Příklady z kvantové mchaniky k domácímu počítání (http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/kvant-priklady.pdf (nbo.ps). Počt kvant: Ionizační nrgi atomu vodíku v základním stavu j E = 3, 6 V. Najdět frkvnci, vlnovou délku a vlnové číslo fotonu, ktrý j právě schopn atom ionizovat.. Počt kvant: Hlium nonový lasr mituj zářní s vlnovou délkou λ = 633 nm s výkonm P = 5 mw. Kolik fotonů vyltí z tohoto lasru za jdnu skundu? 3. Počt kvant: K zkoumání struktury krystalů s používá nutronová difrakc. Odhadnět nrgii a rychlost nutronů, ktré jsou pro tnto účl vhodné. (Vhodné jsou ty, ktré mají podobnou vlnovou délku, jako j vzdálnost sousdních atomů v krystalu.) 4. Počt kvant: Vysvětlt, proč v řšní Schrödingrovy rovnic lktonu v atomu vodíku významným způsobm vystupuj osa z, ačkoli potnciál, v němž s lktron pohybuj, j kulově symtrický a nmá tdy žádnou význačnou osu. 5. Počt kvant: Jakou hodnotu má nrgi základního stavu (a) lktronu, (b) protonu v nkončně hluboké potnciálové jámě šířky 0, nm? 6. Počt kvant: Jak by s změnila vlnová délka čáry Balmrovy séri s λ = 486, nm (odpovídá přchodu n = 4 n = ) atomu vodíku, kdyby atomové jádro zůstávalo na místě, tj. kdyby bylo nkončně těžké? Jaká vlnová délka odpovídá stjnému přchodu n = 4 n = v atomu dutéria? Lz tak jmné rozdíly vlnových délk v současnosti měřit? 7. Počt kvant: Elktron a foton mají oba vlnovou délku λ = 0, 5 nm. Určt jjich hybnost a nrgii. 8. Počt kvant: Excitovaný atom nonu vyzářil foton o vlnové délc 400 nm. Atom s nacházl v klidu. Jakou rychlost má atom po vyzářní fotonu? 9. Počt kvant: Magntický dipólový momnt proudové smyčky j dfinován vztahm µ = IA, kd I, A j po řadě proud a plocha smyčky. Proudová smyčka můž být rprzntována lktronm, ktrý krouží kolm jádra konstantní rychlostí po kruhové dráz. Ukažt klasickou úvahou, ž magntický dipólový momnt tohoto lktronu j dán vztahm µ = L/m, kd, L a m j náboj, momnt hybnosti a hmotnost lktronu.
0. Počt kvant: Dokažt, ž všchny vlastní hodnoty hrmitovského oprátoru jsou rálné.. Počt kvant: Dokažt, ž jstliž j  hrmitovský oprátor, j oprátor iâ unitární.. Počt kvant: Ukažt, ž oprátory ÂÂ,  + Â, i(â  ) jsou hrmitovské pro libovolný Â. 3. Počt kvant: Oprátor  v trojrozměrném Hilbrtově prostoru j rprzntován maticí  = Nalznět matici rprzntující oprátor Â. + i 3i 7 i + 6i 4 0 5 4 i 4. Počt kvant: Dokažt, ž oprátor parity dfinovaný vztahm ˆP ψ(x) = ψ( x) j hrmitovský. Dál ukažt, ž vlastní vktory odpovídající vlastním hodnotám a jsou ortogonální. 5. Počt kvant: Odvoďt komutační rlac [ˆx, ˆp] = i pro oprátory souřadnic a hybnosti na Hilbrtově prostoru L kvadraticky intgrovatlných funkcí ψ(x), kd působní oprátorů ˆx, ˆp j dáno vztahy ˆx ψ(x) = xψ(x), ˆpψ(x) = i ψ(x) x 6. Počt kvant: Odvoďt komutační rlac pro složky oprátoru momntu hybnosti dfinovaného vztahm ˆL = ˆ r ˆ p. 7. Počt kvant: Najdět stacionární řšní Schrödingrovy rovnic volné částic v jdné dimnzi s hamiltoniánm Ĥ = +V, kd V j konstantní potnciál. Vypočtět fázovou a grupovou m x rychlost vlny. Jak si vysvětlít závislost fázové rychlosti na potnciálu V? 8. Počt kvant: 3 Uvažujm fyzikální systém a v něm fyzikální vličinu A, ktrá nkomutuj s Hamiltonovým oprátorm. A má vlastní stavy tvaru ϕ = (u +u )/ a ϕ = (u u )/ s vlastními hodnotami a, a, kd u, u jsou vlastní stavy hamiltoniánu s vlastními hodnotami E, E. J-li v čas t = 0 systém v stavu ϕ, vypočtět střdní hodnotu vličiny A v čas t. 9. Počt kvant: 3 Vlnová funkc volné částic v čas t = 0 j ψ(x, 0) = c xp( x /4 ). Ukažt, ž nurčitost polohy částic t v čas t j dána vztahm t = + ( v) t, kd v j nurčitost rychlosti částic v čas t = 0..
0. Počt kvant: Dokažt, ž pro stacionární stavy harmonického oscilátoru jsou střdní hodnoty hybnosti i souřadnic nulové.. Počt kvant: Dokažt, ž pro stacionární stavy harmonického oscilátoru j střdní hodnota kintické nrgi stjná jako střdní hodnota potnciální nrgi.. Počt kvant: 3 Dokažt, ž pro střdní kvadratické odchylky souřadnic a hybnosti v n tém stacionárním stavu harmonického oscilátoru platí x p = (n + /). 3. Počt kvant: 3 Najdět rkurntní difrnciální rlaci mzi jdnotlivými stacionárními řšními Schrödingrovy rovnic harmonického oscilátoru. Pomocí této rlac odvoďt tvar vlnové funkc ψ (x) pro první nrgiovou hladinu, vít-li, ž vlnová funkc základního stavu (nulové hladiny) má tvar ψ 0 (x) = 4 mω/π mωx /. 4. Počt kvant: Najdět vlnovou funkci ψ 0 (x) základního stavu harmonického oscilátoru z toho, ž vít, ž âψ 0 (x) = 0. Anihilační oprátor â vyjádřt v souřadnicové rprzntaci a řšt vzniklou difrnciální rovnici např. mtodou sparac proměnných. 5. Počt kvant: V Hisnbrgově obraz nalznět pohybové rovnic oprátorů souřadnic a hybnosti harmonického oscilátoru s hamiltoniánm Ĥ = ˆp m + mωˆx. 6. Počt kvant: 3 Elktron s nachází v harmonickém potnciálu s minimm v počátku souřadnic, v němž má frkvnci oscilací ω = π.0 7 rad/s. Střdní hodnoty oprátorů hybnosti a souřadnic lktronu v čas t = 0 byly p = 0 7 kg m/s a x = 0 5 m. Jaké budou střdní hodnoty těchto oprátorů v čas t =, 5.0 8 skundy? Kolik kvant j přibližně nabuzno? 7. Počt kvant: 3 Najdět vlastní hodnoty nrgi částic uzavřné v dutině tvaru kvádru o rozměrch L, L, L 3. Kolikrát j dgnrován základní a první (njnižší) xcitovaný stav, jstliž (a) L < L < L 3, rsp. (b) L = L = L 3? 8. Počt kvant: Můž s světlo o vlnové délc µm (rsp. 500 nm) šířit světlovodným vláknm čtvrcového průřzu o straně 500 nm? 3
9. Počt kvant: Kolik možných stavů světla (módů) v viditlné části spktra s nachází v krychlové dutině o hraně cm? Přibližně kolik viditlných fotonů bud v této dutině při tplotě (a) 0 stupňů Clsia, (b) 500 stupňů Clsia? 30. Počt kvant: Najdět vázané stavy částic v potnciálu tvaru Diracovy dlta-funkc V = Aδ(x x 0 ). 3. Počt kvant: Částic s nachází v základním stavu v nkončně hluboké potnciálové jámě, jjíž stěny mají souřadnic a/ a a/. Náhl stěny posunm do poloh b/ a b/, kd b > a. S jakou pravděpodobností bud nyní částic v základním, rsp. prvním xcitovaném stavu? Jaké j jdnodché zdůvodnění pro druhou odpověď? 3. Počt kvant: Částic s nachází v nkončně hluboké potnciálové jámě šířky a v prvním xcitovaném stavu. Jak s změní nrgi tohoto stavu, jstliž zapnm přídavné lktrické pol, ktré vytvoří harmonický potnciál s rovnovážnou polohou v střdu jámy? 33. Počt kvant: 4 Atom tritia s nachází v základním stavu. Vtom dojd k rozpadu jádra, při němž z jádra vyltí vlmi rychlý lktron, ktrý nstačí ovlivnit původní orbitální lktron atomu. Jaká j pravděpodobnost toho, ž s vzniklý iont hélia 3 H bud těsně po rozpadu (a) v základním stavu, (b) v stavu s? Můž s iont po rozpadu nacházt v stavu p? 34. Počt kvant: 3 Částic v harmonickém potnciálu s nachází v základním stavu. V čas t = 0 zapnm na vlmi krátkou dobu t poruchu ˆV = Aˆx, kd A j vlmi malá konstanta. Vypočtět t v první aproximaci tori poruch pravděpodobnost, ž částic přjd do prvního, rsp. druhého xcitovaného stavu. 35. Počt kvant: 3 Najdět v první aproximaci tori poruch nrgii a vlnovou funkci základního stavu částic v harmonickém potnciálu s poruchou. Nporušný hamiltonián j Ĥ = ˆp m + mωˆx, porucha pak V = Aˆx, kd A j malá konstanta. Dalo by s odpovědi dobrat i jdnodušším způsobm nž užitím poruchové tori? 36. Počt kvant: Variační mtodou najdět přibližnou vlnovou funkci základního stavu harmonického oscilátoru s hamiltoniánm Ĥ = ˆp m + mωˆx. 4
Hldjt ji v jdnoparamtrické množině funkcí ψ a (x) = x /4a 4 π a. Jak si vysvětlít, ž řšní dává přsnou vlnovou funkci základního stavu? 37. Počt kvant: Ukažt, ž složky vktoru ˆ S = ˆσ x = ( 0 0 ˆ σ = (ˆσ x, ˆσ y, ˆσ z ) sstavného z Pauliho spinových matic ) ( ) ( ) 0 i 0, ˆσ y =, ˆσ i 0 z = 0 splňují komutační rlac [Ŝx, Ŝy] = i Ŝz, [Ŝy, Ŝz] = i Ŝx a [Ŝz, Ŝx] = i Ŝy. Najdět tvar oprátoru ˆ S = ˆ S ˆ S a jho vlastní hodnoty a vktory. 38. Počt kvant: (a), (a) + (b) 4, (a) + (b) + (c) 6 (a) Odvoďt vztahy pro transformaci spinové části vlnové funkc lktronu (spin /) při otoční o úhl ϕ kolm osy z, vít-li, ž platí ψ = xp(iϕŝz/ ) ψ, kd Ŝz j oprátor z-tové složky spinu lktronu. Jak s změní vlnová funkc při otoční o plný úhl π? Nápověda: spinová část vlnové funkc j rprzntována dvourozměrným vktorm (tdy maticí typu /), oprátor Ŝz = ˆσ z /, kd ˆσ z j Pauliho spinová matic, pak maticí /. Exponnciální funkc oprátoru (matic) j dfinována obvyklou Taylorovou řadou. (b) Totéž co v (a), al pro rotaci o úhl ϕ kolm osy y. (c) Odvoďt vztahy pro transformaci spinové části vlnové funkc při obcné rotaci dané Eulrovými úhly ϕ, ψ, θ, vít-li, ž tuto rotaci lz provést v třch krocích: ) rotac o úhl ψ kolm osy z, ) rotac o úhl θ kolm osy y, 3) rotac o úhl ϕ kolm osy z. 39. Počt kvant: 3 Uvažujm dvě částic, jdnu s spinm / a druhou s spinm. Označm ˆ S = ( Ŝ x, Ŝy, Ŝz) clkový oprátor spinu systému obou částic. Nalznět spolčné vlastní stavy oprátorů Ŝ z a Ŝ pomocí analogických vlastních stavů pro oprátory spinu obou částic. 40. Počt kvant: Tzv. Bllovy stavy dvojic částic s spinm / jsou dány takto: Ψ + = ( 0 + 0 ) Ψ = ( 0 0 ) Φ + = ( 0 0 + ), Φ = ( 0 0 ), 5
kd 0 a označují stavy jdné částic s spinm v směru a proti změru osy z. Provdním stopy přs druhou částici najdět matici hustoty první částic pro všchny čtyři Bllovy stavy. 4. Počt kvant: 4 Njobcnější matic přchodu od jdné ortonormální báz k jiné j tzv. U() matic ( ) cos θ A = iγ iα sin θ iβ sin θ i(α+β), cos θ kd α, β, γ, θ jsou rálná čísla. Najdět vyjádřní Bllových stavů (viz příklad 40) v nové bázi, znát-li z přdchozího příkladu jjich vyjádřní v původní bázi. Návod: v maticovém zápisu mám ( ) ( ) 0 0 =, 0 =, kd značí původní bázi. Vktor v nové bázi získám násobním vktoru v staré bázi zlva maticí přchodu, tdy např. ( ) ( ) 0 = = iγ iα sin θ i(α+β) = iα+γ sin θ 0 cos θ + i(α+β+γ) cos θ. Dosazním vktorů 0 a v nové bázi do Bllových stavů pak dostanm vyjádřní Bllových stavů v nové bázi.) 4. Počt kvant: Najdět vlastní vktory a vlastní hodnoty Pauliho matic σ z a σ x. Lz nějak fyzikálně intrprtovat to, ž vlastní hodnoty σ x jsou stjné jako vlastní hodnoty σ z? 43. Počt kvant: Dokažt, ž Grnbrgr-Horn-Zilingrův stav tří částic GHZ = ( 0 0 0 + ) j vlastním stavm oprátoru σ x () σ y () σ y (3) (horní indx označuj částici) s vlastní hodnotou a oprátoru σ x () σ x () σ x (3) s vlastní hodnotou. 44. Počt kvant: Nalznět vyjádřní tzv. kohrntního stavu α harmonického oscilátoru v bázi { n }. Kohrntní stav α j vlastním stavm anihilačního oprátoru â s vlastní hodnotou α C. Pokust s stav správně normovat. 45. Počt kvant: 3 Tzv. dvoumódově stlačný stav dvojic harmonických oscilátorů lz vyjádřit jako η = c η n n n, n=0 6
kd η. (a) najdět konstantu c, aby byl tnto stav správně normován (b) najdět matici hustoty pouz prvního módu (oscilátoru) tak, ž provdt stopu ( Trac ) clkové matic hustoty přs druhý mód. (c) npovinné přsvědčt s, ž výsldná matic hustoty popisuj trmální stav, tdy ž ji lz napsat jako ˆρ = βĥ Tr βĥ, kd Ĥ = ω(ˆn + /) j hamitonián systému a β = /kt j vhodná konstanta souvisjící s konstantou η. 46. Počt kvant: 3 Uvažujm spktrální rozklad hamitoniánu Ĥ = n E n n n pomocí jho vlastních stavů n a jim příslušných vlastních hodnot E n. Dokažt, ž pro voluční oprátor Û = iĥt pak platí iĥt = iλnt n n n Nápověda: využijt toho, ž projkční oprátor ˆP n n n má jn dvě vlastní hodnoty 0 a a dál využijt vlastností funkc oprátoru vzhldm k vlastním vktorům tohoto oprátoru 7