VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI

Masarykova univerzia Přírodovědecká fakula VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Bakalářská práce Lucie Pečinková Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Per ČERVINEK Brno 202

Bibliografický záznam Auor: Název práce: Sudijní program: Lucie Pečinková Přírodovědecká fakula, Masarykova univerzia Úsav maemaiky a saisiky Výnosové křivky a jejich využií ve finanční praxi Aplikovaná maemaika Sudijní obor: Finanční a pojisná maemaika Vedoucí práce: Mgr. Per Červinek Akademický rok: 20/202 Poče sran: 42 Klíčová slova: Spoová výnosová křivka; Forwardová výnosová křivka; Výnos do splanosi; Dluhopisy

Bibliographic Enry Auhor: Tile of Thesis: Degree programme: Field of Sudy: Supervisor: Lucie Pečinková Faculy of Science, Masaryk Universiy Deparmen of Mahemaics and Saisics Yield curves and hein use in financial praxis Applied Mahemaics Financial and Insured Mahemaics Mgr. Per Červinek Academic Year: 20/202 Number of Pages: 42 Keywords: Spo yield curve; Forward yield curve; Bonds; Yield o mauriy

Absrak V éo bakalářské práci se věnuji problemaice výnosových křivek dluhopisů. První čás je věnována vymezení dluhopisů a způsobu jejich oceňování. Hlavní důraz je kladen na samonou výnosovou křivku, její definici, vary, ypy, meody konsrukce a eoreické přísupy vysvělující její var. Poznaky jsou aplikovaný na konsrukci několika výnosových křivek. Absrac This bachelor s hesis is dealing wih bond yield curves and he relaed issues. The firs par is concerned wih he definiion of bonds and mehods of heir valuaion. The main emphasis is pu on he yield curve as such, is definiion, shape, ypes, mehods of consrucion and heoreical approaches explaining he shape of yield curve. The findings idenified are hen applied o he consrucion of several yield curves.

Poděkování Na omo mísě bych chěla poděkova Mgr. Peru Červinkovi za ochou, cenné připomínky a čas, kerý mi věnoval v průběhu psaní bakalářské práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samosaně s využiím informačních zdrojů, keré jsou v práci ciovány. Brno 28. kvěna 202 Jméno Příjmení

OBSAH Úvod... 8 Dluhopisy... 9. Charakerisika dluhopisu... 9.2 Ohodnocování dluhopisu... 2.2. Cena dluhopisu... 2.2.2 Alikvoní úrokový výnos... 3.2.3 Měření výnosu dluhopisů... 3 2 Výnosová křivka... 7 2. Definice výnosové křivky... 7 2.2 Tvar výnosové křivky... 7 2.2. Rosoucí výnosová křivka... 8 2.2.2 Klesající výnosová křivka... 9 2.2.3 Vyboulená výnosová křivka... 20 2.2.4 Plochá výnosová křivka... 20 2.3 Teoreické přísupy vysvělující var výnosové křivky... 20 2.3. Teorie očekávání... 2 2.3.2 Teorie preference likvidiy... 22 2.3.3 Teorie segmenace... 22 2.3.4 Teorie preferovaného umísění... 24 2.4 Typy výnosových křivek... 24 2.4. Výnosová křivka z výnosů do splanosi... 24 2.4.2 Kuponová výnosová křivka... 25 2.4.3 Nominální výnosová křivka... 25 2.4.4 Prompní výnosová křivka... 26 2.4.5 Forwardová výnosová křivka... 27 2.4.6 Výnosová křivka anui... 27 2.4.7 Valivá výnosová křivka... 28 3 Konsrukce výnosové křivky... 29 3. Inerpolace... 29 3.. Lineární inerpolace... 29 3..2 Logarimická inerpolace... 30 3.2 Aproximace výnosové křivka polynomem supně N... 3 3.3 Konsrukce konkréních výnosových křivek... 3 3.3. Sesrojení výnosové křivky sáních dluhopisů... 32 3.3.2 Výnosová křivka dluhopisů UniCredi Bank... 34 4 Využií výnosové křivky... 37 4. Využií výnosové křivky cenrální bankou... 37 4.2 Využií výnosové křivky invesory... 37 4.3 Využií výnosové křivky pro emieny... 38 Závěr... 39 Použiá lieraura... 40 Seznam abulek:... 42 Seznam grafů:... 42 7

Úvod V podmínkách fungujícího ržního hospodářsví hraje významnou roli finanční sysém, jehož součásí je finanční rh umožňující alokaci volných prosředků od přebykových k deficiním subjekům. Důležiou úlohu na omo rhu hrají dluhopisy určené jednak pro konzervaivnější soukromé invesory, keří preferují menší riziko za cenu nižšího výnosu, ak pro věší invesory jako jsou pojišťovny, banky či penzijní fondy. Na základě sřeu nabídky s popávkou po penězích a kapiálu je na rhu vyvářena jejich cena - úroková sazba. Sejně ak je ovlivněna rhem cena a výnos dluhopisů. Výnosová křivka je definována jako vzah mezi výnosnosí dluhopisu a dobou splanosi. Tao bakalářská práce se zabývá jejich problemaikou se zaměřením na využií ve finanční praxi. V práci bude věnována kapiola definici dluhopisů a způsob jejich ocenění. Vlasnosi dluhopisů jsou důležiým fakorem ovlivňujícím výnos a ím výnosovou křivku samonou. Dále se zaměřím na vymezení výnosové křivky a ypickým varům, kde mezi nejběžnější paří rosoucí křivka. Dále uvedu různé eorie vysvělující eno var. Pozornos budu věnova aké různým druhům výnosových křivek. Je možné se seka například se spoovou, YTM, forwardovou, kuponovou, anuiní nebo valivou výnosovou křivkou. Uvedeny budou i někeré meody konsrukce. Zkonsruuji výnosové křivky z vládních dluhopisů a dluhopisů emiovaných obchodní bankou. Cílem práce je analýza možnosí využií výnosových křivek ve finanční praxi. Možnosi využií výnosové křivky jsou široké, budu se zabýva využiím z pohledu invesorů i emienů včeně pohledu sáu. Po přečení bakalářské práce by měl bý čenář seznámen s konsrukcí, krierii sesrojení a možnosmi aplikace získaných poznaků při svém invesičním rozhodování, například srovnávání výnosů. V práci jsou použiy meody deskripce, analýzy, komparace, dedukce a maemaicko-saisické meody. 8

Dluhopisy. Charakerisika dluhopisu Dluhopis je druhem obchodovaelného cenného papíru, kerým si emien opařuje kapiál a oproi omu invesor dobrovolně poskyuje emienovi výměnou za dluhopis finanční prosředky. Účelem jeho emise je získání dlouhodobých finančních prosředků a emien se jím zavazuje majieli splai k předem sanovenému dau nominální hodnou a dle dohodnuých podmínek i výnos. Exisuje mnoho různorodých konsrukcí dluhopisů, keré mohou bý emiovány. Nejběžnější dluhopis je přímý dluhopis (dluhopis s pevným kupónem, sraigh bond nebo plain vanill), kerý splácí rovnoměrně po dobu své exisence pevně sanovený kupon. Na konci opě předem přesně sanovené doby splanosi (doby živoa, doby dospělosi) je vyplacena celá jisina (j. nominální neboli par hodnoa) dluhopisu. Všechny osaní dluhopisy předsavují různé obměny ohoo základního ypu. (Blake, 995, s. 9-20) Na klasifikaci dluhopisů je možno nahlíže z mnoha pohledů. Následující ex se bude věnova klasifikaci dluhopisů z několika různých pohledů podle specifických vlasnosí, keré jsou spojeny s daným ypem dluhopisu. Krieria pro rozlišení různých ypů mohou bý: rozdílně sanovená úroková sazba, emien, doba splanosi a forma dluhopisu. Budou zmíněny zvlášní druhy dluhopisů. A. Dělení podle úrokové sazby Dluhopis s pevným kupónem je nejčasějším ypem dluhopisu. Nejčasěji dluhopisy fungují jako cenné papíry s pevným (fixním) výnosem ím způsobem, že jejich držiel inkasuje v pravidelných ermínech (daa kupónových plaeb na konci jednolivých kuponových období) pevné úrokové spláky označované jako kupony a nakonec k dau splanosi dluhopisu (j. po uplynuí jeho doby do splanosi) spolu s posledním kuponem aké příslušnou nominální hodnou dluhopisu (nebo obecněji jeho umořovací hodnou, kerá může bý odlišná od nominální hodnoy). Relaivní vyjádření kuponu vůči nominální hodnoě (j. v procenech z nominální hodnoy) se nazývá kuponová sazba. (Cipra, 2000a, s. 7) Bezkuponový dluhopis nenese žádný kupón, v průběhu se edy nic nevyplácí. Prodej se uskuečňuje s diskonem, edy prodejní cena je pod nominální cenou. 9

Paří sem pokladniční poukazy a dluhopisy s nulovým kupónem se splanosí obvykle do jednoho roku. Dluhopis s pohyblivým kupónem (s pohyblivou úrokovou sazbou, floaer) má přizpůsobenou kupónovou sazbu podle akuálního savu zvolené referenční sazby (například v ČR mohou bý pololení kupóny sanoveny dle šesiměsíčního Priboru navýšeného o krediní přirážku). Indexový dluhopis je případem, kdy je kupónová sazba upravována podle určiého indexu (nejčasěji o míru inflace). Exisují i dluhopisy s indexovanou splanou čáskou, u kerých se v době splanosi mění vyplacená nominální hodnoa kupříkladu podle akciového indexu. Dluhopis se speciálním kupónem (sruured bond) má dán úroky vycházející z vývoje určiých finančních ukazaelů, jako jsou například akcie, podílové lisy nebo suroviny. Hybridní dluhopisy mají kupónovou sazbu složenou ze dvou složek - pevné a pohyblivé, kerá může bý navýšena o prémie. B. Klasifikace dluhopisů podle emiena Sání dluhopis je emiován sáem, jako násroj používaný k pokryí deficiního sáního rozpoču nebo na nákladné financování (například na úhradu škod povodní, obnovu a rozšíření dopravní infrasrukury). Komunální dluhopisy předsavují formu zdroje příjmů pro orgány mísní správy, emienem je edy samosprávní celek. V České republice je emiování ohoo druhu dluhopisu podmíněno souhlasem Minisersva financí ČR. Zdroje pro financování splácení úroků jsou čerpány buď z daní, nebo z konkréního projeku, kdy jsou přímo z ěcho projeků získávány prosředky na vyplácení kuponu, příkladem akového projeku může bý mýné na dálnici. Firemní dluhopisy (korporání, podnikový) jsou emiovány firmou nebo bankou. Jsou zařazovány mezi rizikovější dluhopisy, odměnou za vyšší riziko je na druhé sraně vyšší výnos. Zvlášním ypem ohoo segmenu jsou zaměsnanecké dluhopisy, keré jsou vydávané firmou pro své zaměsnance s možnosí pořídi je za nižší než ržní cenu. 0

Prašivý dluhopis (junk bond, high yield bond) je obvykle firemním dluhopisem, kerý nemá invesiční supeň hodnocení. Důvodem je obvykle španá finanční siuace emiena, ale aké nedosaečná hisorie v případě nových firem apod. Přes vysokou rizikovos nalézají yo dluhopisy invesory díky své značné výnosnosi. (Cipra, 2000a, s. 0) Zahraniční dluhopisy bývají emiované v dané zemi, v měně éo země a upraveny mísními právními normami, emienem je ale zahraniční subjek. Příkladem může bý český emien vydávající své dluhopisy v eurech na Slovensku. Eurodluhopisy na rozdíl od zahraničních dluhopisů jsou v jiné měně a zároveň nepodléhají zákonům země, kde jsou vydávány. C. Dělení podle doby splanosi Krákodobé dluhopisy jsou dluhopisy se splanosí kolem jednoho roku. Sřednědobé dluhopisy jsou ypické ím, že rvají déle než jeden rok. Horní hranice je uváděna rozdílně a s ím je spojený nesrikně sanovený přechod na dlouhodobé dluhopisy. Jedním z možných přísupů je nasavení horní meze na pě až dese le. Dlouhodobé dluhopisy jsou ypem dluhopisů se splanosí delší než dese le. Věčný dluhopis neboli konzola nemá sanovenou dobu splanosi. Jde o zvlášní yp, kerý paří do skupiny dlouhodobých dluhopisů. Majieli není splacena dlužná čáska, dochází ale k neusálému vyplácení kupónů. (Rejnuš, 2007, s. 77) D. Zvlášní druhy dluhopisů Dluhopis s warranem (opční dluhopis) je spojením dluhopisu s opčním lisem (warranem). K obligaci je připojena opční poukázka. Vlasník může za uo poukázku získa v předem sanovené době daný poče akcií se sanoveným kurzem. Je zde i možnos warran s dluhopisem odděli, mohou edy exisova odděleně a bý předměem prodeje na rhu odvozených cenných papírů. Konveribilní dluhopis (vyměnielný dluhopis) je z pohledu emiena věšinou odloženou emisí akcií, což je ovlivněno možnosí volby majiele, kerý se může

v době splanosi rozhodnou, zda si nechá vyplai nominální hodnou či ji vymění za akcii popřípadě obligace éže nebo jiné společnosi. Naurální dluhopis je způsob, kerým může majiel získa přednosní právo na nákup určiého zboží nebo služby. Časo bývá využíván v případě nedosakových surovin..2 Ohodnocování dluhopisu.2. Cena dluhopisu Kromě nominální hodnoy má každý dluhopis svou ržní cenu ovlivněnou sřeem nabídky a popávky po daném insrumenu a mnoha dalšími fakory. Určení vniřní hodnoy dává možnos porovna ji s ržní cenou dluhopisu, kerá obvykle nebývá ve sejné výši. Tímo srovnáním je možné urči, zda je dluhopis na rhu podhodnocený (vniřní hodnoa je vyšší než ržní kurz), nadhodnocený (vniřní hodnoa je nižší než ržní kurz) nebo správně oceněn (vniřní hodnoa přibližně odpovídá ržnímu kurzu). Vniřní hodnou dluhopisu lze chápa jako současnou hodnou budoucích příjmů majiele dluhopisu. Výpoče vniřní hodnoy neboli spravedlivé ceny, je možné zapsa ako: P C C 2 C... n NH 2 n i y y y i y y n C i NH n. kde P je vniřní hodnoa, správná cena dluhopisu, C n je roční kupónová plaba vyplácená v n-ém roce držby dluhopisu, NH je nominální hodnoa dluhopisu vyplácená na konci doby živonosi, n je poče le do doby splanosi, y je ržní úroková míra neboli výnosová míra, kerou invesor z invesice do daného dluhopisu požaduje. Uvedený vzah je možné aplikova pro dluhopisy, z nichž plyne kupónová plaba a jmenoviá hodnoa je splacena na konci živonosi dluhopisu. Modifikací ohoo vzahu lze získa vzorce pro osaní případy, kdy je řeba kupónová plaba pololení nebo není nominální hodnoa vyplacena jednorázově. 2

.2.2 Alikvoní úrokový výnos Alikvoní úrokový výnos je pojem nejčasěji spojený s prodejem obligace uskuečněným mezi dvěma kupónovými plabami. Prodávajícímu přísluší poměrná čás kupónové plaby za období, kdy dluhopis držel. Jedná se o čás kupónového výnosu příslušejícího období začínající dnem poslední kupónové plaby a končící dnem, ke kerému je výnos počíán. Obvykle je výnos počíán za dobu od poslední plaby k dau prodeje. Alikvoní úrokový výnos lze zjisi dle Šurce (2002, s. 8) ako: AUV C NH y,.2 c kde C AUV je alikvoní úrokový výnos, y c je kupónová plaba, je kupónová sazba dluhopisu, NH je nominální hodnoa dluhopisu, je doba, pro kerou alikvoní výnos počíáme. Dobu je vždy řeba vyjádři jako poměrnou čás období příslušející pro plabu jednoho kupónu. Například je-li kupón vyplácen jednou ročně vždy k. lednu, je pro daum. července doba = 0,5. Možné vyjádření vypadá ako: suma dnů od splanosi poslední kupónové plaby.3 délka kuponového období ve dnech.2.3 Měření výnosu dluhopisů Dluhopisy jsou na rhu obchodovány na základě jejich ržní ceny. Dluhopisy se ale mezi sebou významně odlišují, což je dáno jejich specifickými vlasnosmi. Tedy porovnání dluhopisů jen na základě jejich ceny může vés k mylným závěrům. Je řeba porovnáva dluhopisy i na základě jiných paramerů jako riziko, kuponová sazba, doba splanosi, nominální hodnoa apod. Je edy vhodné při porovnávání sáhnou po jiném ukazaeli, než je cena. Věšinou dochází k porovnávání na základě výnosnosi. V odborné lierauře dochází časo k záměně pojmů výnos a výnosnos, keré nereprezenují sejnou věc. K éo chybě dochází na základě překladů z angličiny, kdy pro oba yo pojmy 3

exisuje sejný výraz yield. Výnos lze chápa jako zisk spojený s daným finančním insrumenem vyjádřený v objemu peněz, kdežo výnosnos je poměrovým ukazaelem zhodnocení obvykle vyjádřený v procenech. Ačkoliv je důležié chápa rozdílnos významu ěcho pojmů, v rámci bakalářské práce budu pro zjednodušení yo pojmy považova za synonyma. Běžný výnos Výhodou určení výnosnosi přes běžný výnos je jednoduchos výpoču. Není ale brána v úvahu časová hodnoa peněz, kapiálová zráa či zisk, což je způsobeno ím, že je počíáno pouze s kupónovou plabou. Běžný výnos může ukáza, s jakým výnosem je možné v kráké době počía a umožňuje odhad výnosu do splanosi. Dochází k poměřování výnosu z kupónové plaby s cenou vynaloženou na koupi dluhopisu. Běžný výnos je dán vzahem (Schmied a kol., 999, s. 49): C rc 00%.4 P kde rc je běžný výnos, C je kupón, P je kupní cena dluhopisu. Jednoduchý výnos do splanosi Jednoduchý výnos do splanosi je na rozdíl od běžného výnosu rozšířen o možnos kapiálového zisku či zráy. Výpoče vypadá ako: C NH P rs.5 P n P kde rs je jednoduchý výnos do splanosi, NH je nominální hodnoa, P je cena dluhopisu při koupi, n je poče le do splanosi, C je kupón. 4

I eno výpoče má svá negaiva. Opě není zahrnua časová hodnoa peněz a není počíáno s možnosi inkasované kupóny nadále zhodnocova. Pokud by byly kupóny po vyplacení reinvesovány, docházelo by k jejich dalšímu úročení a celkový výnos by byl vyšší. Jednouchý výnos může bý využi pro určení výnosnosi při prodeji či koupi obligace. Výnosnos do splanosi Při výpoču výnosnosi do doby splanosi jsou brány v úvahu i fakory jako rozložení a velikos úrokových plaeb, ermín splanosi a kapiálové zisky či zráy, což hraje významnou roli při určování ceny dluhopisu. Výpoče vypadá ako: P d C C 2 C 3... C 2 3 n n i rm rm rm rm rm i rm rm n NH n C n NH n.6 kde P d je ržní hodnoa dluhopisu, NH je nominální hodnoa dluhopisu, n je poče období, kdy se dluhopis úročí, C je kupón, rm je roční výnos do splanosi (YTM). Spoová a forwardová úroková míra Spoová (prompní) úroková míra je sazba planá od současnosi pro určié období. Oproi omu forwardová úroková míra je planá po nějaké budoucí období. Zmeškal a kol. (2004, s. 48-50) definuje forwardovou úrokovou míru jako očekávanou spoovou míru v budoucnosi a je možné ji ze spoových sazeb odvodi za předpokladu sejné výše zápůjční a výpůjční sazby, ransakčních nákladů blížících se nule a nemožnosi arbiráže. Vzah plaící mezi spoovou a forwardovou úrokovou mírou: d d s f s.7 d kde s n je spoová úroková míra na n le f je forwardová úroková míra planá od roku n do roku n+k d časový inerval pro forwardovou sazbu. 5

6 Z oho je edy forwardová sazba rovna: d d d s s f.8 Chceme-li například vypočía forwardovou sazbu mezi 2 a 4 rokem, kdy víme, že dvouleé a čyřleé spoové sazby jsou s 2 =4% a s 4 =7,2% bude výpoče dle vzorce.8 následující:,2% 0,04 0,075 2 2 4 2 4 2 4 2 4 4 4,4 2 s s f

2 Výnosová křivka 2. Definice výnosové křivky Výnosová křivka je grafickou reprezenací časové srukury sazeb vybraných cenných papírů (dluhopisů). Jedná se o závislos výnosu do doby splanosi (svislá osa) na době do splanosi dluhopisu (vodorovná osa). Výnosová křivka se konsruuje vždy pro konkréní dluhopisy, keré se liší pouze dobou splanosi, ale jinak mají sejné vlasnosi - zejména yp emiena a krediní kvaliu. Nejčasěji se publikují výnosové křivky na bázi sáních dluhopisů. (Kohou, 2008, s. 56) Závislos mezi mírou výnosu a dobou splanosi dluhopisu je nazývána výnosovou křivkou (yield curve) (nebo časovou srukurou úrokových sazeb) pro danou míru výnosu. Pro správnou konsrukci výnosové křivky je nuné uvažova pouze výnosy dluhopisů z homogenní skupiny, homogenní například z pohledu rizika nebo likvidiy. Nemůžeme edy očekáva, že výnosová křivka bude konsruována z výnosů sáních a podnikových dluhopisů, proože předsavují různé rizikové skupiny. (Blake, 995, s. 42) Grafickým znázorněním úročení dluhopisů se sejným rizikem a likvidiou pouze na základě rozdílných dob splanosi je nazýváno výnosovou křivkou. Jejím úkolem je zachyi rozdíly ve výnosech založených pouze na základě různých dob splanosi. Práce na konsrukci vývoje úrokových měr a s ím spojené výnosové křivky je jedním z významných ekonomických násrojů, keré pomáhají odhadnou vývoj úrokových sazeb, změny hospodářského cyklu či chování invesorů. 2.2 Tvar výnosové křivky Posuzování varu výnosové křivky z hlediska ypologie je možno na základě ří hlavních vlasnosí: úroveň, sklon a zakřivení. Úroveň je bodem, kde se nachází počáek křivky. Sandardně výnosová křivka není znázorněna přímkou, bývá zakřivena, což poukazuje na nelineární závislos mezi výnosem do splanosi a dobou do splanosi. Sklon křivky je rozdílem mezi dlouhodobými a krákodobými sazbami. (Bureš, 2007, s. 5) Mezi základní vary výnosových křivek řadíme plochou, soupající (rosoucí, poziivně skloněnou), klesající (inverzní) a vyboulenou výnosovou křivku. 7

Má-li výnosová křivka kladný sklon, poom jsou dlouhodobé úrokové sazby vyšší než krákodobé. Je-li plochá, sazby jsou sejné. Má-li sklon záporný, jsou dlouhodobé sazby nižší než krákodobé. Sklon výnosových křivek bývá věšinou kladný, což však nemusí plai vždy. K zápornému sklonu výnosové křivky někdy dochází v souvislosi s očekáváním snížení úrokových sazeb ze srany cenrální banky, nebo např. v souvislosi s očekáváním brzkého přechodu ekonomiky do fáze recese; krákodobě se však mohou vyskynou i důvody další. (Rejnuš, 2007, s. 86) Graf č. Tvar výnosové křivky (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problemaiky výnosových křivek) 2.2. Rosoucí výnosová křivka Rosoucí výnosová křivka (poziivně skleněná výnosová křivka, normal yield curve, posiive yield curve) je nejčasějším ypem a nasává převážně v siuaci, kdy rh neočekává významné změny. Nižším výnosem se vyznačují dluhopisy s krákou dobou splanosi, vyšší výnos oproi omu mají y s delší dobou splanosi. Jde o přirozenou reakci rhu na ochou invesorů podsoupi vyšší riziko spojené s dlouhodobou invesicí, za což jsou odměněny vyšším výnosem. V případě očekávání růsu sazeb, výnosů či inflace je křivka srmější. Plaí, čím je sklon vyšší, ím je vyšší prémie spojená s delší dobou splanosi. 8

Graf č. 2 Rosoucí výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problemaiky výnosových křivek) 2.2.2 Klesající výnosová křivka Období kdy má výnosová křivka klesající (inverzně skloněná, invered yield curve, negaive yield curve), je považováno za poměrně výjimečný sav. Jedná se opačný případ než u rosoucí výnosové křivky, nejvyšším zúročením se vyznačují dluhopisy s nejkraší dobou splanosi, nižší úrokovou sazbou se úročí naopak dluhopisy s delší dobou splanosi. Teno případ ypicky nasává v siuaci, kdy je úroveň úrokových sazeb vysoká a rh očekává jejich pokles. Její výsky je zpravidla podmíněn zvýšením úrokových sazeb na neobvykle vysokou hodnou cenrální bankou například při boji s inflací. Může se jedna řeba i o signál zpomalení ekonomiky či očekávání poklesu výkonnosi ekonomiky v budoucnu. Graf č. 3: Klesající výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problemaiky výnosových křivek) 9

Výnos (%) 2.2.3 Vyboulená výnosová křivka Vyboulená výnosová křivka (humped yield curve, humpbacked yield curve) se vyskyuje jen velmi zřídka. Zpravidla jde o přechodnou siuaci, kdy je křivka ve varu U. To znamená, že dluhopisy se sřednědobou dobou splanosi mají nejvyšší zúročení, a oproi omu krákodobé a dlouhodobé mají výnos nižší. Vyskyuje se pouze pří očekávání neobvyklého vývoje rhu, čímž může bý růs inflace společně s poklesem úrokových sazeb. 2.2.4 Plochá výnosová křivka V případě, kdy je vývoj úrokové sazby nezávislý na době splanosi mluvíme o ploché výnosové křivce (fla yield curve). To znamená, že výnosnos je shodná pro všechny doby splanosi. Vypovídá o jisé nejisoě, jedná se o přechodný var mezi rosoucí a klesající výnosovou křivkou, obvykle poukazuje na očekávaný pokles sazeb. Základní vary výnosových křivek 3 2,5 2,5 Vyboulená výnosová křivka Plochá výnosová křivka Soupající výnosová křivka Klesající výnosová křivka 0,5 0 0 2 3 4 5 6 7 Roky do splanosi Graf č. 4: Základní vary výnosových křivek (zdroj: HVOZDECKÁ, Jana. Analýza výnosových křivek dluhopisů s nulovým kuponem) 2.3 Teoreické přísupy vysvělující var výnosové křivky Výnosové křivky mohou mí odlišný var, vysvělení ohoo jevu přináší několik eoreických přísupů. Zmíněné eorie se navzájem nevylučují, jejich čásečné působení je možné připoušě zároveň. 20

2.3. Teorie očekávání Hypoéza očekávání (expecaions hypohesis) říká, že dlouhodobé úrokové sazby jsou geomerickým průměrem předpokládaných krákodobých sazeb. (Blake, 995, s. 53) Očekávají-li invesoři pokles krákodobých sazeb, bude mí křivka klesající var, a oproi omu rosoucí křivka ukazuje očekávání růsu krákodobých sazeb v budoucnu. Vyboulená výnosová křivka předsavuje očekávání zvyšování krákodobých úrokových sazeb a pokles dlouhodobých. Významnou složku očekávání voří inflace a její předpokládaný vývoj. Pokud je očekáván pokles inflace, bude i výnosová křivka klesa. Je-li invesory očekáván růs inflace, bude mí křivka růsovou endenci. Teorie předpokládá nepreference doby splanosi ze srany invesorů spolu s ím, že jednolivé dluhopisy jsou dokonalé subsiuy. Při opakovaných krákodobých invesicích do dluhopisů by měl invesor dosáhnou sejného zhodnocení, jako kdyby jednorázově invesoval do dluhopisu s delší dobou splanosi. Dle Tomáše Cipry v Maemaice cenných papírů eorie očekávání znamená, že nejvhodnějším odhadem pro budoucí spoovou úrokovou míru připadající na předem dané období v budoucnosi je forwaradová úroková míra. Mezi spoovou a forwardovou úrokovou mírou plaí vzah.7, kde spoová úroková míra udává úrokovou míru plaící od současnosi na specifikovanou dobu. Forwardová úroková míra oproi omu plaí od určié doby v budoucnu po předem sjednanou dobu. Výše zmíněnou eorii Jan Bureš v Úvodu do problemaiky výnosových křivek definuje jako čisou hypoézu očekávání. Auor aké uvádí rozšířenou rovnici modifikované hypoézy očekávání: n k nk sn fnk snk rpnk 2. kde rp je riziková prémie připadající (n+k) le sarým dluhopisů. n k Rizikové prémie předsavuji prémii invesorů za dlouhodobé poskynuí finančních prosředků. Invesoři očekávají neusálý růs úrokových měr v čase. V realiě nedochází ke změnám ak časo, jak by se dle sklonu výnosové křivky dalo očekáva. To je důvodem, proč byla přičena další položka v podobě výše zmíněné rizikové prémie. 2

2.3.2 Teorie preference likvidiy Pokud bychom vycházeli z eorie očekávání, musela by bý výnosová křivka při konsanní inflaci plochá. V realiě se jedná spíše o rosoucí křivku, což eorie nevysvěluje, ale vysvěluje o eorie preference likvidiy. Držení dluhopisů po delší dobu je spojeno s vyšším rizikem, odměnou by měl bý vyšší výnos. Rosoucí rend je způsoben preferencí likvidiy invesory. Důvodem je fak, že dlužníci se snaží získa prosředky na delší dobu a oproi omu invesoři preferují krákodobé insrumeny. Za vzdání se likvidiy musí invesoři obdrže odpovídající prémie zvyšující se s prodlužováním doby splanosi. Teorie preference říká, že věřielé očekávají za riziko spojené s delší dobou splanosi odměnu v podobě vyšších výnosů. Výsledkem kombinace klesající výnosové křivky vycházející z eorie očekávání a rosoucí výnosové křivky dané preferencí likvidiy je vyboulená výnosová křivka. 2.3.3 Teorie segmenace Teorie segmenace (eorie oddělených rhů, segmenaion heory) se opírá o základní předpoklad, a o že popávka po dluhopisech je rozdělena do několika segmenů dle preferencí doby splanosi. Rozdělení do jednolivých skupin je založeno na rozdílných preferencích, zvycích nebo omezeních ze srany legislaivy. Důležiý je předpoklad, že nedochází k přelévání mezi jednolivými skupinami, keré se mezi sebou neovlivňují. Křivka výnosnosi udává sře nabídky a popávky jednolivých segmenů. Dle Borise Šurce v Oceňování obligací a obchodování s obligacemi je možné invesory rozděli dle různých pořeb na dobu splanosi. Například skupinu s preferencí kraší splanosi (uvádí se splanos 0-4 roky) voří převážně obchodní banky a dlouhodobé obligace preferují zahraniční invesoři, pojišťovny a penzijní fondy. Přibližné preference zachycuje graf č. 5. Předpokládá se, že méně významné ekonomické fakory působí vždy jen na jisý segmen, nikoliv na celý rh. 22

Graf č. 5: Vyboulená výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problemaiky výnosových křivek) Podobně siuaci vidí v publikaci Kapiálové rhy a kolekivní invesování Václav Liška a Jan Gazda, keří invesory dělí do ří skupin. První segmen preferuje splanos do 5 le a je prezenován převážně obchodními bankami, druhý upřednosňuje rozsah 5-0 le v čele s hypoečními bankami spolu a savebními spořielnami. Poslední skupina dává přednos splanosi delší než 0 le a reprezenují ji penzijní fondy a pojišťovny. Graf č. 6: Výnosová křivka jako výsledek segmenační eorie (zdroj: LIŠKA, Václav, GAZDA, Jan. Kapiálové rhy a kolekivní invesování) Vysvělení pro ypicky poziivní sklon výnosových křivek je skryo za vyšší popávkou po krákodobých dluhopisech. Mezi invesory jsou preferovány různé doby splanosi, přednos však dávají krákodobějším, což má za následek jejich vyšší cenu a nižší výnosy. Banky aké preferují kraší dobu splanosi, naopak však invesiční fondy preferují invesice do dluhopisů s dlouhou dobou splanosi. Jenom málo kupujících výrazně preferuje dluhopisy sřednědobé splanosi. Tyo skuečnosi vedou k nízkým výnosům a vysokým cenám na obou krajích výnosové křivky a je možné vysvěli vznik vyboulené výnosové křivky. 23

Nevýhoda eorie segmenace je předpoklad, že nedochází k přechodům účasníků mezi jednolivými subjeky. 2.3.4 Teorie preferovaného umísění Hypoéza preferovaného umísění (liquidiy heory) je jisým odvozením eorie segmenace rhů a v mnoha aspekech se podobá eorii očekávání. Podobnos s předchozí eorií spočívá v invesorově preferenci určiých dob splanosi. Zároveň ovšem plaí fak, že je ochoen ze svých požadavků usoupi za prémii. Spojení s eorii očekávání je fak, že invesor považuje prémii za riziko. V ěcho eorií je prémie chápana rozdílnými způsoby, v eorii očekávání jde o odměnu za riziko spojené s delším držením dluhopisu, v eorii preferovaného umísění je prémie odměnou invesora za vložení prosředků do jiného než preferovaného dluhopisu. Hypoéza preferovaného umísění dokáže vysvěli jakýkoliv sklon výnosové křivky a o včeně plochého varu. Výnosy jsou ak podél celé křivky idenické, což za předpokladu exisence prémie inerpreujeme jako očekávaný mírný pokles úrokových sazeb. Pokud pro srovnání použijeme příklad čisé hypoézy očekávání, ak a inerpreuje plochou výnosovou křivku jako období sabilních (sejných) sazeb po celé délce výnosové křivky. (Bureš, 2007, s. 0) 2.4 Typy výnosových křivek Exisuje několik druhů výnosových křivek a v éo kapiole budou zmíněny výnosová křivka z výnosů do splanosi, kuponová výnosová křivka, nominální výnosová křivka, prompní výnosová křivka, forwardová výnosová křivka, výnosová křivka anui a valivá výnosová křivka. 2.4. Výnosová křivka z výnosů do splanosi Dle Davida Blake (995, s. 43) je výnosová křivka výnosů do splanosi (výnosová křivka YTM, yield o mauriy) nejznámějším ypem výnosové křivky. Její konsrukce je založena na zachycení závislosi mezi výnosem do splanosi a dobou do splanosi dluhopisu. Vyskyuje se ve řech ypických varech: rosoucí, vyboulená a klesající. Konsrukce křivky YTM je provázena několika problémy. Už z definice výnosu do splanosi musí bý kupón ihned reinvesován za sejnou úrokovou míru jako YTM. Na rhu však dochází k neusálým změnám ržní úrokové míry, vzniká nám reinvesiční riziko a je porušen výše 24

zmiňovaný předpoklad. Tomuo problému nepodléhá bezkuponový dluhopis, u kerého nejsou v průběhu vypláceny žádné kupóny a není je nuné reinvesova. Dalším problémem je skuečnos, že křivka nezohledňuje výši výplay kupónu, předpokládá se sejný způsob splácení u všech dluhopisů. U dluhopisů se sejnou dobou splanosi a malým kupónem je spláka sousředěna ke konci splanosi, kdežo je-li kupón velký, je věší čás dluhu splacena před daem splanosi, nedochází k diskonování kupónu odpovídající úrokovou sazbou. Proože je konsrukce výnosové křivky do splanosi provázena mnohými problémy, je konsruována celá řada dalších výnosových křivek. 2.4.2 Kuponová výnosová křivka Další křivkou, kerou Blake (995, s. 43-44) uvádí, je kuponová výnosová křivka (coupon yield curve) zachycující vzah mezi dobou splanosi a výnosem do doby splanosi dluhopisů se sejným kupónem. Důvodem pro konsrukci éo křivky je fak, že dluhopisy se sejnou splanosí, ale rozdílným kupónem, nebudou mí sejný výnos. Dochází k zohlednění reinvesičního rizika. Dluhopisy s nižším kupónem mají oo riziko menší než dluhopisy s velkým kupónem. Navíc rozdílné vyplácení kupónových plaeb může vés k rozdílnému zdanění. Je proo zřejmé, že dochází k jisému zkreslení, pokud není zahrnu kupon. Graf č. 7: Vzah mezi forwardovými výnosy a výnosovou křivkou kuponového a bezkuponového dluhopisu (zdroj: CIPRA, Tomáš. Maemaika cenných papírů) 2.4.3 Nominální výnosová křivka Jak uvádí Blake (995, s. 44), nominální výnosová křivka (par yield curve) zachycuje závislos výnosu dluhopisu do splanosi na době do splanosi v případě dluhopisů 25

obchodovaných za nominální hodnou. Výnos do splanosi je edy reprezenován hodnoou kuponu. Teno yp je využíván v případě prvních emisí, proože dluhopisy jsou emiovány za svou nominální hodnou. 2.4.4 Prompní výnosová křivka Výnosová křivka dluhopisů s nulovým kupónem (spo yield curve, zero-coupon yield curve, prompní výnosová křivka) je sesavena ze spoových výnosů dluhopisů v závislosi na době splanosi. Schmied a kol. (999, s. 52) říkají, že spoová výnosová křivka je vořena posloupnosí spoových úrokových měr a spoové úrokové míry r 0, přísluší dluhopisům vydávaným v čase 0 se splanosí v čase. Sjednaná úroková míra plaí po celou dobu živonosi dluhopisu. Za předpokladu roční výplay kuponu a nulového alikvoního úroku Blake (995, s. 47) říká, že prompní výnosnosi vyhovují následující rovnici: P d T C rs rs NH T T T C D NHD T 2.2 kde P d je ržní hodnoa dluhopisu, NH je nominální hodnoa dluhopisu, zachycuje dobu splanosi, C je kupón, rs prompní výnos dluhopisu s dobou splanosi, D je odpovídající diskonní fakor. ( rs ) Název výnosová křivka dluhopisů s nulovým kuponem je odvozen z faku, že prompní výnos pro každou dobu splanosi je ve sejné výši jako výnos bezkuponového dluhopisu se sejnou dobou splanosi. V rovnici je diskonováno cash flow (j. kupon nebo jisina) z roku odpovídajícím -leým prompním výnosem. Jinak řečeno s dobou splanosi le. (Blake, 995, s. 48) rs předsavuje časově vážený ukazael výnosu pro dluhopis Blake (995, s. 48) ukazuje na výhodu oproi výnosové křivce do splanosi, kde jsou všechny peněžní oky vzahovány ke sejné sazbě, oproi omu prompní výnosová křivka používá vhodné diskonní fakory vzahující se k danému kuponu či spláce jisiny. 26

2.4.5 Forwardová výnosová křivka Forwardová výnosová křivka ukazuje závislos forwardových výnosnosí na době splanosi dluhopisu. Forwardový výnos lze získa z rovnice.7 a předsavuje úrokovou míru se splanosí za n le vydaných v čase. Spoové a forwardové výnosové křivky zachycuje následující grafy č. 8. Graf č. 8: Spoová a forwardové výnosové křivky (zdroj: hp://econompicdaa.blogspo.com/200/08/swap-curve-whacked.hml) 2.4.6 Výnosová křivka anui Výnosová křivka anui (anuiy yield curve) zachycuje vzah výnosu anui a dobu do splanosi. Blake (996, s. 5) rozkládá dluhopis na anuiy (kupón) a bezkuponový dluhopis. Výnosová křivka anui se zaměřuje na kuponovou čás dluhopisu s využiím prompních výnosů. Hodnoa anuiní (kuponové) čási dluhopisu vychází ze vzahu: A kde * T T C rs T C D C A zachycuje dobu splanosi, C je kupón, rs prompní výnos dluhopisu s dobou splanosi, D je odpovídající diskonní fakor, ( rs ) T A T D. 2.3 27

A T je spravedlivá cena anuiy o velikosi na T le a lze ji vyjádři pomocí rovnice: A T ra ra T, 2.4 T kde ra T je výnos T-leé anuiy. 2.4.7 Valivá výnosová křivka Valivá výnosová křivka zachycuje závislos valivého výnosu na době splanosi. Aby mohla bý definována valivá výnosová křivka, je řeba vysvěli pojem valivý výnos. Valivý výnos je možné získa vzahem: d PT rr, 2.5 P kde rr je jednoleá valivá výnosnos T leého dluhopisu, d je velikos kuponu, P je hrubá cena T leého dluhopisu, P - je hrubá cena T- leého dluhopisu se sejným kuponem d. (Blake, 995, s. 52) 28

3 Konsrukce výnosové křivky Při konsrukci výnosové křivky je řeba zanés body, kde osa x udává dobu do splanosi a osa y výnosnos. Obvykle není vhodné křivku sesroji z bodů daných rhem. Výnosová křivka by měla bý spojiá hladká křivka procházející body danými rhem nebo se k nim blíži. Křivku je řeba vyhladi a ím se zbavi osrých exrémů. Pro vykreslení výnosových křivek exisuje několik meod. Jedna aková meoda je boosraping neboli meody posupného výpoču nebo svépomocí. Princip spočívá na přepočíání výnosu z kuponových dluhopisů na odpovídající výnosy z bezkuponových dluhopisů. Obvykle se na rhu vyskyuje dosaečné množsví kuponových dluhopisů, ale bezkuponové dluhopisy jsou věšinou pouze pro kraší doby splanosi, ady můžeme vidě uplanění meody svépomocí. (Bureš, 2007, s. 4). Časo užívanou meodou odhadu cenrálními bankami, keré zajímá hlavně var křivky, je Nelsonův-Siegelův model popřípadě jeho rozšíření v podobě Svenssonova modelu. Auoři meody si všimli, že vary výnosových křivek bývají věšinou grafickou podobou řešení diferenčních nebo diferenciálních rovnic. Svenssův model rozšiřuje Nielsův-Siegelův model o další paramery a zlepšuje možnosi modelu při prokládání da. (Slavík, 200, sr. 597) Exisuje mnoho dalších používaných meod, ale rozsah bakalářské práce mi nedovoluje se jim věnova blíže. 3. Inerpolace Ne vždy se podaří shromáždi všechna daa a je pořeba někerá daa dopočía. Časo na rhu neexisuje dosaečné množsví dluhopisů. Inerpolační meody jsou vhodné, máme-li dluhopisy s různou dobou splanosi, ale pro někeré doby splanosi nemáme pořebné hodnoy. 3.. Lineární inerpolace Jednou z nejsnadnějších meod konsrukce výnosové křivky je lineární inerpolace. Meodu lze použí v případě, jsou-li známy výnosnosi pro odlišné splanosi, ale pořebujeme dopočía někeré chybějící splanosi. 29

Výpoče je podle vzorce: r r r r, 3. n 0 0 0 n 0 kde r i je výnos s dobou splanosi i, i je doba splanosi. (Bureš, 2007, s. 6) Princip lineární inerpolace zachycuje graf č.9. Graf č. 9: Lineární inerpolace (Zdroj: hp://cs.wikipedia.org/wiki/lineární_inerpolace) Například výpoče výnosnosi dluhopisu se splanosí za 5 le, známe-li výnosnos pro 4leý dluhopis 5% p. a. a 7,5% p. a. pro 7leý, vypadá dosazením do vzorce 3. následovně: 7,5 5 r 5 7 4 5 4 5,83% 5 Jak je z grafu č. 9 parné, hodnoy vypočené ouo meodou leží na úsečce spojující dva nejbližší známé body. Z meody vychází o, že je-li křivka rosoucí, pak mají i dopočíané výnosnosi rosoucí charaker a naopak je omu u klesající křivky, což může vés ke zkreslení výsledku. Meoda se používá převážně pro svou jednoduchos a může bý užiečná pro úvodní předsavu o daech. 3..2 Logarimická inerpolace Další inerpolační meodou je logarimická inerpolace, kerou lze použí pro výpoče výnosnosi ležící mezi dvěma známými výnosnosmi. 30