II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

Transkript

1 II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = ucosv, = usinv. a) Vpočítejte derivace složené funkce u, v. b) Ověřte přímým výpočtem pro z = f(,) = e ln. Řešení : a) Závislost mezi proměnnými lze znázornit orientovaným grafem, ze kterého sestavíme vzorce pro jednotlivé derivace. u = cosv + sinv, v = usinv + ucosv b) Dosadíme za a a dostaneme funkci z(u,v) = e u cosv ln(u sinv), pak u = eu cosv cosv ln(u sinv)+e u cosv u sinv sinv, v = eu cosv ( u sinv) ln(u sinv)+e u cosv u cosv. u sinv b) Do vzorců z a) dosadíme za, u = cosv + sinv = e ln cosv + e sinv, v = usinv + ucosv = e ln usinv + e ucosv. Dosazením za a dostaneme stejný výsledek jako v b). Příklad. w = f( z 4 ). Spočítejte výraz V = 4 w + 4 w + 4z w. Řešení : Označme u = z 4 u w = f(u) je funkce jedné proměnné. z v w u z w = df du u = f (u) 4, w = df du u = f (u) 4, w = df du u = f (u) ( 8z ). 7

2 Po dosazení snadno spočítáme, že V = 0.. Přesvědčte se, že funkce = f(+at)+g( at) vhovuje parciální diferenciální rovnici t a = 0, kde konstanta a R. Předpokládáme, že f a g mají spojité parciální derivace. řádu. [Návod: u = +at, v = at, = f(u)+g(v)] (. Přesvědčte se, že funkce z = f splňuje rovnici ) + = 0. Předpokládáme, že f je diferencovatelná funkce. 4. Jsou dán funkce z = f(u,v), u =, v = e. Spočítejte diferenciální výraz W = +, kde f je diferencovatelná funkce. [ W = ( + )e v 5. Je dána funkce f(u,v) =, kde = u +v, = uv +v. Spočítejte u a v v bodě A, jehož souřadnice jsou u =, v =. [ ] (A) = u v (A) = ln ] II.9. Funkce definované implicitně Příklad.Dokažte, že rovnicí + = + je implicitně definována jediná funkce = f() v okolí bodu A = [,0]. Určete f () a f (). Řešení : Označme F(,) = + +. Tato funkce je spojitá a má spojité parciální derivace. a. řádu v E, ted i v okolí bodu A, ověřte si. K eistenci a jednoznačnosti implicitní funkce = f() se spojitou. a. derivací nní stačí, že F(A) = F(,0) = 0 a F (A) = ( ) = 0. Dále spočítáme A = f () = F = 4 F = f () = d ( ) f () d f () = ( 4+)( ) ( 4)( ), f () = F (A) F (A) = 4 =, = ( 4 )( ) ( 4 )( ) ( ) Příklad7.Napište rovnici tečn t a normál n v bodě A = [,] křivk definované implicitně rovnicí F(,) + + = 0, ( ) Řešení : Jelikož F(,) = 0 a F (A) = + + [,] = 5 0, je rovnicí = 4. F(,) = 0 skutečně definována funkce = (), jejíž graf prochází bodem A. () = F ( ) (A) F (A) = A= 5 t : 0 = ( 0 )( 0 ),kdea = [ 0, 0 ], = ( ) = +5 = 0, 5 n : 0 = ( 0 ) ( 0), = 5 ( ) = 5 + = 0. 8

3 Příklad8.Rovnicí ln + = arctg Stanovte a. je pro 0 dána implicitně funkce = f(). Řešení : Můžeme použít známý vzorec = F,F 0 nebo můžeme danou rovnici F přímo derivovat a přitom si uvědomit, že je závislé na tj. = (). Derivujme přímo : = +( ) = + + = + = + = = + = ( ) = = +,, 0. Druhou derivaci spočítáme podobně : ( + ) (+ )( ) (+)( ) = = + ( ++) ( ) ( ) = + ( ) = + + = ( + ),, 0. ( ) ( ) Příklad9.Ukažte, že rovnicí = 0 je implicitně určena funkce = f(), jejíž graf prochází bodem A = [0,]. Zjistěte, zda je funkce f konvení v okolí bodu 0 = 0. Napište rovnici tečn ke grafu funkce v bodě A. Řešení : F(,) = je diferencovatelná v E (ted i v okolí bodu A) a má v E spojité parciální derivace. řádu. Dále platí: F(A) = F(0,) = 0, F (A) = (+ +) = 4 0, A = F + 4 = F + + = = (0) =, = (+ )(+ +) (+ )(+ ) (+ +) = (+ ) (+ +) = (0) = (+ ) (0++) = 9 8 < 0. Funkce = f() je v okolí bodu 0 konkávní, jelikož (0) < 0. Tečna v bodě A má rovnici =. Příklad70.Dokažte, že vztahem F(,,z) = z + z = 0 je implicitně definována jediná funkce z = f(,) v okolí bodu A = [,,]. Určete gradf(, ). Řešení : Funkce F má spojité parciální derivace v okolí bodu A, F(A) = F(,,) = 0, F z (A) = (z + ) = 0. A Tím je v okolí bodu A prokázána eistence a jednoznačnost funkce z = f(,), která má spojité parciální derivace. řádu v okolí bodu [, ]. ( ) Nní je gradf(, ) = (A), (A), kde = F z = = F z z + (, ) =, = F = = F z z + (, ) =, ( gradf(, ) = ), = (, ). 9

4 Příklad7.V okolí bodu [,,] je dána funkce z = f(,) v implicitním tvaru rovnicí lnz + z +8 = 0. Určete (A), kde s = AB,A = [, ],B = [, ]. s Řešení : OznačímeF(,,z) = lnz+ z+8.funkcef = z, F = z, F z = z + jsou spojité v okolí bodu [,,]. V bodech, kde F(,,z) = 0 a F z (,,z) 0 platí : = F = z = F z z + (A) = 8 7, = F = z F z z + s (A) = gradf(a) s ( s = 8 7, 4 7 ) (, ) = = (A) = 4 7, 7 =. 7 Je dána plocha z = z(,) a bod dotku T = [A,f(A)], kde A = [ 0, 0 ], pak tečná rovina τ : z z 0 = ( 0, 0 )( 0 )+ ( 0, 0 )( 0 ) ( normála n : X = T +t n, t R, kde n = ( 0, 0 ), ) ( 0, 0 ), Příklad7.Napište rovnici tečné rovin τ a normál n k ploše z = z(,) definované implicitně rovnicí F(,,z) + +z 5 = 0 v bodě A = [,0,4]. Řešení : Víme, že normálový vektor k ploše má vjádření ( n =, ) (, = F, F ), n = (F,F,F z ). F z F z Je-li plocha vjádřena v implicitním tvaru, pak poslední zápis je výhodnější. Ted n = (,,z) (,,z) A = (,0,4), τ : ( )+0 +4(z 4) = 0 = +4z 5 = 0, n : [,,z] = [,0,4]+t(,0,4), t R. Příklad 7. Napište rovnici tečné rovin k ploše definované implicitně rovnicí F(,,z) ( +z)+z 5 = 0 rovnoběžné s rovinou : +z =. Řešení : n = (,,) (,,) n = (F,F,F z ) = ( +z,,+z) = k(,,), k R\{0} } +z = k = k a z této soustav musíme určit souřadnice dotkového bodu A. +z = k Vchází = k, = k, z = k. Víme, že hledaný bod musí ležet na dané ploše, proto dosadíme do F(,,z) = 0 a určíme parametr k, a tím i souřadnice hledaného bodu. Dostáváme postupně k ( k + ) ) +( k k = 5 k k = 5 k = 4 k = ±, A = [,,],A = [,, ], τ : +z 5 = 0, τ : +z +5 = 0. 0

5 Příklad 74.* Určete rovnici tečn v bodě A = [,,] ke křivce v E, která je průsečnicí dvou ploch zadaných implicitně rovnicemi + +z = 47, + = z. Řešení : Určíme tečnou rovinu v bodě A k první ploše τ : 4+ +z 47 = 0 a tečnou rovinu ke druhé ploše τ : 4+4 z = 0. Směrový vektor hledané tečn je s = n n = ( 7, 8, 4) (7,8,4) a rovnice tečn [,,z] = [,,]+t(7,8,4), t R. Uvedeme další možný postup. Při daném vjádření křivk jako průniku dvou ploch budeme předpokládat, že jediná nezávislá proměnná je. Potom a z budou funkcemi proměnné, tj. (),z(). Hledaný tečný vektor s bude (, (),z ()). Proto danou soustavu zderivujeme podle : 4+ +zz = 0 + +zz = 0 +4 = z neboli +4 = z. Nás zajímá tečný vektor v daném bodě, proto dosadíme souřadnice bodu A a obdržíme postupně vzájemně ekvivalentní soustav 4+ +z = z = 0 } +z = 4 4 z = 4 } = z = ( Hledaný tečný vektor je s =, 8 7, 4 ) 7 tečn je ted opět [,,z] = [,,]+t(7,8,4), t R. = 8 7 = 8 7, = 4 7 = 4 7 (7, 8, 4). Parametrické vjádření Příklad75.a) Najděte jednotkový vektor n o normál v bodě A = [,,] ploch vjádřené implicitně ve tvaru F(,,z) + +z = 0. b) Spočítejte g n o(a), kde g(,,z) = z. Řešení : a) n = (F,F,F z ) = (,,z) (,,z), n o (A) = n(a) n(a) = (,,) b) g n o(a) = gradg(a) no (A) = (,,) (,,) =. Napište rovnici tečn t a normál n křivk definované implicitně rovnicí F(,) = 0 v bodě A :. 7. F(,) arcsin+ = 0, A = [0,] [t : = 0,n : = ] 77. F(,) + a a = 0, A = [a,a] [t : = +a,n : = ] 78. Dokažte, že rovnicí ln(+)++ = 0 je definována funkce = f() splňující f( ) =. Napište rovnici tečn ke křivce = f() v bodě A = [,]. [t : = (+)]

6 Funkce jedné proměnné = f() je definovaná implicitně rovnicí F(,) = 0. a) Vpočítejte parciální derivace. řádu funkce F. b) Ověřte, že rovnicí F(,) = 0 je v okolí bodu [ 0, 0 ] implicitně určena funkce = f(), která má spojitou derivaci f () v okolí bodu 0. c) Určete hodnotu derivace f ( 0 ) a napište rovnici tečn a normál ke grafu funkce f v bodě dotku [ 0, 0 ]. Popište chování této funkce v bodě 0, tj. rostoucí, resp. klesající. d) Rovnici tečn užijte k přibližnému výpočtu hodnot = f() v daném bodě. Tečnu načrtněte. 79. F(,) = +, [ 0, 0 ] = [,4], = 0.8 a)f =, F = c)f () = 0, t : = 4 0( ), n : = 4+ 0 ( ), funkcef je v bodě 0 = klesající d)f(0.8). = 80. F(,) = e +, [ 0, 0 ] = [0,], = 0. a)f = e 4, F = e + c)f (0) = /, t : = /, n : = +, funkcef je v bodě 0 = 0 klesající d)f( 0.). = [, 4] 8. F(,)) = ln( )++ = 0, [ 0, 0 ] = [,0], =. a)f = +, F = + c)f () =, t : =, n : + =, funkcef je v bodě 0 = rostoucí d)f(.) = F(,) = e e = 0, [ 0, 0 ] = [,], =. a)f = ( +)e, F (,) = ( )e c)f () = 4, t : = +4( ), n : +4 = 9, funkcef je v bodě 0 = rostoucí d)f(.). =.4 [,] Výpočet. derivace v následujících příkladech není v požadavcích zkoušk úrovně Beta. Funkce jedné proměnné = f() je definovaná implicitně rovnicí F(,) = 0. a) Ověřte (všechn předpoklad), že rovnicí F(,) = 0 je implicitně určena funkce = f(), jejíž graf prochází bodem [ 0, 0 ] a má spojitou. a. derivaci v okolí bodu 0. b) Určete hodnot derivací f ( 0 ) a f ( 0 ). c) Napište Talorův polnom. stupně T () funkce f se středem v bodě 0. Pomocí T () vpočítejte přibližně hodnotu f() pro dané. d) Načrtněte graf funkce f v okolí bodu [ 0, 0 ].

7 F(,) = = 0, [ 0, 0 ] = [, ], =. b)f () = f () =, c)t () = ( ), f(.) =.. [,-] 84. F(,) = + = 0, [ 0, 0 ] = [,], =. b)f () = f () =, c)t () = ++ ( ), f(.) =.. [,] 85. F(,) = = 0, [ 0, 0 ] = [,], = 0.9 b)f () = 9 5, f () = 8 5, c)t () = 9 9 ( ) 5 5 ( ), f(.) = F(,) = + = 0, [ 0, 0 ] = [,], =. 5 4 [,] b)f () = 0, f () =, v bodě nastává lokální maimum c)t () = ( ), f(.). = 0.9 [,] Napište rovnici tečné rovin τ a normál n k ploše F(,,z) = 0 v bodě A : z = 0, A = [,,] z +z = 0, A = [,, ] 89. z z = 0, A = [,, ] [τ : +4 +z = 0, n : [,,z] = (,,)+t(,4,), t R] [τ : + +5z 8 = 0, n : [,,z] = (,, )+t(,,5), t R] [τ : +z + = 0, n : [,,z] = (,, )+t(,0,), t R] Napište rovnici takové tečné rovin k ploše F(,,z) = 0, která je rovnoběžná s rovinou z = 0, : + +z = 0 [ + +z ± = 0, bod dotku T, = [±,±,± ] ] [ +4 +z ± = 0, T, = [±,±,±] ] z = 0, : +4 +z = 0 9. Je dána funkce z = f(,) v implicitním tvaru e z z = e. Určete f (A),f (A), f (A), kde bod A = [0,e,] [f (A) =, f (A) = 0, f (A) = /e]

8 9. Jsou dán dvě ploch rovnicemi v implicitním tvaru + lnz +4 = 0 a 8+ z + = 0. Určete vzájemnou polohu tečných rovin obou ploch ve společném bodě T = [,,]. [+ z +5 = 0 je společná tečná rovina] Úloh s implicitní funkcí dvou proměnných nejsou v požadavcích zkoušk úrovně Beta. Funkce dvou proměnných z = f(,) je definovaná implicitně rovnicí F(,,z) = 0. a) Ověřte (všechn předpoklad), že rovnicí F(,,z) = 0 je implicitně určena funkce z = f(,), jejíž graf prochází bodem A = [ 0, 0,z 0 ] a má spojité parciální derivace. řádu v okolí bodu [ 0, 0 ]. b) Vpočtěte derivace a a určete gradf ( 0, 0 ). c) Napište rovnici tečné rovin τ a rovnici normál n ke grafu funkce f v bodě A (tj. též k ploše popsané rovnicí F(,,z) = 0). d) Určete diferenciál funkce f v bodě [ 0, 0 ]. Vpočítejte přibližně hodnotu funkce f v daném bodě [, ]. e) Určete derivaci funkce f v bodě [ 0, 0 ] ve směru u. Napište směr s, ve kterém funkce f v bodě [ 0, 0 ] nejrchleji klesá. Vpočítejte derivaci funkce f v bodě [ 0, 0 ] ve směru s. 94. F(,,z) = z + +z = 0,A = [,, ], [, ] = [0.9,.], u = (,4) b) = z +z, = z + ( ) +z, gradf (,) = 7, 0 7 c)τ : 0 7z = 0, n : [,,z] = [,, ]+t(, 0, 7), t R d)df(a) = 0 ( ) 7 7 ( ), f(0.9,.) =. 9. =.8 70 e) u (,) = 5 = 5 5, s = (,0), 9 s (,) = F(,,z) = + z+z = 0,A = [,, ],[, ] = [0.9,.], u = (, ) b) = + z z +z +z, = (0, +z, gradf (, ) = 4 ) c)τ : 4 z + = 0, n : [,,z] = [,, ]+t(0,4, ), t R d)df(a) = 4 ( +), f(0.9,.) =.. e) u (, ) = 8 (0, 5, s = 4 ), s (, ) = 4 9. F(,,z) = ze + +z = 0, A = [0,0,], [, ] = [ 0.,0.], u = (,) b) = etminus+ zes, ze+ e + +z = ( e + +z, gradf (0,0) = ) 5, 5 c)τ : + +5z = 0, n : [,,z] = [0,0,]+t(,,5), t R d)df(a) = 5 ( 0) 5 ( 0), f( 0.,0.) =..04 e) u (0,0) = ( 5 5, s = 5, ) 8, 5 s (0,0) = 5 4