Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala

Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala SNA 07, 22.-26. ledna 2007 - p. /46

. Úvod.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Úvod do BEM.. Úvod - p. 2/46

Vnitřní a vnější okrajová u = f v Ω, + okrajové podmínky na Ω du ) u = g na Ω, dn = h na Ω,... ; Ω R N... omezená oblast s dost hladkou hranicí N 2). u = f v R N \ Ω, + okrajové podmínky na Ω, + podmínky v ) ) u = O x N 2 pro x.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Úvod do BEM.. Úvod - p. 3/46

Příklad. { u = f v Ω, u = 0 na Ω. Klasické řešení: u C 2 Ω) CΩ),... u v dx = Ω Ω fv dx.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Slabé řešení: u W,2 0 Ω),... Platí: u je dost hladké slabé řešení u je klasické řešení. Neplatí: u je klasické řešení u je slabé řešení. Úvod do BEM.. Úvod - p. 4/46

Ale! Příklad. { u = f v B 0) R 2, u = 0 na B 0). 2 ux, y) = x2 y + x 2 + y 2 =: fx, y), 2 x2 y 2 ) 3 ux, y) := x 2 y 2 C B 0)) CB 0)), B 0) u 2 dxdy = B 0) u je klasickým řešením. ) 2+ ) 2 x y dxdy = x2 y 2 x2 y 2. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. = 2π 0 r 2 r r dr = 2π 2 0 2r+) + 2 r) r) dr =, a proto u / W,2 0 B 0)); u není slabým řešením. Úvod do BEM.. Úvod - p. 5/46

Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli. kde DK) { u = 0 v BR x 0 ), u = ϕ na B R x 0 ), R > 0, x 0 R N, B R x 0 ) = {x R N : x x 0 < R}, ϕ C B R x 0 ) ). Věta. Bud ux) := ϕx), x B R x 0 ), κ N R B R x 0 ) ϕy) R2 x x 0 2 x y N ds y, x B R x 0 ), kde κ N je povrch jednotkové koule v R N. κ N = 2πN/2 ΓN/2), Pak u C B R x 0 ) ) C B R x 0 ) ) je jediným klasickým) řešením úlohy DK) a platí u ϕ.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Γk) = k )!, Γk + 2 ) = 2k )!! 2 π, k 2k )!! = 2k )2k 3) 3. κ = 2, κ 2 = 2π, κ 3 = 4π, κ 4 = 2π 2, κ 5 = 8 3 π2, κ 6 = π 3, κ 7 = 6 5 π3, κ 8 = 3 π4,... Úvod do BEM.. Úvod - p. 6/46

Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rov. na vnějšku koule. DVK) Věta. Bud ux) := u = 0 v R N \ B R x 0 ), u = ϕ na B R x 0 ), ϕ C B R x 0 ) ), ) u = O x N 2 pro x. ϕx), x B R x 0 ), κ N R ϕy) x x 0 2 R 2 ds x y N y, x x 0 > R. B R x 0 ). Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Pak u C R N \ B R x 0 ) ) C R N \ B R x 0 ) ) je jediným klasickým) řešením úlohy DVK). Úvod do BEM.. Úvod - p. 7/46

N = Věta Gauss). Necht Ω R N, kde N, je omezená oblast s dost hladkou hranicí. Pak u C Ω) i {,..., N} : Ω u x i dx = Ω u n i ds n = n, n 2,..., n N )... jednotkový vektor vnější normály). u C a, b ) : b a u dx = [u] b a = ub) ua),. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. u, v C a, b ) : b a b a u v dx = [uv] b a uv) dx = [uv] b a, a proto b a uv dx. Úvod do BEM.. Úvod - p. 8/46

Ω u x i dx = Ω u n ids N = 2 Další důsledky Gaussovy věty: Věta Green). Bud Ω R 2 a f, f 2 ) : R 2 R 2 třídy C na Ω. Pak f2 ) x f dxdy = y Ω Ω) f, f 2 ) ds.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. N = 3 Věta Gauss - Ostrogradskij). Bud Ω R 3 a f, f 2, f 3 ) : R 3 R 3 třídy C na Ω. Pak Ω f ) x + f 2 y + f 3 dxdy dz = z Ω) f, f 2, f 3 ) ds. Úvod do BEM.. Úvod - p. 9/46

Ω uv) x i dx = Ω uv n ids u, v C Ω) : u, v C 2 Ω) : u, v C 2 Ω) : Ω Ω u v dx = u v dx + x i Ω x i 2 u x 2 v dx = i Ω Ω u v dx = u v dx + x i x i Ω Ω Ω u v dx+ Ω uvn i ds u x i vn i ds du dn v ds.... Greenova formule. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. u, v C 2 Ω) : Ω u v u v ) dx = Ω du dn v u dv ) ds dn... 2. Greenova formule Úvod do BEM.. Úvod - p. 0/46

2. Harmonické funkce. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. /46

Definice. Bud Ω R N omezená oblast. Řekneme, že funkce u C 2 Ω) je harmonická v Ω, platí-li: u = 0 v Ω. Bud Ω R N neomezená oblast. Řekneme, že funkce u C 2 Ω) je harmonická v Ω, platí-li: u = 0 v Ω a současně u = O pro x. ) x N 2 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. K > 0) R > 0) x R N, x > R ) : ux) K x N 2. Příklady. Funkce u := je harmonická v každé oblasti, je-li N = 2. Funkce u := je harmonická v každé omezené oblasti a není harmonická v žádné neomezené oblasti, je-li N > 2. Funkce ux, y) := x 2 y 2 je harmonická v každé omezené oblasti v R 2. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 2/46

Věta. Bud N > 2. Definujme vx, y) := x y N 2 : RN R N R. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. Pak pro každé y R N je funkce x vx, y) harmonická v každé oblasti, která neobsahuje bod y. Věta. Bud N = 2. Definujme vx, y) := ln x y : R2 R 2 R. Pak pro každé y R 2 je funkce x vx, y) harmonická v každé omezené oblasti, která neobsahuje bod y. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 3/46

Definice. Funkci vx,y) := N 2)κ N ln 2π x y x y N 2, je-li N 3,, je-li N = 2, 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. nazýváme elementárním řešením Laplaceovy rovnice tj. rovnice u = 0). Věta. Pro každé y R N platí x vx,y) = N i= 2 v x 2 i x,y) = δ y δx y) derivace je třeba chápat ve smyslu distribucí). Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 4/46

3. Potenciály. 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 5/46

Věta o třech potenciálech). Bud Ω R N N 2) omezená oblast s dost hladkou hranicí, v : R N R N R elementární řešení Laplaceovy rovnice a u C 2 Ω). Pak pro každé x Ω platí ux) = Ω uy)vx, y) dy+ vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y. Ω dn dn y 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Speciálně: je-li navíc u = 0 v Ω, je x Ω : ux) = Ω vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y. dn dn y Důsledek věta o regularitě). Bud Ω R N N 2) libovolná oblast, u C 2 Ω), u = 0 v Ω. Pak u C Ω). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 6/46

ux) = Ω uy)vx, y)dy + Ω vx, y) du dv y) dn dn y x, y)uy)ds y. V dalším uvažujme pouze případ N 3. Definice. vx) := Ω µy) x y N 2 ds y wx) := Ω σy) d... potenciál jednoduché vrstvy, dn y x y N 2 ) ds y 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy.... potenciál dvojvrstvy, ϕx) := Ω y) x y N 2 dy... objemový Newtonův) potenciál; µ, σ,... hustoty příslušných potenciálů). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 7/46

ϕx) := Ω y) x y N 2 dy Věta vlastnosti objemového potenciálu). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud L Ω). Pak potenciál ϕ je spojitý a spojitě diferencovatelný v R N, harmonická funkce v každé oblasti G R N \ Ω. Je-li C Ω), je ϕ C 2 Ω), x Ω : ϕx) = N 2)κ N x). 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Uvedený výsledek nám umožňuje konstruovat partikulární řešení Poissonovy rovnice a převést tak okrajovou úlohu pro Poissonovu rovnici na okrajovou úlohu pro Laplaceovu rovnici: } u 0 = f C Ω) u + u 0 ) = f; u = 0 u 0 x) = N 2)κ N Ω fy) x y N 2 dy. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 8/46

ϕx) := Ω y) x y N 2 dy, C Ω) ϕx) = N 2)κ N x). ϕx) = Příklad. Objemovým potenciálem koule B r 0) R 3 s hustotou := je funkce 2π 3 3r2 x 2 ), je-li x r, 4π 3 r 3, je-li x > r. x 6 5 4 3 2 ϕx) r = 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. 0 2 3 4 5 6 x x Odtud plyne, že jedním z řešení rovnice u = na B r 0) R 3 je funkce ux) := 4π 2π 3 3r2 x 2 ) = 6 x 2 + konst., takže taky např.) funkce ũx) := 6 x 2. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 9/46

vx) := Ω µy) x y N 2 ds y Věta vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud µ L Ω). Pak potenciál v je harmonickou funkcí v oblastech Ω a R N \ Ω. Je-li µ C Ω), je potenciál v spojitý v R N a pro každé x Ω platí: [ dv dn x x) ] dv := lim i α 0 dn x x + αn x ) = N 2)κ N 2 µx) + dv dn x x), kde dv dn x x) := Ω µy) d dn x x y N 2 ) dsy ; 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. [ dv dn x x) ] e := lim α 0+ dv dn x x + αn x ) = N 2)κ N 2 µx) + dv dn x x). Takže [ dv x) ] dn [ dv x) ] ) i x dn = N 2)κ e Nµx). x Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 20/46

vx) := Ω µy) x y N 2 ds y Příklad. Potenciálem jednoduché vrstvy na sféře B r 0) R 3 s hustotou µ := je funkce vx) = 4πr, je-li x r, 4π r2 x, je-li x > r. 2 0 8 6 4 vx) r = 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. 2 0 2 4 6 8 0 2 x x Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 2/46

wx) := Ω σy) d dn y x y N 2 )ds y Věta vlastnosti potenciálu dvojvrstvy). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud σ L Ω). Pak potenciál w je harmonickou funkcí v oblastech Ω a R N \ Ω. Je-li σ C Ω), je w Ω C Ω) a pro každé x Ω platí: w e x) := lim w x) = N 2)κ N 2 σx) + wx), x x x R N \ Ω 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. w i x) := lim x x x Ω w x) = N 2)κ N 2 σx) + wx). ) Takže w e x) w i x) = N 2)κ N σx). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 22/46

wx) := Ω σy) d dn y x y N 2 )ds y Příklad. Potenciálem dvojvrstvy na sféře B r 0) R 3 s hustotou σ := je funkce wx) = 4π, je-li x < r, 2π, je-li x = r, 0, je-li x > r. 0 2 4 6 x x 2 3 4 5 wx) 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. 8 0 2 r = Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 23/46

4. Metoda potenciálů. 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 24/46

Vnitřní Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém D i ) { u = 0 v Ω, u = g na Ω. Hledejme klasické) řešení u C 2 Ω) CΩ) problému D i ) ve tvaru potenciálu dvojvrstvy s neznámou hustotou σ C Ω), tj. ) Ω ux) := σy) d dn y ds x y N 2 y, x Ω, gx), x Ω. 4. Metoda potenciálů. Protože potenciál dvojvrstvy je na Ω harmonickou funkcí tj. splňuje Laplaceovu rovnici automaticky), jde pouze o to určit hustotu σ tak, aby platilo, že u CΩ), tzn. aby pro každé x Ω: gx)= u i x) = N 2)κ N 2 σx)+ Ω σy) d ) dn y ds x y N 2 y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 25/46

D i ): u = 0 v Ω, u = g na Ω. tj. aby ) x Ω : σx) 2 N 2)κ N Ω σy) d ) dn y x y N 2 ds y = 2 N 2)κ N gx). )... Fredholmova integrální rovnice druhého druhu. Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy D i ). Tímto řešením je funkce ux) := { Ω σy) d gx), x Ω, ) dn y ds x y N 2 y, x Ω, ) 4. Metoda potenciálů. kde σ je řešením rovnice ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 26/46

Vnější Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém N e ) u = 0 v R N \ Ω, [ du ] = g na Ω, dn e ) u = O x N 2 pro x. Hledejme klasické) řešení u C 2 R N \ Ω) CR N \ Ω) problému N e ) ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s neznámou hustotou µ C Ω), tj. ux) := µy) x y N 2 ds y. Ω Protože potenciál jednoduché vrstvy je na R N \ Ω harmonickou funkcí, jde pouze o to určit hustotu µ tak, aby pro každé x Ω : gx) = [ du dn x)] e = N 2)κ N 2 µx) + Ω µy) d dn x x y N 2 ) ds y, 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 27/46

N e ): u = 0 v R N \ Ω, [ du dn ]e = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. aby ) x Ω : µx) 2 N 2)κ N Ω µy) d ) dn x x y N 2 )... adjungovaná rovnice k ). ds y = 2 N 2)κ N gx). Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy N e ). Tímto řešením je funkce ux) := Ω µy) x y N 2 ds y, ) 4. Metoda potenciálů. kde µ je řešením rovnice ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 28/46

Vnější Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém D e ) u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, ) u = O x N 2 pro x. Podobně jako u D i ): funkce ) Ω ux) := σy) d dn y ds x y N 2 y, x R N \ Ω, gx), x Ω, 4. Metoda potenciálů. je klasickým) řešením úlohy D e ), je-li hustota σ C Ω) taková, že pro každé x Ω: gx)= u e x) = N 2)κ N 2 σx) + Ω σy) d ) dn y ds x y N 2 y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 29/46

D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. že ) x Ω : σx)+ 2 N 2)κ N Ω σy) d ) dn y x y N 2 ds y = 2 N 2)κ N gx). Tentokrát je situace složitější, může se totiž stát, že rovnice ) nemá řešení. I v takovémto případě má sice úloha D e ) řešení, toto však nemá tvar potenciálu dvojvrstvy. K této situaci dochází proto, že potenciály dvojvrstvy tvoří příliš "malou" část množiny všech harmonických funkcí v R N \ Ω. U obecné harmonické funkce totiž požadujeme, aby byla O pro x, ) x N 2 zatímco potenciál dvojvrstvy je O ) x N pro x. 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 30/46

D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... Pokusme se řešení najít ve tvaru součtu potenciálu dvojvrstvy a jednoduché harmonické funkce s růstem O pro x. ) x N 2 Umístěme počátek soustavy souřadnic dovnitř Ω a hledejme u ve tvaru: ) Ω σy) d dn y ds x y N 2 y + x Ω σy) ds y, N 2 ux) := x R N \ Ω, gx), x Ω. 4. Metoda potenciálů. Už víme, že σ C Ω) je takto definovaná funkce u harmonická v R N \ Ω. Zbývá tedy určit σ C Ω) tak, aby pro každé x Ω: gx) = u e x) = N 2)κ N 2 σx)+ [ Ω σy) ) d dn y x y N 2 + x N 2 ] ds y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 3/46

D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. aby ) x Ω : [ 2 σx) + N 2)κ N Ω σy) ) d dn y x y N 2 + x N 2 ] ds y = 2 N 2)κ N gx). Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy D e ). Tímto řešením je funkce ) Ω σy) d dn y ds x y N 2 y + x Ω σy) ds y, N 2 ux) := x R N \ Ω, gx), x Ω, kde σ C Ω) je řešením rovnice ). 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 32/46

Vnitřní Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém N i ) [ du dn u = 0 v Ω, ] = g na Ω. Pozorování. Je-li funkce u klasickým řešením úlohy N i ), je i každá z funkcí v c x) := ux) + c, i 4. Metoda potenciálů. kde c R, řešením N i ). Pozorování 2. Bud u dost hladké řešení úlohy N i ) a v :=. Z. Greenovy formule Ω u v dx = Ω u v dx+ Ω pak vyplývá, že 0 = du Ω dn ds = Ω g ds. du dn v ds Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 33/46

N i ): u = 0 v Ω, [ ] du dn i = g na Ω. Řešení u hledejme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s hustotou µ C Ω), tj. ux) := µy) x y N 2 ds y. Ω Pro µ pak musí platit, že pro každé x Ω : gx) = [ du dn x)] i = N 2)κ N 2 µx) + Ω µy) d tj. že ) x Ω : µx) + 2 N 2)κ N Ω µy) d ) dn x x y N 2 dn x x y N 2 ) ds y, ds y = 2 N 2)κ N gx). 4. Metoda potenciálů. ) )... adjungovaná rovnice k ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 34/46

N i ): u = 0 v Ω, [ ] du dn i = g na Ω. Věta. Podmínka gx) ds Ω x = 0 je podmínkou nutnou a postačující, aby úloha N i ) s okrajovou podmínkou g C Ω)) měla řešení. Toto řešení je jednoznačně až na konstantu určeno vztahem ux) := Ω µy) x y N 2 ds y, kde µ je řešením rovnice ). 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 35/46

5. Přímé metody. 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 36/46

Smíšená - Bud Ω R 3 omezená oblast s dost hladkou hranicí Ω = Γ Γ 2 a bud g CΓ ) a g 2 CΓ 2 ). Uvažujme problém DN i ) u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] = g 2 na Γ 2. dn i Z věty o třech potenciálech vyplývá: je-li u C 2 Ω) klasickým) řešením DN i ), je x Ω : ux) = Ω vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y, dn dn y 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. kde v : R 3 R 3 R je elementární řešení Laplaceovy rovnice, tj. funkce vx, y) := 4π x y. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 37/46

DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. Zjistili jsme: je-li u C 2 Ω) řešením úlohy DN i ), je pro každé x Ω : ux) = Ω Problém: 4π x y du dn y) ds y Ω 4π d dn y du dn y) =? na Γ, uy) =? na Γ 2. x y ) uy) dsy. 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Všimněme si: Ω Ω 4π 4π x y d dn y du dn y) ds y... potenciál jednoduché vrstvy s hustotou 4π du dn C Ω), x y ) uy) dsy... potenciál dvojvrstvy s hustotou 4π u C Ω). Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 38/46

DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. x Ω : u x) = Ω 4π du dn y) x y ds y Ω 4π uy) d dn y x y ) dsy. Limitním přechodem Ω x x Ω) dostaneme, že pro každé x Ω platí: ux) = Ω tj. 4π du dn y) x y ds y 4π 2 x Ω : 2 ux) = Ω Takže na Ω platí 4π x y 4π ux) + Ω du dn y) ds y Ω 4π uy) d 4π dn y d dn y x y ) dsy ), 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. x y ) uy) dsy. } {{ } } {{ } =: V du dn )x) 2 u = V du dn ) Ku). =: Ku)x) Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 39/46

DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. x Ω : ux) = Ω 4π du dn y) x y ds y Ω 4π uy) d dn y x y ) dsy. Nyní proved me limitní přechod pro "derivaci podle vnější normály". Z předpokladu u C 2 Ω) a z vlastností potenciálu jednoduché vrstvy plyne, že x Ω : = 4π 2 4π [ ] du dn x x) du dn x) + Ω i = du dn x) = 4π du dn y) d dn x x y ) dsy d dn x Ω 4π uy) d dn y 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. x y ) dsy, tzn., že pro každé x Ω platí: 2 du dn x) = Ω 4π d dn x x y ) du dn y) ds y d dn x Ω 4π d dn y x y ) uy) dsy. } {{ }} {{ } =: K du dn )x) =: Du)x) Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 40/46

DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. Zjistili jsme, že pro řešení u C 2 Ω) úlohy DN i ) na Ω platí: 2 2 u = V du dn ) Ku), du dn = K du dn ) + Du). Dá se dokázat, že existuje V, a proto z první rovnosti vyplývá, že du dn = V 2 I + K) u). 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Dosadíme-li tento vztah do druhé z výše uvedených rovností, dostaneme na Ω ) rovnost du dn = [ 2 I +K ) V 2 I +K) +D ] u) } {{ } =: S... Steklov - Poincaré operátor. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 4/46

DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. du dn = Su) := [ 2 I +K ) V 2 I +K) +D ] u), kde V λ)x) := Ω Ku)x) := Ω K λ)x) := Ω 4π 4π 4π Du)x) := d dn x Ω Dá se ukázat, že λy) ds x y y, d dn y x y ) uy) dsy, d dn x d 4π dn y x y ) λy) dsy, x y ) uy) dsy. V : H 2 Ω) H 2 Ω), K : H 2 Ω) H 2 Ω), 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. K : H 2 Ω) H 2 Ω), D : H 2 Ω) H 2 Ω) S : H 2 Ω) H 2 Ω) jsou spojitými lineárními operátory. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 42/46

Uvažujme problém DN i ) u = f v Ω, u = 0 na Γ, du dn = g na Γ 2, du dn = Su Nf. kde Ω R 3 je omezená oblast s dost hladkou hranicí Ω = Γ Γ 2, Γ má "kladnou míru", g L 2 Γ 2 ), f L 2 Ω). 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Slabým řešením úlohy DN i ) rozumíme funkci u W := {v H Ω) : Tv = 0 na Γ } takovou, že v W : Ω u v dx = Ω fv dx + Γ 2 gtv ds. Slabým hraničním řešením úlohy DN i rozumíme funkci u W := {v H 2 Ω) : v = 0 na Γ } takovou, že v W : Su,v = Nf,v + Γ 2 gv ds. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 43/46

Literatura. Literatura. Úvod do BEM. Literatura - p. 44/46

P. Drábek: Integrální rovnice, SNTL, Praha, 99; L. C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, Volume 9, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 998; J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta VUT, Brno, 2003; O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, skripta MFF UK, Praha, 98; A. Kufner, O. John a S. Fučík: Function spaces, Academia, Praha, 977. C. Johnson: Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 995; K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky II, Prometheus, Praha, 995; Literatura. Úvod do BEM. Literatura - p. 45/46

M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer Verlag, New York, 993; Literatura. M. Rokyta, O. John, J. Málek, M. Pokorný, J. Stará: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic, www.karlin.mff.cuni.cz/ rokyta/vyuka/skripta-pdr/, 2004; M. Sadowská: Řešení variačních nerovnic pomocí hraničních integrálních rovnic, diplomová práce, VŠB-TU Ostrava, 2005; O. Steinbach: Stability estimates for hybrid coupled domain decomposition methods, Springer Verlag, Heidelberg, 2003; A. Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta VUT, Brno, 999; Příspěvek vznikl za podpory grantu GAČR 20/07/0294. Úvod do BEM. Literatura - p. 46/46