Projekty do předmětu MF

Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: Obecná fyzika a matematická fyzika Vedoucí předmětu: prof. RNDr. Jiří Bajer, CSc. Termín odevzdání práce: květen 2012

Obsah Úvod 3 1 Gravitační vlny 4 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny....................... 4 1.2 Polarizace gravitační vlny......................... 5 1.3 Typ gravitační vlny............................. 6 2 Metoda zrcadlového náboje 8 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku 8 2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje.............. 11 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry 13 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím....................... 13 3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice................ 13 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu................... 15 3.4 Pohybová rovnice volné částice...................... 16 3.5 Pohybová rovnice fotonu.......................... 18 Závěr 20 Literatura 21 2

Úvod Cílem předmětu bylo vypracovat tři projekty z oblasti matematické fyziky, podle vlastního návrhu, nebo podle návrhu vedoucího předmětu. V minimálně v jeden případ zpracovat na počítači. První část se zabývá gravitačními vlnami v plochém prostoročase. Druhá elektrostatickým polem generovaným bodovým nábojem a vodivým diskem s využitím metody zrcadlového náboje. Třetí část je věnována pohybu částic a světelných paprsků v okolí černé díry popsané Schwarzschildovou metrikou. Obrázky jsou vytvořeny v programu Macromedia Flash MX 2004. Pro počítačové modely byl použit program Wolfram Mathematica 6. Text byl vysázen typografickým softwarem L A TEX. Práce byla vypracována na základě znalostí poskytnutých v základním kurzu fyziky a použité literatury. 3

Kapitola 1 Gravitační vlny 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny Do rovnice pro slabou gravitační vlnu dosadíme řešení ve tvaru rovinné monochromatické vlny a ze znalosti tenzorové algebry a de Broglieho vztahu, kde pro jednoduchost volíme = 1, odvodíme rychlost šíření gravitační vlny. h ij = η mn h ij,mn = 0 (1.1) Linearizované rovnice gravitačního pole. označujeme D alambertův operátor h ij velmi malé odchylky od euklidovské geometrie Slabá gravitační vlna h ij 1 η mn kontravariantní složky Minkowského tenzoru,mn druhé parciální derivace podle m-té a n-té souřadnice Pravá strana rovnice (1.1) je rovna 0 Gravitační vlna se šíří vakuem Předpokládáme řešení ve tvaru monochromatické rovinné vlny h ij = H ij e ik lx l (1.2) H ij amplituda gravitační vlny k l l-tá kovariantní složka vlnového čtyřvektoru x l l-tá složka radiusvektoru Provedeme derivaci (1.2) podle m-té a n-té souřadnice a dosadíme do (1.1) η mn H ij k m k n e ik lx l = 0 (1.3) Platí Rovnici (1.3) lze splnit jen pokud η mn k n = k m k m k m = 0 Gravitační vlna se šíří rychlostí světla POZN: k m k m = (p m p m ) = 0 Platí pro fotony a ty jak je známo se pohybují rychlostí c Rychlost šíření gravitační vlny je rovna rychlosti světla. 4

1.2 Polarizace gravitační vlny Složky amplitudy gravitační vlny tvoří symetrický tenzor druhého řádu o deseti složkách. K jejich redukci při zachování měřitelných veličin využijmeme příslušný tvar kalibrační podmínky (1.4). Zbylé složky tenzoru jsou nezávislé a tudíž jim budou odpovídat nezávislé polarizace. Symetrický tenzor H ij = H 00 H 01 H 02 H 03 H 10 H 11 H 12 H 13 H 20 H 21 H 22 H 23 H 30 H 31 H 32 H 33 (1.4) H ij = H ij (1.5) 10 rovnic Kalibrační podmínka = zjednodušení tvaru rovnic při zachování měřitelných veličin Tato podmínka vede po dosazení na tvar Mějme vlnu, která se šíří ve směru osy x 1 h j i,j = 1 2 hk k,i H ij k j = 1 2 Hk k k i (1.6) H k k = H 00 + H 11 + H 22 + H 33 (1.7) k i = ω c ( 1 1 0 0 ) (1.8) a k i = ω c ( 1 1 0 0 ) (1.9) Do rovnice (1.6) dosadíme (1.4), (1.8) a (1.9) H 10 = 1 2 (H 00 + H 11 ) H 21 = H 20 H 21 = H 30 Pak z rovnice (1.5) plyne H ij = H 22 H 23 H 32 H 33 Čtyři komponenty kalibrační podmínky neodstraní Z rovnice (1.5) víme H 23 = H 32 (1.10) a z rovnice (1.7) dostaneme H 22 = H 33 (1.11) Dvě nezávislé složky amplitudy Dvě nezávislé polarizace gravitační vlny NAPŘ: H 22 0,H 23 = 0; H 22 = 0,H 23 0

1.3 Typ gravitační vlny Předpokládáme slabou gravitační vlnu šířící se ve směru osy x 1. Ve dvou případech sledujeme jak se mění prostorová vzdálenost bodů A a B při průchodu gravitační vlny. V prvním případě se body A a B nalézají přímo na ose x 1. V Druhém případě se nalézají na ose x 2, která je na osu x 1 kolmá. Obrázek 1.1: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 1 ( s) 2 = (η ij + h ij )(x i (A) x i (B))(x j (A) xj (B) ) (1.12) ( s) 2 čtverec prostorové vzdálenosti bodů A a B η ij kovariantní složky Minkowského tenzoru (x i (A) xi (B) ) = ni (x j (A) xj (B) ) = nj Pro náš případ n i = n j = ( 0 l 0 0 ) (1.13) Do rovnice (1.12) dosadíme (1.13) a (1.2) za předpokladu (1.10) a (1.11) ( s) 2 = l 2 Po odmocnění vidíme, že nedošlo k žádné změně vzdáleností mezi body A a B nejedná se tedy o vlnu podélnou, jelikož ta by vzdálenosti bodů ovlivnila.

Obrázek 1.2: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 2 Opakujeme předešlý postup s tím rozdílem, že n i = n j = ( 0 0 l 0 ) ( s) 2 = (1 + h 22 )l 2 Došlo ke změně vzdáleností bodů A a B Gravitační vlna je vlnou příčnou

Kapitola 2 Metoda zrcadlového náboje Máme uzemněný vodivý disk o poloměru R kolmý na osu z, ve vzdálenosti a umístíme náboj Q. Úlohy tohoto typu se řeší metodou zrcadlového náboje, kdy předpokládáme fiktivní náboj Q umístěný na záporné části osy z ve vzdálenosti a. Vypočteme potenciál disku v obecném bodě, z-ovou složku intenzity elektrického pole vstupující do disku(ta je postačující k dalším výpočtům), povrchovou hustotu náboje a indukovaný náboj. A zobrazíme průběh hustoty elektrického náboje v závislosti na poloměru disku. Dále uvažujeme nekonečnou rovinu kolmou na osuz s vyříznutým diskovým otvorem o poloměru R, jehož střed splývá s osou z. Dojdeme k závěru, že náboj indukovaný na rovině je roven náboji Q, který je zmenšený o náboj, který by se indukoval na disku o poloměru R. Tedy součet náboje indukovaného na disku a rovině je roven Q, což je intuitivní. Další část je věnována studiu elektrostatického pole disku a náboje. Výpočet potenciálu elektrostatického pole v obecném bodě je v případě nehomogenního rozložení hustoty náboje na disku velmi složité. Volíme proto případ kdy počítáme pouze intenzitu na ose z. 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Obrázek 2.1: Metoda zrcadlového náboje a disk Problém vykazuje válcovou symetrii Válcová soustava souřadnic ( r, α, z ) a vzdálenost náboje Q od disku Q reálný náboj Q fiktivní náboj 8

R poloměr uzemněného disku Průvodiče Jejich velikost je Obrázek 2.2: K výpočtu vzdáleností obecnému bodu r 1 = ( r cos α, r sin α, z a ) r 1 = ( r cos α, r sin α, z + a ) r 1 = 3 x i = r 2 + (z a) i=1 r 1 = r 2 + (z + a) Potenciál elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě [ ] ϕ = 1 n Q i = Q 1 4πε 0 r i 4πε 0 r2 + (z a) 1 2 r2 + (z + a) 2 i=1 Intenzita elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě Ē = 1 n Q i r 4πε 0 ri 3 i = Q ( 1 r 4πε 0 r1 3 1 1 ) r r2 3 2 i=1 K určení hustoty náboje indukované na povrchu disku nám postačí z-ová komponenta Ē aq Ē z = 2πε 0 (r 2 + a 2 ) 3 2 Z relace pak Ze vztahu σ = ε 0 Ē z aq σ = 2π(r 2 + a 2 ) 3 2 Q I = S σds kde v našem případě ds = rdrdα pak indukovaný náboj na povrchu disku je roven Q I = aq R 0 r dr (r 2 + a 2 ) 3 2

Substituce t = r 2 + a 2 ; dt = 2rdr; dr = dt 2r Vede po dosazení na R [ ] [ R 1 1 a ] R Q i = aq dt = aq = aq 2 + a 2 0 2t3/2 r2 + a 2 0 a R 2 + a 2 PŘÍKLAD: R = 5; a = 1; Q = 1; Plot[ a Q/(2 Pi (r^2 + a^2)^(3/2)), {r, -R, R}, PlotRange -> All, Filling -> Bottom, AxesLabel -> {r, \[Sigma]}] Obrázek 2.3: Příklad rozložení hustoty elektrického náboje na disku v závislosti na r Qi = N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}]), 9] -0.803883865 Uvažujme ještě případ, kdy máme nekonečnou vodivou rovinu a v ní diskovitý otvor, pak náboj indukovaný na rovině je roven Tedy součet Což intuitivně odpovídá. Pro náš konkrétní případ Q I2 = aq R r dr = aq (r 2 + a 2 ) 3 2 R2 + a 2 Qi + Q I2 = Q N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}])+ Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, R, Infinity}]), 9] -1

2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje Snaha o výpočet elektrostatického pole disku s nerovnoměrným rozložením plošné hustoty náboje Obrázek 2.4: K výpočtu potenciálu disku s nehomogenním rozložením plošné hustoty náboje v obecném bodě r 5 = ( r cos α, r sin α, z ) r 4 = ( ρ cos θ, ρ sin θ, 0 ) r 6 = r 5 r 4 Velikost r 6 r 6 = r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ) Výpočet potenciálu z plošné hustoty náboje ϕ = 1 4πε 0 Po dosazení ϕ D = aq 4πε 0 2π R 0 0 S σ r 6 ds ρ 2 1 dρdθ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Neznám metodu, kterou bych tento integrál spočetl + nepomůže ani Mathematica Potenciál disku(d) a bodového náboje(bn) { ϕ D+BN = Q 1 2π } R 4πε 0 [r 2 + (z a)] ρ 2 dρdθ 1/2 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Další postup by byl výpočet intenzity elektrostatického pole Ē = gradϕ D+BN

Následné zobrazení intenzity elektrostatického pole v Mathematice. Případné zjednodušení úlohy, kdy uvažujeme pole jen na ose z ϕ D = aq R ρ 2 dρ 2ε 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 (ρ 2 + z 2 ) 1/2 vede tento integrál na eliptické funkce, které úvodní kurzy matematiky na bakalářském studiu neobsahují. Nicméně je možné vypočítat intenzitu pole od disku na ose z ze vztahu Velikost tomto případě a dē = 1 dq i r 4πε 0 r6 3 6 Q i = r 6 = ρ 2 + z 2 aqρ dρ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 Po dosazení E D = aq R ρz dρ 4πε 0 0 ((ρ 2 + a 2 )(ρ 2 + z 2 )) 3/2 Po integraci a dosazení mezí E D = aq z( a 2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 4πε 0 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 ) Celková intenzita na ose z je [ E = aq 1 4πε 0 (r 2 + (z + a) 2 ) z( a2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) ] (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 3/2 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 )

Kapitola 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry S využitím variačního principu v obecné teorii relativity sestavíme pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetříme průběhy potenciálů, zobrazíme je v Mathematice a stanovíme vzdálenosti kruhových orbit. V Mathematice vykreslíme pohyby částic a fotonů pro námi navolené parametry. 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím δs = δ τ2 τ 1 Ldτ = 0. S akce L Lagrangian τ vlastní čas částice, v případě fotonu je nutné nahradit jakýmkoli afinním parametrem λ problém vede na Lagrangeovy rovnice 2.druhu kde d dτ [ ] L ( ) dx i dτ L = g ij dx i dτ L x i = 0 Pokud dl dx = 0 i tak existují tzv. cyklické souřadnice a k nim příslušející zobecněné hybnosti dx j dτ následně s využtím sestavíme analogii Binetova vzorce p i = L ( ) dx i dτ g ij p i p j = m 2 (3.1) 13

3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice Pracujeme v soustavě jednotek, kde c = G = 1, uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině θ = π/2 ( ds 2 = 1 r g r ) dt 2 + ( dr2 1 r g ) + r 2 dφ 2 r vnější Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole r g gravitační poloměr...zde je úniková rychlost rovna rychlosti světla r radiální souřadnice Platí ds 2 = g ij dx i dx j. pak L = [ ( 1 r ) g dt 2 r dτ 1 ( 2 1 r g r ] 1/2 ) dr2 dφ2 r2 dτ 2 dτ 2 Sestavení Lagrangeových rovnic 2. druhu cyklické souřadnice t a φ dvě zobecněné hybnosti ( p t = 1 r ) g dt r dτ = Ẽ Ẽ energie vztažená na jednotku hmotnosti p φ = r 2 dφ dτ = L L moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti Dosadíme do rovnice (3.1) a upravíme ( ) 2 dr ( = dτ 2 Ẽ2 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 (3.2) Výraz U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy ( U ef = 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 du ef dr 2 L 2 r + r g 3 r + 3 L 2 r g = 0 r 4 Kvadratickou rovnici pro proměnnou r, jejiž kořeny jsou (po dosazení r g = 2M) r 1,2 = L [ ] 2 1 ± 1 12M 2 2M L 2 L > 12M = 0

PŘÍKLAD: V[u_, L_] := -u + L^2 u^2/2 - L^2 u^3 L=5 veff = Plot[V[1/r, L_], {r, 2.5, 80}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 80}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.1: Příklad závislosti efektivního potenciálu volné částice na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima a minima efektivního potenciálu dv[u_, L_]] := -1 + L^2 u - 3 L^2 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex, L] == 0, ex] {{ex -> 0.0464816}, {ex -> 0.286852}} vmin = V[ex /. maxmin[[1]], L] -0.0219855 vmin...minimum efektivního potenciálu(stabilní kruhová orbita) vmax = V[ex /. maxmin[[2]], L] 0.151615 vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu Postupujeme obdobně jako u volné částice jen vlastní čas nahradíme afinním parametrem a pravá strana rovnice (3.1) je rovna 0 ( ) 2 dr = dλ 2 Ẽ2 L 2 ( 1 r ) g r 2 r Výraz U ef = L 2 ( 1 r ) g r 2 r

U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy Pak po dosazení za r g = 2M du ef dr = 0 2r + 3r g = 0 r = 3M PŘÍKLAD: V[u_] := u^2*(1-2*u) veff = Plot[V[1/r], {r, 2, 10}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 10}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.2: Příklad závislosti efektivního potenciálu fotonu na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima efektivního potenciálu PŘÍKLAD: dv[u_] := 2 u - 6 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex] == 0, ex] {{ex -> 0.}, {ex -> 0.333333}} vmax = V[ex /. maxmin[[2]]] 0.037037 vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.4 Pohybová rovnice volné částice Rovnici (3.2) vynásobíme výrazem ( ) 2 dτ = r4 dφ L 2

Standardní substitucí r = 1/u pak Po derivaci a drobné úpravě PŘÍKLAD ( ) 2 du = 2Mu 3 u 2 + 2M L dφ u + Ẽ2 1 2 L 2 d 2 u dφ 2 3Mu2 + u = M L2 E = -0.012 r0 = 20 v0 = -Sqrt[2*E + 1 - (1-2/p0)*(1 + L^2/p0^2)] reseni = NDSolve[{rp [t] == -1/rp[t]^2 + L^2/rp[t]^3-3*L^2/rp[t]^4, phi [t] == L/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == 0}, {rp, phi}, {t, 0, 5000}] ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, 5000}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}] E kinetická energie částice(pohyb po elipse)

Obrázek 3.3: Vykreslení příkladu trajektorie volné částice 3.5 Pohybová rovnice fotonu Obdobně jako u volné částice PŘÍKLAD d 2 u dφ 3Mu2 + u = 0 b=12 r0 = 50 v0 = -Sqrt[1/b^2 - V[1/r0]] phi0 = ArcTan[r0, b] tm = 600; reseni = NDSolve[{rp [t] == 1/rp[t]^3-3/rp[t]^4, phi [t] == 1/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == phi0}, {rp, phi}, {t, 0, tm}] kr1 = ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, tm}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}]; kr2 = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]];

kr3 = Graphics[{LightGray, Disk[{0, 0}, 2]}]; Show[{kr1, kr3, kr2}, PlotRange -> All] DALŠÍ PŘÍKLAD b=sqrt[27] r0 = 3 Obrázek 3.4: Ohyb fotonu v blízkosti černé díry Obrázek 3.5: Vykreslení příkladu kruhové trajektorie fotonu

Závěr Cílem projektu bylo zpracovat tři úlohy z oblasti matematické fyziky. A minimálně jednu úlohu vyřešit numericky na počítači. První úloha se týká gravitačních vln. Monochromatická rovinná gravitační vlna se šíří rychlostí světla. Vykazuje dva základní módy polarizace. Jedná se o příčnou vlnu. Druhá úloha se věnuje metodě zrcadlového náboje. Vypočetli jsme hustotu indukovaného náboje a zobrazili její průběh v závislosti na r a vypočetli na počítači i ručně velikost indukovaného náboje. Při výpočtu potenciálu disku a bodového náboje v obecném bodě, následném výpočtu intenzity a případném vykreslení elektrostatického pole jsme narazili na neřešitelný integrál. Třetí úloha se zabývá pohybem volných částic a fotonů v okolí černé díry(se Schwarzschildovou metrikou). Odvodili jsem pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetřili jsem průběh efektivních potenciálů. Namodelovali jsem pohyb fotonu a volné částice na počítači. 20

Literatura [1] ČECHOVÁ, M., VYŠÍN, I. Teorie elektromagnetického pole. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, 1998. [2] DVOŘÁK, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, 1984. [3] HORSKÝ, J., NOVOTNÝ, J., ŠTEFANÍK, M. Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-0208-1. [4] KUCHAŘ, K. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia, 1968. 21