MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný právě jeden krajní bod a neleží v téže přímce. Body A 0, A, A,..., A n-, A n se nazývají vrcholy lomené čáry, úsečky A 0 A, A A,..., A n- A n strany lomené čáry. Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n ), nazývá se lomená čára uzavřená. Uzavřená lomená čára, která sama sebe neprotíná, spolu s částí roviny ohraničenou touto lomenou čárou se nazývá mnohoúhelník. Lomená čára, která ohraničuje mnohoúhelník, se nazývá obvod (hranice) mnohoúhelníku. Její vrcholy a strany jsou vrcholy a strany mnohoúhelníku. Počet stran mnohoúhelníku je roven počtu vrcholů. Body mnohoúhelníku, které nepatří jeho hranici, se nazývají vnitřní body mnohoúhelníku. Místo pojmu mnohoúhelník se používá také pojem n-úhelník, kde n je počet vrcholů mnohoúhelníku (pro n = 3 trojúhelník, pro n = 4 čtyřúhelník atd.). Každý vrchol n-úhelníku má dva sousední vrcholy. Úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech se nazývá úhlopříčka. Každé dva sousední vrcholy určují stranu mnohoúhelníku. Strany, které mají společný vrchol, nazýváme sousedními stranami. Každé dvě sousední strany určují vnitřní úhel mnohoúhelníku Vnější úhly mnohoúhelníku jsou úhly vedlejší k úhlům vnitřním. Počet úhlopříček v n-úhelníku je n (n 3). Na obr. ( ) není konvexní čtyřúhelník. Říkáme mu také nekonvexní čtyřúhelník. Na obr. ( ) je konvexní čtyřúhelník, Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je konvexní. Součet velikostí všech vnitřních úhlů kon- n - 80 vexního n-úhelníku se rovná Mnohoúhelníky... Strana
Pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný n-úhelník je konvexní mnohoúhelník, jehož všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné. V pravidelném n-úhelníku, kde je n 3 liché, leží proti každému vrcholu právě jedna strana. Mluvíme o protějším vrcholu a naopak o protější straně. V pravidelném n-úhelníku, kde je n 3 sudé, leží proti každému vrcholu další vrchol a proti každé straně leží další strana. Mluvíme o dvojicích protějších vrcholů a o dvojicích protějších stran. Protější strany pravidelného n-úhelníku jsou rovnoběžné. Pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Bod S je pro obě kružnice středem a je také středem pravidelného mnohoúhelníku. pro liché n je střed S průsečíkem kolmic spuštěných z vrcholů na protější strany pro sudé n je střed S průsečíkem spojnic protějších vrcholů Pravidelný mnohoúhelník AA3... An An A, SA A3... SA n A A vznikne sjednocením všech trojúhelníků SA. Tyto trojúhelníky jsou všechny rovnoramenné a nemají žádný společný vnitřní bod. Úhly mezi sousedními úsečkami spojujícími dva sousední vrcholy se středem mnohoúhelníku se nazývají středové úhly pravidelného mnohoúhelníku. KONSTRUKCE PRAVIDELNÉHO ŠESTIÚHELNÍKU (ABCDEF) narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici vyznačíme průměr (AD) do kružítka vezmeme velikost poloměru (délka a) a postupně z bodů A a D narýsujeme oblouk kružnice, kterým dvakrát přetneme kružnici opsanou (body B, C, E a F) narýsujeme šestiúhelník KONSTRUKCE PRAVIDELNÉHO OSMIÚHELNÍKU (KLMNOPQR) narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici vyznačíme dva na sebe kolmé průměry (KO a MQ) sestrojíme osu úhlu KSM a její průsečík s kružnicí opsanou popíšeme L vyznačíme bod P, který leží na přímce LS a na kružnici vyznačíme úsečku NR, která tvoří průměr kolmý na průměr LP. Body N a R jsou další vrcholy osmiúhelníku narýsujeme osmiúhelník Mnohoúhelníky... Strana
DÉLKA STRANY PRAVIDELNÉHO - PĚTIÚHELNÍKU, DESETIÚHELNÍKU A SEDMIÚ- HELNÍKU narýsujeme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici vyznačíme dva na sebe kolmé průměry (AB a CD) střed úsečky AS označíme O. kružnice se středem O a poloměrem OD protne úsečku SB v bodě E. délka úsečky DE je rovna velikosti strany pravidelného pětiúhelníku vepsaného do této kružnice délka úsečky SE je rovna velikosti strany pravidelného desetiúhelníku vepsaného do této kružnice průsečík kružnice a osy úsečky AS označme X délka úsečky OX je přibližně rovna velikosti strany pravidelného sedmiúhelníku vepsaného do této kružnice PRAVIDELNÝ N-ÚHELNÍK o na je roven součtu obsahů n shodných rovnoramenných trojúhelníků, na které lze tento n-úhelník rozdělit. n n 3 Počet úhlopříček Součet velikostí vnitřních úhlů n 80 Mnohoúhelníky... Strana 3
Čtyřúhelníky N-úhelník, kde n = 4, se nazývá čtyřúhelník. Na obr. ( ) je konvexní čtyřúhelník ABCD. Na obr. ( ) je nekonvexní čtyřúhelník ABCD. Čtyřúhelník je mnohoúhelník, který vznikne jako průnik čtyř polorovin, tj. čtyřúhelník ABCD ABC BCD CDA CAB Strany, úhly a úhlopříčky v konvexním čtyřúhelníku ABCD zpravidla označujeme jako na obr. ( ). Konvexní čtyřúhelníky (dále jen čtyřúhelníky) můžeme rozdělit do tří skupin: a) různoběžník (někdy také obecný čtyřúhelník) je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné. b) lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající strany nejsou rovnoběžné; rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. O lichoběžníku víme: jeho základny nejsou shodné, ramena mohou být shodná; lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. jedno rameno může být kolmé k základnám, nazýváme jej pravoúhlý lichoběžník součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníku je úhel přímý střední příčka lichoběžníku je úsečka spojující středy jeho ramen. Střední příčka lichoběžníku je rovnoběžná s oběma základnami. Její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. c) rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné; Podle velikostí úhlů můžeme rovnoběžníky rozdělit na pravoúhlé (obdélník a jeho zvláštní případ čtverec), kosoúhlé (kosodélník a jeho zvláštní případ kosočtverec). Podle délek stran je dělíme na rovnostranné (čtverec, kosočtverec) různostranné (obdélník, kosodélník). Protější strany rovnoběžníku jsou shodné. Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí; jejich společný bod je středem rovnoběžníku. Dále platí: má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, jsou shodné všechny jeho úhly a jsou pravé má-li rovnoběžník shodné dvě sousední strany, jsou všechny jeho strany shodné úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou shodné úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou k sobě kolmé Mnohoúhelníky... Strana 4
Ne každému čtyřúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici, se nazývá tětivový jeho strany jsou tětivami opsané kružnice. Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový jeho strany jsou tečnami vepsané kružnice. Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny. Čtyřúhelník, kterému lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový. Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou k sobě kolmé a jedna z nich (hlavní) prochází středem druhé (vedlejší). Je to tečnový čtyřúhelník. Deltoid má dvě dvojice sousedních stejně dlouhých stran. OBVOD A OBSAH ČTYŘÚHELNÍKŮ A DALŠÍ DŮLEŽITÉ VZTAHY OBECNÝ ČTYŘÚHELNÍK u u sin, kde je odchylka úhlopříček u, u. S Součet velikostí vnitřních úhlů Součet velikostí vnějších úhlů OBDÉLNÍK o a S ab Délka úhlopříčky u a b u Poloměr kružnice opsané r ČTVEREC o 4a S a, u S Délka úhlopříčky u a Poloměr kružnice vepsané a ρ u a Poloměr kružnice opsané r α β γ δ 360 α β γ δ 360 Mnohoúhelníky... Strana 5
KOSOČTVEREC o 4a u u S av S Poloměr kružnice vepsané v ρ KOSODÉLNÍK o a LICHOBĚŽNÍK S a va v S a b sin a c v S S sv Délka střední příčky b a c s TĚTIVOVÝ ČTYŘÚHELNÍK S s a s s c s d, kde s a b c d Velikosti vnitřních úhlů TEČNOVÝ ČTYŘÚHELNÍK α γ β δ S ρs, kde s a b c d Délky stran a c b d DELTOID o a u u S Mnohoúhelníky... Strana 6