Využití metod operačního výzkumu v logistice

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Využití metod operačního výzkumu v logistice Diplomová práce Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Bc. Jana Dubová Brno 2013

Ráda bych poděkovala vedoucímu diplomové práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc. za odborné vedení, cenné rady a připomínky, které mi byly poskytnuty při zpracování této práce. Dále děkuji vedení a zaměstnancům podniku ABC za poskytnutí všech potřebných podkladů a nezbytných informací.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci na výše uvedené téma vypracovala a vyřešila samostatně, a to za použití pramenů, které uvádím v přiloženém seznamu literatury. V Brně dne 22. května 2013

Abstract Dubová, J. The use of operations research methods in logistics. Master thesis. Brno: Mendel University, 2013. The thesis deals with the possibilities of using methods of the operations research in the creation of distribution networks. The work is based on an analysis of the creation structure and the partition of the existing distribution lines. The aim is to suggest a new distribution solution. The different methods aimed at optimizing the tasks of that type are used for the creation of distribution networks. The results achieved by these methods are explained and compared. Final proposal of that solution is made by using Mayer s method and available software. Keywords operations research, multiple-tours circural problem, Mayer s method, STORM Abstrakt Dubová, J. Využití metod operačního výzkumu v logistice. Diplomová práce. Brno: Mendelova univerzita, 2013. Diplomová práce se zabývá možnostmi využití metod operačního výzkumu při tvorbě distribučních sítí. Práce vychází z analýzy struktury tvorby a rozdělení distribučních tras dosavadního stavu řešení distribuce. Cílem je návrh nového řešení distribuce. Pro tvorbu distribučních sítí je využito různých metod zaměřených na optimalizaci úloh daného typu. Výsledky dosahované prostřednictvím těchto metod jsou vysvětleny a porovnány. Návrh konečného řešení je proveden za pomocí Mayerovy metody a dostupného programového vybavení. Klíčová slova operační výzkum, víceokruhový okružní problém, Mayerova metoda, STORM

Obsah 5 Obsah 1 Úvod 10 2 Cíl a metodika práce 12 2.1 Cíl práce... 12 2.2 Metodika práce... 12 3 Literární rešerše 14 3.1 Logistika... 14 3.1.1 Dopravní logistika... 14 3.1.2 Vývojové trendy v logistice... 16 3.2 Operační výzkum... 17 3.3 Lineární programování... 18 3.4 Distribuční úlohy... 20 3.4.1 Dopravní problém... 20 3.4.2 Okružní dopravní úlohy... 22 3.5 Metody řešení okružního dopravního problému... 24 3.5.1 Mayerova metoda... 24 3.5.2 Habrova metoda... 25 3.5.3 Metoda nejbližšího souseda... 27 3.5.4 Littlův algoritmus... 28 3.6 Počítačové zpracování okružního problému... 30 3.6.1 STORM... 30 3.6.2 LINGO... 32 3.6.3 Zmenšení čtvercové matice pomocí Excelu... 32

Obsah 6 4 Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 34 4.1 Charakteristika objektu... 34 4.2 Analýza současného způsobu řešení distribuce... 35 4.2.1 Charakter vstupních dat... 35 4.2.2 Rozdělení distribuční sítě... 36 4.2.3 Využívaný vozový park... 43 5 Návrh řešení 45 5.1 Využití metod pro řešení okružního problému... 45 5.1.1 Littlův algoritmus... 45 5.1.2 Programové nástroje... 48 5.1.3 Metoda nejbližšího souseda... 51 5.2 Optimalizace distribuční sítě D1... 56 5.2.1 Výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel... 57 5.2.2 Optimalizace jednotlivých tras... 60 5.3 Komparace současného a optimalizovaného řešení... 64 6 Diskuse 68 7 Závěr 71 8 Použitá literatura 72

Seznam obrázků 7 Seznam obrázků Obr. 1 Rozdělení celkové distribuční sítě 37 Obr. 2 Výběr modulu 50 Obr. 3 Specifikace a zadávání vstupních údajů 50 Obr. 4 Výsledek řešení okružního problému 51 Obr. 5 Výřez výchozí matice s tlačítkem pro spuštění makra 61 Obr. 6 Výřez výsledné submatice rozvozové skupiny X1 61 Obr. 7 Struktura distribučních skupin stávajícího a nového řešení 64

Seznam tabulek 8 Seznam tabulek Tab. 1a h Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D1 39 Tab. 2a i Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D2 41 Tab. 3 Přehled nákladních vozidel využívaných k rozvážce pro D1 43 Tab. 4 Přehled nákladních vozidel využívaných k rozvážce pro D2 44 Tab. 5 Zadání příkladu 46 Tab. 6 První krok Littlovy metody 46 Tab. 7 Druhý krok Littlovy metody 47 Tab. 8 Třetí krok Littlovy metody 47 Tab. 9 Čtvrtý krok Littlovy metody 48 Tab. 10 První krok metody nejbližšího souseda 51 Tab. 11 Druhý krok metody nejbližšího souseda 52 Tab. 12 Třetí krok metody nejbližšího souseda 52 Tab. 13 Čtvrtý krok metody nejbližšího souseda 53 Tab. 14 Okružní trasa X8 s různými výchozími místy 53 Tab. 15 Okružní trasy získané pomocí modifikované MNS 55 Tab. 16 Část symetrické matice vzdáleností v km 58 Tab. 17 Návrh skupin odběrních míst pro dílčí distribuční síť D1 59 Tab. 18 Výsledné okružní linky dílčí distribuční sítě D1 62

Seznam tabulek 9 Tab. 19 Vyčíslení nákladů na distribuci v rámci současného řešení 65 Tab. 20 Vyčíslení nákladu na distribuci v rámci navrhovaného řešení 66 Tab. 21 Srovnání současného a navrženého řešení distribuce 66

Úvod 10 1 Úvod Každý podnikatelský subjekt, ať už stávající či začínající, chce být na trhu úspěšný. Přičemž tento úspěch velmi často závisí na rozhodnutích, které podnik činí ve vztahu k vnějšímu i vlastnímu vnitřnímu prostředí. Rozhodování je možné chápat jako určitý proces, kdy podnik volí mezi několika variantami, proces pro který existuje mnoho postupů a metod, jak se dobrat konečného výsledku. Pokud si podniky chtějí udržet své postavení na trhu a obstát před konkurencí, musí být schopny uspokojit neustále se měnící potřeby zákazníků. Tak jsou kladeny stále větší požadavky na flexibilitu podniku, tedy schopnost podnikatelského subjektu pružně reagovat na změny vnějšího prostředí. Tlak na podnikatele není vyvíjen jen ze strany konkurence, ale i ze strany obchodních partnerů. Tento fakt je dán zejména skutečnostmi, které se vyskytují v současném tržním hospodářství, kdy se trh prodávajícího mění na trh kupujícího. Ústředním bodem zájmu pro všechny podnikatelské subjekty jsou jejich zákazníci, kteří velmi často požadují, aby byla dodávka zboží splněna v požadovaném čase a stanoveném místě, v odpovídající kvalitě, potřebném množství a za přijatelnou cenu. Úspěch či neúspěch organizace je velmi často determinován zejména rozhodnutím top managementu podniku. Strategické rozhodovací procesy probíhající na vrcholové úrovni řízení pak zásadním způsobem ovlivňují efektivnost fungování a budoucí vývoj organizace. Strategické rozhodování je vždy doprovázeno procesy na taktické a operativní úrovni, jejichž úkolem je stanovit a řídit postupy resp. prostředky, které vedou k nejefektivnější realizaci podnikové strategie. Pro každou úroveň rozhodování jsou potřebné rozdílné informace a je nutné si uvědomit, že tato rozhodnutí se liší i v dopadech na fungování firmy. Je tedy zřejmé, že rozhodování probíhá ve všech ekonomických subjektech na různých úrovních řízení a týká se různých aspektů jejich činnosti. Výsledné rozhodnutí bylo mělo být tedy rozhodnutím komplexním a systémovým. Systémový přístup se objevuje v mnoha oblastech rozhodování. Jednou z nich je i logistika.

Úvod 11 V období doznívající ekonomické krize nabývá na významu i rozhodování v oblasti úspory nákladů. Oblast, která může přispět ke snížení nákladů podniku, je dopravní logistika. Ta umožňuje s pomocí systémového přístupu využít modelového přístupu k získání optimálního řešení a tak podpořit rozhodování. Tvorba logistických distribučních systémů by podnikatelskému subjektu určitě neměla být lhostejná. Vhodně zvolené rozhodnutí spojené s optimalizací toku zboží je mnohdy schopno zajistit úsporu nákladů. Tato skutečnost může pro podnik znamenat značnou konkurenční výhodu a přinášet mu tak vyšší zisky. V současné době jsou úspěšné právě ty podniky, které se dokáží vypořádat s nezdary v podnikání, jsou otevřeny novým možnostem, udržují si náskok před ostatními, mění hranice svých oborů, vytváří nové trhy, razí nové cesty, tvořivě mění pravidla konkurence a zpochybňují tzv. status quo neboli stávající stav.

Cíl a metodika práce 12 2 Cíl a metodika práce 2.1 Cíl práce Tato práce se zabývá komplexní restrukturalizací dosavadního řešení distribučních cest podniku 1 za pomocí vhodných metod použitelných pro řešení atypického problému obchodního cestujícího. Hlavním cílem diplomové práce je návrh nového řešení distribučních sítí podniku zabývajícím se exportem plastových výrobků do Německa za využití vhodných metod operačního výzkumu. V rámci práce budou zhodnoceny i ekonomické dopady navrhované restrukturalizace na hospodaření tohoto subjektu. Naplnění hlavního cíle je podmíněno splněním dílčích cílů, mezi které patří: formulace a analýza existujícího problému, včetně zhodnocení kladů a nedostatků dosavadního způsobu řešení distribuce, srovnání výhod, nevýhod a výsledků získaných s pomocí různých metod při řešení vybraného problému, volba vhodné optimalizační metody, pomocí níž bude proveden výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel s přihlédnutím k přepravním požadavkům odběratelů a přepravní kapacitě vozidel, vlastní řazení těchto míst v jednotlivých trasách a to s ohledem na finanční úsporu během rozvozu za využití odpovídajících programových nástrojů, porovnání získaných výsledků s dosavadním stavem, návrhy na řešení. 2.2 Metodika práce Pro zpracování diplomové práce je použita zejména metoda modelování, která umožňuje získat nové poznatky využitelné při rozhodování o způsobu řešení zkoumaného problému. 1 Vedení podniku si nepřeje zveřejnění názvu, proto bude v dalším textu označován jako ABC.

Cíl a metodika práce 13 Teoretická část (kapitola 3) shrnuje využitelné poznatky o možnostech logistiky a jejich vlivu na rozhodování ekonomických subjektů. Dále se zabývá problematikou operačního výzkumu a jeho samostatné disciplíny lineárního programování. Řeší také problematiku vybraných distribučních úloh a okružního problému jako celku. Součástí 3. kapitoly práce jsou i metody, kterými tuto problematiku lze řešit. Praktická část v kapitole 4 využívá analýzy, která je zaměřena na charakteristiku podniku, řešeného problému a charakter vstupních dat, jež byly získány z archivních materiálů podniku a zpracovány do požadované podoby. Zároveň je kladen i důraz na odůvodnění zjednodušení, kterými se modelová situace liší od reálného problému. V kapitole 5 je provedena komparace výhod, nevýhod a výsledků získaných s pomocí různých metod při řešení vybraného dopravního problému. Následně je zvolena vhodná metoda, která bude použita pro řešení daného problému. Závěrem této kapitoly je na základě všech dostupných informací a odpovídajících ekonomicko-matematických metod a speciálních programových nástrojů provedena vlastní optimalizace, včetně srovnání získaných výsledků s dosavadním stavem řešení distribuce. Návrh konečného řešení vychází z kapitol 3 5, tj. získaných teoretických poznatků, analýzy dosavadního stavu řešení distribuce a aplikace vybraných optimalizačních metod. Závěrečná část práce (kapitola 6) se zabývá případnými možnými úpravami řešeného problému a dává doporučení podniku pro implementaci řešení v praxi.

Literární rešerše 14 3 Literární rešerše 3.1 Logistika Logistika je nový směr myšlení zaměřený na uspokojení potřeb zákazníka a to s co největší pružností a hospodárností. Tato vědní disciplína reaguje na současné tržní hospodářství, kdy se trh prodávajícího stává trhem kupujícího. Právě z tohoto důvodu je cílem většiny metod operační analýzy aplikovaných v logistice snížení nákladů ve všech článcích logistického řetězce s ohledem na dostatečně pohotové uspokojení potřeb zákazníků. Logistický řetězec představuje soubor dílčích hmotných a nehmotných toků, které probíhají mezi různými subsystémy. (Získal a Havlíček, 2010) Logistika se tedy zabývá nejen výše uvedenými hmotnými toky, které jsou představovány pohybem zboží a materiálu z místa jejich vzniku do místa spotřeby. Řeší také toky informací neboli toky nehmotné. Jejím úkolem je zajistit správné materiály na správném místě, ve správném čase, v požadované kvalitě, s příslušnými informacemi a s odpovídajícím finančním dopadem. (Kubíčková, 2006, s. 4) Jak uvádí Získal a Havlíček (2010), logistiku lze členit dle jednotlivých oblastí působení na: makrologistiku, která se zabývá logistickými řetězci na úrovni rozsáhlejšího celku, např. státu, mikrologistiku, jež řeší logistické řetězce pouze v rámci jednotlivých podniků, obchodní logistika se zaměřuje na logistické řetězce, které jsou důležité pro podnik z hlediska obchodní činnosti, dopravní a zasílatelská logistika je jednou z nejrozšířenějších a bude o ní pojednáno v následující subkapitole. 3.1.1 Dopravní logistika Dopravní logistika patří mezi nejčetnější aplikace hospodářské logistiky. Kubíčková (2006, s. 48) tento pojem blíže specifikuje a uvádí, že dopravní logistika

Literární rešerše 15 koordinuje, synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa a okamžiku jejich vstupu do sítě až po místo a okamžik jejich výstupu. Dopravní logistika tedy nezajišťuje pouze koordinaci a synchronizaci pohybu zásilek v rámci dopravní sítě, ale také zabezpečuje optimalizaci prostorového rozmístění a kapacit. Tato skutečnost je dána tím, že při pohybu každé zásilky dochází k pohybu všech příslušných zařízení a dopravních, přepravních a manipulačních prostředků. Dopravní logistika se tedy zabývá celkovou optimalizací všech procesů při pohybu zásilek v dopravní síti. Cílem dopravní logistiky je takové pojetí sledu těchto dílčích aktivit, které vede k minimalizaci nákladů na dopravní řetězce při dosažené požadované výkonnosti. (Získal a Havlíček, 2010) Vzhledem k tomu, že doprava je rostoucím odvětvím ekonomiky a poptávka po přepravních službách neustále vzrůstá, představuje přeprava dle Kubíčkové (2010) stále jedny z největších nákladů logistiky. Tato skutečnost se může u některých výrobků výrazně promítnout i do jejich prodejní ceny. Z toho důvodu je nutné věnovat takovéto položce logistických nákladů zvýšenou pozornost a usilovat o její optimalizaci, neboť v současném tržním hospodářství nestačí pouze vyrobit kvalitní zboží, ale je třeba i zajistit, aby toto zboží bylo ve správné kvantitě na správném místě a to s vynaložením přiměřených nákladů. Podnik musí fungovat hospodárně, aby ceny jeho produktů byly srovnatelné s cenami konkurentů. Náklady na dopravu jsou mnohdy skutečně velmi vysoké, často překračují i výrobní náklady. V tomto případě se Gros (2003, s. 116) shoduje s Kubíčkovou: pro úspěšný prodej výrobků finálním zákazníkům je třeba mimo jiné vyrobené výrobky i efektivně dopravit do místa spotřeby. Zvýšená poptávka po přepravních službách je dána zejména, jak uvádí Získal a Havlíček (2010), změnou ve struktuře zpracovatelského průmyslu a metodách výroby, zmenšováním velikosti dodávek a zvyšováním jejich frekvence, nárůstem podílu odvětví služeb a demografickými změnami. Rozvoj dopravní logistiky je určován i úrovní dopravní infrastruktury daného státu.

Literární rešerše 16 3.1.2 Vývojové trendy v logistice Ve svých počátcích byla logistika v praxi využívána jako nástroj podnikového řízení a to v rámci tradičního organizačního uspořádání podniku. Během poslední let se uplatňuje poznatek, že logistika má pro podnik význam jen tehdy, pokud spolupracuje s ostatními podnikovými složkami a je součástí podnikové strategie. (Kubíčková, 2006) V současné době celková úspěšnost podniku závisí na schopnosti, s jakou řeší zvyšování kvality, snižování nákladů a zvyšování pružnosti. Jak uvádí Kubíčková (2006), podniky ve vyspělém tržním hospodářství jsou součástí tzv. magického trojúhelníku, který se v poslední době přeměňuje na tzv. magický čtyřúhelník. Tzn., že úspěch podniku nezávisí pouze na tom, jak zvládá dodávat nebo vyrábět lépe, rychleji a levněji ve vztahu ke konkurenci, ale i na jeho schopnosti dělat věci jinak. Tím se rozumí snaha se pokud možno co nejvíce odlišit od konkurence. Tento odlišný přístup se nejvíce projevuje v individuálním vztahu k zákazníkovi. Pernica (2008) dodává, že na tuto situaci musí reagovat jak distribuce různými formami, technologiemi a cestami, tak i výroba, která se musí charakteru distribuce flexibilně přizpůsobovat. Další podstatnou záležitostí je uplatnění poznatků Supply Chain Managementu neboli tzv. řízení dodavatelského řetězce a to zejména z oboru spotřebního zboží, elektronického průmyslu a automobilového průmyslu. Supply Chain Management může být pro podnik významným zdrojem konkurenční výhody, který umožňuje poskytovat zákazníkům co možná největší hodnotu s pokud možno co nejnižšími náklady. Pro firmy, které představují jednotlivé články tohoto dodavatelského řetězce, je z hlediska stabilizovaných smluvních vztahů strategicky nejdůležitější logistická výkonnost a kvalita. Typický pro tuto činnost je také Lean Production, tzv. štíhlé řízení a agilní logistika. V prvním případě se jedná o koncept zvyšující výkonnost ve výrobě, analogicky i v distribuci či logistickém systému a to prostřednictvím eliminace plýtvání ve formě nadprodukce, čekání, nevhodných procesů atd. Agilní logistika se orientuje na optimalizaci a to formou co nejrychlejší odezvy na objednávku zákazníka. Iniciátorem nových způsobů spolupráce bývá zpravidla silnější z partnerů. (Pernica, 2008)

Literární rešerše 17 V souvislosti s požadavkem co nejpružnější reakce na přání zákazníků se tu otvírá prostor pro další trend využívaný v logistice, a tím je outsourcing. Dalším důvodem, který uvádí Pernica (2008), pro uplatnění tohoto trendu, může být i snaha podniku udržet se na světové úrovni či ta skutečnost, že činnost prováděná specializovaným poskytovatelem pro více odběratelů může být levnější a to hlavně kvůli fixním nákladům. Pernica (2008, s. 171) chápe outsourcing jako smluvní vztah s externí organizací, na jehož základě je na ni odsunuta interní činnost spojená s obhospodařováním daného zdroje. Outsourcing se týká oblastí, které bezprostředně nesouvisí s hlavním předmětem činnosti organizace a podnik je doposud prováděl sám. Tyto činnosti je vhodné odsunout a organizačně zeštíhlet. Neboť není vhodné, aby se management podniku zabýval všemi problémy, tak jedině ztrácí cenný čas nutný k rozhodování o hlavní činnosti. 3.2 Operační výzkum Operační výzkum lze dle Jablonského (1998) charakterizovat jako soubor relativně samostatných disciplín, jež se zaměřují na analýzu nejrůznějších typů rozhodovacích problémů. Operační výzkum nachází uplatnění všude tam, kde se jedná o analýzu a koordinaci prováděných operací v rámci systému, přičemž hlavním cílem je stanovit na základě určitého kritéria takovou úroveň provádění těchto operací, aby bylo zajištěno co nejlepší možné fungování celého systému. Tyto operace v systému mohou být závislé na omezených zdrojích, provádění jiných operací či na vnějších činitelích ovlivňujících chod systému. Základním nástrojem operačního výzkumu je modelování. Je tedy zřejmé, že při analýze reálného systému se pracuje s jeho modelem, který představuje určité zjednodušení řešeného problému. V rámci aplikace operačního výzkumu při řešení reálného rozhodovacího problému je prvním krokem rozpoznání tohoto problému a jeho definice. Tato část je zejména úkolem vedoucích pracovníků podniku nacházejících se na různých úrovních řízení. Tito pracovníci by měli disponovat potřebnými znalostmi a schopnostmi, aby mohli posoudit jakými prostředky je daný problém řešitelný. V dalším kroku se jedná o formulaci ekonomického modelu, který, jak již

Literární rešerše 18 bylo uvedeno, představuje zjednodušení daného problému. Samozřejmě základním předpokladem je znalost cílového stavu modelovaného systému (např. maximalizace zisku, minimalizace nákladů apod.), procesů, které v systému probíhají, včetně znalosti činitelů, jež mohou realizaci těchto procesů ovlivňovat. Aby bylo možné daný problém řešit, je nutné tento ekonomický model převést na model matematický nebo grafický, tedy ho nějakým způsobem formalizovat. Pro řešení matematického modelu lze použít metody a postupy navržené v jednotlivých odvětvích operačního výzkumu. Nezbytnou součástí posledního kroku je interpretace získaných výsledků a jejich následná verifikace. V případě úspěšného ověření výsledků lze poznatky získané pomocí modelu v rámci reálného systému implementovat. (Jablonský, 1998) Modely operačního výzkumu jsou různorodé a zabývají se rozdílnými oblastmi ekonomického života. Plevný a Žižka (2005) uvádí, že jednotlivé modely a tím i disciplíny operačního výzkumu je možné členit na modely deterministické a pravděpodobnostní. Přičemž u deterministických modelů jsou všechna vstupující data známá a jistá, naopak u pravděpodobnostního modelu je některý z jeho prvků dán jako náhodná veličina. Mezi samostatné disciplíny operačního výzkumu lze dle Jablonského (1998) zařadit následující: matematické programování, vícekriteriální rozhodování, teorii grafů, teorii zásob, teorii hromadné obsluhy, markovské rozhodovací procesy a simulace. Součástí matematického programování jsou úlohy lineárního a nelineárního programování. Jelikož aplikace úloh lineárního programování budou používané v této zpracované práci, je o nich pojednáno v následující kapitole. 3.3 Lineární programování Lineární programování je relativně samostatná disciplína operačního výzkumu. Jak uvádí Jablonský (1998), je to prostředek pro plánování realizace určitých činností (procesů), který zajišťuje dosažení optimálního výsledku vzhledem ke stanovenému cíli.

Literární rešerše 19 Každý řešený problém neboli modelovaný systém je nutné mít dobře definovaný a verbálně popsaný. Tedy mít formulovaný ekonomický model daného problému, který je nutný pro sestavení matematického modelu dané úlohy. (Plevný a Žižka, 2005) Jablonský (1998) vysvětluje, že struktura matematického modelu úloh lineárního programování je stejná jako u modelu ekonomického a zahrnuje: 1. Cíl analýzy, který je v matematickém modelu vyjádřen jako lineární funkce z = f(x), jejíž extrém je nutno nalézt. Jedná se tedy o účelovou neboli kriteriální funkci (vztah 3.1). 2. Procesy, kdy každému procesu je přiřazena jedna proměnná neboli strukturní proměnná modelu. Hodnoty proměnných představují úrovně jednotlivých procesů. 3. Vliv činitelů ovlivňujících možnosti řešení problému je vyjádřen jednak soustavou lineárních rovnic či nerovnic (vztahy 3.2 označujeme jako vlastní omezující podmínky) a dále soustavou lineárních nerovnic (vztah 3.3), které zajišťují logický požadavek nezápornosti proměnných (podmínky nezápornosti). Hlavním úkolem úloh lineárního programování je stanovit takové hodnoty strukturních proměnných x1,..., xn, pro které dosáhne účelová funkce extrémní hodnoty. V případě, že účelová funkce dosahuje nejvyšší hodnoty, pak lze úlohu označit jako maximalizační, v opačném případě jako minimalizační. Samozřejmě předpokladem je, že budou respektovány vlastní omezující podmínky a podmínky nezápornosti. Obecný tvar lineárního matematického modelu dle Grose (2003,s. 124) má následující podobu: n max (min) z = c j x j (3.1) j= 1 n aij x j j=1 b i pro i = 1,2,..., k

Literární rešerše 20 n a ij x j = j=1 b i pro i = k + 1, k + 2,..., k + p n aij x j j=1 b i pro i = k + p + 1, k + p + 2,..., k + p + s (3.2) x 0 pro j = 1,2,..., n (3.3) j Plevný a Žižka (2005) označují jednotlivé symboly použité v modelu následovně: cj koeficienty účelové funkce, kde j = 1, 2,..., n, které vyjadřují hodnotu výnosu nebo nákladu jednotkového procesu, aij koeficienty podmínek, které vyjadřují vztah mezi j-tou proměnnou a i- tým omezujícím faktorem, kde i = 1, 2,..., s a j = 1, 2,..., n, bi hodnoty vystupující na pravých stranách podmínek, které představují omezení ve formě disponibilních zdrojů či výši požadavků. 3.4 Distribuční úlohy Distribuční úlohy patří mezi nejtypičtější úlohy lineárního programování. Tyto úlohy zahrnují dopravní a přiřazovací problém, dále obecný distribuční problém a také okružní dopravní úlohy. V rámci problematiky distribučních úloh se Jablonský (1998) shoduje s Grosem (2003), který taktéž uvádí, že specifickou skupinu rozhodovacích situací, jejichž řešení vede k formulaci modelů lineárního programování, tvoří nejen klasické dopravní úlohy a rozšířené formulace těchto úloh, ale také okružní dopravní úlohy. 3.4.1 Dopravní problém Gros (2003) vysvětluje dopravní problém jako úlohu, kde je třeba najít nejlepší způsob přepravy zboží nebo služeb a to mezi dodavateli, kteří tyto produkty poskytují a jejich jednotlivými odběrateli. Přičemž Jablonský (1998,) dodává, že toto rozvržení rozvozu musí být realizováno tak, aby byly minimalizovány celkové náklady související právě s tímto rozvozem.

Literární rešerše 21 V dopravním problému je tedy definováno m-zdrojů neboli dodavatelů D1, D2,..., Dm s omezenými kapacitami a1, a2,..., am a n-cílových míst neboli odběratelů O1, O2,..., On se stanovenými požadavky b1, b2,..., bn. Vztah každé dvojice dodavatel-odběratel je nějakým způsobem oceněn (např.: kilometrová vzdálenost mezi zdrojem a cílovým místem). Toto ocenění lze označit jako cij, kde i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Jablonský dále uvádí (1998), že cílem řešení těchto úloh je nalezení hodnot jednotlivých proměnných xi,j, tzn. stanovení objemu přepravy mezi každou dvojicí tak, aby kapacity dodavatelů nebyly překročeny a požadavky odběratelů byly plně uspokojeny. Účelová funkce dopravního problému pak vypadá následovně: m n z min = c ij x ij (3.4) i= 1 j= 1 Pokud budou kapacity dodavatelů rovny požadavkům odběratelů dle vztahu 3.5, jedná se o vyváženou dopravní úlohu. Pak je tedy nutné zvolit takové množství xij, které zajistí splnění vztahu 3.6 a 3.7, kdy kapacity výrobců budou plně využity a požadavky zákazníků naplněny bezezbytku, jak vysvětluje Gros (2003,s. 117). m i= 1 n a i = b j= 1 j (3.5) n x ij= j=1 a i pro i = 1,2,..., m (3.6) m x ij= i=1 b j pro j = 1,2,..., n (3.7) Laščiak (1983) upozorňuje, že podmínka 3.5 nebývá v praxi často splněna. V tomto případě lze pak označit takovou úlohu za nevyváženou a mohou v podstatě nastat dva případy. Za předpokladu, že by docházelo k převisu na straně nabídky, kdy by zůstala část kapacity nevyužita, k modelu lze doplnit tzv. fiktivní cílové místo neboli fiktivního n+1 odběratele OF s nulovými pře-

Literární rešerše 22 pravními náklady, jehož požadavek bude roven rozdílu mezi celkovými kapacitami a požadavky. Obdobně lze postupovat i v opačném případě, kdy by nebyly uspokojeny všechny požadavky a docházelo by tak k převisu poptávky. Avšak ve skutečnosti může být tento druhý způsob nevyhovující, neboť minimální náklady přepravy nemusí být prvořadé, ale spíše se budou uspokojovat požadavky, které jsou nejvíce preferované. 3.4.2 Okružní dopravní úlohy Cílem okružních dopravních úloh je organizace dodávky tak, aby zboží bylo rozvezeno všem odběratelům v rámci jedné jízdy. Typickým příkladem těchto úloh je problém obchodního cestujícího, který usiluje v rámci cesty navštívit všechny klienty tak, aby ujel co nejmenší vzdálenost. Dle Gutina a Punnena (2007) je nutné tedy najít takovou cestu, která začíná a končí ve stejném místě, přičemž obchodní cestující v průběhu této cesty navštíví předepsaná místa právě jednou a délka okruhu z pohledu celkové ujeté vzdálenosti bude minimální. Stanovená trasa tak musí tvořit uzavřený okruh. Při formulaci matematického modelu lze použít proměnné xij, které budou nabývat dvou hodnot (Gros, 2003, s. 118 119): x = 1 v případě, že vozidlo pojede z i-tého místa do j-tého, ij x = 0 v případě, kdy z i-tého místa do j-tého nepojede. ij Jablonský zároveň doplňuje (1998), že v matematickém modelu okružního dopravního problému se zavádí tzv. bivalentní proměnné, které nabývají dvou výše uvedených hodnot. Účelová funkce okružního dopravního problému je vyjádřena vztahem 3.8. m n z min = c ij x ij (3.8) i= 1 j= 1 Následující soustava omezení má zajistit, že z každého místa bude zvolena jen jedna z možných cest a naopak, tedy do konkrétního místa bude použita také jen jedna trasa, jak opět vysvětluje Gros (2003, s. 119):

Literární rešerše 23 n x ij i= 1 = 1 pro j = 1,2,..., n (3.9) n j= 1 x = 1 pro i = 1,2,..., n (3.10) ij vztah 3.9 do j-tého místa přijede vozidlo jen z jednoho vybraného i-tého místa, vztah 3.10 z i-tého místa zvolíme jen jednu trasu. Tento model má v praxi jen omezené použití. Obvykle je nutné počítat i s dalšími skutečnostmi jako jsou například striktní požadavky zákazníků na časové intervaly příjezdu vozidel nebo omezená pracovní doba u odběratelů či dodavatele. Okružní dopravní problém se vyskytuje v několika variantách a modifikacích. Nejjednodušší případ okružního problému řeší optimalizaci distribuční sítě pouze s přihlédnutím ke vzdálenostem mezi jednotlivými místy. Zatímco složitější případ okružního problému se vyznačuje určitými limitujícími faktory, např. omezenou kapacitou dopravního prostředku. V tomto případě lze hovořit o víceokruhovém okružním dopravním problému, který je v podstatě vícenásobnou variantou distribuční úlohy. (Antošová a Holoubek, 2010) Cílem víceokruhové okružní dopravní úlohy je nalézt takový počet tras, tzv. Hamiltonových kružnic, jejichž celková hodnota je minimální. Přičemž každé místo dané trasy je navštíveno právě jednou, s výjimkou logistického distribučního centra, které je zároveň počátečním a koncovým uzlem (tzv. centrální vrchol všech kružnic). Tento typ úlohy předpokládá využití více vozidel a pro každé z těchto vozidel tedy hledá přepravní trasu s cílem minimální dopravní náročnosti. Nutné je při řešení přihlédnout i k požadavkům odběratelů a maximální přípustné hmotnosti naloženého vozidla, která nesmí být překročena. (Antošová, 2011) Většina optimalizační úloh, včetně okružního dopravního problému patří do skupiny takových úloh (NP-úplných), pro které není známá žádná exaktní metoda, jenž by byla schopna najít v případě úloh velkých rozměrů optimální řešení v přijatelném čase. Proto se využívají aproximační metody schopné najít vhodné řešení v krátkém čase. (Devlin, 2005)

Literární rešerše 24 3.5 Metody řešení okružního dopravního problému Okružní dopravní problém je možné řešit pomocí více postupů a metod, které jsou založeny na zpracování posloupnosti sledovaných míst. Přičemž každé místo, jak již bylo výše uvedeno, se musí objevovat právě jednou. Další podmínkou je vyloučení všech tras, které by předčasně uzavřely okruh, v praxi tzn.: vyloučit v matici sazeb symetrické prvky dle hlavní diagonály, čímž je v modelu zakázáno zařazení jednoho úseku oběma směry, vyloučit prvky na hlavní diagonále původní neredukované matice, což zamezuje zpětné vazbě každého uzlu, vyloučit takové spojení dvou míst, které by vedlo k předčasnému uzavření okruhu. Nejrozsáhlejší skupinu metod používaných pro řešení okružního dopravního problému představují heuristické metody. Antošová (2011) vysvětluje, že se v podstatě jedná o takové metody, které nemohou většinou zaručit nalezení optimálního řešení, ale jsou schopny najít vhodné řešení v poměrně krátkém čase. Jelikož tyto metody nejsou formulovány přesně, směrují tak uživatele k jejich potřebné modifikaci pro různé varianty úkolů. Díky těmto vlastnostem jsou některé základní typy heuristických metod použitelné pro modifikované varianty okružní dopravní úlohy, tedy i víceokruhového okružního dopravního problému. Jedná se například o Mayerovu metodu, která je pro řešení víceokruhových okružních dopravních úloh přímo navržena a nebo o metodu nejbližšího souseda, jenž je nutné k řešení víceokruhových úloh upravit. 3.5.1 Mayerova metoda Mayerova metoda nebo také metoda sestavení okružních jízd výběrem minimálních prvků je vhodná pro víceokruhové úlohy s omezenou kapacitou a úplnou sítí cest. Při řešení se vychází ze symetrické matice vzdáleností mezi jednotlivými místy, která jsou v matici sestavena v posloupnosti dle vzdálenosti od místa centrálního svozu. Přičemž nejvzdálenější místo je v matici uvedeno jako první,

Literární rešerše 25 centrální místo jako poslední. Řešení se dle Získala a Havlíčka (2010) realizuje ve dvou krocích: v prvním kroku se provede výběr míst pro okružní trasy jednotlivých vozidel, v druhém kroku probíhá vlastní řazení míst v jednotlivých trasách pro každé vozidlo zvlášť. Výběr míst pro jednotlivé okružní trasy začíná tedy od nejvýše položeného místa v matici vzdáleností se zadaným přepravovaným množstvím. K tomuto vybranému místu se přiřazuje další, které má k němu nejmenší vzdálenost. Po přiřazení každého dalšího místa do okružní trasy je nutné provést propočet přepravních požadavků míst a porovnat jej s kapacitou konkrétního vozidla. V případě, že kapacita vozidla není plně vytížena, přiřadí se další místo dle nejmenší vzdálenosti a provede se opět porovnání. Výběr míst pro další okružní trasu začíná opět nejvzdálenějším přepravním požadavkem, který nebyl doposud přiřazen. Postup je pak stejný jako v předchozím případě. Ve druhém kroku probíhá vlastní řazení míst v jednotlivých trasách a to podle minimální délky jednotlivých spojení. Antošová a Holoubek (2010) řadí Mayerovu metodu mezi klasické metody řešení víceokruhového okružního dopravního problému. Tato metoda se obvykle využívá v kombinaci s metodami používanými pro řešení jednookruhového dopravního problému a to z toho důvodu, že Mayerova metoda rozděluje místa distribuční sítě pouze do dílčích celků. Avšak touto metodou nelze řešit distribuční úlohy v případě asymetrické matice vzdáleností. Tyto problémy je možné podle Antošové a Holoubka (2010) odstranit pomocí Habrových frekvencí. 3.5.2 Habrova metoda Habrova metoda vytváří okruh tak, že ze všech možných spojení mezi jednotlivými místy vybere a do okruhu zařadí právě takové spoje, které jsou nejvýhodnější z hlediska celé uvažované dopravní sítě. Tzn., že do okruhu se zařadí nejprve takové spojení dvou míst, které odpovídá nejvýhodnější frekvenci. Pak se

Literární rešerše 26 vyhledá nejvýhodnější frekvence pro navazující spojení a tento úsek se zařadí do okruhu. Tímto způsobem se pokračuje, dokud se okruh neuzavře. (Získal a Havlíček, 2010) V uvedené publikaci na str. 71 (2010) autoři dále vysvětlují, že Habrova frekvenční metoda pracuje s tzv. rozloženými frekvencemi, kdy se elementární frekvence vyjadřuje vždy pro čtveřici sazeb a to jak rozdíl křížového součtu sazeb: f = c + c ) ( c + c ) (3.11) ij ( ij kl il kj Křížový rozdíl sazeb lze také vyjádřit i dle vztahu 3.12. ( c ij kj il kl c ) ( c c ) (3.12) Výše uvedená dvojice představuje řádkové rozdíly sazeb. Pomocí tohoto vztahu lze zjistit informaci o výhodnosti určité dvojice spojení v porovnání s jinou dvojicí spojení v dopravní síti. Přičemž za výhodná lze pokládat taková spojení, kdy jsou rozložené frekvence záporné. Algoritmus Habrovy metody je dle Získala a Havlíčka následující (2010): 1. Ze základní matice vzdáleností se sestaví dílčí analytické tabulky řádkových rozdílů sazeb. 2. V těchto dílčích tabulkách se zjistí řádková minima, které je nutné zakroužkovat. 3. Pro tvorbu okruhu se vyberou pouze spojení odpovídající řádkovým minimům zařazených do některého sloupce dílčích tabulek. 4. V případě, že v dopravní síti neexistují absolutně výhodná spojení, zjistí se spojení absolutně nevýhodná. Tomu odpovídá spojení s maximálním počtem minim ve sloupci. 5. Z absolutně výhodných spojení se vytváří první úseky okružních cest. 6. Zařazením určitého spojení dochází k redukci původní dílčí tabulky, protože veškeré hodnoty odpovídající těmto vybraným spojením se vypustí. Tzn. v tabulce se příslušná řada vyškrtne. Dále se vypustí ta spojení, která by mohla způsobit předčasné uzavření okruhu.

Literární rešerše 27 Ve zbývajících dílčích tabulkách se opět vyhledávají spojení absolutně výhodná, popř. nevýhodná. Postup se opakuje tak dlouho, dokud není okruh uzavřen. 3.5.3 Metoda nejbližšího souseda Princip metody nejbližšího souseda je založen na volbě výchozího místa, z něhož se hledá nejvýhodnější spojení do místa následujícího, odtud pak do dalšího z těch míst, které nebylo doposud vybráno a má opět nejvýhodnější spojení z místa, ve němž se právě nacházíme. Po projetí všech míst v matici se vrací zpět do výchozího. Šubrt (2001) aplikaci tohoto postupu v matici sazeb uvádí následovně. Nejdříve se vyškrtne sloupec, který odpovídá zvolenému výchozímu místu. Následně v řádku odpovídajícímu vybranému výchozímu místu je nutno nalézt buňku s minimální hodnotou, tedy nejvýhodnější sazbou. Tato hodnota bude odpovídat spojení dvou míst z příslušného řádku do konkrétního sloupce. Toto spojení, které bude součástí dané okružní trasy, odkazuje do místa, jemuž odpovídá sloupec, v němž se tato buňka nachází. Tento sloupec je nutno opět vyškrtnout, neboť do tohoto místa se již víckrát vracet nebude. V řádku odpovídajícímu tomuto místu se opět vybere z buněk v dosud nevyškrtaných sloupcích ta s nejvýhodnější sazbou a celý postup se opakuje, dokud nejsou všechna místa matice navštívena (nejsou vyškrtány všechny sloupce). Postupně se tak všechna místa matice zvolí jako výchozí a pro každé z nich se najde výše uvedeným postupem okružní trasa. V případě nesymetrické matice je nutné také provést pro každé místo hledání trasy pozpátku. Tzn., že se buď vyškrtají řádky a minimální sazby se hledají ve sloupcích a nebo se původní postup aplikuje na transponovanou matici. Ze všech takto nalezených okružních tras se vybere ta, která je nejvýhodnější, tj. má nejmenší součet sazeb. (Šubrt, 2001) Antošová (2011) připomíná, že metoda nejbližšího souseda patří mezi základní metody řešení okružního dopravního problému. V případě řešení víceokruhových okružních dopravních úloh je tuto metodu nutné modifikovat a to z důvodu určitých omezení.

Literární rešerše 28 Výsledkem řešení víceokruhové okružní úlohy je vždy několik okružních tras a každá tato trasa musí obsahovat distribuční centrum. Proto musí být distribuční centrum vždy vybráno v prvním kroku a je součástí matice vzdáleností. Algoritmus pak pokračuje stejným způsobem jako u původní metody, dokud není zaplněna kapacita vozidla. Další trasa je tvořena opět centrem a zbývajícími místy, která nebyla doposud vybrána. Každá z výše uvedených metod pracuje na základě různých algoritmů. Zatímco metoda nejbližšího souseda umožňuje vybrat vždy místo s minimální vzdáleností vzhledem k danému uvažovanému místu, Mayerova metoda naopak nabízí možnost vybrat další místo na základě minimální vzdálenosti ze všech, již do okruhu zařazených míst. 3.5.4 Littlův algoritmus Tento algoritmus vychází z metody větvení a mezí, která je založena na systematickém dělení množiny všech přípustných řešení na stále se zmenšující podmnožiny až do okamžiku nalezení optimálního řešení. (Získal a Havlíček, 2010) Okružní dopravní úlohu řešenou tímto algoritmem je možné zapsat do čtvercové matice sazeb, kdy hodnoty (např. délka trasy mezi jednotlivými odběrateli) v jednotlivých políčcích představují koeficienty účelové funkce. Tato matice může být symetrická či asymetrická v závislosti na tom, zda hodnota koeficientu účelové funkce mezi místem i a j je v obou směrech shodná či nikoliv. (Holoubek, 2006) Holoubek (2006) zároveň dodává, že v matici je nutné vyloučit dva druhy cest. V první řadě trasu z místa i zpět přímo do místa i (možno označit ) a dále trasy, které by předčasně uzavřely okruh (označíme ). Algoritmus Littlovy metody dle Rašovského a Šišlákové (1999, s. 154 155) je možné shrnout do několika kroků: 1. Ve čtvercové matici s proškrtanými políčky na hlavní diagonále je nutné provést redukci koeficientů účelové funkce a to pomocí transformačních konstant α a β tak, aby v každé řadě matice byla alespoň jedna nulová sazba ( ) c i, j= 0.

Literární rešerše 29 2. Dále je potřebné vypočítat hodnotu Z0, o níž klesne hodnota účelové funkce po redukci matice a to podle vztahu 3.13, kde α i a Z n n 0 = i + β j i= 1 j= 1 α (3.13) β j jsou transformační konstanty pro i-tý řádek a j-tý sloupec čtvercové matice koeficientů účelové funkce ( i = 1,2,..., n ) 3. V dalším kroku se pro všechna políčka s nulovou redukovanou sazbou určí (políčka, kde c i, j= 0 ) hodnota Φ i, j dle vztahu 3.14, Φ c (3.14) * i, j = minc i + min kde min c * i a min c * j jsou nejmenší redukované sazby v i-tém řádku a j-tém sloupci. 4. Ze všech vypočtených Φ se vybere ta, která má maximální hodnotu. Pokud bude platit níže uvedený vztah, * j Φ max = Φ i, j (3.15) pak první etapa hledaného optimálního okruhu povede po trase z i-tého do j-tého místa. Jestliže se v matici vyskytuje maximálních hodnot Φ více, pak je možné si pro zařazení do okruhu vybrat kteroukoliv z těchto cest. 5. Nutno vypočítat hodnotu účelové funkce při nezařazení etapy z i-tého do j- tého místa do okruhu dle následujícího vztahu 3.16. Z, j * = Z 0 + Φ max i (3.16) 6. V dalším kroku se vynechá i-tý řádek a j-tý sloupec redukované matice sazeb. 7. Je potřeba vyloučit průjezd mezi j-tým a i-tým místem, tzn. zakázat protisměrnou jízdu mezi místy, které určují první etapu. Políčko odpovídající ve zmenšené matici této zakázané cestě se označí znakem.

Literární rešerše 30 8. Zmenšená a redukovaná matice získaná v předcházejícím kroku musí obsahovat v každé řadě alespoň jednu nulovou sazbu. V případě, že v některé řadě se nevyskytuje žádná nulová sazba, pak lze tento požadavek opět zajistit pomocí transformačních konstant stejně jako v bodu 1. 9. Ověřit správnost zařazení etapy z i-tého do j-tého místa a to pomocí vztahu 3.17, Z Z (3.17) i, j i, j* v němž Zi,j představuje hodnotu předcházející účelové funkce zvětšenou o hodnotu uvedenou ve vztahu 3.18. Transformační konstanty α i i n n i + α β (3.18) i= 1 j= 1 j β j jsou převzaty z bodu 8. Pokud by uvedený vztah neplatil, znamenalo by to, že stanovený algoritmus nebyl důsledně dodržen. V tomto případě je pak potřebné řešení začít znovu. 10. Výše uvedený postup počínaje bodem 3 se opakuje a to až do okamžiku, kdy redukovaná čtvercová matice sazeb bude mít rozměry 2 2. Přičemž dvě ze čtyř cest jsou v matici zakázané, dvě zbývající cesty tedy uzavřou celý okruh. Problematikou obchodního cestujícího se zabýval i Stevenson a Ozgur (2007) a to zejména situací, kdy u okružního dopravního problému existuje velký počet proměnných a vlastních omezujících podmínek. V případě symetrické matice o rozměrech n n vzniká ( n 1)! možných řešení, která s přidáním každé další lokality neúměrně rostou. Proto je v některých případech vhodné provést výpočet pomocí speciálních programů pro optimalizaci. 3.6 Počítačové zpracování okružního problému 3.6.1 STORM STORM představuje programový prostředek využívaný k řešení a analýze úloh z operačního výzkumu a statistiky. Jedná se o modulový systém, jehož jednotli-

Literární rešerše 31 vé částí umožňují řešit vždy konkrétní typ problému včetně úloh lineárního programování. (Jablonský, 1998) Jablonský (1998) člení práci s tímto systémem do několika kroků: 1. V nabídce hlavního menu se provede výběr příslušného modulu dle řešeného typu úlohy. 2. Ve vstupním režimu se nabízí dva způsoby, jak zadat vstupní data. V rámci první možnosti je použit existující datový soubor, který stačí pouze načíst nebo v případě volby druhého způsobu je nutné soubor s vlastními údaji vytvořit. 3. Editační režim umožňuje specifikaci základních parametrů dané úlohy, kterými zejména je v případě problému obchodního cestujícího počet uzlů grafu a charakter příslušné matice vzdáleností. Při použití symetrické matice je povolen pouze vstup prvků horní trojúhelníkové části, jak vysvětluje Lauber a Jablonský (1997a). Přičemž u asymetrické matice musí být zadány všechny prvky tohoto objektu, s výjimkou prvků na hlavní diagonále. Po zadání všech nutných parametrů úlohy se vygeneruje tabulka, přes kterou je možné vkládat data. Jednotlivé buňky této editační tabulky jsou schopny ukládat údaje různého charakteru. Může se jedna o textové údaje, čísla či matematické symboly. V každém případě zvlášť je ale nutné sledovat informační část řádku pro vstup dat. 4. Režim zpracování nabízí možnost editace datového souboru pro případnou úpravu vložených údajů, dále uložení, tisk a zpracování aktuální datového souboru. Stačí tedy už jen zadat vzdálenosti a v tomto režimu zvolit typ úlohy, který se má řešit. 5. Prohlížení a interpretace získaných výsledků, jež představuje optimální řešení znázorňující minimální vzdálenost a pořadí, ve kterém mají být jednotlivé uzly sítě navštíveny. 6. Ukončení práce se systémem STORM.

Literární rešerše 32 3.6.2 LINGO LINGO, produkt firmy Lindo System Inc., představuje další nástroj pro řešení nejen lineárních, ale také nelineárních optimalizačních úloh a soustavy simultánních rovnic. Jednou ze základních výhod tohoto systému je používání speciálního jazyka, který se podobá běžnému matematickému zápisu. Konkrétní algoritmus určité úlohy tedy vzniká spojením obecné části modelu obsažené v programu LINGO s příslušným datovým souborem. Tuto obecnou část představuje textový soubor, obsahující typicky model nějaké úlohy, tedy i algoritmus pro řešení problému obchodního cestujícího. Uživatel má pak možnost takovýto zápis modelu použít opakovaně s různými daty. (Lauber a Jablonský, 1997b) Jedinou nutnou modifikací v takto předpřipraveném souboru je zadání počtu míst v matici vzdáleností, uvedení názvu souboru, ze kterého se mají data čerpat a také pojmenování vybrané oblasti dat. V průběhu samotného řešení lze sledovat základní informace o modelu. Mezi tyto údaje patří zejména celkový počet proměnných a omezujících podmínek daného modelu. Dále současná využívaná kapacita paměti, aktuální doba výpočtu a status řešitele, který obsahuje aktuální hodnotu účelové funkce. (Lauber a Jablonský, 2007b) 3.6.3 Zmenšení čtvercové matice pomocí Excelu Metodám řešení okružního problému je v odborné literatuře věnována dostatečná pozornost. Avšak způsob získávání, zaznamenávání a dalšího zpracování vstupních údajů je už opomíjen. Pro všechny metody a programy, které umožňují řešit okružní problém je východiskem znalost vstupních údajů. Tyto údaje se ve většině případů zapisují do čtvercové matice m m, která může být symetrická či asymetrická. Při opakujícím se plánování optimálního uspořádání rozvozové trasy dochází často k situaci, kdy ne všechna místa, s nimiž se v původní matici m m uvažuje, je v konkrétním případě nutné navštívit. Pak je potřeba ze všech m míst vybrat jen ty, které jsou v danou chvíli aktuální (např. jen i míst).

Literární rešerše 33 Problematikou redukce původní matice se zabýval i Holoubek a Zach (2012), kteří navrhli několik způsobů zmenšení čtvercové matice submatici m m na čtvercovou i i (kde i< m ) bez toho, aniž by bylo nutné údaje z matice opisovat či dokonce vynechávat příslušné řádky a sloupce. Pro pořízení číselných hodnot uspořádaných do matice m m je možno využít různé programy. Nejběžněji dostupný je tabulkový procesor Excel. V tomto programu se nabízí dvě možnosti, jak zmenšit původní matici. První z nich je využití kontingenčních tabulek, které však nebyly původně pro tyto účely vytvořeny a slouží především k vizualizaci vztahu dvou statistických znaků. Druhý způsob redukce velikosti výchozí matice na požadovanou submatici lze provést za použití vytvořeného makra submatice. Holoubek a Zach (2012) vysvětlují, že pro správnou funkci tohoto makra musí být před jeho samotným spuštěním splněny dvě podmínky. V první řadě musí být vybrána podmnožina měst pro novou submatici a to tak, že tato města jsou vyznačena tučně. A dále musí být označena buňka označující první prvek množiny měst bez ohledu na to, zda byla vyznačena tučně či nikoliv. Makro submatice je možné spustit buď pomocí systémové nabídky a nebo pomocí stejnojmenného tlačítka umístěného v pracovním listu Excelu. V obou případech je výstupem nově vytvořená čtvercová submatice, která se nachází v novém listu a obsahuje pouze ta z měst, jež byly před spuštěním makra v prvním sloupci výchozí matice označena tučně. (Holoubek a Zach, 2012)

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 34 4 Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 4.1 Charakteristika objektu Předkládaná diplomová práce navrhuje optimální uspořádání distribučních sítí nejmenovaného podniku ABC, který se zabývá exportem plastových výrobků do Německa. ABC byl založen r. 1995 jediným společníkem holandské národnosti, který ve stejném roce zahájil výrobu v pronajatých prostorách s počtem 20 zaměstnanců a výrobní kapacitou 20 t. Postupně docházelo k nárůstu výroby a r. 2006 byl zakoupen z důvodu nedostatku místa nový objekt, který byl zrekonstruován a rozšířen o novou výrobní halu. Od dva roky později koupil ABC nový vlastník německé národnosti. V r. 2012 převzala kompletní výrobní program i německá společnost, kterou vlastní stejný majitel. V současné době má ABC 60 zaměstnanců s měsíčním obratem devět miliónů. Pracuje se v dvousměnném provozu, 95 % produkce je vyváženo do Německa, 5 % tvoří český trh. Společnost ABC úzce spolupracuje s německou mateřskou společností. Tato německá společnost rovněž ovládá několik dalších dceřiných společností v západní a východní Evropě, z toho dvě v České republice. Jednou z nich je i společnost ABC. Tyto různé lokality s evropskou působností mají být schopné uspokojit narůstající poptávku na evropském trhu, zajistit poskytnutí komplexních služeb příslušným obchodním partnerům a dodat zákazníkům v co nejkratším čase odpovídající výrobky tak, aby bylo co nejlépe vyhověno jejich specifickým požadavkům. Tato jednotlivá výrobní a prodejní místa v Evropě umožňují tak mateřské společnosti prostřednictvím společností dceřiných docílit kratších tras k zákazníkům a lépe řídit vztahy s nimi, poskytovat kvalitnější servis a podporovat flexibilitu a spolehlivost. V široké paletě nabídky plastových výrobků ABC je možné nalézt zejména fólie a fóliové produkty. Podnik ABC se tedy zabývá výrobou a potiskem re-

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 35 klamních tašek a různých průmyslových obalů z LDPE, HDPE 2 fólií a prodejem dalších obalových materiálů. Produktovou řadu představují zejména rolovací fólie (ať už smršťovací, řezané, děrované či stretch filmy), dále UV stabilní zemědělské fólie (filmy), ochranné kryty a potahy na nábytek, pytle, sáčky a další fólie a plachty na nejrůznější použití. Výroba, distribuce a řízení kvality ve všech evropských lokalitách jsou koordinovány z německé centrály a musí splňovat požadavky ISO 9001 3. Složení těchto plastových výrobků je ekologické, klade důraz na kvalitu a životní prostředí. I likvidace ve všech lokalitách probíhá dle nejnovějších směrnic EU. 4.2 Analýza současného způsobu řešení distribuce 4.2.1 Charakter vstupních dat Celá problematika dosavadní tvorby distribučních sítí podniku ABC v Německu byla konzultována s vedením a příslušnými zaměstnanci této společnosti. Ze získaných materiálů je již patrná určitá snaha ekonomického úseku o částečnou optimalizaci rozvážených produktů, a to jak s ohledem na kapacitu vozidel, tak i požadavky odběratelů. Toto úsilí se primárně zaměřuje na úsporu v najetých kilometrech a lepší využití kapacity vozidel. Jedním z hlavních důvodů těchto snah je skutečnost, že rozvoz se v ABC uskutečňuje prostřednictvím externího dodavatele, je tedy outsourcován a tím pádem i veškeré náklady spojené s distribucí jsou hrazeny právě společností ABC příslušnému autodopravci. Financování externího poskytovatele logistických služeb jde tak k tíži ABC, nikoliv centrály v Německu. Logistické distribuční centrum se nachází ve Zbraslavi, kde je uskutečňována nakládka výrobků, které je následně distribuováno k jednotlivým odběratelům v Německu. ABC využívá k rozvozu těchto výrobků služeb dvou autodopravců, kteří disponují rozsáhlým vozovým parkem, jež je tvořen vozidly s rozdílnou maximální přípustnou hmotností naloženého vozidla. To umožňuje 2 LDPE je polyetylen s nízkou hustotou, HDPE je polyetylen s vysokou hustotou. Oba jsou netoxické, bez zápachu a chuti a tudíž vhodné všude tam, kde dochází ke kontaktu s jídlem. 3 Norma, která stanovuje požadavky na systémy řízení kvality.

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 36 podniku ABC vybírat a kombinovat vozy dle aktuálních potřeb a díky tomu reagovat pružně na požadavky zákazníků. Současný způsob organizace distribuce v ABC je následující. Příslušný autodopravce, poskytovatel distribučních služeb, obdrží od ABC objednávku s uvedením celkové hmotnosti nákladu a požadavkem na vozidlo o určité maximální přípustné hmotnosti. Na základě tohoto je podniku přistaveno vozidlo s odpovídající nosností. Autodopravce tak v podstatě od společnosti ABC dostane k dispozici vždy pouze seznam míst s celkovou hrubou hmotností nákladu, jež je nutné obsloužit. Pořadí odběratelů poskytnuté podnikem ABC k trase každého vozidla, které odpovídá nakládce a vykládce hotových výrobků, musí autodopravce dodržet. Důležité je podotknout, že kapacita požadovaných nákladních automobilů není ze strany podniku nikdy plně využita. Z pohledu dodávaného sortimentu není distribuce časově omezena. Další důležitou charakteristikou, která má vliv na distribuci a tvorbu rozvozových linek je absence skladovacích prostor podniku ABC. Výrobky tak zůstávají na výrobní hale vyskládané na paletách. Z tohoto důvodu je nutné zajistit expedici v krátkých časových intervalech. Tak společnost vyexpeduje za týden až sedmnáct vozidel a to v závislosti na výrobní kapacitě a aktuálních potřebách zákazníků. Celá distribuční síť je tak rozdělena do menších celků dle jednotlivých dní v týdnu a vzdálenosti obsluhovaných míst. Mezi hlavní dopravní omezení patří maximální přípustná hmotnost naloženého vozidla či vzájemná vzdálenost cílových míst. 4.2.2 Rozdělení distribuční sítě Základem tvorby rozvozových linek podniku ABC je rozdělení celé distribuční sítě do sítí dílčích D1 a D2. Toto rozdělení je zejména ovlivněno dny v týdnu odpovídající nakládce výrobků a vzájemnou vzdáleností obsluhovaných míst. Struktura tvorby a rozdělení distribučních sítí dosavadního stavu řešení distribuce je uvedena na obrázku č. 1.

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 37 Distribuční síť 149 míst D1 distribuční síť 74 míst D2 distribuční síť 75 míst 8 rozvozových skupin 9 rozvozových skupin výsledné okružní linky výsledné okružní linky Obr. 1 Rozdělení celkové distribuční sítě Zdroj: ABC Dílčí distribuční síť D1 je tvořena 74 odběrními místy, přičemž nakládka se pro odběratele této sítě uskutečňuje pouze v pondělí. Dílčí distribuční síť D2 je tvořena 75 místy a výrobky směřující zákazníkům v této síti jsou naloženy vždy v úterý. Produkty jsou tak z podniku vždy expedovány pouze ve dvou pracovní dnech z celého týdne, tj. v pondělí a úterý. Toto rozdělení celkové distribuční sítě na dvě dílčí je ve firmě zejména dáno časovou náročností rozvozu, který může trvat i několik dnů. Tak může být příslušný zákazník obsloužen ještě tentýž den, kdy byly hotové výrobky na dopravní prostředek naloženy nebo až některý následující den v závislosti na vzdálenosti místa od centra. Nicméně jak je uvedeno výše, časové požadavky zákazníků zde nepředstavují omezení. Důležité je, aby všechny vozy byly nejpozději do pátku zpět v České republice. Z jednotlivých míst na trase jsou zpět sváženy vratné obaly a palety. Úplný přehled 149 distribučních míst je uveden v příloze práce č. 1. Údaje uvedené v příloze č. 1 a tabulkách 1a h a 2a i představují pravidelně se opakující seznam míst, včetně průměrných požadavků odběratelů. Jelikož podnik ABC není schopný plně uspokojovat veškeré požadavky obchodních partnerů v Německu a to v důsledku omezených výrobních kapacit, dodává

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 38 jednotlivým zákazníkům již ustálené (průměrné) množství výrobků, které je výsledkem objednávkových statistik. Zbývající část požadavků je uspokojena prostřednictvím některých jiných dceřiných společností mateřské firmy. Výjimku by tvořila situace, kdy by určitý odběratel zadal požadavek v hodnotě nižší než odpovídá hodnotě průměrné. V tomto případě by tu pak byla možnost buď pro uspokojení zvýšených požadavků jiných stávajících odběratelů a nebo pro obsloužení úplně nového zákazníka. Pokud by tedy mělo ABC přibýt další odběrní místo, musí ekonomický úsek podniku v první řadě posoudit, zda kapacita výroby je k uspokojení takového požadavku dostačující. Za předpokladu, že by nový požadavek byl v kapacitních možnostech podniku ABC, pak je otázkou, zda by tímto dodatečným požadavkem šlo zaplnit i zbývající kapacitu některého využívaného vozidla nebo spíše naopak bylo nutné vyexpedovat vozidlo další. V případě nedostatečných kapacit ABC se požadavek přesměruje do jiné sesterské společnosti. Tímto členěním na dvě dílčí distribuční sítě celkové rozdělení zdaleka nekončí. Kvůli omezené přepravní kapacitě vozidel je v každé dílčí distribuční síti vytvořeno několik rozvozových skupin po několika distribučních místech, viz tabulky č. 1a až 1h a 2a i. Distribuce každé rozvozové skupiny je realizována jedním vozidlem a následně jsou upravovány do výsledných linek, které tvoří okruhy. Veškeré okružní trasy začínají a končí ve stejném místě, tj. místě nakládky. Tvorba konkrétního okruhu je tedy závislá na objemu přepravovaného množství, které je dáno požadavky odběratelů a možností přepravních prostředků. Na tomto místě je nutno zmínit, že jednotlivé požadavky odběratelů jsou již uvedeny v brutto hodnotách (namísto hodnot netto), které samozřejmě vychází z materiálů poskytnutých společností ABC. Každá dodávka zákazníkovi je totiž tvořena nejen hotovými výrobky, ale i paletami, na nichž jsou produkty umístěny a které se započítávají i do celkové hodnoty nákladu. Od této celkové velikosti nákladu se tedy odvíjí nejen volba vozidla s maximální přípustnou hmotností, ale také i cena autodopravy.

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 39 Tab. 1a h Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D1 Pořadí Rozvozová skupina č. 1 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Queis 4 260 2 Reinbek0000 2 217 Celkem (kg) 6 477 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 3 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Hengersber 834 02 Dingolfing 180 03 Wolnzach 460 04 München 281 05 Pfronten 192 06 Kirchheim 893 07 Krumbach 231 08 Dillingen 705 09 Nellingen 344 10 Allmendingen 322 11 Laupheim 629 12 Altshausen 434 13 Bermatingen 497 Celkem (kg) 6 002 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 2 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Lauf 114 2 Nümberg 2 462 3 Weissenburg 345 4 Schnelldorf II 1 784 5 Tauberbischofs. I 1 367 Celkem (kg) 6 072 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 4 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Bamberg 545 02 Hünfeld 1 091 03 Ruppach-Gold. I 299 04 Nickenich 442 05 Übach-Palenberg 640 06 Grevenbroich 479 07 Kaarst 227 08 Kalkar 127 09 Mühlheim I 227 10 Recklinghausen I 891 11 Wetter I 420 12 Lüdenscheid I 523 13 Unna 286 Celkem (kg) 6 197 Kapacita vozidla (t) 6,5

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 40 Pořadí Rozvozová skupina č. 5 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Hersbruck 213 2 Veitsbronn 129 3 Ebern 645 4 Tauberbischofs. II 468 5 Eppertshausen 645 6 Bensheim 645 Celkem (kg) 2 745 Kapacita vozidla (t) 3 Pořadí Rozvozová skupina č. 7 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Essingen 121 02 Heubach 549 03 Mühlacker 1 415 04 Pforzheim 645 05 Hatzenbühl00000 390 06 Karlsruhe 546 07 Arnbach 204 08 Waldachtal 666 09 Mühlheim II 673 10 Tuttlingen 191 11 Lahr 873 12 Endingen 137 Celkem (kg) 6 410 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 6 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Wendelstein 341 02 Schnelldorf I 281 03 Crailsheim 1 387 04 Neckarsteinach 942 05 Bruchsal 438 06 Speyer 541 07 Mannheim 881 08 Bad Dürkheim 502 09 Uchtelfangen 130 10 Überherrn 765 Celkem (kg) 6 208 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 8 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Freudenberg00 333 02 Obertshausen 416 03 Birstein 731 04 Ruppach-G. II 396 05 Mudersbach 581 06 Wenden-Ger. 716 07 Kölnn-Porz-L. 703 08 Remscheid 160 09 Wetter II 476 10 Lüdenscheid II 453 11 Bönen 608 12 Reckling. II 229 13 Kevelaer 414 Celkem (kg) 6 216 Kapacita vozidla (t) 6,5

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 41 Tab. 2a i Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D2 Pořadí Rozvozová skupina č. 1 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Erbach 513 2 Heddesheim 173 3 Schwetzingen 650 4 Lambrecht 213 5 Westheim 1 790 6 Bad Dürkheim 149 Celkem (kg) 3 488 Kapacita vozidla (t) 3,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 2 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Thalheim 915 2 Chemnitz 214 3 Wildau 903 4 Berlin I 445 5 Berlin II 330 6 Zehlendorf 185 Celkem (kg) 2 992 Kapacita vozidla (t) 3 Pořadí Rozvozová skupina č. 3 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Gudensberg 414 02 Alfeld 829 03 Hannover I 620 04 Langenhagen I00 781 05 Hamburg 1 215 06 Tornesch 268 07 Hankensbüttel 767 08 Breitenfelde 273 09 Reinbek 401 10 Ammersbeck 443 11 Mölln 342 Celkem (kg) 6 353 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 4 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Tauberbis. 523 02 Maintal/Drn. 111 03 Ruppach-Gold. 326 04 Bad Laasphe 282 05 Wenden-Ger. 464 06 Drolshagen 142 07 Reckling. 205 08 Velbert 133 09 Solingen 562 10 Kaarst/Holz. 166 Celkem (kg) 2 914 Kapacita vozidla (t) 3

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 42 Pořadí Rozvozová skupina č. 5 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Nittenau 237 2 Ebermannsdorf 200 3 Dietfurt 59 4 Schwanstetten 332 5 Röthenbach 163 6 Lauf 143 7 Veitsbronn 586 8 Ebern 830 9 Seebach 396 Celkem (kg) 2 946 Kapacita vozidla (t) 3 Pořadí Rozvozová skupina č. 7 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Langenhagen II 244 2 Vloho 112 3 Bad Oyenhaus. 148 4 Osnabrück I 407 5 Vechta 269 6 Oldenburg 273 7 Oyten 554 Celkem (kg) 2 007 Kapacita vozidla (t) 3 Pořadí Rozvozová skupina č. 6 Místo Požadavky odběr. (kg) 01 Essingen 216 02 Nellingen I 448 03 Kornwestheim 456 04 Mühlacker I 1 212 05 Balingen 1 500 06 Mühlheim I 351 07 Stockach 190 08 Radolfzell 143 09 Donaueschingen 191 10 Villingen-Sch. I 255 11 Lahr I 1 009 12 Lahr II 443 Celkem (kg) 6 414 Kapacita vozidla (t) 6,5 Pořadí Rozvozová skupina č. 8 Místo Požadavky odběr. (kg) 1 Hannover II 1 134 2 Osnabrück II 853 Celkem (kg) 1 987 Kapacita vozidla (t) 2

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 43 Pořadí Rozvozová skupina č. 9 Místo Požadavky odběratelů (kg) 1 Oberrot 423 2 Murrhardt 193 3 Plüderhausen 712 4 Nellingen II 939 5 Waiblingen 140 6 Ditzingen 351 7 Mühlacker II 299 8 Pforzheim 363 9 Arnbach 384 10 Lichtenstein 1 587 11 Mühlheim II 437 12 Villingen-Sch. II 266 13 Unterkirnach 299 Celkem (kg) 6 393 Kapacita vozidla (t) 6,5 Zdroj: ABC 4.2.3 Využívaný vozový park Přepravní logistické služby jsou realizovány prostřednictvím smluvních vozidel. Jak již bylo zmíněno, podnik využívá k rozvozu hotových výrobků do Německa služeb dvou stálých autodopravců, kteří disponují rozsáhlým vozovým parkem. Díky outsourcingu může ABC tedy využívat různých vozidel, která jsou limitovaná pouze největší přípustnou hmotnostní naloženého vozidla, jež ale nemusí být vždy plně využita. Tab. 3 Přehled nákladních vozidel využívaných k rozvážce pro D1 Rozvozová skupina Autodopravce Nosnost (t) Sazba (Kč/km) 1 D.Trans 6,5 18 2 Z. Sára 6,5 19 3 D.Trans 6,5 18 4 Z. Sára 6,5 18 5 D.Trans 3,0 13 6 Z. Sára 6,5 19 7 Z. Sára 6,5 18 8 Z. Sára 6,5 18 Zdroj: ABC

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 44 V případě první dílčí distribuční sítě D1 využívá společnost ABC převážně k přepravě vozidla o maximální přípustné hmotnosti 6,5 t a dále o nosnosti 3 t. V rámci druhé dílčí distribuční sítě D2 je využívání vozového parku různorodější. Převažují vozidla s maximální přípustnou hmotností ve výši 3 t, dále vozidla o nosnosti 6,5 t, 2 t a 3,5 t. Ceny autodopravy jsou v obou případech smluvní, vychází především z požadované tonáže a vzdálenosti. Bližší informace o využívaném vozovém parku a ceně autodopravy pro jednotlivé dílčí distribuční sítě přináší tabulka č. 3 a 4. Tab. 4 Přehled nákladních vozidel využívaných k rozvážce pro D2 Rozvozová skupina Autodopravce Nosnost (t) Sazba (Kč/km) 1 Z. Sára 3,5 14,5 2 D.Trans 3,0 13 3 Z. Sára 6,5 18 4 Z. Sára 3,0 13 5 D.Trans 3,0 13 6 Z. Sára 6,5 18 7 D.Trans 3,0 13 8 Z. Sára 2,0 11 9 D.Trans 6,5 18 Zdroj: ABC Rozdělení distribuční sítě na první úrovni do dvou dílčích sítí D1 a D2 je výsledkem jednání mezi ABC, německou centrálou a odběrateli. Naproti tomu dosavadní zařazení míst v rámci nižší úrovně do jednotlivých rozvozových skupin už vychází z pokusů o určitou optimalizaci ze strany podniku ABC. Tzn., že navrhované nové řešení distribuce musí vycházet z rozdělení distribuční sítě na nejvyšší úrovni, jak lze vypozorovat i z obrázku č. 1., a to v důsledku rozdílných dní expedice. Zatímco druhou úroveň rozdělení je možné do jednotlivých rozvozových skupin měnit bez omezení.

Návrh řešení 45 5 Návrh řešení Návrh optimálního uspořádání dopravních tras podniku je možné provést za využití různých metod. Některé z nich jsou uvedené v teoretické části práce. V podkapitole 5.1 jsou aplikovány vybrané způsoby řešení okružního dopravního problému včetně srovnání výhod, nevýhod a výsledků získaných za použití těchto metod. Další část této kapitoly (5.2) se pak na základě 5.1 zabývá konkrétním rozdělením distribuční sítě do rozvozových skupin a řazením odběratelů v rámci jednotlivých rozvozových skupin. Závěrem kapitoly je porovnán dosavadní stav řešení distribučních sítí se získaným novým řešením distribuce. 5.1 Využití metod pro řešení okružního problému Tato část práce vychází zejména z výsledků dosažených prostřednictvím níže použitých metod 4, využitých ve zpracované závěrečné práci na téma Optimalizace dopravních tras pekárenského podniku (Dubová, 2011), jež byly aplikovány na nejjednodušší variantu řešení okružního dopravního problému. 5.1.1 Littlův algoritmus Řešení okružního dopravního problému prostřednictvím Littlova algoritmu je popsáno v subkapitole 3.5.4. Tato metoda je vhodná zejména pro úlohy s nižším počtem míst v matici vzdáleností a to zejména kvůli časové náročnosti a také obtížností při řešení úloh velkých rozměrů, kdy existuje velká pravděpodobnost vzniku chyb v průběhu výpočtu. Postup optimalizace řešení s využitím Littlovy metody je uveden na příkladě. Jedná se o případ rozvozové skupiny X8 dílčí distribuční sítě D1 navrhované v rámci nového řešení distribuce. Řešení vychází z matice vzdáleností mezi konkrétními odběrními místy a distribučním centrem (viz tabulka 5). 4 Konkrétně Littlova algoritmu a programových nástrojů STORM a LINGO.

Návrh řešení 46 Tab. 5 Zadání příkladu Crailsheim Dillingen Ebern Freuden. Zbraslav Crailsheim 084 150 561 584 Dillingen 084 202 587 554 Ebern 150 202 428 573 Freudenberg 561 587 428 542 Zbraslav 584 554 573 542 Zdroj: Práce autora Tab. 6 První krok Littlovy metody Crailsheim Dillingen Ebern Freudeberg Zbraslav αi Crailsheim Dillingen Ebern Freudenberg Zbraslav 84 0 78 84 0 118 150 0 52 561 133 584 42 150 66 202 118 202 52 587 159 554 12 561 477 587 503 428 278 428 0 31 573 31 584 500 386 554 470 356 573 423 309 542 114 0 309 084 084 150 428 542 0 290 542 1288 114 Zdroj: Práce autora βj - - - - 114 Na základě prvního kroku Littlovy metody (viz tabulka 6), kdy maximální hodnota Φ 5 činí 309 a nachází se ve 4. řádku a 5. sloupci, je do okruhu zařazeno spojení míst Freudenberg Zbraslav. Vynechám bude 4. řádek a 5. sloupec 5 Maximální hodnota Φ je v příkladech vždy označena červeně a podtržena, ostatní Φ hodnoty jsou vyznačeny tučně.

Návrh řešení 47 matice. Opačná cesta musí být v dalším kroku výpočtu zakázaná. Hodnoty ověřující správnost: Z = 1288 + 114 1402 a Z = 1402 + 309 1711. 0 = F, Z* = Tab. 7 Druhý krok Littlovy metody Crailsheim Dillingen Ebern Freudeberg αi 0 47 66 Crailsheim 47 0 99 118 Dillingen 99 0 0 52 Ebern Zbraslav 42 30 12 0 0 477 199 503 225 278 0 199 31 19 12 0 47 12 297 Zdroj: Práce autora βj - - 19 278 - - - Nyní bude do okruhu zařazena trasa Ebern Freudenberg (tab. 7). Zároveň je nutné v dalším kroku výpočtu v redukované matici zakázat jízdu Zbraslav Ebern, aby nedošlo k předčasnému uzavření okruh a také vyloučit 3. řádek a 4. sloupec matice. Hodnoty ověřující správnost Z = 1402 + 309 1711 F, Z = a Z = 1711+ 199 1910. Správnost řešení ověřena na základě platnosti: E, F* = Z Z, tj. 1711= 1711. F, Z F, Z* Tab. 8 Třetí krok Littlovy metody Crailsheim Dillingen Ebern αi 0 0 47 Crailsheim - 0 52 0 82 99 Dillingen - 52 30 0 30 Zbraslav - βj - - 47 47 0

Návrh řešení 48 Z tabulky č. 8 je zřejmé, že další část okruhu povede směrem Dillingen Crailsheim, ve čtvrtém kroku výpočtu je tedy nutné opět zakázat nejen cestu v opačném směru Crailsheim Dillingen, ale i spojení Zbraslav Ebern. Z matice se opět vyloučí příslušné řady. Hodnoty, které ověřují správnost Z = 1711+ 47 1758 a Z = 1758 + 82 1840. Správnost řešení ověřena na E, F = D, C* = základě platnosti: Z E, F Z E, F*, tj. 1758 1910. Tab. 9 Čtvrtý krok Littlovy metody Dillingen Ebern αi Crailsheim 0 0 - Zbraslav 0 0-0 βj - - 0 Zdroj: Práce autora Z poslední matice o rozměrech 2 2 je patrné, které cesty jsou zakázané. Zbývající dvě políčka určují jednoznačně poslední dvě etapy hledaného okruhu. Jedná se o spojení míst Crailsheim Ebern a Zbraslav Dillingen. Hodnota ověřující správnost Z = 1758 + 0 1758. Správnost řešení ověřena na základě plat- D, C = nosti: Z D, C Z D, C*, tj. 1758 1840. Výsledná okružní trasa tedy vypadá následovně: Zbraslav Dillingen Crailsheim Ebern Freudenberg Zbraslav. A optimalizovaná délka okruhu je za využití Littlova algoritmu rovna 1 758 km. 5.1.2 Programové nástroje Využití programových nástrojů pro optimalizaci je vhodné zejména v případě matic velkých rozměrů. V této subkapitole budou rozebrány výhody i nedostatky dvou dosažitelných programů používaných pro matematické modelování, STORMU a LINGA. S přihlédnutím k závěrům dosaženým v závěrečné práci Optimalizace dopravních tras pekárenského podniku (Dubová, 2011), jež v jedné ze svých části

Návrh řešení 49 byla zaměřena i na srovnání průběhu výpočtu a výsledků získaných prostřednictvím těchto dvou softwarových nástrojů a to u matic různých rozměrů, lze shrnout následující skutečnosti. Programy STORM A LINGO mohou dosahovat stejných či velmi málo odlišných výsledků z hlediska hodnot účelové funkce. Na druhé straně se tato řešení mohou odlišovat pořadím míst v konkrétních trasách. V případě stejných hodnot účelové funkce a rozdílném pořadí míst získaném za využití těchto dvou programových nástrojů může pro danou trasu existovat i více optimálních řešení. Délka výpočtu u jednotlivých softwarových nástrojů je už podstatně různá. Zatímco STORM je schopný poskytnout výsledek do několika vteřin, programový nástroj LINGO hledá optimální řešení i několik hodin či dnů. Tato skutečnost je dána zejména tím, že program STORM nemusí dosahovat extrémních hodnot, čímž není softwarem garantováno optimální řešení v matematicky exaktním smyslu, zatímco LINGO má snahu dojít vždy přímo k exaktnímu optimálnímu řešení. Jelikož výsledky obou softwarových nástrojů jsou převážně shodné co do hodnoty účelové funkce, jak u matice velkých rozměrů, tak i menších rozměrů, je pro další optimalizaci používán programový systém STORM. Příliš dlouhá doba výpočtu v rámci softwaru LINGO by mohla být neakceptovatelná vedením podniku ABC, které požaduje získat co nejlepší výsledek v krátkém čase. K řešení okružního problému v programu STORM je využito stejné zadání příkladu jako v předcházející subkapitole. Postup práce s uvedeným programem koresponduje s teoretickou částí práce týkající se tohoto softwaru a demonstruje jej níže uvedená soustava obrázků. Po spuštění softwaru, výběru modulu Distance Network (viz obr. 2), je nutné načíst vstupní data. Jelikož jsou údaje v tomto případě zadávány poprvé, nabízí se jediná možnost, a to vytvořit nový datový soubor. V editačním režimu po zadání rozměru a typu matice následuje vkládání kilometrových vzdáleností mezi jednotlivými místy. Veškeré matice v této práci jsou symetrické, neboť vzdálenost z místa A do místa B je stejná jako vzdálenost

Návrh řešení 50 z místa B do místa A. Na základě toho je povolen vstup pouze horních prvků trojúhelníkové matice, jak je patrné i z obrázku č. 3 Obr. 2 Výběr modulu Obr. 3 Specifikace a zadávání vstupních údajů Po zadání vstupních údajů stačí zvolit už jen typ úlohy, který se má řešit. V tomto případě se jedná o problém obchodního cestujícího. Do několika vteřin je k dispozici výsledek řešení příslušného okružního dopravního problému.