7. Základní formulace lineární PP

p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje napjatost a deformaci těles na základě předpokladu, že všechny závislosti mezi parametry zatížení, napjatosti a deformace těles jsou lineární. Porušení linearity u kterékoliv z těchto závislostí vede k úlohám označovaným jako úlohy nelineární pružnosti. Posouzení, kdy je pružnost lineární nebo nelineární, má zcela zásadní význam pro řešení úloh PP, a tedy i pro posuzování konstrukcí. Úlohy lineární jsou podstatně jednodušší z hlediska řešení, ale jejich praktická použitelnost je omezená. Nutné podmínky pro lineárnost úlohy: materiál těles je lineárně pružný, malé deformační posuvy těles (v porovnání s jejich rozměry), složky tenzoru přetvoření malé ( 1, obvykle nejvýše řádu 10 3 ), Příklad 623 okrajové podmínky lineární. V pružnosti a pevnosti I se budeme zabývat případy, kdy odchylky od linearity jsou nepodstatné. OBSAH další

p07 2 7.1. Hookův zákon Zavedli jsme pojem pružné deformace tělesa jako deformaci, která je vratná. To znamená, že deformace v daném okamžiku je závislá jen na parametrech zatěžování v tomto okamžiku nezávisí tedy na historii zatěžování. V důsledku toho je i napjatost tělesa určena okamžitými parametry zatěžování. Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε má obecně tvar podle obrázku, je nelineární. Tato nelinearita komplikuje významně řešení úloh PP. U nejběžnějšího strojírenského materiálu oceli je však možné tuto závislost v celém pružném oboru s dostatečnou přesností považovat za lineární. Dostáváme tak výpočtový model pružného materiálu materiál lineárně pružný (hookovský), jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. Hookův zákon je nejjednodušší formou konstitutivních (fyzikálních) relací. Tyto vztahy obecně popisují závislosti mezi složkami tenzoru napětí T σ a tenzoru přetvoření T ε ve vyšetřovaném bodě tělesa. Jedná-li se o popis deformačně-napěťového chování lineárně pružného materiálu, pak je mezi složkami přetvoření a napětí lineární závislost. V případě jednoosé napjatosti (realizuje se např. při tahové nebo tlakové zkoušce) je jedinou nenulovou složkou tenzoru napětí T σ normálové napětí v podélném směru vzorku (osa x) σ x

p07 3 a závislost mezi tímto napětím a přetvořením v podélném směru je dána rovnicí σ x = Eε x, kde E je konstanta úměrnosti nazývaná Youngův modul pružnosti nebo modul pružnosti v tahu (v tlaku má u drtivé většiny materiálů stejnou hodnotu). Protože při tahové nebo tlakové zkoušce dochází i ke změně příčných rozměrů vzorku (stav deformace není jednoosý, nýbrž trojosý), jsou nenulová i ostatní délková přetvoření a lze je určit ze vztahu ε y = ε z = µε x, kde µ je tzv. součinitel příčné kontrakce neboli Poissonovo číslo. Protože u izotropního materiálu (jeho vlastnosti nejsou směrově závislé) nedochází při tahové zkoušce ke zkosům (γ ij = 0 pro všechna i, j), jsou těmito vztahy definovány všechny složky tenzoru přetvoření. K popisu lineárně elastického chování izotropního materiálu tedy postačují uvedené 2 materiálové konstanty, které obě lze určit z jediné zkoušky (tahem). Pro neizotropní materiál jsou elastické vlastnosti směrově závislé a pro popis konstitutivních vztahů nejobecnějšího anizotropního lineárně elastického materiálu je zapotřebí 21 elastických konstant. Výše uvedené jednoduché vztahy však nestačí ani pro popis lineárně elastického chování izotropního materiálu, protože jejich platnost je omezena na případ jednoosé napjatosti. Pro víceosou napjatost jsou délková přetvoření funkcí všech normálových napětí a obráceně. Tyto vztahy popisuje obecný Hookův zákon, z nějž lze odvodit i další zjednodušený tvar Hookova zákona platný pro smykovou napjatost (v rovině): τ = Gγ.

p07 4 V něm konstanta úměrnosti G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Běžně se u izotropních materiálů neměří, protože z rovnic obecného Hookova zákona vyplývá vztah pro jeho výpočet ve tvaru E G = 2(1 + µ). 7.1.1. Obecný Hookův zákon Obecný Hookův zákon popisuje lineární závislost každé složky tenzoru napětí (přetvoření) na všech složkách tenzoru přetvoření (napětí). U izotropního materiálu lze tuto závislost vyjádřit pomocí dvou elastických konstant E a µ. Lze jej zapsat maticově ve tvaru σ = D ε nebo ε = D 1 σ, kde σ je sloupcová matice tvořená šesti složkami T σ, ε je taktéž sloupcová matice tvořená šesti složkami T ε a D je čtvercová matice elastických modulů (D 1 matice inverzní), z jejichž 36 prvků je díky symetrii pouze 21 nezávislých (pro anizotropní materiál). Počet vzájemně nezávislých složek je dán vnitřní symetrií materiálu. Nejvyšší symetrii (tj. všechny mechanické vlastnosti nezávislé na směru v prostoru) má materiál označovaný jako izotropní. Pro něj lze všechny prvky matice elastických modulů vyjádřit pomocí 2 nezávislých elastických konstant E a µ.

p07 5 Pak lze maticovou rovnici rozepsat do šesti algebraických rovnic nazývaných zobecněný Hookův zákon [2]: ε x = 1 E [σ x µ(σ y + σ z )] γ xy = ε y = 1 E [σ y µ(σ x + σ z )] γ yz = ε z = 1 E [σ z µ(σ x + σ y )] γ zx = 2(1 + µ) E τ xy = τ xy G 2(1 + µ) E τ yz = τ yz G 2(1 + µ) E τ zx = τ zx G Explicitním vyjádřením složek napětí lze dostat inverzní tvar Hookova zákona: σ x = E (1 + µ) ε x + σ y = E (1 + µ) ε y + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε x + λ (ε x + ε y + ε z ) Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε y + λ (ε x + ε y + ε z ) σ z = E (1 + µ) ε z + Eµ (1 + µ)(1 2µ) (ε x + ε y + ε z ) = 2Gε z + λ (ε x + ε y + ε z ) τ yz = E 2(1 + µ) γ yz = Gγ yz τ xz = E 2(1 + µ) γ xz = Gγ xz τ xy = E 2(1 + µ) γ xy = Gγ xy kde λ bývá nazýváno Lamého konstanta.

p07 6 7.2. Práce síly při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci. Obecně můžeme tuto práci vyjádřit vztahem A F = u F d u A = F du F, u F kde vektor d u A představuje elementární posuv působiště síly a du F je průmět tohoto vektoru do směru síly. Hodnotu integrálu (a tedy práci) lze vypočítat pouze za předpokladu, že známe závislost velikosti síly na poloze. Předpokládejme, že na lineárně pružné těleso působí jediná osamělá síla F v bodě A. Vlivem jejího působení se těleso deformuje, zatěžující vnější síla je v rovnováze s vnitřním působením v tělese a musí se tedy také lineárně měnit se změnou polohy F (u F ) = c u F v celém intervalu okamžitých hodnot u F 0; u FK, roste tedy z hodnoty 0 na konečnou hodnotu F K = c u FK. Během tohoto děje pak tato proměnná síla vykoná práci A F = u FK 0 F du F = u FK 0 cu F du F = cu2 F K 2 = F 2 K 2c = 1 2 F Ku FK.

p07 7 Integrál si lze geometricky představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (u F ) a při lineární závislosti síly a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka. Budou-li na uvedené těleso působit i další síly, může se poloha síly F změnit i jejich vlivem. Můžeme také určit práci, kterou síla F vykoná vlivem změn jiných sil (a sama se přitom nemění). Tato práce konstantní síly při posunutí u F jejího působiště podél nositelky z bodu 0 do u FK je A F = u FK 0 F K du F = F K u FK. Grafická interpretace tohoto integrálu je obdélník a výsledek skutečně odpovídá jeho obsahu.

p07 8 7.3. Obecné věty lineární pružnosti V lineární pružnosti platí několik vět zásadní důležitosti, z nichž si uvedeme tyto: 7.3.1. Věta o superpozici Příklad: na prut působí 2 osamělé síly F 1 a F 2. Prodloužení prutu je rovno součtu prodloužení způsobených jednotlivými silami ( l = l 1 + l 2 ). Pozor! Věta platí pouze pro lineární část diagramu (lineární pružnost), např. pro šedou litinu superpozice neplatí, protože tahový diagram je od počátku nelineární. Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustavy.

p07 9 7.3.2. Věta o vzájemnosti prací (Bettiho věta) Uvažujme nosník zatížený soustavou dvou osamělých sil danou množinou sil { F1 { F2. V průběhu zatěžování se nosník deformuje, působiště sil se posouvají. Označme posuv působiště síly F i po její nositelce způsobený silou F j symbolem u ij. Analogický význam mají indexy u práce. Uvažujme 2 historie zatěžování: 1. Nejprve zatížíme silou F 1 a pak připojíme sílu F 2 ({ 0 { F1 { F1 { F2 ). Při zatěžování { 0 { F1 vykoná síla F1 deformační práci A 11 danou vztahem A 11 = 1 2 F 1u 11. Analogicky při zatěžování { F1 { F1 { F2 vykoná síla F2 práci A 22 = 1 2 F 2u 22, a současně, protože síla F 2 vyvolá posuvy všech bodů prutu (s výjimkou nepohyblivě vázaných), vykoná síla F 1 práci A 12 = u 11+u 12 u 11 F 1 du 12 = F 1 u 12 a celková práce je A 1 = A 11 + A 22 + A 12 = 1 2 F 1u 11 + 1 2 F 2u 22 + F 1 u 12.

p07 10 2. Uvažujme nyní opačný postup. Nejprve zatížíme silou F 2 a pak připojíme sílu F 1 ({ 0 { F2 { F2 { F1 ). Obdobným způsobem dostaneme práci: A 2 = A 22 + A 11 + A 21 = 1 2 F 2u 22 + 1 2 F 1u 11 + F 2 u 21. Protože při zatěžování tělesa v pružném stavu nezávisí napjatost ani deformace na historii zatěžování, nezávisí na historii zatěžování ani deformační práce (silová soustava je konzervativní, tedy zachovávající energii). Proto musí platit Po dosazení dostaneme A 1 = A 2. 1 2 F 1u 11 + 1 2 F 2u 22 + F 1 u 12 = 1 2 F 2u 22 + 1 2 F 1u 11 + F 2 u 21 a po úpravě F 1 u 12 = F 2 u 21. Tato rovnost vyjadřuje nejjednodušší podobu Bettiho věty. Slovně ji lze vyjádřit takto: Bettiho věta: Při působení F 1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí: Práce síly F 1 na složkách deformace vyvolaných silou F 2 je rovna práci síly F 2 na složkách deformace vyvolaných silou F 1.

p07 11 Větu je samozřejmě možné zobecnit i na silové soustavy. Pro nás je však podstatnější její zjednodušení zavedením jednotkových sil. Jsou-li obě síly jednotkové (F 1 = F 2 = 1), lze je v rovnici vykrátit. Příslušné posuvy pak nazýváme příčinkové součinitele a platí pro ně η 12 = η 21. V souladu se zavedeným značením posuvů pak např. součinitel η 12 znamená posuv působiště síly F 1 od jednotkové síly F 2. Tyto příčinkové součinitele jsou již pro dané těleso a jeho zvolené body charakteristickými konstantami. Lze z nich snadno určit posuv působiště síly při zatížení tělesa silovou soustavou. Např. posuv působiště F 1 při zatížení soustavou sil { F1 ; F 2 je dán vztahem u 1 = F 1 η 11 + F 2 η 12. 7.3.3. Deformační práce soustavy osamělých sil Na lineárně pružné těleso působí soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2. Protože deformační práce nezávisí na zatěžovací historii, zvolíme zatěžování tak, že nejprve necháme působit sílu F 1, pak přidáme sílu F 2, atd. Pak deformační práce: { 0 { F 1 A 1 = 1 2 F 1u 11. { 0 { F 1 { F 1 { F 2 A 2 = A 1 + 1 2 F 2u 22 + F 1 u 12 = Využitím Bettiho věty dostaneme = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) + 1 2 F 2u 22 + 1 2 F 1u 12.

p07 12 F 1 u 12 = F 2 u 21 A 2 = 1 2 F 1(u 11 + u 12 ) + 1 2 F 2(u 21 + u 22 ) Protože platí u i = u i1 + u i2, dostáváme pro práci celé soustavy A = 1 2 2 F 1 u 1i + 1 2 2 F 2 u 2i + = 1 2 F i u i, 2 kde u i je celkový posuv působiště síly F i ve směru její nositelky vlivem všech působících sil. Sumu lze samozřejmě zobecnit na libovolný počet sil. Působí-li na lineárně pružné těleso soustava osamělých sil Π = { F 1, F 2, F n a označíme-li posuvy jejich působišť A 1, A 2, A n ve směru nositelek u 1, u 2, u n, pak platí A = 1 2 F 1u 1 + 1 2 F 2u 2 + + 1 2 F nu n = 1 n F i u i. 2

p07 13 Deformační práce při působení silové dvojice Na lineárně pružné těleso působí silová dvojice určená momentem M, jehož velikost je M = 2rF. Posuvy působišť sil silové dvojice můžeme vyjádřit ve tvaru u = r tg ϕ a pro malý úhel (což je předpoklad lineární pružnosti a pevnosti) ( tg ϕ. = ϕ) platí u = rϕ. Práce silové dvojice je: A = 1 2 F 1u 1 + 1 2 F 2u 2 = 1 2 F rϕ 1 2 F ( rϕ) = 1 2 F 2rϕ = 1 2 Mϕ a) Natočení tělesa ϕ v bodě A je určeno změnami směrových úhlů přímky pevně spojené s tělesem v bodě A. b) Deformační práce osamělé silové dvojice je: A = 1 2 Mϕ, kde úhel ϕ udává natočení v rovině silové dvojice mezi výchozím a deformovaným stavem. 7.3.4. Věta Castiglianova Castiglianovu větu zde odvodíme zjednodušeně pro prutové těleso. Pro zájemce je k dispozici i navazující obecné odvození Castiglianovy věty. Mějme prut zatížený dvěma silami podle kap. 7.3.2. Deformační práce A vykonaná při jeho zatěžování (pro prut z elastického materiálu je rovna vratné energii napjatosti W ) je lineární funkcí zátěžných sil, která byla odvozena ve tvaru A = W = 1 2 F 1u 1 + 1 2 F 2u 2.

p07 14 Oba posuvy působišť sil u 1 a u 2 jsou rovněž lineárními funkcemi obou zátěžných sil. Tyto posuvy lze vyjádřit pomocí příčinkových součinitelů η ve tvaru u 1 = F 1 η 11 + F 2 η 12 u 2 = F 2 η 22 + F 1 η 21 Význam příčinkových součinitelů byl vysvětlen v kap. 7.3.2. Bettiho věta. Po dosazení do uvedené rovnice pro výpočet deformační práce dostaneme pro energii napjatosti vztah W = 1 2 ( F 2 1 η 11 + F 1 F 2 η 12 + F 2 2 η 22 + F 1 F 2 η 21 ), který lze již snadno derivovat podle kterékoli síly (příčinkové součinitele η ij jsou pro dané těleso a dané body konstanty). Např. derivací podle F 1 dostaneme: W F 1 = 1 2 (2F 1η 11 + F 2 η 12 + F 2 η 21 ). Přitom vycházíme ze vzájemné nezávislosti sil (tzn. F 1 F = 0 = F 2 2 F. ) 1 Protože pro příčinkové součinitele platí nezávislost na pořadí indexů (η 12 = η 21 jako důsledek Bettiho věty), lze vztah upravit do tvaru W F 1 = 1 2 (2F 1η 11 + 2F 2 η 12 ) = u 1. Zobecněním pro J-tou sílu soustavy osamělých sil dostáváme 1. část Castiglianovy věty: u J = W.

p07 15 Působí-li na prut navíc silová dvojice M J, vykoná při zatěžování tělesa práci A = W = 1 2 M Jϕ J, kde ϕ J je úhel natočení přímky spojené s tělesem v působišti momentum J. Pak za podmínek vzájemné nezávislosti vnějších momentů a sil lze dojít stejným postupem k analogickému vztahu pro 2. část Castiglianovy věty: ϕ J = W M J. Slovně lze pak obě části vyjádřit následovně: Posuv působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly. Úhel natočení v místě působení silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této silové dvojice. Castiglianova věta je nejdůležitější větou lineární pružnosti z hlediska praktického použití, protože umožňuje počítat deformační charakteristiky jakéhokoli lineárně pružného tělesa, pokud umíme matematicky formulovat vztah pro jeho energii napjatosti. Celou soustavu těles musíme do energie napjatosti zahrnout tehdy, jestliže deformace okolních těles (resp. základního tělesa) nejsou zanedbatelné v porovnání s deformacemi vyšetřovaného tělesa. Příklad 422

p07 16 Poznámka: Záporné znaménko posuvu (úhlu natočení) znamená, že tento posuv (toto natočení) nastává proti smyslu působení příslušné síly (silové dvojice). Castiglianova věta je proto nezávislá na znaménkových konvencích, protože kladná práce znamená vždy posuv ve smyslu působící síly. Obecné odvození Castiglianovy věty Uvažujme izotropní těleso, na které působí obecná silová soustava Π (jednu sílu z této silové soustavy s působištěm v bodě J označíme F J ). Tato silová soustava vykonala deformační práci A. Je-li těleso v lineárně pružném stavu, nezávisí deformační práce na historii zatěžování: A = n A i, kde A i je práce vykonaná i-tým prvkem silové soustavy. Vykonaná práce se projeví zvýšením energie napjatosti (viz 7.3.3) W = n A i = n 1 2 F iu i. Zderivujeme energii napjatosti (parciálně) podle velikosti síly F J : W = A 1 + A 2 + + A J + + A n. Každý člen tohoto součtu se dá s ohledem na jeho definici zapsat A i = 1 2 F u i i + 1 F i u i 2

p07 17 a protože z definice práce plyne F i = W u i a dále F i je jen 1 nebo 0, tak W = n A i = 1 2 n F i u i + 1 2 u J = 1 2 n W u i u i + 1 2 u J. Suma v posledním výrazu představuje zápis parciální derivace složené funkce, dá se tedy rovnice napsat ve tvaru W = 1 W + 1 2 2 u J = W = u J. Když budeme místo osamělé síly F uvažovat silovou dvojici M, dostaneme druhou část Castiglianovy věty. Jiným postupem jsme dospěli k téže matematické formulaci Castiglianovy věty, kterou lze rozšířeně vyslovit takto: Castiglianova věta: Působí-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv u J působiště síly F J po její nositelce je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této síly u J = W. Úhel natočení ϕ J přímky spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejího působení je dán parciální derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustavy) podle této dvojice ϕ J = W M J. Příklad 422 předchozí OBSAH následující kapitola