10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme společně po krocích. Není reálné sthnout o hodně více než 5 příkladů. Začneme návratem do dětství: Př. 1: Zemědělec chce postavt výběh pro kuřata ve tvaru pravoúhelníku tak, že jednu stranu výběhu bude tvořt hospodářská budova. Celkem má k dspozc 0 m pletva. Jaké mají být rozměry výběhu, aby jeho plocha byla co největší? Nakreslíme obrázek stuace: Budova plot Kdyby jednu stranu plotu nenahrazovala stěna budovy, byl by nejvýhodnějším tvarem čtverec. Pokud budeme jeden z rozměrů obdélníku přílš zvětšovat obdélník se zúží a jeho obsah se bude blížt k nule měl by estovat komproms, pro který bude obsah největší. Zkusíme určt plochu výběhu v závslost na jednom z rozměrů obdélníka, třeba na délce strany kolmé k budově, označím s j : Budova 0- S = ab = 0 = 0 ( ) Plocha výběhu je kvadratckou funkcí jedné ze stran u kvadratcké funkce může estovat mamum upravíme předps z najdeme ho. y = 0 = + 0 = ( 10) = ( 5 + 5 5 ) = ( 5) 5 ( ) y = 5 + 50 Funkce dosahuje mama pro = 5, hodnota mama je 50. 0 Zemědělec musí postavt výběh ve tvaru obdélníku o rozměrech 5 10 m. 0 Př. : Výška škmého vrhu je dána rovncí 1 y = v0 yt gt. Urč okamžk, ve kterém -10-5 -0-0 5 10 1
se vržený předmět nachází v mamální výšce. Hledáme bod, ve kterém bude dervace nulová: 1 1 y = v0 yt gt = v0 y gt = v0 y gt (zajímavé získal jsme rovnc pro rychlost) y = v gt = v0 y 0 y 0 = gt v 0 y t = g Správně bychom se měl pomocí druhé dervace přesvědčt, že nalezený etrém je opravdu mamum (v pra se to přílš často nedělá, protože víme, jak se výška vrženého předmětu se mění a že mnmum mít nemůže). y = v gt = g < - opravdu jsme našl mamum ( y ) 0 0 Vržený předmět se nachází v mamální výšce v čase v 0 y t =. g Pedagogcká poznámka: V předchozím následujícím příkladě mají student problémy s tím, že vztahy obsahují více písmenek a téměř žádná čísla. Pokud jch bude více, je nutné opět zopakovat, že nezáleží na tom, jak je daný výraz napsaný, ale na tom, zda některé písmenko zastupuje proměnnou (hodnoty, které se mění). K takovému písmenu pak musí přstupovat jako k, k ostatním pak jako k číselným konstantám. Př. : Výkon elektrckého spotřebče zapojeného do stejnosměrného obvodu je dán vztahem P = I R, kde I je proud v obvodu a R odpor spotřebče. Pokud Ue nezanedbáváme vntřní odpor zdroje platí pro velkost proudu vztah I =, kde R + R R je vntřní odpor zdroje a U e jeho elektromotorcké napětí. Urč, jaký musí být vztah mez R a R, aby byl výkon spotřebče mamální. Nejdříve s sestavíme kompletní vztah pro výkon: U e R P = I R = R = Ue R + R ( R + R ) Zjšťujeme pro jako hodnotu odporu R je výkon mamální R bereme jako proměnnou ostatní písmena jako číselné konstanty: ( ) ( ) ( ) R R R + R R R + R P = Ue = U e = ( R R ) + ( R + R ) ( ) ( ) R + RR + R R R + R R + RR + R R RR R R = U = U = U e e e ( R + R ) ( R + R ) ( R + R ) Zjšťujeme, kdy platí: P = 0 záleží pouze na čtatel U R R = 0 e ( )
( )( ) U R + R R R = 0 e R R 0 = R = R R + R = 0 R = R - nefyzkální, odpor nemůže být záporný Druhou dervac počítat nebudeme, výpočet by byl přílš složtý. Víme, že př velm malém odporu R bude výkon velm malý, př velm velkém odporu R bude procházející proud velm malý a výkon také směrem od těchto etrémních hodnot odporu R se musí výkon na spotřebč zvyšovat určtě jsme našl mamum. Výkon spotřebče bude mamální, když se jeho odpor bude rovnat odporu zdroje. Př. : Ze čtvrtky formátu A (10 97 mm) vystřhn v rozích čtyř stejné čtverečky tak, aby složením vznklého obrazce vznkla krabčka mamálního objemu. 97 10 Krabčku složíme po odstřžení čtverečků tak, že šedé část ohneme nahoru vznkne kvádr o rozměrech: délka: 97 šířka: 10 výška: Objem kvádru: V = abc = 97 10 = 670 59 0 + = 101 + 670 ( )( ) ( ) Hledáme etrém nulovou hodnotu dervace V = 0 V = 101 + 670 = 1 08 + 670 = 0 ( ) kvadratcká rovnce: 1 08 + 670 = 0 / : 6 8 + 1095 = 0 ( ) ( ) b ± b ac 8 ± 8 1095 8 ± 108 8 ± 176, 1, = = = = a 8 + 176, 1 = = 18,6 - nesmyslný výsledek, kratší strana by měla zápornou délku: 10 18,6 < 0 8 176, 1 = = 0,
Pomocí druhé dervace zkontrolujeme, že jde o mamum: V = 1 08 + 670 = 08 ( ) hodnota druhé dervace pro = 10, : V = 08 = 0, 08 = 1058, jde o mamum. Pokud chceme získat krabčku o mamálním objemu, musíme ze čtvrtky v rozích vystřhnout čtverečky o straně 0, mm. Př. 5: Urč deální rozměry plechovky na pvo = válcové nádoby, která př objemu 0,5 l bude mít mnmální povrch (a tedy spotřebu plechu). Budeme postupovat stejně jako v předchozích příkladech: sestavíme vztah pro povrch plechovky a pak jej zdervujeme: povrch válce: P = π r + π rv - vztah obsahuje dvě proměnné musíme s jednu vyjádřt V pomocí druhé, použjeme vztah pro objem: V = π r v v = π r V V Dosadíme: P = π r + π rv = π r + π r = π r + π r π r Dervujeme (hledáme př jakém poloměru r je proměnná): V V P = π r + = π r = 0 π r π r V π r = π r V V r = r = π π Dosadíme konkrétní hodnoty z našeho příkladu V = 0,5 dm : V 0,5 r = dm 0,7dm,7 cm π = π = = dopočteme výšku: v V V V = = = = πv = π = = π r V V π π 0,5 dm 1,16dm 11, 6 cm π π Kontrolu přes druhou dervac provádět nebudeme. Z úvahy je jasné, že válec s velm velkým poloměrem (a velm malou výškou) má velm malý objem, stejně jako válec s velm malým poloměrem (a velm velkou výškou) př změně poloměru z těchto etrémních hodnot se objem zvětšuje nalezený etrém musí být mamum Ideální plechovka na pvo má rozměry: poloměr,7 cm, výška 11,6 cm. Př. 6: Najd důvody, které mohou vést k tomu, že plechovky (nebo válcové nádoby obecně mají jné rozměry (jný poměr poloměr výška). větší poloměr (a menší výška) větší stablta, u velkých nádob menší hydrostatcký tlak ve spodní část nádoby menší poloměr as jenom elegantnější tvar
Př. 7: Najd pravdelný čtyřboký hranol, který má př daném povrchu mamální objem. Pravdelný čtyřboký hranol = podstavou je čtverec objem hranolu: V = a v povrch hranolu: P = a + av hledáme mamum objemu potřebujeme vztah pro objem s jednou proměnnou musíme vyjádřt ze vztahu pro povrch, jednodušší bude vyjádřt v ( když to není zcela logcké) P = a + av av = P a P a P a v = = a a P a ap a Dosadíme do vztahu pro objem: V = a v = a = a ap a P V = = a = 0 a + av Dosadíme za P: a = 0 / a + av 6a = 0 av = a v = a výška hranolu se musí rovnat délce strany jeho podstavy jde o krychl (podle očekávání) Pravdelným čtyřbokým hranolem s největším objemem př daném povrchu je krychle. Př. 8: Trosečníka na voru unáší mořský proud rychlostí 7 km/h. Kolmo na směr proudu pluje obchodní loď rychlostí 0 km/h (vzhledem k povrchu Země). V jeden okamžk je námořní loď vzdálena od místa, kde se protínají jejch trajektore 100 km a trosečník 10 km. V jaké nejmenší vzdálenost se mnou? Zachrání loď trosečníka, když předměty jeho velkost vdí na vzdálenost 0 km? Nakreslíme s obrázek stuace: 7 km/h trosečník 10 km loď 0 km/h 100 km Zavedeme s soustavu souřadnc: počátek v bodě, kde se setkávají trajektore trosečníka a lodě, osy mají směr trajektorí (na orentac nezáleží dodržíme klasckou volbu) 5
y 7 km/h trosečník 10 km loď 0 km/h 100 km Souřadnce lodě v jednom okamžku: = 100, y = 0 Souřadnce lodě v čase t: = 100 vlt, y = 0 Souřadnce trosečníka v jednom okamžku: = 0, y = 10 Souřadnce trosečníka v čase t: = 0, y = 10 vtt l t Vzdálenost trosečníka a lodě: d = LT = ( 100 v t) 0 + 0 ( 10 v t) ( 100 ) ( 10 ) ( 100 0 ) ( 10 7 ) l d = v t + v t = t + t t Hledáme mnmum nulovou hodnotu první dervace: 1 ( 100 0t )( 0) + ( 10 7t)( 7) d = ( ( 100 0t) + ( 10 7t) ) = = 0 100 0t + 10 7t ( ) ( ) ( 100 0t)( 0) + ( 10 7t)( 7) d = = 0 ( 100 0t ) + ( 10 7t) zlomek je nulový, když je nulový jeho čtatel: ( 100 0t )( 0) + ( 10 7t)( 7) = 0 / ( 1) 000 900t + 70 9t = 0 070 = 99t 070 t = h, 5h 99 Souřadnce lodě v okamžku setkání: = 100 v t = 100 0, 5 km =,95 km Souřadnce trosečníka v okamžku setkání: y = 10 v t = 10 7,5 = 1,65 Vzdálenost trosečníka a lodě: ( ) l t d = + y =,95 + 1, 65 = 1,98 km Loď trosečníka zřejmě zachrání, protože ve chvíl největšího přblížení bude od ní trosečník vzdálen pouze 1 km. Př. 9: Petáková: strana 11/cvčení 66 strana 11/cvčení 7 strana 11/cvčení 66 Shrnutí: 6