11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Rudolf Blažek 2011 BI-PST, LS 2010/11 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@
2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku. 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku. Odpovězte následující dotazy 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku. Odpovězte následující dotazy Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku. Odpovězte následující dotazy Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku. 2
Rybáři v Jižních Čechách potřebují před vánoci odhadnout počet kaprů v relativně velkém rybníku. Postupují takto: Chytí a označí 100 kaprů a vypustí je zpět do rybníka. Za měsíc opět chytí 100 kaprů a zjistí, že 10 jich má značku. Odpovězte následující dotazy Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, že 10 ze 100 chycených kaprů má značku. Najděte hodnotu N, která maximizuje předchozí výraz. Toto je odhad metodou maximální věrohodnosti. Rada: Uvažujte poměr výrazů pro N a N + 1 2
Cvičení 24 CHAPTER 5. IMPORTANT DI (b) P (T >3) = ( 5 6 )3 = 125 216. (c) P (T >6 T>3) = ( 5 6 )3 = 125 216. 9. (a) 1000 (b) 100 N 100 10 90 N 100 (c) N = 999 or N = 1000 13..7408,.2222,.0370 3
Odpovědi Cvičení 24 CHAPTER 5. IMPORTANT DI (b) P (T >3) = ( 5 6 )3 = 125 216. (c) P (T >6 T>3) = ( 5 6 )3 = 125 216. 9. (a) 1000 (b) 100 N 100 10 90 N 100 (c) N = 999 or N = 1000 13..7408,.2222,.0370 3
Odpovědi Cvičení 24 CHAPTER 5. IMPORTANT DI (b) P (T >3) = ( 5 6 )3 = 125 216. Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) N = 1000 (c) P (T >6 T>3) = ( 5 6 )3 = 125 216. 9. (a) 1000 (b) 100 N 100 10 90 N 100 (c) N = 999 or N = 1000 13..7408,.2222,.0370 3
Odpovědi Cvičení 24 CHAPTER 5. IMPORTANT DI (b) P (T >3) = ( 5 6 )3 = 125 216. Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) N = 1000 (c) P (T >6 T>3) = ( 5 6 )3 = 125 216. Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, 9. (a) že 10 1000 ze 100 chycených kaprů má značku. (b) 100 10 N 100 90 N 100 (c) N = 999 or N = 1000 13..7408,.2222,.0370 3
Odpovědi Cvičení 24 CHAPTER 5. IMPORTANT DI (b) P (T >3) = ( 5 6 )3 = 125 216. Najděte hrubý odhad počtu kaprů v rybníku (bez výpočtů) N = 1000 (c) P (T >6 T>3) = ( 5 6 )3 = 125 216. Nechť N je skutečný počet kaprů v rybníku. Najděte výraz pro pravděpodobnost, 9. (a) že 10 1000 ze 100 chycených kaprů má značku. (b) 100 10 N 100 90 N 100 Najděte hodnotu N, která maximizuje předchozí výraz. Toto je (c) N = 999 or N = 1000 odhad metodou maximální věrohodnosti. N = 999 nebo N = 1000 13..7408,.2222,.0370 3
Znáhodného výběru 10 párů (x i, y i ) jsme spočetli P 10 i=1 x i = 10 P 10 i=1 y i =4 P 10 i=1 x 2 i = 15 P 10 i=1 y 2 i =7 P 10 i=1 x i y i =6 1. Spočtěte výběrové průměry x a y a rozptyly s 2 x a s2 y. 2. Najděte výběrovou covarianci S X,Y 3. Pro Z = X + Y 2 najděte bodový odhad střední hodnoty EZ pomocí momentové metody. Je tento odhad nevychýlený? 4
5
Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé. 5
Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé. Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou. 5
Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé. Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? 5
Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé. Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? Z logu jsme zjistili, že délky posledních 10 transakcí byly + 5.4, 15.6, 15.4, 9.3, 0.5, 14.4, 2.6, 0.7, 40.4, 21.9 ms 5
Uvažujme model, kde délka transakce databázového serveru je náhodná veličina s exponeciálním rozdělením s parametrem θ. Doby transakcí jsou nezávislé. Odvoďte odhad θ metodou maximální věrohodnosti a momentovou metodou. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? Z logu jsme zjistili, že délky posledních 10 transakcí byly + 5.4, 15.6, 15.4, 9.3, 0.5, 14.4, 2.6, 0.7, 40.4, 21.9 ms Odhadněte θ pomocí obou odhadů. 5
6
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ 2. 6
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ 2. Uvažujme odhady µ a σ 2 výběrovým průměrem a výběrovým rozptylem s 2. 6
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají konečnou střední hodnotu µ a konečný rozptyl σ 2. Uvažujme odhady µ a σ 2 výběrovým průměrem a výběrovým rozptylem s 2. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? 6
7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). 7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti. 7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti. Je tento odhad nevychýlený a konzistentní? 7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti. Je tento odhad nevychýlený a konzistentní? Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ 2 ) metodou maximální věrohodnosti. 7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti. Je tento odhad nevychýlený a konzistentní? Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ 2 ) metodou maximální věrohodnosti. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? 7
Uvažujme i.i.d. náhodné veličiny X1, X2, X3,..., Xn, které mají normální rozdělení N(µ, σ 2 ). Předpokládejme, že σ je známé. Odvoďte odhad µ metodou maximální věrohodnosti. Je tento odhad nevychýlený a konzistentní? Předpokládejme, že σ je neznámé. Odvoďte odhad (µ, σ 2 ) metodou maximální věrohodnosti. Jsou tyto odhady nevychýlené a konzistentní? Porovnejte získaný odhad σ 2 s výběrovým rozptylem s 2. 7