02 Systémy a jejich popis v časové a frekvenční oblasti

Transkript

1 Modul: Analýza a modlování dynamických biologických dat Přdmět: Linární a adaptivní zpracování dat Autor: Danil Schwarz Číslo a názv výukové dnotky: Systémy a ich popis v časové a frkvnční oblasti Výstupy z uční: dokáží rozlišit LTI systém od obcných systémů dokáží naprogramovat oprátor konvoluc dokáží analyzovat časovou řadu pomocí Fourirovy řady dokáží analyzovat časovou řadu pomocí dnotkových impulsů dokáží dfinovat impulsní charaktristiku a frkvnční charaktristiku dokáží vysvětlit vztahy mzi FŘ, DTFT a DFT

2 Linární časově invariantní systémy, konvoluc Linární časově invariantní (LTI linar tim invariant) systémy disponuí matmatickými vztahy mzi ich vstupními a výstupními signály či časovými řadami. Pomocí nich lz určit výstupní odzvu LTI systému na akýkoli vstup a lz také určit vstup systému při pozorování ho výstupu. Opraci, ktrá urču vztah mzi časovými řadami na vstupu a výstupu LTI systému, s říká konvoluc. Pro í odvozní pomocí základních matmatických oprací třba přimout náslduící poučku, ktrou lz slským rozumm vyvodit z vlastností LTI systémů. POUČKA ODVOZENÁ SELSKÝM ROZUMEM: Znám-li odzvu LTI systému na vlmi krátkou časovou řadu, můžm pomocí těchto vlmi krátkých řad sskládat libovolně dlouhou časovou řadu, a odzvu LTI systému na ni pak sskládat pomocí známé odzvy na vlmi krátkou řadu. Nkratší časovou řadou, ktrou možno pro tnto účl použít, dnotkový impuls δ(n), ktrému v spoité časové doméně odpovídá Diracova distribuc. Kombinací posunutých dnotkových impulsů lz sstroit libovolnou časovou řadu, viz obr., což možno také vyádřit náslduící rovnicí: x ( n)... x( ) δ ( n ) x( ) δ ( n) x( ) δ ( n ) x( ) δ ( n ) k x ( k) δ ( n k).... ()

3 x(n) x()δ(n) x()δ(n-) x()δ(n) x()δ(n-) x() x() x(-) x() Obr. Sstroní časové řady x(n) pomocí dnotkových impulsů δ(n). Za přdpokladu, ž odzvou LTI systému na dnotkový impuls δ(n-k) posloupnost h k (n), lz při aplikaci výš uvdné poučky, odvozné slským rozumm, vyádřit odzvu LTI systému na časovou řadu x(n) takto: ( n) x( k) ( n k) y( n) x( k) h ( n) k x δ. () k k 3

4 Protož pro časově invariantní systém můžm istě říci, ž ho odzvy na časově posunuté dnotkové impulsy budou mít všchny stný průběh a budou s lišit pouz právě časovým posunm. Můžm tdy psát, ž: δ x ( n) h( n) δ ( n k) h( n k) ( n) x( k) δ ( n k) y( n) x( n) h( n) x( k) h( n k). k k (3) Posldní výraz v rovnici (3) s označu ako konvoluční suma a oprátor konvoluc * přdstavu matmatický způsob výpočtu odzvy LTI systému y(n) na libovolnou časovou řadu x(n) při znalosti odzvy h(n) tohoto systému na dnotkový impuls δ(n). Tato odzva h(n) s nazývá impulsní charaktristika systému a přdstavu dn z základních způsobů nparamtrického popisu systému v časové nbo prostorové doméně. Linární časově invariantní systémy a priodické signály, Fourirova řada Při zkoumání odzvy LTI systému na dnotkový impuls byl v přdchozí podkapitol odvozn oprátor konvoluc a dfinován pom impulsní charaktristika. Tato podkapitola s zabývá odzvou LTI systému na harmonickou časovou řadu, ktrou lz vyádřit v goniomtrickém a xponnciálním tvaru náslduícími funkcmi: f f ( n) A sin( n ϕ) ( n) f, ( f n ϕ ) A, (4) kd A amplituda signálu, f normalizovaná úhlová frkvnc a ϕ počátční fázový posuv. Průběh harmonické časové řady si lz přdstavit ako rotuící fázor v komplxní rovině, přičmž rychlost ho rotac dána právě normalizovanou úhlovou frkvncí f π/n f, kd N f přdstavu počt vzorků harmonické časové řady v í dné priodě. Harmonická časová řada nkončně dlouhá a v frkvnční oblasti í amplitudové spktrum rprzntováno v dné půlpriodě čarou na diné frkvnci, viz obr.. Zatímco v rovnicích () až (4) byla libovolná časová řada vyádřna pomocí kombinac dnotkových impulsů, v náslduící rovnici (6) provdno vyádřní libovolné priodické časové řady pomocí harmonických složk. Normalizovaná úhlová frkvnc mírou rychlosti změny v časové řadě. Zatímco běžná frkvnc udává rychlost změny pomocí počtu cyklů za dnotku času ( Hrtz dn cyklus za skundu), úhlová frkvnc udává rychlost změny pomocí počtu radiánů za dnotku času. Normalizovaná frkvnc f udává rychlost změny pomocí počtů cyklů za vzork a v případě normalizované úhlové frkvnc πf d o počt radiánů za vzork. Výpočt normalizované frkvnc (cykly za vzork) s provádí prostým vydělním frkvnc udávané v Hrtzích (cykly za skundu) vzorkovací frkvncí (vzorky za skundu). Normalizovaná frkvnc f a normalizovaná úhlová frkvnc sou tdy bzrozměrné vličiny a ich hodnoty sou v intrvalu f <;>, rspktiv <;π>. Vzhldm k zaměřní tohoto učbního txtu výhradně na časové řady a nikoli na spoité signály, sou zd rychlosti změny vyadřované pouz pomocí normalizovaných bzrozměrných frkvncí a čas n zd vystupu pouz v své diskrétní podobě - rovněž bzrozměrně. 4

5 k n k ( n) ak y( n) H ( ) kn x ak k N k N (5) Takovýto rozklad s označu ako Fourirova řada a kromě ího xponnciálního tvaru (5) Fourirova řada známa v matmatické analýz také v tvaru goniomtrickém, kd d o rozklad priodické funkc do kombinac goniomtrických funkcí. V rovnici (5) vyádřna libovolná časová řada x(n) ako linární kombinac harmonických časových řad, přičmž úhlová frkvnc dnotlivých harmonických složk vyádřna ako k-násobk základní harmonické složky s úhlovou frkvncí π/n. Počt vzorků N v dné priodě časové řady x(n) zárovň urču maximální počt harmonických složk v Fourirově řadě. J zřmé, ž Fourirova řada z diskrétního signálu řada s končným počtm koficintů a k. J-li směs harmonických složk x(n) přivdna na vstup LTI systému, pak ho výstup podl rovnic (5) opět směsí harmonických složk s stnými úhlovými frkvncmi. Jdnotlivé harmonické složky sou násobny komplxními čísly H( k ), čímž dod buď k zsílní, nbo k zslabní dané složky a dál můž vlivm tohoto násobní doít také k posunu fáz dané složky. Na základě rovnic (5) lz tdy usuzovat, ž LTI systém nvytváří nové frkvnční složky, al pouz zsilu nbo potlaču frkvnční komponnty iž xistuící v zpracovávané časové řadě. 3 Linární časově invariantní systémy a priodické signály, frkvnční charaktristika, DTFT a DFT Zsilování, zslabování a fázový posuv harmonických složk zpracovávaných časových řad lz pro systém vyádřit pomocí frkvnční charaktristiky G(), ktrá dána ako: n ( ) H ( ) h( n). n G (6) Z rovnic (6) lz usuzovat, ž frkvnční charaktristika diskrétního systému spoitou priodickou funkcí úhlové frkvnc. Tato funkc dána Fourirovou řadou s koficinty, ktré odpovídaí vzorkům impulsní charaktristiky h(n) popisovaného systému. 5

6 Obr. Grafická znázornění harmonické časové řady a vličin, ktré určuí í průběh. a) Harmonická časová řada. b) Rotuící fázor v komplxní rovině. c) První půlprioda amplitudového frkvnčního spktra harmonické časové řady. Prioda frkvnční charaktristiky s nzávislou bzrozměrnou proměnnou π, pro bzrozměrnou normalizovanou frkvnci f prioda a pro nzávislou proměnnou F, ktrou frkvnc v Hrtzích, odpovídá prioda frkvnční charaktristiky hodnotě vzorkovací frkvnc signálu F s, ktrý systémm zpracováván, viz příklad idalizované dolní propusti na obr. 3. Způsob, akým systém prfrnčně zsilu či zslabu určité frkvnční komponnty zpracovávané časové řady a akým způsobm tyto složky fázově zpožďu, lz istě považovat za důlžitou součást popisu systému. Frkvnční charaktristika tdy vlastně tvoří popis systému v frkvnční oblasti. Pro doplnění vhodné dodat, ž Fourirova řada diskrétní posloupnosti totéž co Fourirova transformac s diskrétním časm (DTFT Discrt Tim Fourir Transform) této posloupnosti, a tdy možné říci, ž frkvnční charaktristika systému odpovídá impulsní charaktristic tohoto systému transformované do frkvnční domény pomocí DTFT. 6

7 G() π 4π [-] f [-] F s F s F [Hz] Obr. 3 Frkvnční charaktristika systému modulová část. Jdná s zřmě o systém, ktrý přdstavu idální dolní propust. Systém propouští harmonické komponnty v dolní části frkvnčního spktra (zsílní ) a utlumu frkvnční komponnty v horní části frkvnčního spktra (zsílní ) viz také obr. [Linární filtrac princip].4. Frkvnční charaktristika symtrická okolo normalizované úhlové frkvnc π a priodická s priodou π. Obrázk zárovň ukazu vztah mzi normalizovanou úhlovou frkvncí [-], normalizovanou frkvncí f/πf/fs [-] a mzi frkvncí F [Hz]. Fourirova transformac s diskrétním časm DTFT by s však nměla zaměňovat nbo plést s diskrétní Fourirovou transformací (DFT Discrt Fourir Transform). Zatímco DTFT produku z diskrétních posloupností spoité priodické funkc frkvnc, viz (7), výsldkm DFT posloupnost končného počtu vzorků DTFT, viz dfinic N-bodové DFT (8). DTFT n { h( n) } H ( ) h( n), n (7) DFT N N { h( n) } H ( k ) h( n),, k,,,..., N. n πkn k k N (8) 7

8 Litratura [] Jan, J.: Číslicová filtrac, analýza a rstaurac signálů. VUTIUM, Brno (997) [] Drongln, W.: Signal Procssing for Nuroscintists: An Introduction to th Analysis of Physiological Signals. Elsvir, London (8) [3] Hays, M.H.: Statistical Digital Signal Procssing and Modling. John Wily & Sons, Nw York (996) [4] Holčík, J.: Signály, časové řady a linární systémy. Akadmické nakladatlství CERM, Brno () Řšné úlohy ÚLOHA Určt difrnční rovnici systému s přnosovou funkcí: H(z),9z / (z,9) Po dlouhém vydělní polynomu polynomm dodm k výrazu s zápornými mocninami z a invrzní Z transformací získám požadovanou difrnční rovnici. H Y y ( z),9z,9,8z z,9,79z ( z),9x ( z),8z X ( z),79z X ( z) i ( n),9x( n),8x( n ),79x( n )...,9 x( n i)... i...,9 i i z i Y ( z) X ( z) Jiný způsob řšní, ktrý nvyžadu obtížné dělní polynomu polynomm: H Y Y y ( z),9z Y ( z) z,9 X ( z) ( z)( z,9),9 X ( z) ( z)(,9z ),9X ( z) ( n),9 y( n ),9x( n) z z ÚLOHA Vypočtět a nakrslt frkvnční charaktristiku dnoduchého systému, ktrý počítá difrnc dvou posldních vzorků časové řady a má rovnici: y(n),5x(n),5x(n) Frkvnční charaktristiku možno vypočítat např. DTFT impulsní charaktristiky a využít Eulrových vztahů mzi komplxními xponnciálami a goniomtrickými funkcmi. Amplitudovou frkvnční charaktristiku ukazu obr. 6. 8

9 9 ( ) { } ( ) ( ) sin } {, n h DTFT G n h [rad] [rad] G() Arg (G()) [rad] Obr. 6 (Úloha ) Modulová (vlvo) a fázová (vpravo) frkvnční charaktristika systému, ktrý počítá difrnc z posldních dvou vzorků časové řady na vstupu. ÚLOHA 3 Vypočtět a nakrslt frkvnční charaktristiku dnoduchého systému, ktrý počítá průměr dvou posldních vzorků časové řady a má rovnici: y(n),5x(n),5x(n) Frkvnční charaktristiku možno vypočítat např. DTFT impulsní charaktristiky a využít Eulrových vztahů mzi komplxními xponnciálami a goniomtrickými funkcmi. Amplitudovou frkvnční charaktristiku ukazu obr. 7. ( ) { } ( ) ( ) cos } {, n h DTFT G n h

10 G() [rad] Arg (G()) [rad] [rad] Obr. 7 (Úloha 3) Modulová (vlvo) a fázová (vpravo) frkvnční charaktristika systému, ktrý počítá průměry z posldních dvou vzorků časové řady na vstupu. ÚLOHA 4 Vyzkoušt si dmonstrační aplikaci pro oprátor konvoluc Joy of convolution na této URL: ÚLOHA 5 Ralizut v MATLABu vlastní funkci pro výpočt konvoluc pomocí cyklu, násobní a sčítání. Porovnt výsldky z Vaší implmntac s výsldky z matlabovské funkc conv(). Otstut, zda oprátor konvoluc komutativní. Jdna z možností, ak ralizovat funkci konvoluc, uvdna v kódu níž. Komutativitu lz ověřit součtm absolutních hodnot rozdílů výstupů z konvoluc při různém pořadí vstupních argumntů tnto součt: sum(abs(conv(x(:),h(:))-conv(h(:),x(:)))) by měl být nulový.

11 Shrnutí V této výukové dnotc bylo ukázáno, ž diskrétní systém lz dnoznačně popsat nn difrnční rovnicí, al také ho impulsní charaktristikou h(n) a ho frkvnční charaktristikou G(). Po prostudování txtu a vyřšní všch úloh by měl studnt zvládnout vysvětlit význam a matmatickou podstatu oprátoru diskrétní konvoluc. Dál by měl být schopn popsat, aké vlastnosti LTI systému vyadřu impulsní charaktristika a aké vlastnosti vyadřu frkvnční charaktristika a končně také, ak s v výpočtu těchto charaktristik uplatňuí různé typy diskrétních Fourirových transformací a řad.