ Re a b -ϕ F* = a - ib = F e -iϕ a = F cos ϕ b = F sin ϕ 2 F = a + b b ϕ = arctg a F = F cosϕ + isin 2 ( ϕ) Im -ib ϕ e i = cosϕ + isinϕ F = F e iϕ i 2 b = -b F iϕ F2 = F e F2 e = F F2 e iϕ2 i ( ϕ +ϕ ) 2 8/32

19 Záladní předpolady Záladem frevenční analýzy je Fourierova transformace Předpoládá, že signál se sládá z ( ) mnoha (o)sinusových slože různých frevencí Každá složa má svou frevenci, amplitudu a počáteční fázi 9/32

20 Zobrazení typicé složy ( 2πft + φ) Jao součet dvou vetorů s amplitudou A/2 A cos rotujících v opačném smyslu i θ ( ) θ i e + e A A cosθ = de θ = 2πft + φ 2 20/32

21 Rozlad periodicé funce do Fourierovy řady g(t) je periodicá funce, tzn. g(t) = g(t+n) Může být vyjádřena jao součet sinusových slože (rotujících vetorů) na frevencích f, de f = / celé číslo včetně nuly a záporných čísel -tou složu dostaneme z integrálu: i2πf t ( ) g( t) e dt G f / 2 = de f = f,tj. -tá harmonicá f / 2 2/32

22 Rozlad periodicé funce do Fourierovy řady Re Re φ Im Im o znamená, že dyž signál g(t) obsahuje složu, terá rotuje s frevencí f, ta e i2 π f násobení jednotovým vetorem (terý rotuje s frevencí f ) anuluje rotaci této složy signálu a její integrací v čase dostaneme onečnou hodnotu. t Všechny složy na jiných frevencích stále rotují i po násobení e i2 π f t a proto jejich integrál za časovou periodu je nulový. 22/32

23 Rozlad periodicé funce do Fourierovy řady / 2 Pomocí integrálu i2πf t G( f ) g( t) e dt extrahujeme ze signálu g(t) = / 2 složy rotující na všech frevencích f. ím tay fázové úhly aždé z nich zamrznou v poloze, ve teré byly v i2πf t nulovém čase (dy e = ) Sutečnou polohu aždého vetoru v libovolném čase lze zísat násobením jeho počáteční hodnoty G(f ) opačně rotujícím jednotovým vetorem i 2 f t e π Celový signál g(t) bude vetorový součet všech těchto vetorů v jejich oamžitých polohách, tj.: g ( t) = G( f ) = e i2πf t 23/32

24 3D zobrazení spetra Řada omplexních hodnot G(f ) je nazývána spetrum slože signálu g(t) Protože aždá z nich má amplitudu a fázi (nebo reálnou a imaginární složu), je úplnému zobrazení třeba 3D omplexní spetrum 24/32

25 Vlastnosti spetra Signál g(t), terý je v čase periodicý, má disrétní spetrum, jehož složy mají frevence, teré jsou vždy celočíselnými násoby záladní frevence f. Vetor se záladní frevencí f se otočí o 360º jednou za periodu. Vetor se záladní frevencí f se otočí o 360º -rát za periodu. Po uplynutí periody se všechny vetory vrátí do své výchozí pozice. Funce g(t) je reálná funce, protože aždé složce s frevencí f odpovídá složa s frevencí f, terá má stejnou amplitudu, ale opačnou fázi (tedy stejnou reálnou složu a opačnou imaginární složu). Imaginární složy na všech frevencích se vyruší a výslede je vždy reálný. Spetrum reálné funce je sudá funce: G(f ) = G*(-f ) Stejnosměrná složa je vždy reálná fázový úhel je 0 nebo ± π 25/32

26 Výonové spetrum Oamžitý výon časového signálu g(t) je roven [g(t)] 2 a průměrný výon za jednu periodu je dán integrací oamžité hodnoty signálu v průběhu periody: P průměrný = { g( t) } Pro typicou složu A cos 2πf t + φ to vede na: 0 ( ) 2 dt A Pprůměrný = A cos ( 2 ft ) dt cos[ 2( 2 ft )] dt = π + φ = π + φ A 2 2 protože integrál sinové části frevence 2f za periodu je nulový. o je známý výslede pro střední hodnotu sinusovy s amplitudou A a vede na hodnotu A efetivní hodnota (RMS) = 2 26/32

27 Výonové spetrum Výon na aždé frevenci je dán přímo druhou mocninou amplitudy složy Fourierova spetra: Amplituda složy G(f ) je A /2, de A je amplituda -té sinusovy, taže její druhá mocnina je A 2 /4. Jeliož amplitudové spetrum je sudá funce, platí to podobně pro zápornou frevenci a celový výon na frevenci f bude dán součtem těchto slože, tedy A 2 /2, což je stejný výslede, jaý jsme dostali v časové oblasti. Celový výon může být zísán buď integrací časového signálu nebo sečtením druhých mocnin amplitud všech frevenčních slože (Parsevalův teorém). Protože ve výonovém spetru už není obsažena informace o fázi, není možné z něj zísat zpět původní časový signál. 27/32

28 Fourierova transformace Předešlé výsledy se týaly periodicých signálů. o je možné zobecnit na případ, dy V tomto případě se frevenční rozlišení / mezi harmonicými blíží nule a G(f) se stává spojitou funcí frevence. i2πft ( ) = g( t) e dt G f g i2πft ( t) = G( f ) e dt přímá Fourierova transformace zpětná Fourierova transformace transformační pár Funce je spojitá v časové i frevenční oblasti. 28/32

29 Vzorovaná časová funce Funce reprezentovaná časovými vzory v evidistantníchčasových rocích (disrétní v časové oblasti, spojitá ve frevenční oblasti) Je to opačný případ Fourierověřadě (spojitá v časové oblasti, disrétní ve frevenční oblasti). V důsledu symetrie Fourierova transformačního páru je spetrum periodicé s periodou rovnou vzorovací frevenci f s f s = / t ransformační pár pro funci reprezentovanou časovými vzory má tvar: n= ( ) = g( t ) G f g f n e i2πft i2πftn ( t ) G( f ) e dt n n s =, de t f n = n t n-tý časový vzore s f s / 2 / 2 29/32

30 Disrétní Fourierova transformace Funce je vzorovaná v časové i frevenční oblasti signál i spetrum jsou implicitně periodicé ransformační pár má tvar: N N n= 0 ( ) = g( n) G e 2πn i N přímá DF N = 0 ( ) = G( ) g n e 2πn i N zpětná DF 30/32

31 Zálady experimentální mechaniy 3. přednáša 3/32 Disrétní Disrétní Fourierova Fourierova transformace transformace Vztah pro přímou DF lze zjednodušeně napsat: G g n N G A = de g n vetor reprezentující N omplexních frevenčních slože vetor reprezentující N časových vzorů /N jednoduché měříto A čtvercová matice jednotových vetorů = g g g g g g g g 8 G G G G G G G G řady matice frevence = 0,, 2 7 sloupce matice časové oamžiy n = 0,, 2 7 N n 2 i e π

32 Evivalence otáčení v ladném a záporném smyslu pro disrétní funce Re -/8 otáčy Im +7/8 otáčy Fourier ova transformace 32/32

33 Děuji za pozornost!