Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK

2 Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice: Necelou část definujeme kde [ x] je celá část definovaná Vypracování: { x} x [ x] =, [ ] x < [ x] + x Definiční obor a obor hodnot viz vlastnosti Postup: Hodnoty necelé části jsou v intervalech mezi dvěma celými, po sobě jdoucími čísly, stejné v celém definičním oboru Proto pro řešení stačí určit jeden celý interval hodnot čísla x ve kterém vraz x- nenabývá celočíselné hodnoty Budeme tedy postupovat takto: zjistíme v kterém intervalu čísla x není vraz x- celočíselný určíme v tomto intervalu { x } hodnoty krát zvětšíme a odečteme Výpočet: Dosadím-li za x do nulu, pak y = x y = Nejbližší vyšší celé číslo y je y =, pro které x =, proto volím např 6 0, x 0 x - { x } 0 { } x 0 { } x není z intervalu není z intervalu není z intervalu není z intervalu zjevně jde o zobrazení R x R R, a tedy o funkci bez újmy na obecnosti hodnoty necelé části výrazu x- obecně n-krát změníme hodnoty výrazu u nějž zjišťujeme necelou část mohli jsme pracovat i s nižším 6 ( za x jsme mohli volit jiné celé číslo (aby i y bylo celé), a tedy i jiné nejbližší celé y ) = jiný interval

3 Funkce F Graf: Vlastnosti: Funkce f, : y = x je lineární, spojitá, rostoucí a neomezená Funkce f : y = { x } je nespojitá, omezená shora (nemá maximum, suprémum ano) i zdola 8 (nabývá minima i infima), periodická 9, není monotónní (ani rostoucí ani klesající), není ani sudá ani lichá Je definovaná na R (tj x R), tedy D ( f ) = R, obor hodnot H, ) sup f = 8 inf f = min f = - 9 s periodou p = -

4 Funkce F b) Zadání: Narýsujte (tužkou) graf funkce g a zdůvodněte jeho konstrukci g : y = x + x 6 Vypracování: Definiční obor a obor hodnot viz vlastnosti Úlohy tohoto typu obvykle řešíme metodou intervalů ( nulových bodů ) Postup: najdeme hodnoty čísla x ve kterých se výraz v absolutní hodnotě rovná 0 tyto hodnoty nám rozdělí D ( g) (definiční obor) na intervaly zjistíme jaké znaménko má výraz v absolutní hodnotě na příslušném intervalu zapíšeme a vypočítáme rovnice v jednotlivých intervalech zkonstruujeme graf Výpočet: x = 0 x = + x = 0 x = x,,, x x z čehož plynou rovnice: x, = x + + x x, x, = x + x 6 y = + x + x y ( ) ( ) 6 y ( ) ( ) ( ) ( ) y = 6x + y = 0x 6 y = x Všechny funkce jsou na příslušných intervalech lineární 0 Proto stačí urči dvě hodnoty čísla x v každém z intervalů a hodnoty v nulových bodech výrazů s absolutní hodnotou: 6 x - - y -6 - Snadno sestrojíme graf funkce g grafem lineární funkce je přímka

5 Funkce F Graf: Vlastnosti: Funkce : y = x + x 6 g je spojitá v celém definičním oboru ( g) R omezená shora ( infimum), obor hodnot max g = sup g = H ( g) =, D =, je ), není omezená zdola ( nemá minimum ani ; není prostá, není monotónní

6 Funkce F Graf rýsovaný ručně:

7 Funkce F c) Zadání: Zjistěte inverzní funkci k funkci x h : y =, log U inverzní funkce napište definiční obor a obor hodnot Vypracování: Postup: vyšetřím funkci h určím funkci inverzní h Výpočet: Pro zjištění průběhu funkce k x y = log log x x h x y =, log : Její hodnoty pak,krát zvětšíme Funkce je zlomek : musíme především určit funkci je definovaná pro kladná x Vyšetříme tedy ve kterých intervalech kladný Zlomek je kladný právě tehdy, když v čitateli i jmenovateli jsou současně čísla kladná nebo záporná V našem případě tomu odpovídá interval ( ) (, ) definiční obor ( h) = R, Funkci D x : y = log, Nyní již můžeme určit k vyšetříme na obou intervalech zvlášť pomocí limit x x x x x x (, ) lim = log = 0 x x x x, lim = log = x x x x, lim = 0 log = x x (, ) : x (, ) lim = log = x (,) : ( ) ( ) 0 6

8 Funkce F Stejně tak jsme mohli funkci k x y = log : vyšetřovat dosazováním za proměnnou x a došli bychom k témuž, tj funkce k má tři asymptoty osu x a dvě asymptoty rovnoběžné s osou y procházející body (0,) a (0,) x - 0 x log x, log = = = 8 0 =, =, 9 = = = =, 6 =, = = = = 0 0 Snadno sestrojíme graf Graf: Průběh funkce nám určuje obor hodnot ( h) = R { 0} Vlastnosti: H D ( h) = (,) (, ) ; H ( h) = R { 0} ; je klesající v (,) a v (, ) ; blíží se neomezeně ose x; není omezená; graf funkce je hyperbola; je prostá ; není sudá, ani lichá tj pro x, x D( f ), x x f ( x ) f ( x ) :

9 Funkce F Vlastnosti inverzní funkce h : rovnice: 0 y x =, log y x y = log y x = 0 y y = = y 0 y = x x 0 x D ( h' ) = R { 0} ; H ( h' ) = (,) (, ) ; je klesající v (,0) a v ( 0, ) ; není omezená ; graf funkce je hyperbola; je prostá; není sudá ani lichá Graf: nemá max, sup, min, inf 8

10 Funkce F d) Zadání: Rovnicí a grafem zadejte funkci, která je periodická a nespojitá na R! Funkce vyhovující zadání je již vypracována v úkolu a)! Vypracování: Rovnice: Graf: d : y = { x} Vlastnosti: Funkce d : y = {} x je periodická s periodou, omezená shora i zdola, nespojitá 9