11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

Transkript

1 Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení Greenova věta 117 Úloh samostatnému řešení Nezávislost řivového integrálu na integrační cestě 117 Úloh samostatnému řešení Geometricé apliace řivového integrálu 118 Úloh samostatnému řešení 118 Výsled úloh samostatnému řešení

2 Sbíra úloh z matematia 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 11 Křivový integrál 111 Křivový integrál I druhu Úloh samostatnému řešení 1 Vpočítejte řivový integrál I druhu po dané řivce: a) ds : úseča AB A[ 1 ] B[ 5] ds : úseča AB A[ 1 ] B[ 5] ds : úseča AB A[ 11 ] B[ ] 1 + d) ds : úseča AB A[ 01 ] B[ ] ( ) ds : úseča AB A[ 01 ] B[ ] f) ( + ) ds : úseča AB A[ ] B[ ] g) sin( + ) ds :část přím = mezi bod A[ 00 ] B[ π π ] e + ds : úseča AB A[ 1 1 ] B[ 0] Výsled úloh samostatnému řešení Vpočítejte řivový integrál I druhu po dané řivce: (Parametricé rovnice ružnice: = r cos t = r sin t r > 0 ) a) ds : ružnice + = 9 ds : půlružnice + = od bodu A[ 0 ] do bodu B[ 0] ds : část ružnice + = 1 v I vadrantu + ds : půlružnice + = 1 0 d) ( ) ( ) f) + ds : ružnice + = cos arcsin ds : ružnice + = 1 π π g) ds :část ružnice = r cos t = r sin t t ds r : ružnice + = Výsled úloh samostatnému řešení

3 Sbíra úloh z matematia Vpočítejte řivový integrál I druhu po dané řivce: a) ds : = 1+ ln 1 ds : = 1+ ln 1 ds : = 11 d) ds : = mezi bod A[ 9 ] B[ 9] π sin ds : = sin 0 Výsled úloh samostatnému řešení 11 Křivový integrál 11 Křivový integrál II druhu Úloh samostatnému řešení Vpočítejte řivový integrál II druhu po řivce: d + d : orientovaná úseča AB A 1 B 5 a) ( ) [ ] [ ] d + d : ružnice + = r d : první oblou cloid = t sin t = 1 cost d) ( ) ( ) d + d : = cost + tsin t = sint tcos t t 0 π d d = t = t : část asteroid cos sin v I vadrantu f) sin( + ) d + cos d : trojúhelní ABC A[ 00 ] B[ π 0] C [ 0 π ] Výsled úloh samostatnému řešení 5 Vpočítejte řivový integrál II druhu po dané řivce: a) ( + ) d + d : = mezi průsečí s osou d + d : = ln 1 1 d + d : = sin mezi průsečí s přímou = v I a II vadrantu d) d + d : = + mezi průsečí s osou

4 Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál d + d : = ln 1 f) 1 d + d : = sin mezi průsečí s přímou = v I a II vadrantu Výsled úloh samostatnému řešení 11 Greenova věta Úloh samostatnému řešení 6 Užitím Greenov vět vpočítejte řivový integrál II druhu po řivce: d + d : trojúhelní ABC A 00 B 1 C 5 a) ( ) [ ] [ ] [ ] d d : ružnice + = r d : + = d) ( ) d + d : stran obdélnía = 0 = = 0 = d + d :elipsa 1 a + b = f) ( e + + ) d + e + d : parabola = a osa g) ( ) ( ) i) sin d + ( sin + ) d : ružnice + = 16 d d : trojúhelní ohraničný přímami = 0 = 0 + = 0 d d : + = Výsled úloh samostatnému řešení 11 Nezávislost řivového integrálu na integrační cestě Úloh samostatnému řešení 7 K totálnímu diferenciálu určete menovou funci: 1 a) df = ( + ) d + + d + + df = e sin d + e sin d ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( cos 1 sin ) (( 1 ) cos( ) sin ( )) df = + d + + d

5 Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál df d d df = sin d + cos d 1 1 df = 9 sin + cos tg + 1 d + 6 cos 6 d cos df = d + d df = cos ln + + d + cos + d + + d) = ( ln + 7) f) ( ) g) ( ) Výsled úloh samostatnému řešení 8 Vpočítejte řivový integrál po řivce s počátečním bodem A a oncovým bodem B : a) e + ( + ) d + e + ( 1 ) d A[ 0 0 ] B[ 1 1] ( ) d + ( ) d A[ 11 ] B[ ] π π cos + sin d + cos + sin d A 0 0 B e d + + e d A 01 B π π π π + d d A B cos sin ( ) ( ) [ ] d) [ ] [ ] e e + d e e d A 11 B sin sin 1 cos cos 1 π π d d A π B π f) + d + + d A [ 00 ] B[ 11] g) [ ] [ ] Výsled úloh samostatnému řešení 115 Geometricé apliace řivového integrálu Úloh samostatnému řešení 9 Vpočítejte obsah válcové ploch: a) z = = z = 0 = 1 z z + = 16 = 0 =

6 Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál z z + = = = 8 d) + = r z = r = z = f) = z 1 5 = = = Výsled úloh samostatnému řešení 10 Vpočítejte délu řiv: π π a) = ln sin + = r a cos t a sin t t 0 π = = e + e d) = 11 = a t sin t = a 1 cos t t 0 π ( ) ( ) Výsled úloh samostatnému řešení 11 Vpočítejte obsah obrazců ohraničených danými řivami: a) + = 1 a b + = r = = 0 = 1 = d) = a cos t = a sin t t 0 π = a t sin t = a 1 cos t t 0 π = 0 ( ) ( ) Výsled úloh samostatnému řešení

7 Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál Výsled úloh samostatnému řešení 1 a) 5 17 ; 17 ; 10 ; d) ln 5 ; 8 ; f) ; g) π ; e 1 a) a) 0 ; 8 ; 1 ; d) ; 16π ; f) π ; g) r ln ; 0 ( 5 1)( + 1) 1 + ; ( 5 5 ) ; 0 ; d) 0 ; ( 1 ) 5 ln 1 a) ; 0 ; π ; d) π ; 1; f) π 5 a) 5 6 ; 9 ln ; π π + ; d) ; g) 0 ; 7 1ln ; f) 6 a) ; 8 π r ; π ; d) 7 ; 0 ; f) 15 ; F = + + ln + c ; ; i) π 7 a) ( ) ( ) + F = e + cos + c ; ( ) d) F ( ) = + ln c ; ( ) F = sin + cos + c ; F = arcsin sin + cos + c ; f) F ( ) = sin + cos tg + + c ; g) ( ) ( ) sin 6 ln ( ) F c F = arctg + c ; = a) ; 56 ; π ; d) ( ) 7 π ; f) π ; g) e e e + ln + 1; π π 96π ; π ; d) π r ; 10 ; f) 1 ( ) 1 e 1 + ln ; + 9 a) 1 ( ) 1 ; 10 a) ln ; π r ; 6a ; d) e 1 ; 8a 11 a) π ab ; π r ; ln ; d) e 8 a π ; a π