Fyzika I Ukázka příkladů k písemné zkoušce December 4, 2014 1 Vektory 1. Loď pluje na sever rychlostí v l = 9 km/h (rychlost vůči vodě). Aniž by to kapitán lodi věděl, loď je snášena mořským proudem o velikosti v p = 7 km/h tekoucím přibližně od severo-západu pod úhlem 48 měřeno od severu. Jaká je výsledná rychlost a směr lodi? 2. Určete úhel mezi vektory a = 1 a 2 b = 1 2 0 ( ) 2. Mějme vektor u =. Najděte vektor v takový, aby měl délku v = 1 a aby úhel 4 mezi vektory u a v byl ϕ = 90. 4. Proveďte skalární a vektorový součin vektorů: 1 a = 1 b = 1 2 9 5. Geodet pozoruje ze svého místa body A a B. Vzdálenost k bodu A je a = 4 km, a k bodu B je b = km. Pozorovaný úhel mezi body A a B je ϕ = 62. Určete vzdálenost c mezi body A a B. 6. Raketa letí na západ, rychlostí v r = 190 km/h (rychlost vůči vzduchu). Raketa je unášeno větrem foukající ze severozápadu rychlostí v v = 110 km/h, pod úhlem 45, měřeno od severu. Jaká je výsledná rychlost a směr rakety vůči zemi? 7. Letadlo letí na jih, rychlostí v l = 760 km/h (rychlost vůči vzduchu). Letadlo je unášeno větrem foukajícím ze severovýchodu rychlostí v v = 120 km/h. Jaká je výsledná rychlost letadla vůči zemi? 8. Určete neznámou souřadnici u tak aby úhel mezi vektory a = [; 2] a b = [u; 2] byl 60. 9. Tektonickým zlomem se nazývá vzájemné posunutí dvou sousedních skalních bloků (viz obr). Před skluzem body A a B splývaly. Celkové posunutí AB leží v rovině zlomu. Vodorovný průmět AC celkového posunutí se nazývá horizontální posun, průmět směřující dolů podél roviny zlomu AD je tzv. sklonový posun. (a) Jaká je celková délka posunutí AB, je-li horizontální posun 18 m a sklonový posun 10 m? (b) Jak velká je svislá složka posunutí AB, je-li rovina zlomu skloněna o 52 vzhledem k vodorovné rovině? 10. Mravenc jde 5 cm na sever, cm na západ, 1 cm na jih a 2 cm na západ. Jaké je celkové posunutí mravence? 11. Radarová stanice zaznamenala letoun, který se k ní blížil přesně z východu. V té chvíli byl letoun ve vzdálenosti 110 m od stanice a byl vidět pod elevačním úhlem 71 (nad vodorovnou rovinou). Radar sledoval letoun až do okamžiku, kdy byl od stanice vzdálen 80 m na západ a velikost pozorovacího úhlu činila 12. Určete (a) posunutí letounu a (b) změnu výšky letadla během doby sledování.
12. Kolo o poloměru 0 cm se valí bez prokluzu po vodorovné podlaze. Na obvodu kola označíme bod P, který se v okamžiku t 1 právě dotkne podlahy. V pozdějším okamžiku t 2 je kolo otočeno o polovinu otáčky. Jaké je (a) svislé posunutí (b) vodorovné posunutí (c) výsledné celkové posunutí bodu P za dobu od t 1 do t 2? 1. Práce vykonaná na tělese W se spočte jako skalární součin síly F působící na těleso a posuvu tělesa s, W = F s. Určete celkovou práci vykonanou na tělese když působící síla je F 4 0.5 0 = 1 N a jednotlivá posunutí jsou postupně s 1 = 0.1 m, s 2 = 4 m a 1 2 2 s = 1 m. 14. Mějme vektor u = 2. Nalezněte vektor v, který (i) je kolmý na vektor u, (ii) leží 4 v rovině xy a (iii) má délku 4. Nápověda: (1) vektory jsou kolmé pokud je jejich skalární součin nulový; (2) vektor ležící v rovině xy znamená, že jeho z-tová složka je nulová. 4 15. Určete (1) skalární součin a (2) úhel mezi vektory a = 1 a 5 b = 0 2 Derivace 1. Dráha tělesa je dána fukncí s(t) = 2t 2 5t 6, kde s(t) je dráha v metrech a t je čas v sekundách. Určete (i) okamžitou rychlost v čase t = s (ii) určete pro jaký čas t je dráha tělesa s = 1 m. 2. Výkon P konaný na těleso je určen jako změna na něm konané práce W podle času, P = dw dt. Mějme těleso, na kterém je konaná práce popsána vztahem W (t) = 4t4 + t, kde práce W je v Joulech a čas t je v sekundách. (i) Určete práci vykonanou v čase od t = 0 s do 4asu t = 4 s. (ii) určete okamžitý výkon konaný na těleso v čase t = 4 s.. Elektrický proud I(t) tekoucí drátem je dán vztahem I(t) = dq dt, kde Q je elektrický náboj a t je čas. Mějme drát, skrz který protéká elektrický náboj daný vztahem Q(t) = t + t /2, kde Q je náboj v Coulombech a t je čas v sekundách. (i) Určete množství náboje, které proteklo drátem v čase od t = 1 s do t = 4 s. (ii) určete (okamžitý) proud tekoucí drátem za čas t = 4 s. 4. Dráha tělese (v metrech) je popsána vztahem s(t) = t 2 + 6t + 4, kde t je čas v sekundách. (a) Učete pro který čas je okamžitá rychlost nulová, v(t min ) = 0 (b) určete čas, pro který je dráha nulová, s(t 0 ) = 0. 5. Energie tělesa je dána vztahem E = t 2 4t + 2 (E je energie v Joulech, t je čas v sekundách). Pro který čas t min je energie nejnižší (nejmenší). Pozn: nejnižší energie je v tom čase, kdy derivace energie de dt je nula, de dt = 0. 6. Úhlová rychlost ω(t) tělesa je dána fukncí ω(t) = 2t 2 t + 2, kde ω(t) je úhlová rychlost v rad/s a t je čas v sekundách. Určete (i) okamžité úhlové zrychlení ɛ = dω dt v čase t = 2.5 s (ii) určete, pro jaký čas t je úhlová rychlost tělesa ω = 22 rad/s. 7. Síla F působící na těleso je dána změnou práce W podle dráhy x, F = dw dx. Mějme těleso, na kterém je konaná práce popsána vztahem W (t) = x + x, kde práce W je v Joulech a dráha x je v metrech. (i) Určete práci vykonanou na tělese při přesunu z místa x = 1 m do místa x = m. (ii) určete sílu působící na těleso v místě x = 4 m.
Jednorozměrný pohyb 1. Automobil Bugatti Veyron zrychluje z 0 na 200 km/h za 7. s. Předpokládejme, že zrychlení je konstantní (tzv. rovnoměrné zrychlení). Jaké je toto zrychlení? (porovnejte s gravitačním zrychlením země g = 9.8ms 2 ). Jakou vzdálenost automobil urazil když měl rychlost 200 km/h. 2. Katapult na letadlové lodi USS Nimitz má délku 100 m a je schopen letadlům udělit rychlost 260 km/h. Určte zrychlení letadla na katapultu. Jak dlouho trvá urychlení letadla?. Míček padající volným pádem má zrychlení g = 9, 8 ms 2. (a) Jakou rychlost má během volného pádu v čase t=5 s? (b) Za jak dlouho spadne ze střechy vysoké 15 m? 4. Dne 14. října 2012 v Roswellu v americkém státě Nové Mexiko vyskočil Felix Baumgartner z kapsle nesené héliovým balónem z výšky 9 km. Jeho let (skok) trval 11 minut. Jak dlouho by tento let trval v případě volného pádu tělesa z této výšky, se zanedbáním odporu vzduchu? 4 Vrhy těles 1. Letadlo letí vodorovně ve výšce km rychlostí 450 km/h. Toto letadlo vypustí bombu. (i) Jak dlouho bude bomba padat a (ii) jak vodorovně daleko od místa shozu dopadne? 2. Grand Canyon je v jednom daném místě hluboký 800 m a široký w = 1800 m. Jakou rychlostí je třeba vodorovně hodit těleso, aby dopadlo do prostředka kaňonu, t.j. do vzdálenosti w/2 od místa výhozu tělesa?. Z věže kostela bylo vodorovně vrženo těleso rychlostí 10 m/s. Těleso dopadlo ve vzdálenosti 20 m od paty věže. Jak je vysoká věž kostela? 4. Jak velkou počáteční rychlostí musí basketbalista (viz obr.) vyhodit míč pod elevačním úhlem 55, aby dopadl přímo do koše? 5. Při sopečné erupci bývají z kráteru vymršťovány velké balvany. Na obr. je znázorněn řez japonskou sopkou Fuji. (a) Jak velkou počáteční rychlost by musely balvany mít, aby při elevačním úhlu 5 dopadly do bodu B na úpatí sopky? (b) Jaká by byla doba jejich letu? V obou případech zanedbáváme vliv odporu prostředí. 6. Chlapec chce míč překopnout přes plot vysoký H = 6 m, který je L = 8 m od něj. Pod jakým úhlem a jakou rychlostí musí míč vykopnout aby vrchol plotu odpovídal nejvyššímu bodu trajektorie míče? Nápověda: podmínku nejvyššího bodu trajektorie vrhu můžete vyjádřit jako nulovou složku rychlosti ve svislém směru, v z = 0. 7. Kámen byl vržen kolmo vzhůru rychlosti v = 14 m/s. Odpor vzduchu zanedbejte, g = 10 m/s 2. (a) Jak vysoko kámen vyletěl? (b) Jaká byla doba letu kamene než dopadl zpět na zem? (c) Jaká by byla doba letu kamene a jakou rychlostí by dopadl, pokud by při pádu zpět na zem navíc spadl do studny hluboké 6 m 5 Pohyb po kružnici 1. Umělá družice Země obíhá po kruhové dráze ve výšce 640 km nad zemským povrchem (poloměr Země je 578 km). Jaká je perioda jejího pohybu a její rychlost? Změnu gravitačního zrychlení g = 9.8 m/s s výškou zanedbejte. Nápověda: předpokládejte rovnováhu mezi gravitační a odstředivou silou. 2. Astronaut se otáčí na centrifuze s poloměrem m ve vodorovné rovině. (a) Jakou rychlostí se pohybuje, má-li dostředivé zrychlení velikost 5,0g? (b) Kolikrát za minutu se centrifuga otočí? (c) Jaká je perioda jejího pohybu? (d) Jaké je celkové zrychlení působící na kosmonauta, spolu s gravitačním zrychlením?. Vrtule ventilátoru se otáčí 1100krát za minutu. Sledujme bod na konci listu vrtule ve vzdálenosti 0,16 m od osy otáčení. (a) Jaká je velikost rychlosti tohoto bodu? (b) S jakým
zrychlením se pohybuje? (c) Jaká je perioda jeho pohybu? 4. Francouzský expresní vlak TGV (Train a Grande Vitesse, česky rychlovlak ) má stanovenou průměrnou rychlost 216 km/h. (a) Nejvyšší přípustná velikost zrychlení při průjezdu zatáčkou je pro pohodlí cestujících dána hodnotou 0.050g, kde g = 10 ms 2. Jaký je nejmenší možný poloměr zatáčky, kterou může vlak projíždět uvedenou rychlostí? (b) Musí vlak v zatáčce o poloměru 1.00 km zpomalit? Na jakou rychlost? 5. Koeficient statického tření mezi pneumatikami automobilu a silnicí je 0,20. (a) Jakou největší rychlostí může automobil projet bez smyku vodorovnou zatáčkou o poloměru 40 m? (b) Jakou největší rychlostí může jet, je-li zatáčka naklopená o úhlel 15. 6 Síla a pohyb 1. Space Shuttle má tři hlavní motory, každý o tahu 1,5 MN. Při startu jsou navíc zažehnuty i dva raketové urychlovače na pevné palivo, každý o tahu 14 MN. Hmotnost rakety při startu je 210 000 kg. Jaké je zrychlení rakety při kolmém startu? 2. Motocykl o hmotnosti 170 kg dosáhne z klidu rychlosti 77 km/h během 4 s. (a) Jak velké je zrychlení motocyklu, považujeme-li je za konstantní? (b) Jaká je velikost výsledné síly urychlující motocykl?. Na letadlové lodi je katapult na urychlování letadel. Katapult je dlouhý 100 m a musí urychlit letadlo o hmotnosti m = 2500 kg na rychlost v = 90 m/s. (a) Jaká síla musí působit na katapult? (b) Určete zrychlení letadla na katapultu. 4. Dvě závaží o hmotnostech m 1 = 10 kg a m 2 = 25.5 kg jsou spojena lankem přes kladku. Hmotnost lanka i kladky zanedbejte. a) určete zrychlení obou těles. b) jakou silou je napínáno lanko. c) jakou silou působí kladka na strop? d) za jakou dobu od uvolnění soustavy se težší závaží propadne o výšku H=0.8m? 5. Tělísko o hmotnosti m = 10 kg leží na dokonale hladkém stole a je spojeno se závažím o hmotnosti M = 25 kg provázkem provlečeným otvorem ve stole (viz. obr.). Určete rychlost, kterou se musí tělísko m pohybovat, aby závaží M bylo v klidu, pro r = 0.9 m. Nápověda: jedná se o rovnováhu mezi gravitační a odstředivou silou. 6. Dvě kostky mají hmotnosti m 1 = 6 kg a m 2 = 2 = kg. Koeficient dynamického tření mezi m 1 a šikmou rovinou je f = 0. Určete (a) tahovou sílu vlákna (b) zrychlení kostek. (c) Určete zrychlení kostek, pokud tření mezi tělesem m 1 a podložkou je f d = 0.5. (d) tahová síla na lano, pokud je m 2 zastavená. 7. Na nakloněné rovině (nakloněné úhlem α = 8 ) je těleso o hmotnosti m = 6 kg. Těleso je drženo proti rozjetí napnutým provázkem, který veden rovnoběžně s nakloněnou rovinou. (a) jakou silou je napnutý provázek. (b) jakou silou je napnutý provázek, je-li koeficient tření mezi tělesem a rovinou f = 0.21? 8. Kostka o hmotnosti kg je tlačena proti zdi silou F. Koeficient tření mezi kostkou a zdí je f = 0.8. Určete minimální sílu F, která udrží kostku na zdi pro (a) pokud je síla F kolmá ke zdi (b) pokud síla F je pod úhlem 50 (viz. obr. na tomto obr. je síla F označena jako P ).
7 Práce a kinetická a potenciální energie 1. Malá kostka o hmotnosti m může klouzat bez tření po dráze tvaru smyčky viz. obr. Kostku vypustíme z klidové polohy v bodě P, který leží ve výšce h nade dnem smyčky. (a) Jaká je rychlost na vrcholu smyčky pro h = 5R, R = 2.8 m (b) Pro poloměr smyčky R = 2.8 m, z jaké minimální výšky h musíme pustit kostku, aby ji odstředivá síla udržela na vrcholu smyčky? 2. Délka šňůry kyvadla je L = 120 cm. V bodě P je umístěn pevný kolík, jehož vzdálenost od bodu závěsu kyvadla je d = 79 cm. Kuličku kyvadla zvedneme tak, aby šňůra byla vodorovná a volně ji vypustíme (viz. obr.). Kulička se pohybuje po trajektorii vyznačené v obrázku přerušovanou čarou. Jaká je její rychlost v okamžiku, kdy dosáhne (a) nejnižšího bodu trajektorie, (b) nejvyššího bodu poté, co se šňůra zachytí o kolík.. Kostka o hmotnosti m = 2.0 kg je upuštěna z výšky L = 41 cm a dopadne na svislou pružinu o tuhosti k = 1500 N/m (viz. obr.). Určete největší stlačení pružiny. Předpokládejte, že zádná energie se během nárazu nepřemění na teplo. 4. Nákladní automobil s vadnými brzdami sjíždí po svahu. V okamžiku, kdy jej řidič navádí na bezpečnostní nájezd o sklonu 15, ukazuje tachometr údaj 120 km/h. (a) Jakou nejmenší délku L by musel nájezd mít, aby na něm automobil ještě dosáhl nulové okamžité rychlosti? (b) Jakou délku L musí mít nájezd, jeli povrch nájezdu pokryt materiálem (např. písek) způsobujícím koeficient tření f = 0.1. 8 Srážky 1. Dvě kovové koule jsou zavěšeny na svislých závěsech tak, aby se právě dotýkaly. Koule 1 má hmotnost m 1 = 0 g, hmotnost koule 2 je m 2 = 75 g. Kouli 1 vychýlíme vlevo do výšky h 1 = 8, 0 cm a uvolníme. Protože koule 2 stojí, koule se v nejnižším bodě srazí a po nárazu od sebe odskočí. Počítejte s dokonale pružným nárazem, tj. předpokládejte jak zákon zachování hybnosti, tak zákon zachování energie během srážky. (a) Určete rychlost v 1 koule 1 těsně po srážce s koulí 2. (b)do jaké výšky h 1 vystoupí koule 1 po srážce? 2. Kulka o hmotnosti 10 g narazí do balistického kyvadla o hmotnosti 2 kg a uvázne v něm. Kyvadlo vystoupí do výšky 12 cm. Vypočtěte počáteční rychlost kulky.. Kulka o hmotnosti 4,5 g je vystřelena vodorovně a narazí do dřevěného kvádru o hmotnosti 2,4 kg, který leží na vodorovné podložce. Koeficient dynamického tření mezi kvádrem a podložkou je 0,20. Kulka v kvádru uvázne a ten se zastaví ve vzdálenosti 1,8 m od své
původní polohy. (a) Jakou rychlostí se kvádr pohybuje v okamžiku, kdy se kulka vzhledem k němu zastaví? (b) Jaká je počáteční rychlost kulky? 4. Těleso o hmotnosti m = 500 kg se nachází v kosmickém prostoru v klidu. Najednou vybuchne a rozpadne se na dvě části, z nichž jedna má třikrát větší hmotnost než druhá. Po rozpadu se lehčí úlomek pohybuje rychlostí v = 100 m/s. (a) Jaká je rychlost težšího úlomku? (b) Jaká je celková kinetická energie obou těles?) 9 Moment hybnosti, rovnováha 1. Trezor o hmotnosti m t = 40 kg, který je provazem přivázán k nosníku s rozměry a = 1, 9 m a b = 2, 5 m. Homogenní trámek nosníku má hmotnost m = 85 kg, hmotnost vodorovného lana je zanedbatelná. Jak velkou silou T je napínáno vodorovné ocelové lano? 2. Vodorovná tyč AB o délce L = 0.8 m je připojená kloubovým závěsem A ke svislé stěně a na opačném konci tenkým drátem BC, který se stěnou svírá úhel θ = 5. Závaží se může volně pohybovat podél tyče; jeho polohu určíme udáním vzdálenosti x těžiště závaží od stěny. Zjistěte, jak závisí na x (a) síla přenášená drátem, (b) vodorovná a (c) svislá složka síly, kterou kloub A působí na tyč. Hmotnost tyče zanedbejte.. Dveře vysoké H = 2, 1 m a široké L = 0, 91 m mají hmotnost m = 27 kg. Jeden pant je umístěn 0,0 m od vršku dveří, druhý ve stejné vzdálenosti od spodku dveří. Každý z pantů nese polovinu tíhy dveří. Předpokládejte, že těžiště dveří leží v jejich geometrickém středu. Stanovte: (a) svislé a (b) vodorovné složky sil, kterými panty působí na dveře. 4. Jeden konec tyče hmotnosti 20 kg a délky 1 m je připevněn ke stěně kloubovým závěsem. Druhý konec je zavěšen na vlákně způsobem vyznačeným na obr. (a) Najděte napěťovou sílu přenášenou vláknem. Jaká je (b) vodorovná a (c) svislá složka síly, kterou kloubový závěs působí na tyč?