MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných okolnostech - umožňují profitovat z nákupu většího množství surovin nebo zboží, popř. ze zvýšení jejich cen Zásoby se mohou týkat buď surovin nebo rozpracovaných výrobků ve výrobních podnicích, nebo zboží v obchodní síti. Všechny tyto druhy produktů budeme z hlediska teorie zásob nazývat položkami. Nejčastějším typem modelů řízení zásob jsou nákladově orientované modely, jejichž cílem je minimalizace nákladů spojených s pořízením zásob a s jejich skladováním, popř. minimalizace ztrát vzniklých z nedostatku zásob. Důležitým pojmem v teorii zásob je poptávka, která může být buď jednoznačně určena, nebo může představovat náhodnou veličinu se známým rozdělením pravděpodobnosti. Náhodný charakter může mít i čas, který uplyne od vystavení a odeslání objednávky do okamžiku, kdy zásoba skutečně přijde na sklad. Tento časový interval se nazývá pořizovací lhůta dodávky (též předstih objednávky). Pokud poptávka i pořizovací lhůta dodávky jsou jednoznačně určeny, příslušné modely zásob označujeme jako deterministické. V opačném případě jde o modely stochastické. Ve vybraných matematických modelech řízení zásob, které budou obsahem této přednášky, se budou vyskytovat následující symboly a pojmy: T doba, po kterou sledujeme zásobovací proces (zpravidla jeden rok) t délka dodacího cyklu (doba mezi dvěma po sobě jdoucími dodávkami) Q celková poptávka (spotřeba) za dobu T velikost jedné objednávky d předstih objednávky r bod znovuobjednávky nebo též objednací úroveň (velikost zásob, při které je nutné vystavit objednávku) c fixní náklady na pořízení jedné objednávky c skladovací náklady na jednotku zásob za jednotku času A. Deterministické modely zásob Ukázkou deterministických modelů zásob je následující historicky první formulovaný model řízení zásob, který vychází z těchto předpokladů: - zásoby se doplňují v jednom časovém okamžiku, a to po jejich vyčerpání - je předem znám požadavek na nakupovanou položku za celé zásobovací období (Q) - jsou známy jednotkové objednací a skladovací náklady (c a c ) - v důsledku konstantní poptávky je čerpání zásob rovnoměrné - nákupní cena je nezávislá na velikosti objednávky Pro tento typ modelu je průběh čerpání zásob graficky znázorněn na obr.. Za uvedených předpokladů je možné určit, v jak velkých dodávkách a jak často by měl majitel zásob položku objednávat, aby náklady spojené s pořizováním a udržováním zásob byly co nejnižší. Obr.
Během jednoho dodacího cyklu nabývají objednací náklady N a skladovací náklady na průměrnou výši zásob v tomto období (lze ji vyjádřit jako průměr (+)/) N těchto hodnot: N = c N = c t Protože počet dodacích cyklů za skladovací období T je roven podílu Q/, pro nákladovou funkci za celé toto období platí Q cq ctq N ( ) = c + c t = + () Aby i skladovací náklady byly vyjádřeny v závislosti na velikosti objednávky, T v druhém zlomku výrazu () nahradíme délku dodacího cyklu t podílem. Po této Q / úpravě má nákladová funkce tvar cq ct N ( ) = + () Graf této funkce spolu s grafy nákladů na vyřízení objednávky a na skladování je pro níže řešený příklad zakreslen na obr.. Z tohoto obrázku je patrné, že při zadaných hodnotách c, c, T, Q s rostoucí velikostí objednávky pořizovací náklady klesají (jde o nepřímou závislost), zatímco skladovací náklady lineárně vzrůstají. Při určité velikosti objednávky součet těchto nákladů nabývá nejnižší hodnoty.
Obr. 8 6 4 náklady (Kč) 8 objednací náklady skladovací náklady celkové náklady 6 4 4 6 8 velikost objednávky (ks) Zjištění optimální velikosti objednávky (v angloamerické literatuře značené EOQ = Economic Order Quantity) znamená nalezení lokálního minima funkce (). Položíme-li. derivaci této funkce podle proměnné rovnou nule, platí odkud dn d cq ct = + =, cq = (3) c T Výpočtem. derivace funkce () ve zjištěném bodě bychom se přesvědčili, že jde o lokální minimum. Dosazením hodnoty do nákladové funkce () a po její úpravě získáme výraz pro minimální dosažitelné náklady. Platí ( ) = c c QT (4) N T Optimální délka dodacího cyklu, počítaná ze vztahu t =, je pak dána výrazem Q t ct = (5) c Q Pro výši zásob, při které je nutné vystavit objednávku, aby byla vyřízena do okamžiku vyčerpání zásob, lze odvodit vzorec Qd d r =, (6) T t d d kde je nejblíže nižší celé číslo k podílu. Jestliže pořizovací lhůta dodávky je kratší t t d než délka dodacího cyklu, =, takže vzorec (6) má jednodušší tvar t
r Qd = (7) T Příklad Podnik potřebuje pro výrobu ročně 8 tisíc kusů úzkoprofilových součástek. Fixní náklady na jednu objednávku činí tis. Kč, náklady na skladování jednoho kusu za rok činí Kč. Průměrná pořizovací lhůta dodávky je měsíce. Určete, N( ), t, r. Řešení: Do vzorců (3) až (5) dosadíme tyto hodnoty: c = Kč c = Kč T = rok Q =8 ks d = 6 roku Potom = **8 * = 6 36 * = 6 ks N ( ) = ** *8 * = 6 Kč t = * * *8 = roku 3 Protože je splněna podmínka d < t, pro výpočet bodu znovuobjednávky můžeme použít vzorec (7). Platí 8* r 6 = = 3 Závěr: Podnik by měl jedenkrát za 4 měsíce, kdy zásoby součástek klesnou na 3 ks, objednat 6 ks součástek. Zjištěná optimální výše objednávky je patrná i z obr.. B. Stochastické modely zásob Příkladem stochastického modelu zásob je model jednorázově vytvářené zásoby při náhodné poptávce. Tento model je vhodný pro zboží, které po jisté době zastarává - např. pro módní nebo sezónní výrobky, pečivo, ovoce, zeleninu, řezané květiny, noviny, náhradní součásti unikátních strojů apod. Předpokládejme, že pro dané časové období bylo zakoupeno zboží v množství a že poptávka po tomto zboží představuje diskrétní náhodnou veličinu, která nabyla hodnoty Q. Po skončení uvažovaného období mohou nastat dvě krajní situace: - Q, neboli zůstane neprodáno - Q jednotek zboží - Q, neboli bude chybět Q - jednotek zboží Ztráty vzniklé z přebytku nebo z nedostatku zboží v uvažovaném období jsou závislé jednak na rozdílu mezi zakoupeným množstvím zboží a poptávkou, jednak na velikosti ztrát z jednotky přebývajícího množství (označme ji c s ) a nedostávajícího se množství zboží (označme ji c z ). Známe-li pravděpodobnost, s jakou poptávka po zboží v daném období nabude hodnoty Q (označme ji P(Q)), pro očekávané celkové ztráty z přebytku nebo z nedostatku zboží při počáteční zásobě platí Z( ) = c ( Q) P( Q) + c ( Q ) P( Q) s z Q= Q= + (8)
Jestliže neuvažujeme náklady na pořízení zásob (provádí se pouze jedna objednávka) a na skladování (předpokládáme, že skladovací doba není dlouhá), cílem řešení uvažovaného modelu je stanovení takové výše počáteční zásoby (a tudíž i velikosti jednorázové dodávky zboží), aby očekávané ztráty vyjádřené výrazem (8) byly minimální. Jestliže funkce Z() má lokální minimum pouze v jednom bodě, pro optimální hodnotu objednávky lze odvodit vztah cz P( Q ) P( Q ) (9) cz + cs Při známých ztrátách c z a c s hodnotu určíme z uvedeného vztahu tak, že při daném rozdělení pravděpodobnosti poptávky spočítáme kumulativní pravděpodobnosti ΣP(Q) a najdeme takové dvě jejich sousední hodnoty, aby mezi nimi ležela hodnota zlomku c z /(c z +c s ). Jinou možností pro stanovení optimální velikosti počáteční zásoby je vyčíslení ztrát Z() pro různé hodnoty a výběr nejnižších ztrát. Lze odvodit, že zlomek c z /(c z +c s ) představuje tzv. úroveň obsluhy, tzn. pravděpodobnost, že nedojde k nedostatku zásob. Příklad Prodejce vánočních stromků se rozhoduje, kolik stromků má objednat u lesního závodu. Na základě zkušeností z minulých let odhaduje zájem o stromky tak, jak je uvedeno v tab.. Tab. Poptávka (ks) 4 6 8 Pravděpodobnost,5,,5,35,5 Jestliže nebudou všechny stromky prodány, po Vánocích mohou být nabídnuty do zoologické zahrady nebo do zahradnictví, přičemž prodejce by tratil na každém stromku 8 Kč. Na stejnou částku prodejce odhadl i ušlý zisk z jednoho nedostávajícího se stromku v případě, že by zájem o stromky převýšil jejich objednaný počet. Při jakém počtu dodaných stromků budou očekávané ztráty z jejich přebytku nebo nedostatku co nejmenší? Řešení: Zadaný problém je možné vyřešit s využitím vztahu (9), pro jehož aplikaci je nutné spočítat kumulativní pravděpodobnosti poptávky po stromcích. Tyto pravděpodobnosti jsou uvedeny v tab.. V řešené úloze je míra obsluhy rovna,5, přičemž z tab. vyplývá,4 <,5 <,75. Optimálním počtem objednaných vánočních stromků je tedy 8 kusů. Při tomto počtu budou očekávané ztráty z přebytku nebo z nedostatku stromků, počítané podle vzorce (8), 68 Kč. Tab. Poptávka (ks) Pravděpodobnost Kumulativní pravděpodobnost,5,5 4,,5 6,5,4 8,35,75,5,