MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice a nerovnice.... Soustavy rovnic a nerovnic...6. Geometrická zobrazení...8 5. Použití metody substituce...0 6. Absolutní hodnota... 7. Kvadratická rovnice a funkce... 8. Matematické důkazy...5 9. Konstrukční úlohy...6 0. Goniometrické vztahy, trigonometrie...7. Inverzní a složená funkce...8. Vzájemné polohy útvarů...9. Vzdálenosti.... Odchylky... 5. Obvody, obsahy, objemy a povrchy... 6. Kružnice a elipsa... 7. Hyperbola...5 8. Parabola...6 9. Posloupnost, aritmetická posloupnost...7 0. Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada...8. Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla...0. Variace, kombinace a permutace s opakováním, binomická věta.... Pravděpodobnost, statistika.... Funkce a její ita, derivace funkce... 5. Průběh funkce...6 6. Primitivní funkce, výpočty integrálů...7 7. Určitý integrál a jeho použití...8
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Úpravy výrazů v matematice. Jaké úpravy výrazů se v matematice nejčastěji používají?. Upravte: a) 5 : 5 b a a b ab a b b a ab b a : ab c b a bc c b a. Rozhodněte v jaké části množiny R platí rovnosti: ( ) = = = =,,,. Je dán zlomek: a) Pro která R má zlomek smysl? Pro která R je zlomek roven nule? Pro která R nabývá kladných hodnot? 5. Upravte: ( ) 6. Dokažte, že pro všechna R y R,, platí: y y 7. Vysvětlete pojmy - usměrňování zlomků, částečné odmocňování 8. Upravte: a) ( ) 6 5 7 6. : a a a a a a ( ). a a a 9. Vypočítejte: a) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 8 : 5 8 0
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 ( sin cos ) 0. Upravte: a) sin cotg tg cos sin cos sin. Řešte graficky: a) = y y y > 9 y < 5 log ( ) y 0 y 0 y 5 > 0. Vypočítejte (v algebraickém tvaru): 5 6i i i i i i a) ( ) ( )( ) ( n )! ( n )! n!. Upravte: a) n! ( n )! ( n )!. Vypočítejte: a) ( n n n) n 0 i i i i i ( ) ( ) n! n n! ( )
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Rovnice a nerovnice. Řešte v R : a) = = < 5 e) 9 5 f) <. Řešte v R : a) 7 = = 5 e) < 5. Řešte v R : a) 0 0, 0,0 0 ( ). Určete reálnou hodnotu parametru m tak, aby rovnice s neznámou R měla: a) kladný kořen 6 m m = 5 reálné kořeny A) m m = 0 B) m m = 0 C) m 9 = 0 reálné různé kořeny A) m = 0 B) m m = 0 jeden kořen roven nule m m = 0 5. Řešte v R rovnici s reálným parametrem p: = ( ) p p 6. Řešte v R : a) = = 8 = 7. Určete definiční obory funkcí: a) y = log( 0) 5 y = log ( ) : ( 5) 0
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 8. Řešte v R : a) 5 5 8 = 5 = 0 7 = 0 = 9. Řešte v R : a) log( ) log7 log = log( ) log6 8 log log log log... = 5log log 5 = log log log log log = e) log log = f) log = 0 g) log < 0. Řešte v R : a) sin = 0 sin = f) sin cos = 0 sin = tg = e) cotg =. Řešte graficky nerovnice: a) sin cos < tg <. Řešte v R : a) sin( π ) = 0, 5 cotg ( π 6) = sin = sin sin = cos. Řešte v C : a) 5 = 0 6i 8 = 0, Řešte v C : ( i) i = 0 a) 5 = 8 = 8 = i Jak se tyto rovnice nazývají?
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Soustavy rovnic a nerovnic. Řešte početně i graficky soustavu lineárních rovnic v R. y = 5 y = 5 y = 5 a) y = y = 0 y = 5. V R řešte soustavy rovnic použijte metodu GEM (Gaussova einační metoda) a JEM (Jordanova einační metoda): y z = 7 y z = a) y 5z = 5 y z = 5y z = 9 Jaký je geometrický význam této úlohy?. Řešte v R soustavu rovnic s parametrem b :. Pro které reálné hodnoty parametru b má v řešení [ y] ( b ) y ( b ) y = = R soustava rovnic b y =,, kde > 0 y < 0? by = 5. Určete všechny kvadratické funkce, jejichž grafy procházejí body: [, 57 ], [,9 ], [ 5, ] 6. Řešte početně i graficky: y = 9 y 8 7. Řešte graficky i výpočtem soustavy rovnic: a) = y y 5 = 0 y = y = 8 8. Řešte graficky soustavy nerovnic: y y < 5 a) y 6 y 0 y 5 y < 0 y 0 y y > 9 y 5 9. Řešte v R soustavu nerovnic: a) 6 9 < 0 0. V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050cm. Jak dlouhé jsou strany trojúhelníku?. Řešte v log log y = 5 a) log log y = R soustavy rovnic: log log y = log log y. = 5 y y = 5 = 5. Řešte v 0,π soustavu nerovnic: a) cotg < / sin / tg cos < /
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. V π π, sin cos y sin cos y řešte soustavu rovnic: 6 = =. Rozdíl dvou přirozených čísel je 8, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 6. Určete tato čísla.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Geometrická zobrazení. Vysvětlete pojmy: a) geometrické zobrazení shodné zobrazení podobné zobrazení samodružný bod, samodružný objekt. Jaká znáte shodná zobrazení v rovině? Každé z nich charakterizujte - čím je určeno, jakým způsobem zobrazíme bod, jaké útvary jsou samodružné.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm, T je jeho těžiště. Sestrojte jeho obraz v zobrazení 0 0 T R B,0 S BC οt AC S TA ο R B,60 S ο ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ). Určete všechny osy a středy souměrnosti útvarů: čtverec, obdélník, kosočtverec, rovnoběžník, trojúhelník - rovnostranný, rovnoramenný, obecný, kruh. 5. Je dán ostrý úhel AVB, bod S leží mezi rameny VA, VB. Sestrojte úsečku XY se středem S, bod X VA, bod Y VB. 6. Je dán bod S, kružnice k, přímka p. Sestrojte čtverec ABCD se středem S, vrchol A k, vrchol C p. 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t a = 5 cm, b = 6cm, c = 5, 5cm. 8. Jsou dány kružnice k l, k l = { } ABCD tak, že vrchol,, přímka p ležící mezi nimi, úsečka KL. Sestrojte kosočtverec A k, vrchol C l, úhlopříčka BD p a platí: BD = KL. 9. Je dána přímka p, body A, B ležící ve stejné polorovině určené přímkou p. Sestrojte trojúhelník ABC, bod C p, tak, aby měl minimální obvod. 0. Jsou dány soustředné kružnice k, l, bod A k. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, vrchol B k, vrchol C l.. Jsou dány rovnoběžné přímky b, d, bod A ležící mezi nimi. Sestrojte čtverec ABCD, vrchol B b, vrchol D d.. Jsou dány různoběžné přímky a, b, úsečka KL. Sestrojte úsečku AB, bod A a, bod B b, AB KL, AB = KL.. Charakterizujte stejnolehlost - čím je určena, jakým způsobem zobrazíme bod, úsečku.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm. Sestrojte jeho obraz - trojúhelník KLM v zobrazení H B, ο H ( A, ). Jaký je vztah mezi trojúhelníky ABC, KLM?
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 5. Je dána kružnice k, její vnější bod Q. Bodem Q veďte sečnu s ke kružnici k tak, aby platilo: QB = QA, kde s k = { A, B} A. 6. Je dán čtverec ABCD, jeho vnitřní bod K. Sestrojte úsečku XY, body X, Y leží na obvodu čtverce ABCD a platí: KX = KY. 7. Jsou dány různoběžné přímky a, b, bod M a M b. Sestrojte kružnici k, bod M k, k se dotýká přímek a, b. 8. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC, BC. Vepište do něj čtverec KLMN, strana KL AB, vrchol M BC, vrchol N AC.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 5. Použití metody substituce. Řešte v R rovnice: a) 0 9 = 0 ( ) = 7( ). Řešte v R rovnici: 8 5 8 6 6 6 6 = 8 6 6. Řešte v R zavedením nových neznámých: = = = 0 y z y z. Řešte v R : a) 9. 8 = 0 6 6 = 7 5. 6 6. 6 = 8 5. Řešte v R : a) log = log log = 0 log 5 = log log log log 0 = 6. Řešte v y y R soustavu rovnic: = 5.9 = 09 7. Řešte v R : a) sin π = tg π = sin cos sin = 0 tg cotg = 0 8. Řešte v N : n n n = 0 k k a) (!) 7n! 6 = 0 d 9. Vypočítejte: a) 0( ) sin cos d ln 5 e d d 5 e) sin cos d f) cos d
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 6. Absolutní hodnota. Jak je definována absolutní hodnota reálného čísla a? Jaký je její geometrický význam?. Řešte zpaměti, R : a) = < e) <. Dokažte vztahy pro a R, b R : a) a. b = a. b a = b Jaký je vztah mezi výrazy: a b??? a b. Sestrojte grafy funkcí: a) y = y = a b y = y = e) 6 9 y = f) y = g) 9 y =. h) 9 y = i) y = sin j) y = log k) y = log 5. Řešte v R : a) 6 = 0 = = e) 6 5 < 6 f) < g) 6. Řešte graficky: = y y 7. Jak je definována absolutní hodnota kompleního čísla? Jaký je její geometrický význam? 8. Vypočtěte absolutní hodnotu kompleního čísla: i i z = i i
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 9. Řešte v C algebraicky: z z = i 0. Řešte v C graficky: a) z = z i < z i < z i < z i > z
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 7. Kvadratická rovnice a funkce. Jaký je obecný zápis kvadratické rovnice? Vysvětlete pojmy: ryze kvadratická rovnice kvadratická rovnice bez absolutního členu normovaná kvadratická rovnice. Řešte v množině R, v množině C : a) 7 6 = 0 = 0 = 0 7 = 0 e) 7 = 0 f) 5 = 0. Řešte v množině C : a) 6i 8 = 0 ( i) i = 0 ( i) 7i = 0. Ze stanice se má vypravit vlaků, z nichž každý má 5 vagónů. Aby se ušetřilo několik lokomotiv, zmenšili počet vlaků tím, že ke každému vlaku přidali tolikrát po 5 vagónech, kolik lokomotiv ušetřili. Tak byly opět vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomotiv se ušetřilo, kolik vagónů měl každý vlak? 5. Pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech metrů a metrů je rozdělen dvěma navzájem kolmými stejně širokými cestami rovnoběžnými se stranami pozemku. Zbývající část pozemku je zahrada, jejíž obsah se rovná 8 7 celého pozemku. Jak široké jsou cesty? 6. Uveďte Vietovy vzorce - vztahy mezi kořeny a koeficienty (normované) kvadratické rovnice. 7. Vysvětlete rozklad kvadratického trojčlenu b c ( a 0) a na součin kořenových činitelů. 8. Určete všechny kvadratické rovnice, a) jejichž kořeny jsou čísla a -5 jejichž dvojnásobným kořenem je číslo /5 9. Zapište všechny kvadratické rovnice, které mají kořeny a) čtyřikrát větší o čtyři větší než jsou kořeny rovnice 9 5 = 0 (pomocí Vietových vzorců bez řešení původní rovnice). 0. Určete, pro která reálná čísla p platí, že součet druhých mocnin kořenů rovnice p = 0 je roven 96.. Řešte v R rovnice: a) = 5 = = 8 =. Sestrojte grafy funkcí v závislosti na parametru a : a) y = a y a = ( ) y = a
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Sestrojte grafy funkcí a určete jejich vlastnosti: ( ) ( ) y D f, H f, P, P, monotónnost, omezenost, sudost, lichost. a) y = y = y =. Určete D(f): a) y = y = 5. Na oplocení pozemku obdélníkového tvaru máme k dispozici m 00 pletiva. Určete jeho rozměry tak, aby výměra byla co největší.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 8. Matematické důkazy. Co je to výrok?. Vysvětlete pojem tautologie výrokové logiky. Dokažte, že jde o tautologie: a, [ A B] [( A) ( B) ] b, [ A B] [( B) ( A) ] Vysvětlete termíny: obrácení implikace, obměna implikace.. Formulujte negace výroků: Přímka prochází nejvýše pěti body. Rovnice má alespoň dvě řešení. Každé přirozené číslo je kladné. Posloupnost a je rostoucí pro n n N platí: a n < a n. Jaké znáte typy důkazů v matematice? Stručně charakterizujte. 5. Vyjmenujte znaky dělitelnosti dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti, devíti, deseti. Dokažte: Pro n N n 6 n n 5 n 5 n platí: a) ( ) 6 ( n n) 6. Vysvětlete rozdíl mezi racionálním a iracionálním číslem. Dokažte sporem: není racionální číslo. 7. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: a)... Κ n = n ( n ) n ( n )( n ) n Κ n 8. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: 6 n n 9. Dokažte sporem: Každým bodem roviny lze vést k dané přímce nejvýše jednu kolmici. 0. Dokažte geometricky vztah: ( ) a b = a ab b. Dokažte geometricky: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 80 stupňů.. Dokažte: Lineární funkce y = a b je pro a > 0 rostoucí, pro a < 0 klesající.. Dokažte, že pro každá dvě čísla a R, b R, a > 0, b > 0 platí vztahy: = 6 a b a) ab a b ab y =, = R : y.. Dokažte podle definice derivace: 0 ( 0 ) 0
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 9. Konstrukční úlohy. Sestrojte množinu všech bodů v rovině, z nichž je vidět úsečku AB, AB = 5cm, pod úhlem: a) 0 90 0 0. Je dána kružnice k( S cm) 0 0 kružnice k vytíná tětivy o délce cm.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:,, bod A, AS = 7cm. Bodem A veďte všechny přímky, na nichž a) c, v, t b b b, b, c, ta c, a, va, α d, c, v, v b a e, β,t, t b a. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: v, e 5. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: a,α, e 6. Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno: b, c, α, f, l O, r, 7. Jsou dány soustředné kružnice ( ) ( ) k O, r r > r, přímka p, která je sečnou kružnic k, l. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky p, kružnice k k uvnitř, kružnice l vně. k,, bod A k, bod B ležící vně kružnice k. Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnice k v bodě A, bod B l. 8. Je dána kružnice ( O r) 9. Jakými způsoby lze sestrojit úsečku délky 5? 0. Jsou dány úsečky délek a, b (a >. Sestrojte úsečku délky: a) a b a b a b ab a b. Obdélník má strany o délkách a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 0. Goniometrické vztahy, trigonometrie. Pomocí jednotkové kružnice ukažte zavedení funkcí: y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg. Odvoďte základní vztah sin cos =.. Vypočítejte zpaměti: a) a.sin π b.cos0 ab. cosπ cosπ sin π 8tgπ cosπ 6cotg π 5sin π 0. Vypočítejte: a) sin π cos π tg π sin 600 cos 0 tg 50 cotg 05 ( ) ( ) ( ) ( ). Vypočítejte hodnoty sin, cos, tg, cotg, jestliže je dáno: a) sin = 0, 6 π, π cotg = π, π 5. Upravte výrazy a určete podmínky: cos sin sin a) sin cotg sin sin cos cos tg z cos cos sin cos e) f) tg z tg cotg cos cos sin 6. Dokažte, že platí: a) sin ( cotg ) cos ( tg ) = sin cos = sin cotg tg 7. Dokažte, že platí vztah pro obsah trojúhelníku ABC : S = b c sin α. 8. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže platí a : b = :, α : β = :. 9. Určete velikost úhlu γ v trojúhelníku ABC, jestliže platí: a) c = a b ab c = a b ab 0. Silnice, vedoucí po hrázi rybníka, má být po zrušení rybníka nahrazena přímou cestou. Její krajní 0 body A, B jsou zaměřeny z bodu C pod úhlem γ = 60, a = AC = m, b = BC = m. Jak dlouhá bude nová cesta?. Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká v = 5m. Její patu vidíme z údolí ve výškovém úhlu 0 0 α = 9, vrchol ve výškovém úhlu β. Jak vysoko je vrchol kopce nad pozorovacím místem?. Z věže vysoké v = 0 m a vzdálené od řeky a = 0m se jevila šířka řeky v zorném úhlu 0 0 α = 5. Určete šířku řeky v tomto místě.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Inverzní a složená funkce. Vysvětlete, kdy je funkce prostá ve svém definičním oboru. Ukažte, zda jsou prosté funkce: a) y = c (konst.) y = y = e) y = e f) y = ln. Vysvětlete pojem rovnosti funkcí. Rozhodněte, zda jsou si rovny dané funkce f, g : a, f ( ) =, g( ) = sin cos b, f ( ) =, g( ) = c, f ( ) = sin, g( ) = tg cos y =. Vysvětlete pojem inverzní funkce. Jakou vlastnost musí mít funkce f, aby k ní eistovala funkce inverzní grafy funkcí f? Jaké jsou vztahy mezi množinami ( ) ( ) ( D f, H f, D f ), H ( f ) f, f?. Napište rovnici a určete ( ) ( ) ( f, H f, D f ), H ( f ) a) f : y = D inverzní funkce f : y = : y = : y = log f) f : y = sin f e) 5. Do stejné soustavy souřadné načrtněte grafy následujících funkcí: f? Jaký je vztah mezi f (relace) k funkci f : f : y = a) y =, y = y =, y =, y = a 6. Určete pro které reálné hodnoty parametru a jsou funkce f : y = g : y = log a a 5 a a) rostoucí klesající 7. Určete, z kterých funkcí jsou složeny následující funkce a derivujte je: y = a) ( ) y = cos sin y = y = ln e) y = ln (ln (ln )) 8. Vypočítejte integrály: 5 a) d d 5 7 sin (a d sin. cos d e) e d
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Vzájemné polohy útvarů. Zjistěte, zda dané body leží v jedné přímce: a) A [, ], B[ 7, ], C[,5] A[ 7,, ], B[ 5,, ], C[,8, ]. Zjistěte, zda leží dané body v jedné rovině: a) A [,, ], B[,, ], C[,, ], D[,, ] A [,, ], B[,,8 ], C[,, ], D[,,9 ]. Určete vzájemnou polohu přímek q p, : a) p : A[, ], směrový vektor a (,) q : B[, ], směrový vektor b (, ) p : A[,0, ], B[,, ], q : C[,, ], D[ 0,,]. Určete reálné číslo a tak, aby přímka p : = 5 6t, y = a t, t R procházela průsečíkem přímek r,s, kde r : = u, y = u, u R, s : = v, y = v, v R. 5. Ukažte, že přímka AB : A[,, ], B[,, ] Určete jejich průsečík., je různoběžná s rovinou α : y z = 0. 6. Zjistěte vzájemnou polohu roviny, která má obecnou rovnici y z = 0 a přímky, která je průsečnicí rovin α : y z = 0, β : y z 7 = 0. 7. Vysvětlete pojmy: příčka mimoběžek procházející daným bodem, nejkratší příčka mimoběžek. Uveďte příklad na krychli ABCDEFGH - mimoběžky AE, BC, bod S (střed krychle). 8. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM, průsečík přímky PQ s krychlí:
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 0. Sestrojte řez jehlanu ABCDEFV rovinou KLM, vysvětlete pojem - prostorová kolineace.. Sestrojte řez hranolu ABCDEFGHIJ rovinou PQR, vysvětlete pojem - prostorová afinita.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Vzdálenosti. Vypočítejte výšku c v v trojúhelníku ABC : A[, ], B[, ], C[,].. Určete vzdálenost přímek p, q : p : y 0 = 0 q: = t, y = t, t R. Určete vzdálenost rovin: α : y z 6 = 0 β : y z = 0.. Určete vzdálenost bodu [,6,8] K od roviny α : = r s, y = r, z = 6 s, r R, s R. Určete obraz bodu K v souměrnosti podle roviny α. 5. Určete vzdálenost bodu M [,,] od přímky AB, A[ 0,, ], B[,,0 ] p =. 6. Napište rovnici kružnice, je-li dán její střed S a rovnice přímky p, která se jí dotýká: [,], p : 8 5y = 0 S. 7. Na základě výpočtu vzdálenosti středů kružnic k,l rozhodněte o jejich vzájemné poloze: k : y 0 8y 00 = 0 l : y 6y = 0 8. Ukažte, že množinou všech bodů X roviny, které mají od bodu [,9] než od bodu B [ 6, 7], je kružnice. Určete její střed a poloměr. A třikrát větší vzdálenost 9. Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDEFGH, AB = a, AE = v. Určete vzdálenost bodu B od přímky: a) GH EG AG Řešte výpočtem i graficky. 0. Určete vzdálenost vrcholu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV, je-li AB = a, AV = b. Řešte výpočtem i graficky.. Je dána krychle ABCDEFGH, AB = a, body K, L jsou po řadě středy hran AB, BC početně i konstrukčně: a) vzdálenost přímek EG, KL vzdálenost rovin ACH, BEG. Určete
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Odchylky. Jaký je vztah mezi středovým a obvodovým úhlem v kružnici? Trojúhelníku ABC je opsána kružnice, jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky v poměru : : 7. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC : a) A [,, ], B[,, 5 ], C[,, ] A,,, B,,, C,, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je kolmý k vektoru v (,) a má velikost 5.. Je dána přímka p : = t, y = t, z = t, t R, rovina α : y 8 = 0, rovina β : = 5 r s, y = 6 r s, z = r, r R, s R. Vypočítejte: a) odchylku přímky p a roviny α odchylku přímky p a roviny β odchylku rovin α, β 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 6cm, výška jehlanu v = cm. Určete: a) odchylku přímek BC, AV odchylku přímky AV od roviny ABC odchylku rovin ABC, ADV Úlohu řešte: a) metodou stereometrie - výpočtem a konstrukčně 6. Je dána krychle s hranou délky a. Určete odchylku: a) dvou stěnových úhlopříček dvou tělesových úhlopříček stěnové a tělesové úhlopříčky 7. Pod jakým úhlem je vidět kružnici : y 8 5 = 0 k z bodu [ 0,0] P?
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 5. Obvody, obsahy, objemy a povrchy. Vypočítejte obsah trojúhelníku, je-li dáno: a) a = 6 cm, va = cm a = cm, b = 5cm, γ = 0 a = 5 cm, b = cm, c = cm (dokažte, že jde o pravoúhlý trojúhelník). Trojúhelníky ABC, KLM jsou podobné s poměrem podobnosti k. Co platí o poměru jejich výšek, obvodů, obsahů?. Nad stranami čtverce o straně délky a jsou sestrojeny uvnitř čtverce půlkružnice. Určete obsah obrazce, který vyvářejí - viz obrázek.. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = cm, c = cm, je-li jeho výška o cm menší než délka ramene. 5. Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru cm, je 9 cm. Vypočítejte její obsah. 6. Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem hrana je o cm delší než druhá. Vypočtěte objem a povrch tělesa. 5 cm. Jedna podstavná 7. Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je a = 6 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. 8. Podstava kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délky v poměru :. Výška hranolu je o cm menší než větší odvěsna podstavy a povrch hranolu je 68 cm. Vypočtěte objem hranolu. 9. Osový řez nádoby, která má tvar rotačního válce, je obdélník s úhlopříčkou u = 9 cm. Poměr obsahu pláště a obsahu podstavy je 5 :. Kolik litrů vody se vejde do nádoby? 0. Určete objem a povrch komolého kužele, jehož podstavy jsou kruh opsaný a vepsaný protilehlým stěnám krychle s hranou délky a.. Určete poměr objemů rotačního válce, polokoule a rotačního kužele se stejnými poloměry podstav a stejnými výškami.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 6. Kružnice a elipsa. Vyslovte definici kružnice, kruhu, elipsy.. Zapište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka, A[, ], B[, 5] AB.. Zjistěte, pro které hodnoty parametru p je rovnice y 6y p = 0 rovnicí kružnice. Určete souřadnice středu a poloměr.. Napište rovnici kružnice opsané trojúhelníku, A[, ], B[,0 ], C[ 0,5] ABC. 5. Zapište rovnice kružnic, které se dotýkají souřadnicových os a procházejí bodem A [,]. 6. Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí y 6 y = 0 v jejích průsečících s přímkou p : y =. 7. Určete rovnici tečny ke kružnici y 6y 9 = 0, která je rovnoběžná s přímkou p : y =. 8. Napište rovnici elipsy, jejíž osy splývají s osami souřadnými a která prochází body [, 6] L [ 6,0]. 9. Napište rovnici elipsy se středem S [,], hlavní vrchol [,8] 0. Proveďte rozbor elipsy, určete: S, A, B, C, D, E, F, a, b, e, o, o : a) 9y = 6 9 5y 5 00y = 0 A, ecentricita e =.. Určete vzájemnou polohu elipsy 9y 6 = 0 a přímky p : y 6 = 0.. Napište rovnice tečen elipsy: ( ) ( y ) = p : y = 0.. Ukažte, že pro každé R b a y = a b. v jejích průsečících s přímkou t leží bod [ a t, bsin t] cos na elipse, která má rovnici K,
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 7. Hyperbola. Grafem jaké funkce je rovnoosá hyperbola? Zapište její rovnici a rovnice asymptot. Jaká je vzájemná poloha asymptot?. Vyslovte definici hyperboly.. Hyperbola má ohniska E[ 5,0 ], F[ 5,0], a prochází bodem M [,0]. Napište její rovnici.. Napište rovnici hyperboly s ohnisky E [ 0, ], F[ 0,6], která prochází bodem [ 0,] 5. Proveďte rozbor hyperboly, určete: S, A, B, E, F, a, b, e, o, o, h, h a) 9y 8 8y = 0 y 6 6y = 0 L. 6. Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly H, popř. souřadnice společných bodů: H : y = 6 a) p : = t, y =,5t, t R p : 5 6y 6 = 0 p : = t, y = t, t R 7. Určete vzájemnou polohu přímky p : 5 y t = 0, hyperboly H : y = 6 v závislosti na parametru t. H v bodě [,] 8. Napište rovnici tečny k hyperbole : 5y 80y = 0 Jakými způsoby lze úlohu řešit? 9. Určete rovnici hyperboly, která má svá ohniska v hlavních vrcholech elipsy a své vrcholy v ohniscích elipsy o rovnici: 9 5y = 5. 0. Sestrojte graf relace 9y = 6 y. T. 8. Vypočítejte odchylku tečen hyperboly y = 6, které procházejí bodem R,.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 8. Parabola. Sestrojte grafy relací: y =, y =, = y, = y.. Vyslovte definici paraboly.. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, je-li dáno ohnisko F, řídící přímka d: a) F [,0], d : y = F [, ], d : y = F [ 6,], d : = 8 F [,], d : =. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [,5] prochází bodem A [ 0,]. 5. Je dána trojice bodů [, ], B[,7 ], C[,] V a A. Určete rovnici paraboly, která prochází body A, B, C a má osu rovnoběžnou s osou y. Načrtněte obrázek. 6. Proveďte rozbor paraboly,určete: V, F, p, o, d : a) y 5 = 0 y y = 0 7. Určete vzájemnou polohu přímky p, paraboly P, souřadnice společných bodů: a) p : y 5 = 0 P : y = 0 p : y = 0 P : y = 8 p : y = 0 P : y = 0 p : = 0 P : y = 0 8. Parabola o rovnici p = y se dotýká přímky, která má rovnici y 6 = 0. Určete parametr paraboly a souřadnice bodu dotyku. 9. Určete rovnici tečny paraboly P v jejím bodě T : : y = 5 P T [, ] y T 0. Určete velikost úhlu, pod nímž je z bodu M vidět parabolu P : M [ 0,] P : = y. Vypočítejte odchylku tečen kružnice K : y = 5 a paraboly P : y = 6 v jejich společných bodech.. Průměr parabolického automobilového reflektoru je cm, hloubka reflektoru je cm. Určete rovnici parabolického řezu a vypočítejte polohu vlákna žárovky, je-li reflektor zapnut na dálková světla (vlákno je v ohnisku).. Vypočítejte obsah obrazce omezeného parabolou y = a přímkou y = 0.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 9. Posloupnost, aritmetická posloupnost. Jak je definována posloupnost? Vysvětlete rozdíl mezi zadáním posloupnosti n-tým členem a rekurentním předpisem posloupnosti.. Zjistěte, která z čísel,65, jsou členy posloupnosti, kde a n = 5 n 8.. Určete rekurentní předpis posloupnosti: a) = n a n = n( n ). Danou posloupnost vyjádřete vzorcem pro n-tý člen: a = 0, a n = an 5. Napište definici posloupnosti: a) rostoucí klesající omezené shora (zdola) omezené a n Vyšetřete tyto vlastnosti na posloupnosti: a n n = n 6. Jak je definována aritmetická posloupnost? Pro jaké hodnoty diference d je aritmetická posloupnost: a, rostoucí b, klesající 7. Dokažte, že posloupnost a n = 5n je aritmetická. 8. Určete aritmetickou posloupnost ( a, d ), ve které platí: a, a a5 = 0 a a = 6 b, s 5 = 60 s0 = 70 c, a a = a a = 5 5 5 9. Součin tří po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu, Určete tyto členy. d =. 0. Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete jejich velikost, je-li obsah trojúhelníka 6 dm.... n n. Vypočítejte: n n. Teploty Země přibývá směrem do jejího středu o 0 C na m. Jaká je teplota v hloubce 05 m, je-li v hloubce 5 m teplota 9 C?. Určete velikost ostrého úhlu, tvoří-li posloupnosti? cotg, ( sin ). Vypočítejte součet všech trojciferných přirozených čísel dělitelných pěti., tg tři po sobě jdoucí členy aritmetické
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 0. Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada. Jak je definována geometrická posloupnost?. Dokažte, že posloupnosti: a) a n = ( ) n jsou geometrické. Určete a, q. b n = n. n. V geometrické posloupnosti platí: a a =,5 a a =, 5. Určete a, a, s.. V geometrické posloupnosti je a =, q =, sn = 80. Určete n, an. 5. Mezi čísla 5 a 60 vložte tolik čísel, aby vznikla geometrická posloupnost, přičemž součet vložených čísel je 60. 6. Dokažte: Je-li a n geometrická posloupnost, potom pro každé přirozené číslo n platí: a n = an. an 7. Přičteme-li k číslům,6, 58 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete v této posloupnosti s. 8. Mezi čísla, 8 vložte dvě čísla tak, aby první tři tvořila geometrickou posloupnost a poslední tři posloupnost aritmetickou. 9. Délky hran kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem vycházejících z jednoho vrcholu, je cm. Určete délky hran. V = 6 cm. Součet délek hran, 0. Délky stran a, b, c trojúhelníku ABC tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jak jsou velké, je-li délka strany b = 8 cm a obvod o = cm.. Kratší úhlopříčka, strana a delší úhlopříčka kosočtverce mají délky, které tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Vypočítejte velikosti úhlů kosočtverce.. Pro které hodnoty kvocientu q je geometrická posloupnost konvergentní? Vysvětlete pojem nekonečné geometrické řady a odvoďte vzorec pro její součet.. Zjistěte, které z nekonečných řad jsou konvergentní a určete jejich součty: n= n ( ) n n= n 0, 6. Dokažte správnost rovnosti: = 0,6 5 5. Zjistěte, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a určete pak její součet: ( ) ( ) ( ) Κ Κ n 6. Vypočítejte: n n n n Κ 8 n=, n
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 7. Řešte v R: 8 9 7 a) = Κ 0 5 = Κ log log log Κ = 8 6 Κ = 6 8. Řešte v 0, π : sin sin sin Κ = tg 9. Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran daného čtverce. Takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve středech stran předchozího čtverce atd. Postup se stále opakuje. Určete: a) součet obvodů všech čtverců součet obsahů všech čtverců
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla. Vyslovte definici variace, kombinace a permutace bez opakování.. Definujte číslo n!. n. Vysvětlete pojem: kombinační číslo k ( n )! ( n )! n!. Zjednodušte výrazy: a) n! ( n )! ( n )! 5. Řešte rovnice: n! n n! ( ) ( n ) a) ( n )! n! 6 6n = 8 n = 8 n n n ( n )! ( n )! n = 0 ( n )! ( n )! n = e)! = 0( )! f) ( n!) 7n! 6 = 0 6. V R řešte rovnici s neznámou a parametrem n N : ( n )! ( n )! ( n )! Κ n( n )! ( n ) n! n! n! Κ =! 7. Jsou dány cifry 0,,,,,5,6, 7. Určete počet přirozených čísel, ve kterých se cifry neopakují a splňují podmínky: a) jsou pěticiferná jsou čtyřciferná sudá jsou větší než 60000 a zároveň menší než 00000 8. Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 0,,,, 7. Kolik z těchto čísel je: a) dělitelných šesti? větších než 70? 9. V rovině je dáno 0 bodů, z nichž právě 5 leží na jedné přímce. Kolik je těmito body určeno: a) přímek trojúhelníků kružnic 0. Určete, kolika způsoby lze z 0 mužů a 6 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: a) právě ženy aspoň ženy. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b. Na přímce a je dáno 5 různých bodů A,...A 5, na přímce b různých bodů B,...B. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005. K sestavení vlajky, složené ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. Kolik z nich má modrý pruh? Kolik jich má modrý pruh uprostřed? Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?. O telefonním čísle víme: je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné 5. Kolik telefonních čísel přichází v úvahu?. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací bez opakování: a) desetkrát o 50 Určete původní počet prvků. 5. Určete počet prvků tak, aby: a) bylo možno z nich utvořit právě 00 permutací bez opakování při zvětšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zvětšil 56 krát při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zmenšil 0 krát 6. Určete počet prvků tak, aby: a) počet členných kombinací bez opakování z nich vytvořených byl 0 krát větší než počet členných kombinací bez opakování při zvětšení počtu prvků o se počet členných kombinací bez opakování zvětšil o