M - Příprava na 3. čtvrtletku třídy P, VK Souhrnný studijní materiál určený k přípravě na 3. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo ledna až března. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení, pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: (m - 3)x - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení:. Pro m = 3... lineární rovnice. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: D = b - 4ac = [-(3m + 9)] - 4.(m - 3).9m = 9m + 54m + 8-36m + 08m = = -7m + 6m + 8 a) D > 0... reálné různé kořeny... nastane tehdy, jestliže: -7m + 6m + 8 > 0 :(-9) 3m - 8m - 9 < 0 : 3 m - 6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m - 6m - 3 = 0 m, 6 ± 6-4..( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 3 = = = = = 3± 3. m = 3 + Ö3 m = 3 - Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + Ö3)]. [m - (3 - Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + Ö3)] > 0 [m - (3 - Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + Ö3 m < 3 - Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + Ö3)] < 0 [m - (3 - Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + Ö3 m > 3 - Ö3 Závěr: m Î (3-Ö3; 3) È (3; 3+Ö3) b) D = 0... Jeden dvojnásobný kořen... -7m + 6m + 8 = 0 :(-9) 3m - 8m - 9 = 0 : 3 m - 6m - 3 = 0 [m - (3 + Ö3)]. [m - (3 - Ö3)] = 0 m = 3 + Ö3 m = 3 - Ö3 nastane tehdy, jestliže: c) D < 0... V reálném oboru nemá řešení... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (- ; 3-Ö3) È (3+Ö3; + ) 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady. 56. 5 3. 57 4. 47 5. 50 6. 58 7. 5 8. 55 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 9. 49 0. 53. 54. 46...... m = -0,4 nebo m = 6 dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R 3. 48 ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: 9.3.008 9:03:50 3 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Příklad : Řešte soustavu rovnic: x + y = 74 3x - y = Řešení: x + y = 74 3x - y = x= + y 3 () æ+ y ö ç + y = 74 è 3 ø ( + y ) 9 + y = 74 + 4 y + 4 y + y = 74 9 + 4y + 4y + 9y = 666 3y + 4y - 665 = 0 y, 4 æ4ö - ± ç - 3.(- 665) - ± 8649 - ± 93 èø = = = 3 3 3 y = 7 y = -95/3 Dosadíme do rovnice () a vypočteme x: x = +.7 =5 3 æ 95 ö +.ç - è 3 ø = - 59 x = 3 3 Závěr: ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 3 3 û þ î Příklad : Řešte soustavu rovnic: x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 () Dosadíme do rovnice první: æ 7y ö ç - y = 640 è 3 ø 49 y - y = 640 9 9.3.008 9:03:50 4 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 49y - 9y = 5760 40y = 5760 4y = 576 y = 44 y = y = - Dosadíme do rovnice () a dopočteme x: x = 7. : 3 = 8 x = 7. (-) : 3 = -8 Závěr: K = {[8;]; [- 8;-]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady. 7. 69 3. 70 K = {[3; 0]} 4. 75 K = {[0; 0], [; 4]} 5. 76 9.3.008 9:03:50 K = {[0; -]} 5 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. 7 7. 73 8. Řešte soustavu rovnic: 74 ± Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru. Řešit už tedy umíme nerovnice typu (x+3). (x - 5) < 0 Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít zadánu nerovnici formou trojčlenu - např. x -x - 5 < 0 V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice. Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici x - x - 5 = 0 a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme, její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu (x + 3). (x - 5) Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neexistuje. Pak nastanou dvě možnosti: nerovnice nemá žádné řešení nerovnice má nekonečně mnoho řešení Která z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neexistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti! Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné. 9.3.008 9:03:50 6 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnici x - x - 5 < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto:. Zápis si upravíme na x - 5 < x. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f: y = x - 5 f: y = x 3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému 4. Na ose x nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5) ± Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady. Řeš kvadratickou nerovnici x - 8x + 8 > 0 R \ {}. Řeš kvadratickou nerovnici -x + 3x - 3 0 K = R 3. Řeš kvadratickou nerovnici x - 5x + 6 > 0 K = (- ; ) È (3; + ) 4. Řeš kvadratickou nerovnici x + x - 0 K = <-4; 3> 5. Řeš kvadratickou nerovnici x + x 3 K = <-3; > 9.3.008 9:03:50 59 6 64 66 67 7 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. Řeš kvadratickou nerovnici -x - 6x - 8 > 0 K = (-4; -) 65 7. Řeš kvadratickou nerovnici -x + x - > 0 K = { } 8. Řeš kvadratickou nerovnici 3x - x + > 0 K = R 9. Řeš kvadratickou nerovnici x - x - 6 0 K = <-; 3> 0. Řeš kvadratickou nerovnici x - 6x + 0 < 0 K = { } 60 68 63 6 ± Planimetrie Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie). Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme: Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme: Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Úsečka: Znázorňujeme: 9.3.008 9:03:50 8 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme AB = 0 cm Pozn.: Platí, že AB ¹ BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme: nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pc Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ABC nebo pc Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme: Zapisujeme: Úhel může být: nulový (velikost 0 ) =a kosý (velikost 0 < a < 80 ) 9.3.008 9:03:50 9 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK pravý (velikost 90 ) přímý (velikost 80 ) plný (velikost 360 ) Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0 < a < 80 ) 9.3.008 9:03:50 0 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 80 < a < 360 ) Dvojice úhlů v rovině:. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost). Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 80 ) 3. Dvojice úhlů souhlasných nebo střídavých (mají stejnou velikost) 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 4. Dvojice úhlů výplňkových 5. Dvojice úhlů doplňkových 6. Dvojice úhlů styčných Rovinné útvary 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 80. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 80. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru :, větší díl je blíže k vrcholu. 9.3.008 9:03:50 3 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (/).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (/).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec: S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s= a+b+c Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené 9.3.008 9:03:50 4 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK B. Ostroúhlý trojúhelník trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90 a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = 9.3.008 9:03:50 5 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK (/).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b sin a = D. Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + c F. Rovnostranný trojúhelník 9.3.008 9:03:50 6 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60 má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 0 je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.ö3/ II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky AC = e, BD = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360 Pozn.: Různoběžník B. Rovnoběžník 9.3.008 9:03:50 7 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o =.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a. va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 80 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90 úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti ( osy stran a prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u / úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.ö b) obdélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o =.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec 9.3.008 9:03:50 8 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 80 úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.vanebo také S = u.u/ lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 80 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník S= čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce (a + c ).v 9.3.008 9:03:50 9 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám Jiné dělení a) Čtyřúhelník konvexní b) Čtyřúhelník nekonvexní 9.3.008 9:03:50 0 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK III. Pravidelný pětiúhelník má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka IV. Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 0 lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka V. Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy: 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(s; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice (nesečnou).. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 9.3.008 9:03:50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Tečna je vždy kolmá na poloměr. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice. Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l =.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o =.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk 9.3.008 9:03:50 3 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Pro délku kruhového oblouku a platí: a= p.r.a 80 a= nebo p.d.a 360 Soustředné kružnice Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar. Pro obsah kruhové výseče S platí: S= p.r.a 360 nebo S= p.d.a 440 Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar. 9.3.008 9:03:50 4 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Mezikruží Rovinný útvar. Obsah mezikruží: S = p. (r - r) ± Planimetrie - procvičovací příklady. Kosočtverec má výšku v = 48 cm a kratší úhlopříčku u = 60 cm. Určete jeho obsah. 400 cm 0. Jeden z vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníka je dvakrát větší než druhý. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníka.. řešení: a = b = 45, g = 90. řešení: a = b = 7, g = 36 8 3. Obvod obdélníka je,4 cm, délka obdélníka je 37 mm. Vypočítejte jeho šířku. 5 mm 8 4. Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 6 cm a 8 cm. Vypočítejte velikost nejmenší výšky v trojúhelníku. 4,8 cm 09 5. Určete obvod zahrady obdélníkového tvaru, jejíž úhlopříčka má délku 50 m a jedna strana délku 30 m. 40 m 5 9.3.008 9:03:50 5 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. Jestliže délku strany zvětšíme o jednu třetinu, zvětší se obvod Vypočtěte délku strany čtverce. 3,5 cm čtverce o 8 cm. 6 7. Drát délky, m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru :. Vypočtěte délky stran obdélníka a určete obsah obdélníka a) v m b) v cm 0, m; 0,4 m; 0,08 m; 800 cm 0 8. Úhlopříčky kosočtverce měří 8 cm a 6 cm. Vypočítejte stranu kosočtverce. 5 cm 98 9. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, úhel BAD = úhel ADC = R, AB =3 cm, CD =5 cm, AD =6 cm. Vypočítejte délku strany BC a obsah lichoběžníka ABCD. BC = 0 cm, S = 54 cm 0 0. Je dán obdélník ABCD, v němž je BC = cm a úhlopříčka měří 5 cm. Na straně AB vyznačte bod R tak, že RC = 3 cm. Určete, o kolik procent je obsah trojúhelníka ARC menší, než obsah obdélníka ABCD. 77,78 %. Vypočtěte obsah rovnoramenného trojúhelníka, jehož základna má délku 0 cm a rameno je o 3 cm delší než základna. 60 cm 3 Čtvercové hřiště má obvod 5 m. Jaký má obsah? 977 m 7 3. Určete výpočtem zda trojúhelník ABC je ostroúhlý nebo tupoúhlý, je-li úhel a = 4 37', ß = 35 8'. g = 0 55, proto trojúhelník je tupoúhlý. 9 4. Drát délky, m ohneme do tvaru obdélníka tak, aby jeho strany byly v poměru :. Vypočtěte délku delší strany obdélníka v metrech. 0,4 m 03 5. Pozemek kolem domu má tvar obdélníka. Jeho délka je čtyřikrát větší než jeho šířka, šířka měří 8,5 m. Kolik Kč stála barva na plot kolem celého pozemku, vystačí-li kg barvy po 56 Kč na natření 7 m plotu? 80 Kč 99 6. Určete velikost úhlu ASD v kosočtverci ABCD, jehož obvod je,6 cm a výška je 4,5 cm. S je průsečík úhlopříček kosočtverce. 90 08. 9.3.008 9:03:50 6 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 7. Je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD, úhel BAD = úhel ADC = R, AB =3 cm, CD =5 cm, AD =6 cm. Vypočítejte obsah lichoběžníka ABCD. S = 54 cm 8. Obvod obdélníka je 8 cm, délka je o cm větší než jeho šířka. Určete délku úhlopříčky tohoto obdélníku. 0 cm 4 9. Obvod čtvercové parcely v zahrádkářské kolonii je,8 m. Vypočítejte její obsah. 795 m 9 0. Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníka, jehož obvod je 7 cm. 49 cm 30. Kosočtverec má úhlopříčky e = 96 cm, f = 40 cm. Určete velikost strany kosočtverce. 5 cm 5. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže platí: ß : a : g = 6 : : 3 a = 99 ; b =54 ; g = 7 0 3. Záhonek tvaru obdélníka má rozměry 6 m a 0 m. Kolik kusů dlaždic o straně 50 cm je třeba na chodník šířky m, který vede těsně kolem okraje celého záhonu? dlaždic 05 Narýsujte čtverec, který má obvod 30 cm. Vypočtěte jeho obsah. S = 56,5 cm 3 5. Který útvar má větší obvod - čtverec o straně m nebo obdélník o stranách 3 m a m? Zdůvodněte. Mají oba útvary stejný obsah? Obvod čtverce i obdélníka je 8 m, obsah čtverce je 4 m, obsah obdélníka je 3 m. 6 6. Uprostřed čtvercového pozemku se stranou délky 30 m je kruhový květinový záhon o průměru 00 dm, na zbytku pozemku je trávník. Vypočítejte, kolik procent z celkové plochy zabírá květinový záhon. 34,9 % 04 7. Obvod trojúhelníka je 90 cm. Strana b je o 3 cm delší než strana a a strana c je o 4 cm kratší než strana b. Určete délky stran trojúhelníka. a = 36 cm, b = 39 cm, c = 5 cm 7 Určete obsah kosočtverce, je-li jeho obvod,6 cm a jeho výška je 4,5 cm. 4,3 cm 07 V trojúhelníku je a:ß = :, ß:g = 0:3. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka. Výpočet ověřte zkouškou. a = 50 ; b = 00 ; g = 30 00 4. 8. 9. 9.3.008 9:03:50 7 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 30. Určete obsah kruhu vepsaného čtverci o straně cm. 3,4 cm Rovnostranný trojúhelník KLM má výšku 0 cm. Vypočítejte jeho obsah. 57,74 cm 4 3. Kolo automobilu má průměr 6 cm. Kolikrát se kolo otočí na dráze 8 km? 4 00 krát 33. Obvod obdélníka je 56 m. Určete délky jeho stran, jsou-li v poměru 3:7 Proveďte zkoušku. 9,6 m; 8,4 m 06 3. ± Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí. Shodnost rozlišujeme:. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí). Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení. Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss. 9.3.008 9:03:50 8 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Pro každé dva trojúhelníky ABC, A B C platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu: Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu: 9.3.008 9:03:50 9 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů:. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty.. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n =, pak pro libovolné n + a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme. Důkazové úlohy: Příklad : Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení: 9.3.008 9:03:50 30 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK AC = CD BC = CE AC = BC...... vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka... () Z uvedených tří vlastností vyplývá, že CD = CE úhel g = 60..... () vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka úhel DCB = g + 60 úhel ACE = g + 60 Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že úhel DCB = úhel ACE... Ze závěrů (), (), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. (3) CBD Příklad : Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí PQ = UV Řešení: D BCE je shodný s D ABF (Ssu) 9.3.008 9:03:50 3 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Odtud vyplývá, že: EC = FB = UV = PQ Závěr: PQ = UV CBD ± Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady. Je dána kružnice k(s; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t, t a označte jejich dotykové body T a T. Dokažte, že PT = PT a úhel SPT = úhel SPT. 56. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly. 58 3. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že CQ = BT. 55 4. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(s; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí MN = PQ, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k. 57 5. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC. 59 ± Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a = k. a b = k. b c = k. c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k >, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k <, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k =, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. 9.3.008 9:03:50 3 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné Důkazové úlohy: Příklad : Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A B C jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad : Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, A mají velikost 90 a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) AB = AC... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B = A C... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B AB = A C AC =k Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD Výpočtové úlohy: Příklad 3: 9.3.008 9:03:50 33 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A B C o stranách délek 3, cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: A B = 3, cm B C = 4,8 cm A C = 5,4 cm k = : 50 000 AB =? [cm] BC =? [cm] AC =? [cm] ----------------------------- AB = (/k). A B AB = 3,. 50 000 cm = 60 000 cm =,6 km BC = 4,8. 50 000 cm = 40 000 cm =,4 km AC = 5,4. 50 000 cm = 70 000 cm =,7 km Rozměry lesa jsou,6 km,,4 km,,7 km. ± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 00 metrů a je položena o 80 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 5 metrů vysoký. 350 m 63. Jsou dány trojúhelníky ABC a A B C a platí: a = 6 b = 8 c = 9 a = 5 b = 6 /3 c = 7 / Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Jsou podobné. 73 3. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany FG.,86 cm 7 4. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 6 a 4. Určete vzdálenost obou tyčí. 46,3 m 67 5. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. k 68 9.3.008 9:03:50 34 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 6 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 3 cm dlouhý. Určete výšku budovy., m 6 7. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A B C, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné. 70 8. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 70 metrů? 6, m 6 9. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany MK. 8,4 cm 7 0. Trojúhelníkové pole o rozměrech 6,5 m, 7,5 m a 80 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7, mm. Určete měřítko mapy. : 5 000 60. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a =,5 b=7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 a = 5 b = 3,9 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 Nejsou podobné 65. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. k 69 3. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = /6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 a = 5/ b = /4 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 Jsou podobné 64 4. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c a výšky v, v. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c : v 66 9.3.008 9:03:50 35 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a = c. ca b = c. cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a + b = c. ca + c. cb = c. (ca + cb) = c. c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c = a + b = a + b = c Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: 9.3.008 9:03:50 36 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = 4 + 5 = 4 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady. 346. 34 0 m 3. 345 4. 339,4 m 5. 349,78 cm 6. 344 9.3.008 9:03:50 cm 37 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 7. 340 0,6 cm 8. 347 9. 350 4,9 cm 0. 348. 343 09 cm. 34 6,06 cm ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. 9.3.008 9:03:50 38 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v ca = Þ v = ca.cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v cb = Þ v = ca.cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.. Věta o odvěsně Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: cb b = Þ b = cb.c b c Rovněž by se dalo vyjádřit: ca a = Þ a = ca.c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö0 9.3.008 9:03:50 39 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = v, ca =, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö0 Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = a, ca =, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö0 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 367. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.,83 357 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 368 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 369 9.3.008 9:03:50 40 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 5. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 36 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 354 7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 363 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,9 35 9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,74 364 0. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 355. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,87 365. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 356 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 370 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,46 36 5. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, 366 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 358 9.3.008 9:03:50 4 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 359 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 360 0. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 353 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r = r r =.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou 9.3.008 9:03:50 4 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x 9.3.008 9:03:50 43 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. 4. 4 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady. 59. 59 9.3.008 9:03:50 56,5 cm 44 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 3. 54 4. 583,, 5. 575 9.3.008 9:03:50 / 45 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. 57 6,6 dm 7. 546 94 8. 67 49 cm 9. 570 40, m 0. 57,. 530 9.3.008 9:03:50 0,35 m 46 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK. 56 7 obdélníků 3. 63 4. 536 30 cm 5. 587 77,8 % 6. 539 4,3 cm 7. 584 0 8. 60 7,3 cm 9. 56 9.3.008 9:03:50 47 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 0. 590 58. 533 34,9 %. 566 Nemohou 3. 6 4. 559 5. 604 6. 548 5,7 m 7. 65 9.3.008 9:03:50 93 m 48 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 8. 588 3,9 cm 9. 549 30. 595 b) 3. 59 50 cm 3. 55 9.3.008 9:03:50 49 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 33. 597 75 34. 53 0,08 m, 800 cm 35. 577 Tupoúhlý 36. 5 30 m 37. 58 88 cm 38. 534 dlaždic 39. 50 9.3.008 9:03:50 0 50 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 40. 563 4. 6 5 mm 4. 508 0,8 m 43. 544,, 44. 509 a = 0, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 0, h = 0 45. 64 04 cm 46. 63 9.3.008 9:03:50 5 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 47. 547 4 00 krát 48. 540 6,075 cm 49. 594 75 50. 537 Není zavlažováno 6,8 m, třetí strana pole je 33,94 m. 5. 58 5. 543 4,8 cm 53. 568 5 cm 54. 507 9.3.008 9:03:50 5 cm 5 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 55. 5 AF = 5 cm, BC = cm 56. 585 4 krát 57. 554 57,74 cm 58. 53 0,4 m 59. 596 3350 m 60. 54 90 6. 553 9.3.008 9:03:50 60 cm 53 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 6. 599 63. 55 v = 5,00 cm 64. 60 65. 60 480 cm 6 cm 66. 5 9.3.008 9:03:50 50 54 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 67. A, B, C, D jsou vrcholy čtverce o straně a = 4 cm, k(a; cm), l(b; cm), m(c; cm), n(d; cm). Vypočítejte obvod a obsah tučně vytaženého útvaru. 58 53,7 cm 68. 555 3 00 m 69. 535 70. 68 5 cm 7. 557 ABD 7. 579 9.3.008 9:03:50 BC = 0 cm, obsah je 54 cm 55 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 73. 606 65, % 74. 58 6 75. 68 6 trojúhelníků 76. 545 3,4 cm 77. 574 řešení: 78. 609 9.3.008 9:03:50 9,8 cm 56 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 79. 556 v = 6,06 cm ABD 80. 565 Čtverec má větší obsah než obdélník. 8. 55 8. 558 83. 550 řešení: 0,5 cm;,5 cm 84. 578 85. 59 86. 605 9.3.008 9:03:50 57 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 87. 66 46 cm 88. 586 54 cm 89. 60 o = 4 cm; S = 4,6 cm 90. 593 700 m ; 60 m 9. 538 Ne 9. 576 9.3.008 9:03:50 Zmenšení obsahu o 0 % Zmenšení obvodu o, % 58 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 93. 598 5 94. 6 40 m 95. 50 7,5 ha 96. 53 80 Kč 97. 580 Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné 98. 603 9.3.008 9:03:50 0 cm 59 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 99. 54 40 m 00. 56 0. 564 4/5 0. 569 977 m 03. 55 400 cm 04. 64 795, m 05. 567 9.3.008 9:03:50 44 m 60 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 06. 607 Poloměr kružnice opsané: 4,6 cm Poloměr kružnice vepsané:,3 cm 60,5 % 07. 53 08. 6 3,5 cm 09. 67 4 cm 0. 65 55, resp. 05. 54. 600 9.3.008 9:03:50 4 cm 6 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 3. 66 4. 57 5. 560 5 cm 6. 5 9.3.008 9:03:50 70 6 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 7. 608 9 cm 8. 589 0 9. 56,, ± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka. ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu 9.3.008 9:03:50 V je jejich společný 63 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček. Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: 9.3.008 9:03:50 64 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Oblouková míra: 9.3.008 9:03:50 65 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: 80... p rad 5... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 80... 9.3.008 9:03:50 p rad 66 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK x... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = 80. 4 = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou p.a o x= rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Orientovaný úhel - procvičovací příklady. 46 5. 54 40 3. 45 4. 37 5. 53 7 6. 47 0 7. 5 9.3.008 9:03:50 70,0 67 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK 8. 38 9. 39 0. 3. 50 70. 33 3. 43 80 4. 35 5. 5 9,97 6. 4 7. 34 8. 4 9. 40 0. 49 9.3.008 9:03:50 3 68 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK. 48 95. 36 3. 44 36 4. 3 ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník. ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: 9.3.008 9:03:50 69 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: 9.3.008 9:03:50 70 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Funkce zdola omezená: 9.3.008 9:03:50 7 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Funkce periodická: 9.3.008 9:03:50 7 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a 9.3.008 9:03:50 73 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: 9.3.008 9:03:50 74 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: 9.3.008 9:03:50 75 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: 9.3.008 9:03:50 76 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny. 9.3.008 9:03:50 77 z 9
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třídy P, VK Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: 9.3.008 9:03:50 78 z 9