Předmět: Roční: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr Tomáš MŇÁK 17 větna 2012 Název zpracovaného celu: PLNIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE Kružnice je množina všech bodů X v rovině, teré mají od daného bodu, zvaného střed ružnice, stejnou vzdálenost r > 0, zvanou poloměr ružnice ymbolicý zápis: ( ; r) wwwgooglecz Otáza: Jaou vzájemnou polohu mohou zaujímat přímy a ružnice? s t X n T 1
Je dána ružnice ( ; r);, ; 1) Jestliže body oblouy: menší ružnicový oblou větší ružnicový oblou,, pa body, dělí ružnici na dva ružnicové V 360 o Úhel s vrcholem ve středu dané ružnice se nazývá středový úhel Úhel nazýváme středový úhel příslušný menšímu ružnicovému oblouu Úhel 360 nazýváme středový úhel příslušný většímu ružnicovému oblouu 2) Jestliže body,, pa body, dělí ružnici na dva stejné ružnicové oblouu dvě půlružnice 2
3) C 1 α 1 α 2 C 2 Úhel, jehož vrchol leží na dané ružnici a obě jeho ramena jsou sečnami této ružnice, nazýváme obvodový úhel Pro n = 1, 2, 3, nazýváme úhly menšímu ružnicovému oblouu C n α n obvodovými úhly, teré jsou příslušné 4) α 1 α2 C 1 C 2 Pro n = 1, 2, 3, nazýváme úhly C n α n obvodovými úhly, teré jsou příslušné většímu ružnicovému oblouu Závěr: Obvodové úhly α n a středový úhel jsou příslušné témuž ružnicovému oblouu 3
VELIKOT TŘEDOVÉHO OVODOVÉHO ÚHLU, KTERÉ JOU PŘÍLUŠNÉ TÉMUŽ KRUŽNICOVÉMU OLOUKU C α α C je rovnoramenný trojúhelní je vnější úhel C = α + α = 2α C α α α = 2α = 2α ------------- - = 2(α - α ) 4 = 2α
Závěry: 1) Veliost obvodového úhlu je rovna polovině veliosti příslušného úhlu středového (tj úhlu, terý přísluší témuž ružnicovému oblouu ) 2) Kružnicovému oblouu přísluší vždy jeden úhel středový a neonečně mnoho úhlů obvodových 3) Všechny obvodové úhly příslušné témuž ružnicovému oblouu jsou shodné Poznáma: C 2 Th C 1 C3 =180 o C 4 Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný půlružnici je pravý Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem ružnice jsou pravé Úlohy procvičování: 1) Jaých veliostí může nabývat středový a obvodový úhel? 2) Koli středových a oli obvodových úhlů přísluší témuž oblouu ružnice? 3) Jaou veliost má středový úhel, je-li veliost příslušného obvodového úhlu: a) 72 o 15 b) 62 o 18 4) Určete veliost obvodového úhlu, je-li veliost příslušného středového úhlu: a) 153 o 42 b) 91 o 54 5) Ja se změní veliost středového úhlu, jestliže se veliost příslušného obvodového úhlu: 5
a) zvětší o 30 o, b) zmenší o 15 o, c) zmenší třirát? 6) Ja se změní veliost obvodového úhlu, jestliže veliost příslušného středového úhlu se: a) zvětší o 60 o, b) zmenší o 50 o, c) zvětší dvarát? 7) Vypočti veliosti všech vnitřních úhlů čtyřúhelníu CD, jehož vrcholy na obvodu ciferníu znázorňují údaje 2, 5, 6, 10 8) Vypočtěte veliost vnitřních úhlů v trojúhelníu, terý dostanete, spojíte-li na ciferníu hodine body vyznačující 1, 5, 8 9) Určete veliost obvodového úhlu příslušného oblouu, jehož déla je: a) b) 3 dély ružnice, 5 5 dély ružnice 8 10) V pravidelném osmiúhelníu CDEFGH vypočtěte veliosti vnitřních úhlů G a CE 11) Do ružnice je vepsán čtyřúhelní CD ta, že jeho vrcholy dělí ružnici v poměru 1 : 2 : 3 : 4 Vypočtěte veliosti jeho vnitřních úhlů 12) je menší oblou ružnice, obvodový úhel němu příslušný má veliost 65 o V bodech, jsou sestrojeny tečny e ružnici, bod X je jejich průsečí Vypočtěte veliost úhlu X 13) V pravidelném osmiúhelníu CDEFGH vypočtěte veliosti vnitřních úhlů v trojúhelnících a) G b) CE c) EH 14) Doažte, že spojnice bodů, teré vyznačují na ciferníu hodine hodnoty 1, 6 a 5, 8 jsou sobě olmé Zdroje použité literatury a obrázů: Výuové materiály a úlohy a cvičení jsou autorsy vytvořeny pro učební materiál J Molnár: Matematia pro střední odborné šoly Planimetrie, Prometheus 2011 E Pomyalová: Matematia pro gymnázia Planimetrie, Prometheus 2007 wwwgooglecz 6