PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
Název školy Název šablony Předmět Tematický celek Téma Klíčová slova Druh učebního materiálu Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Matematika Planimetrie Trojúhelník Úhly trojúhelníku, trojúhelníková nerovnost, výška, střední příčka, těžnice, kružnice opsaná, kružnice vepsaná Prezentace (Microsoft PowerPoint) Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 2. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač mechatronik Datum vytvoření 3. 9. 2013
A, B, C vrcholy trojúhelníku a, b, c strany trojúhelníku
α, β, γ vnitřní úhly ABC α, β, γ - vnější úhly ABC vnější úhly jsou vedlejší úhly k úhlům vnitřním α + α = 180 β + β = 180 γ + γ = 180
součet vnitřních úhlů je úhel přímý α + β + γ = 180 vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech α = β + γ β = α + γ γ = α + β
proti delší straně leží větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží delší strana trojúhelníku a > b α > β b > c β > γ c > a γ > α....
Podle velikosti vnitřních úhlů a) ostroúhlý trojúhelník b) pravoúhlý trojúhelník c) tupoúhlý trojúhelník Podle délek stran a) různostranný trojúhelník b) rovnoramenný trojúhelník c) rovnostranný trojúhelník
součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí a < b + c, b < a + c, c < a + b všechny tři nerovnosti jsou splněny, právě když platí b c < a < b + c
úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O, v průsečíku výšek, který se nazývá ortocentrum
ostroúhlý trojúhelník
Průsečík výšek (ortocentrum) O leží: a) uvnitř trojúhelníku trojúhelník ostroúhlý b) vně trojúhelníku trojúhelník tupoúhlý c) ve vrcholu trojúhelníku, u kterého je vnitřní úhel pravý trojúhelník pravoúhlý
tupoúhlý trojúhelník
pravoúhlý trojúhelník
úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje délka je rovna polovině délky strany, se kterou je rovnoběžná
úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T = těžiště vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice
Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici
Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici
kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran trojúhelníku poloměr značíme r, je to vzdálenost středu kružnice ke kterémukoliv vrcholu trojúhelníku
Poloměr kružnice opsané r: r = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ r = ab v c = bc v a = ca v b r = abc 4S
Střed kružnice trojúhelníku opsané a) je vnitřním bodem ostroúhlého trojúhelníku b) je vnějším bodem tupoúhlého trojúhelníku c) splývá se středem přepony v pravoúhlém trojúhelníku (poloměr je roven polovině délky přepony pravoúhlého trojúhelníku)
ostroúhlý trojúhelník
tupoúhlý trojúhelník
pravoúhlý trojúhelník
kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, je vždy vnitřním bodem trojúhelníku poloměr značíme ρ
Poloměr kružnice vepsané ρ: ρ = S s ρ = s a tg α 2 = s b tg β 2 = = s c tg γ 2
obvod o o = a + b + c obsah S S = 1 2 av a = 1 2 bv b = 1 2 cv c S = 1 2 ab sin γ = 1 2 bc sin α = = 1 2 ca sin β
Heronův vzorec S = s s a s b (s c), kde s je polovina obvodu s = 1 2 (a + b + c)
Calda, Emil; Petránek, Oldřich; Řepová, Jana. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1. část. Dotisk 6. vydání. Praha: SPN, 2000, ISBN 80-7196- 041-1. Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN 978-80-7196-264-9. Matematický software GeoGebra, 4.2.310.