ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A 0 = f g, je to vlastne vyber prvku 1-arn operace - unarn 2-arn operace - binarn 3-arn operace - ternaln denice Necht' A je mnozina, i ; i 2 I a to i nekonecna; jsou (n i -arn) operace. Pak A( i j i 2 I) nazveme (universaln) algebrou. prklady N(+; ) Z(+; ; ) Q n f0g( ; =) <(+; ; ) <(+; ; p ) denice Necht' A je mnozina s n-arn operac a B A. Rekneme, ze B je uzavrena na operaci, pokud 8b 1 ; :::; b n 2 B plat, ze (b 1 ; :::; b n ) 2 B. Je-li A( i ; i 2 I) algebra a B A, pak rekneme, ze B je podalgebra A( i ; i 2 I), pokud je B uzavrena na vsechny i ; i 2 I prklady N(+; ) - k 2 B, potom kn = fknjn 2 Ng jsou podalgebry N(+; ) Overen: Necht' b 1 ; b 2 2 kn 1. b 1 + b 2 2 kn 2. b 1 b 2 2 kn Z(+; ; 0) ma podalgebry kz = fk rjr 2 Zg (a zadne jine). Je dulezite si rozmyslet uzavrenost na nularn operaci 0 1

Vektorovy prostor U(+; tjt 2 T; 0) nad telesem T t : U! U, u! u t W je podprostor U, W je podalgebra U(+; t; 0) A( i ji 2 I) je algebra, potom A je podalgebra A Pokud zadna operace algebry A nen nularn, potom ; je podalgebrou A skorodenice Je-li A( i ji 2 I) algebra a B jej podalgebra, pak i = i db ni : B ni! B - mame prirozene danou strukturu na B prklady Q(+; ), Z Q je podalgebra algebry Q(+; ) restrikce! Z(+; ) Necht' M n (T ) jsou ctvercove matice radu n nad telesem T. Vezmeme algebru M 2 (<)( ), potom diagonaln matice D(<)( ) tvor podalgebru M 2 (<)( ). poznamka 1.1 1. Necht' A je mnozina s operac a necht' A j, j 2 J je system podmnozin A uzavrenych na. Pak T j2j A j je opet uzavrena na 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra a A j ; j 2 J jsou jej podalgebry. Pak T j2j A j je podalgebra 1. je n-arn operace 8j 2 j : (a 1 ; a 2 ; :::; a n ) 2 \ j2j A j A j Podle predpokladu (a 1 ; :::; a n ) 2 A j 8j ) (a 1 ; :::; a n ) 2 T A j 2. A j jsou uzavrena na i 8i 2 I; j 2 J Podle 1. je T j2j A j uzavrena na i 8i 2 I, tedy je uzavrena na vsechny operace na algebre A( i ji 2 I), a proto je T j2j A j podalgebra A( i ji 2 I) denice Necht' A a B jsou mnoziny s n-arn operac a f : A! B. Rekneme, ze f je slucitelne s, pokud 8a 1 ; a 2 ; :::; a n 2 A B (f(a 1 ); f(a 2 ); :::; f(a n )) = f ( A (a 1 ; :::; a n )) denice Rekneme, ze algebra A(i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou stejneho typu pokud i na A i na B jsou stejne arity 8i 2 I 2

denice Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Pak zobrazen f : A! B je homorsmus, pokud je f slucitelna se vsemi i. poznamka 1.2 1. Necht' A, B, C jsou mnoziny s n-arn operac, f : A! B, g : B! C jsou zobrazen slucitelna s. Pak g f : A! C je slucitelne s. Je-li f bijekce, potom f 1 je opet slucitelne s. 2. Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I), C( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a f : A! B, g : B! C jsou homomorsmy. Pak g f : A! C je opet homomorsmus. Je-li navc f bijekce, pak f 1 je take homomorsmus. 1. Vezmeme a 1 ; ::::; a n 2 A g(f((a 1 ; :::; n ))) sluc: f s = g((f(a 1 ); :::; f(a n ))) = sluc: g s = (g(f(a 1 )); :::; g(f(a n ))) f bijekce... f 1 je zobrazen B! A, b 1 ; b 2 ; :::; b n 2 B a chceme dokazat f 1 ( B (b 1 ; :::; b n ))? = A (f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n )) f A Tedy vezmeme f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) def: = B f f 1 (b 1 ) ; :::; f f 1 (b n ) f 1 (b 1 ); :::; f 1 (b n ) = f 1 f A b 1 ; :::; f 1 (b n ) Podle radku pred tm se toto rovna f 1 ((b 1 ; :::; b n )) Tedy i inverzn zobrazen je slucitelne s. 2. Podle prvnho bodu je g f slucitelne s i 8i 2 I, tedy g f je homomor- smus. f 1 je podle bodu 1. slucitelne se vsemi i, a tedy je take homomorsmus. denice Jsou-li A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) algebry stejneho typu a f : A! B je bijektivn homomorsmus, pak mluvme o isomorsmu. A a B jsou isomorfn algebry, pokud mezi nimi existuje isomorsmus. poznamka Dve isomorfn algebry maj "stejne algebraicke vlastnosti" (tj, logicke operace, mnozinove operace a vlastnosti algeber) 3

poznamka 1.3 1. Necht' A a B jsou mnoziny s operac a C A; D B jsou uzavrene na. Je-li f : A! B slucitelne s, pak f(c) je (opet) uzavrene na v B a f 1 (D) = fa 2 Ajf(a) 2 Dg je uzavrena na v A 2. Necht' A( i ji 2 I) a B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu a C A, D B podalgebry prslusnych algeber. Je-li f : A! B homomorsmus, pak f(c) B a f 1 (D) A jsou podalgebry 1. je n-arn operace, je na ni f(c) uzavrena? b 1 ; ::; b n 2 f(c) 9a 1 ; :::; a n 2 C : f(a i ) = b i 8i 2 I (b 1 ; :::; b n ) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) = f((a 1 ; :::; a n )) Vme, ze C je uzavrena na, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 C, f((a 1 ; :::; a n )) 2 f(c) Dale a 1 ; :::; a n 2 f 1 (D) f(a i ) 2 D Lez f((a 1 ; :::; a n )) v mnozine D? f((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ); :::; f(a n )) {z } 2D To mus z uzavrenosti D na lezet v D, tedy (a 1 ; :::; a n ) 2 f 1 (D) 2. stac aplikovat 1. na i 8i prklady 1. linearn zobrazen f : U! V, kde U; V jsou vektorove prostory nad telesem T, jsou homomorsmy algebry U(+; tjt 2 T ) a V (+; tjt 2 T ) 2. ctvercove matice nad telesem T - M n (T ). Determinant : M n (T )! T je homomorsmus algebry M n (T )( ) a T ( ) 3. n : Z! Z n : n (k) = k mod n. Pak n je homomorsmus algebry Z(+; ) do algebry Z n (+; ) denice Rekneme, ze je relace na mnozine A, pokud A A. Necht' je relace na A, potom = f(b; a) 2 A Aj(a; b) 2 g je opacna relace + = f(a; b) 2 A Aj9a 1 ; :::; a n 2 A : a 1 = a; a n = b; (a i ; a i+1 ) 2 i = 1; :::; n 1g je transitivn obal id = f(a; a) 2 A Aja 2 Ag je identita 4

denice Rekneme, ze relace je reexivn, pokud id symetricka, pokud transitivn, pokud + ekvivalence, pokud je reexivn, symetricka a transitivn relace. denice Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak mnozina A = = f[a] ja 2 Ag, kde [a] = fb 2 Aj(a; b) 2 g, nazyvame faktor A podle poznamka 1.4 rozklad. Necht' A je mnozina a je ekvivalence na A, pak A = tvor A = [ f[a] ja 2 Ag a 2 [a] - reexivita, ale ony se prekryvaj x 2 [a] \[b] ) (a; x) 2 ; (b; x) 2 g ) f(x; a) 2 ; (x; b) 2 g ) (a; b) 2 ; (b; a) 2 (a; b) 2, [b] = fy 2 Aj(b; y) 2 g 8y 2 [b] (a; y) 2 ) y 2 [a] tj. [b] [a] symetricky [a] [b], tedy [a] = [b]. Obsahuj-li 2 trdy spolecny prvek, potom splyvaj, jestlize neobsahuj ani jeden prvek, pak jsou disjunkntn poznamka 1.5 Necht' fb i ji 2 Ig je rozklad mnoziny A. Pak relace na A denovana predpisem (a; b) 2 def 9i 2 I : a; b 2 B i je ekvivalence a A = = fb i ji 2 Ig 1. je ekvivalence a 2 B i pro nejake i 2 I ) (a; a) 2 - reexivita (a; b) 2 ) 9i a; b 2 B i ) (b; a) 2 - symetrie (a; b) 2 &(b; c) 2 ) 9i; j a; b 2 B i &b; c 2 B j. Protoze to je disjunktn rozklad, B i = B j, a tedy a; c 2 B j - transitivita 5

2. Dokazeme A = fb i ji 2 Ig "" def: [a] a 2 B i, [a] = fb 2 Ajb 2 B i g = B i [a] B i "" B i [a] vezmu libovolny prvek a zjistm, ze to dela rozkladovou trdu denice Necht' f : A! B je zobrazen. Pak jadrem f nazveme relaci ker f danou predpisem (a 1 ; a 2 ) 2 ker f def f(a 1 ) = f(a 2 ). Je-li ekvivalence na mnozine A, pak o zobrazen : A! A = dane formul (a) = [a] rekneme, ze je to prirozena projekce podle poznamka 1.6 plat Necht' f : A! B je zobrazen a je ekvivalence na A. Pak 1. ker f je ekvivalence 2. f je proste, ker f = id 3. ker = 4. zobrazen g : A =! B s vlastnost g = f existuje prave tehdy, kdyz ker f 1. reexivita: f(a) = f(a) ) (a; a) 2 ker f symetrie: f(a 1 ) = f(a 2 ); f(a 2 ) = f(a 1 ), tj. (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) (a 2 ; a 1 ) 2 ker f transitivita: (a 1 ; a 2 ) 2 ker f ) f(a 1 ) = f(a 2 ) = f(a 3 ) ) (a 1 ; a 3 ) 2 ker f 2. a stejne tak opacne a 1 6= a 2 ) f(a 1 ) 6= f(a 2 ) ) (a 1 ; a 2 ) =2 ker f 6

3. (a 1 ; a 2 ) 2 ker, (a 1 ) {z } [a 1] = (a 2 ), (a {z } 1 ; a 2 ) 2 [a 2] Predpokladame existenci g : g = f, tj. 8a 2 A g (a) = f(a) {z } [a] ) g([a] ) = f(a) Predpokladejme a; b 2 ) [a] = [b]. Pak Tedy a, b lez v jadru f(a) = g ([a] ) = g ([b] ) = f(b) 4. ")" "(" Predpokladame ker f Denujeme Je tato denice korektn g ([a] ) = f(a) [a] = [b] ) (a; b) 2 ker f...prvky se slepuj podle denice jadra f(a) = f(b) Zrejme g = f g ([a] ) = f(a) = f(b) = g ([b] ) prklad Deterministicky algoritmus f, A je mnozina vstupnch hodnot, B je mnozina moznych vystupnch hodnot f : A f! B, Potom ker f je zcela prirozene denovana ekvivalence: ztotoznuje vstupy, ktera daj stejny vysledek denice Necht' je n-arn operace na A, je ekvivalence na A. Rekneme, ze je slucitelna s, pokud (a i ; b i ) 2 i = 1; :::; n ) (a 1 ; :::; a n )(b 1 ; :::; b n ) Je-li A( i ; i 2 I) algebra a je ekvivalence na A, pak je kongruence na A, pokud je slucitelna s i ; 8i 2 I poznamka 1.7 1. Necht' A; B jsou mnoziny, je operace na A; B a f je zobrazen A! B slucitelne s, Pak ker f je slucitelna s 2. Necht' A; B jsou algebry stejneho typu a f je homomorsmus A! B. Potom ker f je kongruence 7

1. (a i ; b i ) 2 ker f ) f(a i ) = f(b i ) 8i = 1; :::; n f ((a 1 ; :::; a n )) = (f(a 1 ; :::; a n )) = = (f(b 1 ; :::; b n )) = f ((b 1 ; :::; b n )) tj. ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 ker f Podle poznamky 1.6(1.) je ker f ekvivalence 2. plyne z 1. VETA 1.8 1. Necht' je ekvivalence na A, je operace na A. Pak je slucitelna s prave kdyz je slucitelna s 2. Necht' je ekvivalence na algebre A. Pak je kongruence, je homomorsmus denice k 1.8 operaci na A = Necht' A ke mnozina s ekvivalenc a relac. Denujeme ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] Na mnozine A = denujeme stejnym zpusobem algebru stejneho typu jako na A za predpokladu, ze A je algebra. Koreknost denice [a 1 ] = [b 1 ] ; :::; [a n ] = [b n ] ) (a 1 ; b 1 ). (a n ; b n )! [(a 1 ; :::; a n )] = [(b 1 ; :::; b n )] neboli je slucitelne s, pro algebry je denice korektn prave tehdy, kdyz je kongruence. Dukaz vety 1.8 je slucitelna s, potom je dobre denovana na A =.??? Je : A! A = slucitelna s??? ")" ((a 1 ; :::; a n )) def = [(a 1 ; :::; a n )] = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = ( (a 1 ); :::; (a n )) tj. je slucitelne s 8

"(" Je-li slucitelne s... ker =, potom je korektne denovano, tedy ker je slucitelne s ) je slucitelne s... a druhy bod se dokaze pouzitm prvnho bodu na vsechny operace algebry. denice Grupoidem nazveme algebru G( ) s binarn operac. Prvek e nazveme neutralnm prvkem grupoidu G( ), pokud e g = g e = g 8g 2 G Rekneme, ze algebra M( ; e) je monoid, pokud je asociativn binarn operace a e je neutraln prvek M( ) prklady X 6= ;...mnozina znaku, M(X) mnozina slov na abecede X operace x 1 x 2 :::x n y 1 :::y m = x 1 :::x n y 1 :::y m e je prazdne slovo Potom M(X)(; e) je monoid X 6= ;, T (X) = ff : X! Xjf zobrazeng, potom T (X)(; id X ) je monoid T -telesom M n (T )-ctvercove matice nad T. M n (T )( ; I n ) je monoid det : M n (T )! T je homomorsmus monoidu M n (T )( ; I n ) a T ( ; 1) Poznamka 1.9 Necht' G( ) je grupoid. Pak na G existuje nejvyse jeden neutraln prvek. Dukaz Potom Pro spor necht' f; g 2 G jsou 2 ruzne neutraln prvky. e = e f = f poznamka 1.10 Necht' M( ; e) je monoid, necht' a; b; c 2 M tak, ze e = a b = c a, pak b = c c = c e = c (a b) asoc: = (c a)b = e b = b denice Je-li M( ; 1) monoid, potom prvek m 1 nezveme inverznm prvkem, pokud m m 1 = m 1 m = 1. Prvek je invertibiln, existuje-li j nemu inverzn prvek. 9

prklady M(X) obsahuje pouze jeden invertibiln prvek, a to prazdne slovo. v T (X) jsou invertibiln prave bijekce X nekonecna... 9f 2 T (X) pro nej najdeme nejake g 2 T [x] : g f 2 Id, ale f nen invertibiln naprklad f : N! N n! 2n g : N! N n! d n 2 e g(f(x)) = Id, ale f(g(x)) nen na, protoze f nen na. denice Podmonoidem nazveme podalgebru monoidu M( ; 1) poznamka 1.11 Necht' M( ; 1), pak M mnozina vsech invertibilnch prvku tvor podmonoid, navc kazdy inverzn prvek k nejakemu invertibilnmu prvku je tez invertibiln Dukaz M = fm 2 Mj9n 2 M : n m = m n = 1g 1 1 = 1, tj. 1 je inverzn sama k sobe ) 1 2 M (uzavrenost na operaci "1") Necht' a; b 2 M, tj. 9c; d 2 M Tedy a c = c a = 1 b d = d b = 1 {z} a (a b) (d c) asoc: = a (b d) c = a 1 c = a c = 1 (d c) (a b) = d (c a) b = d b = 1 Tedy (a b) 2 M a tm jsme overili uzavrenost na m 2 M 9n n m = m n = 1 neboli m je inverznm prvkem pro n denice Rekneme, ze G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud G( ; 1) je monoid a 1 je unarn operace inverznho prvku 1 : G! G 8g 2 G : g g 1 = g 1 g = 1 10

poznamka 1.12 Necht' M( ; 1) je monoid, M mnozina vsech invertibilnch prvku, d M : M M! M m d M n = m n m; n 2 M a 1 prirad kazdemu prvku z M inverz. Potom M ( d M ; 1 ; 1) je grupa. z denice grupy a poznamky 1.11 prklady T (x)(; Id) - monoid, podle 1.12, (T (x)) = S(x) vsechny bijekce, pak S(x)(; 1 ; Id) je grupa, specielne S(f1; :::; ng) jsou permutace na f1; :::; ng M n (T )( ; I n ) GL n (T )( ; 1 ; I n ) je grupa, kde GL n (T ) jsou invertibiln matice nad telesem T denice Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Rekneme, ze H G je podgrupa grupy G( ; 1 ; 1), pokud H je podalgebra algebry G( ; 1 ; 1) Rekneme, ze podgrupa H je normaln, plat-li 8g 2 G 8h 2 H : g h g 1 2 H Rekneme, ze grupa je komutativn, je-li jej binarn operace komutativn poznamka 1.13 Vsechny podgrupy komutativn grupy jsou normaln Necht' G( ; 1 ; 1) je komutativn grupa, H je podgrupa G, g 2 G, h 2 H prklad g h g 1 komut: = g g 1 h = 1 h = h 2 H S (f1; 2; 3g) ( ; 1 ; Id) fid; (12)g je podgrupa... (13) (12) (13) {z } 1 = (23) =2 H, tj. H nen normaln (31) VETA 1.14 Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa. Pak je kongruence na grupe G( ; 1 ; 1) prave tehdy, kdyz [1] je normaln podgrupa (g; h) 2, g 1 h 2 [1] 11

")" [1] je podgrupa { (1; 1) 2 - reexivita ) 1 2 [1] - uzavrenost na 1. { h 2 [1] tzn. (1; h) 2, a protoze je slucitelna s 1 - uzavrenost na 1 0 1 @ 1 1 ; h 1 {z} 1 A 2 ) h 1 2 [1] { h 1 ; h 2 2 [1] tzn. (1; h 1 ) 2 a (1; h 2 ) 2, a protoze je slucitelna s, tedy 0 1 @ 1 1 ; h 1 h 2 A 2 ) h1 h 2 2 [1] - uzavrenost na {z} 1 [1] je normaln Necht' g 2 G, h 2 [1], tedy (1; h) 2. je ekvivalence, tedy (g; g) 2 a (g 1 ; g 1 ) 2 Vme, ze je slucitelna s, takze Tedy (g 1; g h) 2 &(g 1 g 1 ; g h g 1 ) 2 {z } 1 g h g 1 2 [1] (g; h) 2, (g 1 ; g 1 ). Protoze je slucitelne s (g 1 g {z } =1 ; g 1 h) 2 ) g 1 h 2 [1] g 1 h 2 [1] tj. (1; g 1 h) 2, ale je kongruence, takze (g; g) 2, a protoze je slucitelna s (g 1; g g 1 h) = (g; h) 2 H je normaln podgrupa : (g; h) 2 def tedy 1 2 H? ekvivalevnce? "(" g 1 h 2 H, kazda podgrupa je uzavrena na 0-arn operaci, 12

{ (reexivita) g 1 g = 1 2 H ) (g; g) 2 ) g 1 h 2 H, pak (g 1 h) 1 2 H, kvuli uzavrenosti na 1. (g 1 h) 1 = h 1 (g 1 ) 1 = h 1 g def ) (h; g) 2 { (symertie) (g; h) 2 def { (transitivita) (g; h) 2 ; (h; r) 2 def ) g 1 h 2 H; h 1 r 2 H, a protoze H je uzavrena g 1 r = (g 1 h) (h 1 r) 2 H def ) (g; r) 2?slucitelnost se vsemi operacemi? 1 2 H { (1; 1) 2, nebot' je reexivn { (g; h) 2 {z } 1 def ) g 1 h 2 H H normaln{ ) g (g 1 h) g 1 = hg 1 = (h 1 ) 1 g 1 2 H Tedy je slucitelne s 1 { (g 1 ; h 1 ); (g 2 ; h 2 ) 2 ) (h 1 ; g 1 ) 2 ) (g 1 ; h 1 ) 2 def ) g 1 1 h 1 ; g 1 2 h 2 2 H H normaln{ ) h 2 g 1 2 = g 2 g 1 2 h 2 g 1 2 2 H ) g 1 2 g 1 H normaln{ 1 h 1 h 2 g 1 2 g 2 2 H {z } ) (g 1 g 2 ) 1 (h 1 h 2 ) 2 H ) (g 1 g 2 ; h 1 h 2 ) 2 [1] = h 2 Hj(1; h) 2 (tj: h = 1 1 h 2 H) 1 znacen Necht' G( ; 1 ; 1) je grupa, H je kongruence, H = [1] H (toto jednoznacne denuje tu kongruenci). G = ( ; 1 ; [1] H ) se obvykle znac G =H ( ; 1 ; [1] H ) Prklady Z(+; ; 0) je komutativn grupa. nz...nsechny celocselne nasobky n! podgrupy Z(+; ; 0), ktere jsou podle 1.13 normaln. Regularn matice GL n (T )( ; 1 ; I n ) Normaln podgrupou jsou naprklad konstantne diagonaln matice (vsechny prvky na diagonale jsou stejne) nebo matice se stejnym determinantem S n...permutace na f1; :::; ng A n - sude permutace tvor normaln grupu G( ; 1 ; 1) je grupa, pak [1], G jsou trivialn normaln grupy. 13

2 Uzaverove systemy na algebre denice Rekneme, ze C P(A) je uzaverovy system na mnozine A, pokud (1) A 2 C (2) B C ) T B = T B2B B 2 C denice Je-li C uzaverovy system, pak je uzaver mnoziny B A cl C (B) = \ fc 2 CjB Cg denice Zobrazen : P(A)! P(A) nazveme uzaverovym operatorem, pokud (1) B (B) 8B A (2) ((B)) = (B) (3) B C A! (B) (C) (monotonie) prklad V...vektorovy prostor, V...vsechny podprostory V. V je uzaverovy system: X V cl V (X) = L poznamka 2.1 1. Necht' A je mnozina s operac. Pak vsechny podmnoziny uzavrene na tvor uzaverovy system na A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny podalgebry tvor uzaverovy system na A. 1. viz. poznamka 1.1, (2) z denice 2. vlastnost (1), A je trivialne uzavrena na VETA 2.2 1. Necht' C je uzaverovy system na A. Pak uzaver cl C je uzaverovy operator. 2. Necht' : P(A)! P(A) je uzaverovy operator na mnozine A. Potom C = fc 2 P(A)j(C) = Cg je uzaverovy system a cl C = 14

1. C...uzaverovy system Nejdrve overme axiom (1) \ cl C (B) = fc 2 CjB Cg 8C:BC ) B cl C (B) (2) prvn inkluze je trivialn druha je jiz trosku tezs cl C (cl C (B)) (1) cl C (B) 2 C cl C (B) 2 fc 2 Cjcl C (B) Cg cl C (B) \ fc 2 Cjcl C (B) Cg = cl C (cl C (B)) B 1 B 2 A fc 2 CjB 1 Cg fc 2 CjB 2 Cg cl C (B 1 ) = \ fc 2 CjB 1 Cg \ fc 2 CjB 2 Cg = cl C (B 2 ) 2....uzaverovy operator Je C = fc 2 P(A)j(C) = Cg uzaverovy system? A (A) A ) A = (A) ) A 2 C C i 2 C i 2 I (C i ) = C i \ i2i C i \ i2i \ i2i C i! C i C j j 2 I ) \ i2i C i! (C j ) = C j 8j 2 I \ i2i \ i2i C i! C i! \ j2i C j = [ i2i ) \ C i 2 C tj. C je uzaverovy system 15

3. = cl C, dokazeme 8B (B) = cl C (B) 4.?(B) cl C (B)? ((B)) = (B) ) (B) 2 C B (B) ) cl C (B) cl C (B) = \ fc 2 PjC = (C) & B Cg B C ) (B) (C) = C ) (B) vsech takovych mnozin, tedy je i v jejich pruniku, a tedy (B) cl C (B) To jest (B) = cl C (B) 8B 2 A prklad Z(+; ; 0), n i 2 N, n i Z = fn i zjz 2 Zg. Potom \ i2z n i Z = gcd(n 1 ; :::; n k )Z Neboli lez v uzaverovem systemu vsech podgrup poznamka 2.3 P Vsechny uzaverove systemy na A tvor uzaverovy system na P(A) je trivialne uzaverovy system. C i - uzaverove systemy na A, i 2 I B \ C i ) B C i 8i 2 I Ci uz: system ) \ B 2 Ci 8i 2 I ) \ B 2 \ i2i C i poznamka 2.4 Necht' A B jsou uzaverove systemy na A a C D A. Pak cl B (C) cl A (D) 16

fb 2 BjC Bg fa 2 AjC Ag (tato inkluze plyne z velikosti mnozin) ) cl B (C) = \ fb 2 BjC Bg \ fa 2 AjC Ag = cl A (C) z denice a (2.2) ) cl A (C) cl A (D) cl B (C) cl A (C) cl A (D) poznamka 2.5 Vsechny reexivn (symetricke, transitivn) relace i ekvivalence na mnozine A tvor uzaverove systemy na A A R... vsechny reexivn relace na A S... vsechny symetricke relace na A T... vsechny transitivn relace na A E... vsechny ekvivalence na A E = R \ S \ E A A 2 E(R; S; T ), tm je overena prvn podmnka uzaveroveho systemu i 2 R i 2 S (a; b) 2 \ i2i i 2 T id i 8i 2 I ) id \ i2i i 2 R i ) (a; b) 2 i 8i symetrie ) (b; a) 2 i 8i 2 I ) (b; a) 2 \ i 2 S (a; b); (b; c) 2 \ i ) (a; b); (b; c) i 8i 2 I ) (a; c) 2 i ) (a; b) 2 \ i ) \ i 2 T E je prunik uzaverovych systemu a vsechny uzaverove systemy na mnozine tvor uzaverovy system. Proto E mus byt tez uzaverovy system. 17

poznamka 2.6 1. Necht' je operace na A. Pak vsechny ekvivalence slucitelne s tvor uzaverovy system na A A 2. Necht' A( i ji 2 I) je algebra. Potom vsechny kongruence na A tvor uzaverovy system na A A 1. A A je trivialne slucitelne s Necht' i je ekvivalence slucitelne s, i 2 I. Potom T i je podle poznamky 2.5 tez ekvivalence Necht' a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A a (a j ; b j ) 2 T i2i i 8j = 1; :::; n ) (a j ; b j ) 2 i 8i 2 I 8j = 1; :::; n ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 i 8i 2 I ) ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 \ i2i i neboli je slusitelna s ekvivelenc vzniklou prunikem ekvivalenc slucitelnych s 2. E i...mnozina vsech ekvivalenc slucitelnych s i tvor uzaverovy system. KOngruence je podle denice slucitelna se vsemi operacemi kongruence= T i2i E i - tedy dle poznamky 2.3 uzaverovy system Necht' je relace na A. Pokud je reexivn (resp. symet-, + je opet reexivn (resp. symetricka) poznamka 2.7 ricka), tak [ Necht' je reexivn id [ id + = f(a; b) 2 A Aja 0 ; :::; a n 2 A; a 0 = a; a n = b; (a i 1 ; a i ) 2 8i 2 1; :::; ng Necht' je symetricka = [ 1 (a; b) 2 + z denice a 0 ; :::; a n 2 A tz. a 0 = a, a n = b, (a i 1 ; a i ) ) ) (a i ; a i 1 ) 2 ) (a n ; a 0 ) 2 + 18

VETA 2.8 Necht' je relace na A. Potom ( [ id) [ ( [ id) + = ( [ [ id) + je nejmens ekvivalence obsahujc relaci (E-ekvivalence na A, cl E () = ( [ [ id) + ) [ id je reexivn ( [ id) S ( [ id) je reexivn a symetricka relace := (( [ id) S ( [ id) ) + je ekvivalence Dale je treba dokazat jej minimalitu cl E () ( [ id) cl E [ id = cl E () ( [ [ id) ( [ id) 1 cl E () [ cl E ( ) = cl E () + cle () + = cl E () ( [ id) [ ( [ id) denice Necht' A je algebra, A je system vsech podalgeber, X A. Rekneme, ze X generuje (podalgebru) cl A (X) poznamka 2.9 Necht' A( i ji 2 I), B( i ji 2 I) jsou algebry stejneho typu. Necht' f; g : A! B jsou homomorsmy. Pokud X generuje A a f(x) = g(x) 8x 2 X, pak f = g Y = fy 2 Ajf(y) = g(y)g = X A( i ) f ( i (y 1 ; ::; y n )) = i (f(y 1 ); :::; f(y n ))) = i (g(y 1 ); :::; g(y n )) = g ( i (y 1 ; :::; y n )) ) Y je uzavrena na i 8i 2 I, tj. Y je podalgebra, X Y a X dle predpokladu generuje A, tedy Y = A 19

prklady Necht' Z(+; ; 0) je grupa a G(+; ; 0) algebra, obe jsou stejneho typu. Necht' f; g : Z! G jsou homomorsmy {z } n < f1g >= f1 + ::: + 1 jn 2 Ng [ f0g [ f( 1) + ::: + ( 1)jn 2 Ng = Z {z } n M(X) - vsechna slova nad psmeny z X, M(X)( ; e) G( ; e) je nejaky monoid Y G tak, ze < Y >= G < X >= M(X) f; g : M(X)! G( ; e) f(x) = g(x) 8x 2 X 2:9 ) f = g M(Y )( ; e) 9!' : M(Y )! G ' je homomorsmus ker ' - kongruence na M(Y ), '(y) 8y 2 Y 3 Isomorsmy algeber denice Necht' A, B jsou algebry stejneho typu. A ' B (A je isomorfn B), pokud 9f : A! B vzajemne jednoznacny homomorsmus (isomorsmus). poznamka 3.1 Necht' M je mnozina algebra, pak ' tvor ekvivalenci na M. z (1:2) Id : A! A je isomorsmus ) reexivita ', symetrie a transitivita denice Necht' je dvojice ekvivalenc na A. Pak = je relace na A = dana predpisem ([a] ; [b] ) 2 = (a; b) 2 poznamka 3.2 na A = Necht' jsou ekvivalence na A. Pak = je ekvivalence plyne okamzite z reexivity, symetrie a transitivity relace. poznamka 3.3 Necht' A je algebra, bud' kongruence na A obsahujc. Pak je kongruence na A prave tehdy, kdyz = je kongruence na algebre A = 20

")" dle 3.1 = je ekvivalence na A = Necht' je libovolna n-arn operace na A a na A = a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n 2 A ([a i ] ; [b i ] ) 2 = ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) = [(a 1 ; :::; a n )] ([b 1 ] ; :::; [b n ] ) = [(b 1 ; :::; b n )] Vme, ze ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 a podle denice = (([a 1 ] ; :::; [a n ] ); ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = "(" = je kongruence, je ekvivalence ma A. Dokazujeme, ze je slucitelna s Predpokladam a 1 ; :::; a n ; b 1 ; :::; b n (a i ; b i ) 2 ) ([a i ] ; [b i ] ) 2 = dale ( ([a 1 ] ; :::; [a n ] ) ; ([b 1 ] ; :::; [b n ] )) 2 = tedy dle denice ((a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n )) 2 poznamka 3.3 1. Necht' f : A! B je zobrazen slucitelne s operac, kde je operace na A a B stejne arity. Necht' je ekvivalence na A slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelna s. Pak existuje zobrazen g : A =! B slucitelne s splnujc podmnku g = f, ker f Navc g je bijekce prave tehdy kdyz = ker f 2. Necht' f : A! B je homomorsmus algeber A, B stejneho typu a je kongruence na A. Pak existuje homomorsmus g : A =! B takovy, ze g = f, ker f Navc g je isomorsmus prave tehdy kdyz g je na a = ker f (veta o homomorsmu) 21

1. Podle poznamky 1.6 9 zobrazen g : A =! B : g = f ) ker f, chceme dokazeme, ze g ([a] ) = g (a) = f(a) 8a 2 A ")" prmo z poznamky 1.6(4)) ker f "(" vme, ze 9g - zobrazen a chceme dokazat, ze je slucitelne s VETA 3.4-1. veta o isomorsmu Necht' f : A! B je homomorsmus algeber stejneho typu. Pak f(a) je podalgebra B (tzn. je stejneho typu) a A =ker f ' f(a) f : A! f(a) je podalgebra B (viz poznamka 1.3) podle poznamky 3.3(2.) je = ker f 9g : A =ker f! f(a) podle 3.3(2) ker f = a f je na f(a), potom g je isomorsmus VETA 3.7 Necht' jsou dve kongruence na algebre A. Pak A === ' A = A! A = A! A = Vme, ze, ker = Z poznamky 3.3 9g : A =! A = g([a] ) = [a] je homomorsmus dle 3.3 ker g = f([a] ; [b] )j[a] = [b] g to je podle denice = g je na, a tedy dle 1. vety o isomorsmu A ==ker g ' A = a z toho hned plyne tvrzen 22

4 Svazy denice Rekneme, ze relace na M je usporadan, pokud je reexivn, transitivn a slabe antisymetricka, neboli prklady a b&b a ) a = b P(X) - potence na X, pak je usporadan Z a "standardni" na N relace "j" je taktez usporadan Id na M - extremn prpad denice Necht' je usporadan na M 6= ; a A M. Rekneme, ze m 2 A je nejvets (nejmens) prvek A, pokud 8a 2 A : a m (m a) denice Rekneme, ze sup (A) (resp. inf (A) 2 M) je supremum (resp. inmum) mnoziny A, pokud sup (A) je nejmens prvek z mnoziny fm 2 Mja m 8a 2 Ag. Inmum je nejvets doln zavora denice Rekneme, ze dvojice (M; ) je svaz, pak existuje sup (fa; bg) a inf (fa; bg) pro (kazda dve) a; b 2 M denice O svazu (M; ) rekneme, ze je uplny, existuje-li supremum i inmum pro kazdou (i nekonecnou) podmnozinu M denice Zavedeme binarn operace _ a ^ na M predpisem a; b 2 M a ^ b = inf (fa; bg) a _ b = sup (fa; bg) poznamka 4.1 8a; b; c 2 M: (S1) komutativita (S2) idempotence a ^ b = b ^ a a _ b = b _ a a ^ a = a = a _ a 23

(S3) asociativita (S4) absorbce a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c a _ (b _ c) = (a _ b) _ c a ^ (b _ a) = a a _ (b ^ a) = a (S1) a (S2) jsou trivialn (S3) stac dokazat, ze a ^ (b ^ c) =? inf (fa; b; cg) (= c ^ (a ^ b)) {z } =:i z denice i a; i b; i c i (b ^ c) i a ^ (b ^ c) a ^ (b ^ c) a a ^ (b ^ c) (b ^ c) b a ^ (b ^ c) (b ^ c) c slaba antisymetrie a ^ (b ^ c) i ) a ^ (b ^ c) = i Pujdeme-li z druhe strany, tak to taky vyjde, cmz mame existenci (S4) a ^ (b _ a) a a a (reexivita) a b _ a (horn odhad)) a a ^ (b _ a) Tedy ze slabe antisymetrie a = a ^ (b _ a) poznamka 4.2 Necht' M(^; _) je algebra s dvojic binarnch operac splnujcch podmnky (S1)-(S4). Denujeme na M relaci predpisem a b def: a _ b = b Pak (M; ) je svaz a a ^ b = inf (fa; bg) a a _ b = sup (fa; bg) 24

tm je dokazana reexivita (S1)a ^ a = a (S1)a _ a = a ) a a a b b c ' b = a _ b c = b _ c c = (a _ b) _ c S3 = a _ (b _ c) = a _ c {z } =c Neboli a c a tm je hotov transitivity a b; b a ) b = a _ b S1 = b _ a = a A to je presne slaba symetrie Neboli takto denovana relace tvor usporadan na M Dale a ^ b = a ^ (a _ b) S1 = a ^ (b _ a) S4 = a Touto rovnost je dokazan vztah a b, a = a ^ b Dale budeme predpokladat (c d ) c = c ^ d) (a ^ b) ^ a S1 = a ^ (a ^ b) S3 = (a ^ a) ^ b S2 = a ^ b tj. (a ^ b) a, pro (a ^ b) ^ a dostanu podobnym postupem a ^ b b, tj. a ^ b je dolnm odhadem pro fa; bg Vezmu c a; b, c = c ^ a c ^ (a ^ b) S3 = (c ^ a) ^ b = c ^ b = c ) c (a ^ b) To znamena, ze a ^ b je nejvets v mnozine dolnch odhadu, a ^ b pak mus byt inmum fa; bg. dusledek (S; )! S(^; _)! (S; ~) )= ~ S(^; _)! (S; )! S(^; _) ) ^ = ^; _ = ^ Dky tomu mame jednoznacnou korespondenci svazu a pruseku+sloucen. Dale budeme svazem nazyvat i algebry S(^; _) splnujcm (S1)-(S4). VETA 4.3 Kazdy uzaverovy system je uplnym svazem S(C; ), B C sup B [! [ = cl C ( B) = cl C B B2B inf B \ = B \ = B B2B 25

plyne ihned z vlastnost uzaveroveho systemu znacen Vezmu svaz (S; ). Rekneme, ze a pokryva b, a; b 2 (a < b), pokud b 6= a, b a, b c a ) b = c _ a = c: Necht' f resp. g 2 S je nejvets resp. nejmens prvek S, potom a resp. b nazveme atomem resp. koatomem svazu S, pokud f < a resp. b < e Hasseovym diagramem svazu nazvu orientovany graf s vrcholy S. Mezi a a b bude hrana vedouc od a k b, pokud a < b poznamka 4.4 Je-li S(^; _) svaz, pak S(_; ^) je take svaz Plyne hned z 4.1 a 4.2. poznamka 4.5 Necht' (S; ) je svaz a a; b; c 2 S. Pokud a c, potom a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c a (a _ b) a a c, tedy a (a _ b) ^ c b ^ c b a _ b a b ^ c c, tedy (b ^ c) (a _ b) ^ c Tedy a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c denice O svazu S(^; _) rekneme, ze je modularn, pokud plat 8a; b; c 2 S a c ) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c denice Necht' je usporadan na A a na B. Rekneme, ze zobrazen f : A! B je monotonn, pokud a 1 a 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). poznamka 4.6 Necht' f : A! B je homomorsmus svazu A(^; _) a B(^; _). Potom f je monotonn. Necht' a 1 a 2 (, a 2 = a 1 _ a 2 ). f(a 2 ) = f(a 1 _ a a2 ) homomorfismus = f(a 1 ) _ f(a 2 ) Podle denice potom f(a 1 ) f(a 2 ) poznamka 4.7 Necht' f : A! B je bijektivn zobrazen dvou svazu (A; ) a (B; ). Pak f je isomorsmus svazu, f i f 1 jsou monotonn zobrazen 26

" ) " f; f 1 jsou isomorsmy, tedy podle poznamky 4.6 jsou obe zobrazen monotonn f; f 1 stac ukazat, ze f je slucitelne s _, zbytek uz plyne ze symetri. Necht' a; b 2 A. Necht' a a _ b, b a _ b. Zobrazen f je monotonn, takze mame ) f(a) _ f(b) {z } nejmens{ horn{ odhad f(a) f(a _ b) f(b) f(a _ b) Dale necht' d = f(a) _ f(b). f(a) d a f(b) d, vme ze f 1 jsou monotonn Opet pouzijeme monotonnost f Dky slabe symetrii, (1) a (2) Neboli f je slucitelne s _ f(a _ b) {z } (1) nejaky horn{ odhad a = f 1 (f(a)) f 1 (d) b = f 1 (f(b)) f 1 (d) a _ b f 1 (d) f(a _ b) f f 1 (d) = d = f(a) _ f(b)(2) f(a _ b) = f(a) _ f(b) " ( " poznamka 4.8 Necht' C je uzaverovy system lez v mnozine vsech ekvivalenc na A. Necht' N je nejaky podsystem P(A) a e 2 A tak, ze 2 C ) [e] 2 N N 2 N ) 9ekvivalence 2 C, ze N = [e] =rho [e] [e] pro ; 2 C ) Pak N je uzaverovy system (a tudz svaz) a zobrazen ' : C! N dane predpisem '() = [e] je svazovy isomorsmus. 27

A = [e] A A A A 2 C, A A je ekvivalence a to ta nejets, takze lez v C. A = faj(e; a) 2 A Ag 2 N (to plat z prvnho predpokladu) Necht' N i 2 N i 2 I, potom s vyuzitm druheho predpokladu 9 i 2 C N i = [e] i VETA 4.9 Nevht' G( ; 1 ; 1) je grupa, pak svaz vsech kongruenc na G je isomorfn svazu vsech normalnch podgrup G (s usporadanm ) \ i2i = \ i2i [e] i = fa 2 Aj(e; a) 2 i 8i 2 Ig = [e]ti2i i 2 N T i 2 C, nebot' C je uzaverovy system Je ' bijekce? dobre denovane zobrazen je to na 8N 2 N prirad [e] [e] ) - a stejne pro =; Tedy ano, ' je bijekce '; ' 1 je prmo z denice monotonn 4:7 ) ' je isomorsmus svazu. Dukaz Necht' C jsou vsechny kongruence na G 2 C ) [1] 2 N kde N jsou vsechny normaln podgrupy G Z 4.8 evidentne plat [1] [1], (a; b) 2 1:14 ) a b 1 2 [1] [1], (a; b) 2 Tedy z 4:8 je N uzaverovy system a ' je isomorsmus denice Necht' A; B jsou mnoziny a : P(A)! P(B), : P(B)! (P )(A). Rekneme, ze ; tvor Galiosovu korespondenci, plat-li 8A 1 ; A 2 2 P(A); B 1 ; B 2 2 P(B) (1) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) B 1 B 2 ) (B 1 ) (B 2 ) (2) A 1 (A 1 ); B 1 (B 1 ) 28

poznamka 4.10 Necht' : P(A)! P(B) a : P(B)! P(A) je Galoisova korespondence. Pak (respektive ) je uzaverovy operator na P(A) (resp. na P(B)). Necht' A resp B je uzaverovy sysem na A resp. B prslusny resp.. Dale (A) B, (B) A. Restrikce resp. na A resp B (oznacme je 0 : A! B, 0 : B! A) jsou vzajemne inverzn bijekce nejdrve dokazme, ze je uzaverovy operator ( symetricky) (2) ) A 1 (A 1 ) A 1 A 2 ) (A 1 ) (A 2 ) ) (A 1 ) (A 2 ) Tm je dokazana monotonie?(()()) (A 1 )? = (A 1 )? (A 1 ) (2) ((A 1 )) B 1 = (A 1 ) (2) ((A 1 )) (1 ) (A 1 ) (A 1 ) Tedy mame uzaverove systemy?(a) B? (symetricky (B) A) Necht' A 1 2 A ) (A 1 ) = A 1 A = fa 1 2 P(A)j(A 1 ) = A 1 g B = fb 1 2 P(B)j(B 1 ) = B 1 g ( ((A 1 ))) = ((A 1 )) = (A 1 ) ) (A 1 2 B) 0 0 : B! B? = Id B 0 0 : A! A? = Id A Jinymi slovy to znamena, ze 0 a 0 jsou bijekce a jsou k sobe vzajemne inverzn 5 Grupy 0 0 (B) 1 ) = (B 1 ) predpoklad = B 1 ) 0 0 = Id B denice G( ; 1 ; 1) je grupa, pokud je asociativ binarn operace, 1 je unarn a a 1 = a 1 a = 1 a 1 je neutraln prvek poznamka 5.1 Je-li f zobrazen dvou grup slucitelne s binarn operac, pak f je homomorsmus 29