Počítačová cvičení Pet Beemlijski, Maie Sadowská Kateda aplikované matematik Fakulta elektotechnik a infomatik VŠB - Technická univezita Ostava
Cvičení 1 - Matlab - nástoj po matematické modelování Abchom se mohli věnovat numeickému řešení matematických úloh, potřebujeme vhodné postředí, kteé nám to umožní. A tak jako fzik či chemik mají svou laboatoř nebo patolog pitevnu, mají i numeičtí matematici svojí Maticovou laboatoř 1 - Matlab. Podobně se tomuto pacovnímu postředí a jeho příkazům věnuje přiložený Matlabovský slabikář 2. M si v tomto tetu uvedeme pouze stučný přehled matlabovských poměnných a příkazů, kteým se budeme věnovat. Postředí help, demos, into, who, whos, clea, size, length Poměnné Skalá Vekto Matice Příkaz Skalání funkce - sin, cos, tan, ep, log, abs, sqt, ound Vektoové funkce a geneování vektoů - ma, min, sot Maticové funkce a geneování matic - det, and, ones, zeos, ee Skalání opeace - +,,, /, Maticové a vektoové opeace - +,,, (tansponování), \ (A\v = A = v) Opeace po pvcích -.,.,./ 2D gafika (vkeslení gafů funkcí jedné poměnné) - plot, hold on, hold off, figue 3D gafika (vkeslení gafů funkcí dvou poměnných) - meshgid, mesh, contou, hold on, hold off, figue Řídící příkaz - if (podmíněný příkaz) fo, while (příkaz cklu se známým počtem opakování a podmínkou na začátku) 1 MATi LABoato 2 K. Sigmon - MATLAB Pime 1
Relace a logické opeace - <, >, <=, >=, ==, =, &,, Skipt a funkce - function Vše si vzkoušíme při řešení následujících úloh. Příklad 1 Kolik členů hamonické řad 3 musíte nejméně sečíst, ab tento částečný součet řad měl hodnotu alespoň 10 (15, 20)? Příklad 2 Zkuste odhadnout s vužitím Matlabu součet řad ( 1 n=1 1 n n+1). Příklad 3 Sestojte gaf následujících funkcí: f() = 2 f() = 1 2 f() = 2 sin ( 1 2 ) f() = Příklad 4 Sestojte gaf následujících funkcí: f(, ) = 2 + 2 f(, ) = 2 + 2 ( f(, ) = ( 2 + 2 1 ) sin f(, ) = 2 + 2 ) 3 Řadou (eálných čísel) ozumíme výaz a 1 + a 2 + + a n + = n=1 a n, kde po každé n N je a n R. Hamonickou nazýváme řadu n=1 1 n. 2
Cvičení 2 - Co dokáže a nedokáže Matlab - řešení jedné úloh s pemutací Pogam po numeické výpočt, mezi něž patří i Matlab, umí vřešit mnoho i velmi komplikovaných úloh v ozumném čase. Nejsou však všemocné a mají své limit. Vhodně to ilustuje tato úloha: Nalezněte nejmenší přiozené číslo n, po kteé největší společný dělitel čísel (n 17 + 9) a ((n + 1) 17 + 9) není 1. Pokud bste chtěli tuto úlohu řešit počítačem, čekali bste opavdu dlouho, potože řešením této úloh je n = 8424432925592889329288197322308900672459420460792433 4. M si omezení Matlabu uvědomíme dík následujícímu příkladu. V tomto příkladě budeme mít za úkol zjistit pavděpodobnost výsktu daného jevu. Nejjednodušší, ale ne nejméně pacnou, možností, jak vpočíst pavděpodobnost učitého jevu, je zjistit počet příznivých možností a podělit jej počtem všech možností. Příklad 1 Mějme posloupnost přiozených čísel 1, 2, 3,..., n. Poté ji náhodně pomíchejte. Jaká je pavděpodobnost, že ani jedno číslo nebude na své původní pozici? 5 Vřešte pomocí Matlabu. Po jak velké n jste schopni tuto pavděpodobnost zjistit? Nápověda: Po algoitmizaci úloh použijte ekuzi 6. 4 Odhadněte, jak dlouho budete čekat na nalezení řešení, pokud máte počítač, kteý zvládne miliadu opeací za sekundu a předpokládáte, že nalezení největšího společného dělitele po jedno konkétní n se dá dosáhnout jednou opeací. 5 Všimněte si, jaké číslo získáte, pokud vpočtete převácenou hodnotu zjištěné pavděpodobnosti. 6 V pogamování ekuze představuje opakované vnořené volání stejné funkce (podpogamu), takovou funkci pak nazveme ekuzivní. Součástí ekuzivní funkce musí být ukončující podmínka, kteá učuje, kd se má vnořování zastavit. Po použití ekuze je zapotřebí, ab pogamovací jazk umožňoval volání podpogamu ještě před ukončením jeho předchozího volání. Po každém koku volání sebe sama dochází ke zjednodušení poblému, pokud není splněna ukončující podmínka, povede se ekuzivní kok. 3
Cvičení 3 - Páce s vekto a maticemi - vhledávání v databázích a tocha geometie navch Podívejme se na dvě aplikace aitmetických vektoů a matic. Vhledávání v databázích Nejpve si zavedeme pojem aitmetický vekto. N-ozměný aitmetický vekto je uspořádaná n-tice čísel, jejíž pvk se nazývají složk. Tto uspořádané n-tice budeme zapisovat do hanatých závoek do řádků nebo sloupců. Připomeňme si skalání součin dvou aitmetických vektoů o n složkách, kteý je definován vztahem u v = u v cos ϕ, kde u = n i=1 u2 i a ϕ je úhel, kteý svíají vekto u a v. u ϕ v O vektoech řekneme, že jsou si blízké, pokud úhel ϕ je blízký 0. Např. na následujícím obázku je vekto u blízký v. u v ϕ1 ϕ2 w Blízkosti vektoů můžeme vužít při vhledávání v databázích. Ilustujme si to na následujícím příkladě. Mějme kuchařku, kteá obsahuje n eceptů, kde každý ecept obsahuje někteou z k suovin. Takovou databázi eceptů můžeme popsat n vekto 1, 2,..., n o k složkách. Pokud chceme vbat ecept se suovinami, kteé nejlépe splňují náš požadovaný výbě, pak můžeme náš požadavek zapsat jako vekto p o k složkách a naším úkolem je najít vekto i z vektoů 1, 2,..., n, kteý je nejbližší vektou p (tj. platí, že i p i p = cos ϕ i je největší ze všech l p l p = cos ϕ l l = 1,..., n). 4
Příklad 1 Popište následující ecept pomocí vektoů jako v předchozím tetu: Bucht - ingedience: 100 g He, 100 g cuku moučka, 2 vejce, 500 g hladké mouk, 1/4 l mléka, 30 g doždí Čínské placičk - ingedience: 3 silnější kuřecí řízk, 3 vejce, 1 dobně nakájená cibule, 4 lžíce Solamlu, sůl, 4 lžíce oleje, 1 lžíce sojové omáčk, 1 lžíce wocesteové omáčk Čočková polévka - ingedience: 1 lžíce olivového oleje, 1 mkev, 1 cibule, 4 stoužk česneku, 50 g žitné mouk, 450 g čočk, sůl, 1 kostka zeleninového bujónu, podle chuti chilli nebo caenský pepř, majoánka, 10g másla, 2 lžíce plnotučné hořčice, 2 vejce, petželka Domácí bucht - ingedience: 600 g polohubé mouk, 1/4 l mléka, 2 vejce, 10 lžic oleje, 40 g cuku, 1 pášek do pečiva, 1 kostička doždí (42 g), špetka soli Evíkova mňamka - ingedience: 4 kuřecí řízk, 8 plátků anglické slanin, sý podle chuti (eidam, blat ácké zlato, hemelín, niva..., ale vžd jen jeden duh), 1 cibule, sůl, pepř, 50 g másla, 1 lžíce sojové omáčk Chléb - ingedience: 1,5 lžíce octa, 3 lžíce olivového oleje, 10 g cuku, 3 lžičk soli, 360 g hladké mouk pšeničné, 140 g žitné mouk, 75 g celoznné mouk žitné, 75 g celoznné mouk pšeničné, lžíce kmínu, 15 g sušeného doždí Chlebíčková pomazánka - ingedience: 100 g bambo, 1 cibule, 1 lžíce tataské omáčk, sůl, pepř Kokosová hníčková bábovka - ingedience: 200 g hladké mouk, 10 lžic kokosu, 100 g cuku kupice, 1/4 l mléka, 6 lžic oleje, 1 pášek do pečiva, 1 vanilkový cuk, 3 vejce Kuřecí kousk v sýovém těstíčku - ingedience: 4 kuřecích psíček, sůl Těstíčko: 1 vejce, 0,05 l bílého vína, 80 g hladké mouk, stouhaný sý Desink: 100 g bílého jogutu, 5 lžic tatak, mletý bílý pepř, sůl, 2 stoužk česneku Pařížské kostk - ingedience: 440 g polohubé mouk, 220 g cuku, 7 lžic oleje, 1/4 l vlažného mléka, 2-3 lžíce kakaa, 1 pášek do pečiva, 3 celá vejce Peník - ingedience: 1/2 kg polohubé mouk, 350 g cuku kstal, 1/2 l mléka, 10 lžic oleje, 2 celá vejce, 4 lžíce ozředěných povidel, 2-3 lžíce kakaa, 1 lžička jedlé sod, 1 pášek do pečiva, špetka soli, 1 lžička mleté skořice, lze přidat najemno nastouhaná 2-3 jablka Pizza těsto - ingedience: 0,5 kg hladké mouk, 1 lžíce olivového oleje, 1 lžíce soli, 15 g doždí Plněné kuře - ingedience: 1 kuře, 1 velká cibule, 3 plátk anglické slanin, 2 lžíce oleje, sůl Plněný cop - ingedience: 500 g polohubé mouk, 50 g moučkového cuku, 3 žloutk, 100 g ozpuštěného másla, špetka soli, 0,2 l mléka, 40 g doždí Náplň: 5 lžic stouhaných lískových oříšků, 100 g cuku, 3 vejce, špetka skořice, vejce na potření, sekané oříšk na pospání Tatanské pacn - ingedience: 300 g hladké mouk, 250 g He, 100 g moučkového cuku, 1 vejce, 1 lžíce kakaa, 1 lžička skořice, 6 lžic mletých ořechů, oříšků nebo mandlí (může se i namíchat) Tadiční italské lasagne - ingedience: Boloňská omáčka: 1 lžíce olivového oleje, 1 střední cibule, 1 stoužek česneku, 500 g mletého hovězího (kuřecího, sójového masa, jaké kdo má ád), 250 g oloupaných celých či nakájených ajčat v plechovce, 2 lžíce ajčatového potlaku, 4 lžíce čeveného vína, sůl, čestvě namletý pepř Sýová omáčka: 50 g másla, 50 g mouk, 0,6 l mléka, sý na stouhání (Čeda) 12 listů vaječných těstovin - lasagní Vepřová kýta - ingedience: 6 řízků z kýt, 1 lžička soli, 1 lžička pepře, 1/2 lžíce solamlu, 1 lžíce wochestové omáčk, 2 stoužk česneku, 1/2 lžičk majoánk, 2 vejce, 1 lžíce aj. potlaku, 1 lžíce oleje Zkuste na základě blízkosti vhledat, kteé ecept obsahují ingedience nejlépe odpovídající těmto třem požadavkům: 100 gamů cuku, 20 gamů doždí, 100 gamů He, 2 lžíce kakaa, 500 gamů mouk a skořice 5
sůl, sý a wocheste 2 stoužk česneku, 1 lžíce hořčice, 3 kuřecí řízk, majoánka, pepř, 2 plátk slanin a sůl Použití matic při zápisu geometických zobazení Začneme zavedením pojmu matice. Necht jsou dán pvk a 11, a 12,..., a mn množin F. Matice tpu (m, n) je obdélníková tabulka a 11... a 1n A =....., a m1... a mn z dané kteá má m n pvků a ij uspořádaných do m řádků i A a n sloupců s A j, takže A A = 1. = [ ] s A 1,..., s A n, A m A i = [a i1,..., a in ], s A j = Stučně píšeme též A = [a ij ]. Nní si zavedeme opeaci násobení matic. K tomu ale potřebujeme nejdříve definovat násobení matice a vektou. Součinem matice A = [a ij ] tpu (m, n) a sloupcového vektou = [ i ] o n složkách nazýváme vekto o m složkách definovaný předpisem Rozepsáním definice po složkách dostaneme a 1j. a mj = A = 1 s A 1 + + n s A n.. [] i = [A] i = a i1 1 + + a in n = A i. Ted můžeme přejít k násobení matic. Jestliže A je matice tpu (m, p) a B je matice tpu (p, n), pak součin matic A a B je matice AB tpu (m, n) definovaná předpisem AB = [ As B 1,..., As B n ]. Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme [AB] ij = a i1 b 1j + + a ip b pj = A i s B j. 6
Než použijeme výše zavedenou opeaci, připomeneme si někteé pojm z oblasti geometických zobazení. Geometickým zobazením nazveme zobazení, kteé každému bodu A útvau U přiřazuje pávě jeden bod A útvau U. Bod A je tzv. vzo a bod A se označuje jako obaz. M se budeme zabývat třemi zobazeními, a to stejnolehlostí, otací a posunutím. Po připomenutí: Stejnolehlost: Mějme v ovině či postou ρ bod S. Geometické zobazení, při němž obazem bodu S je bod S a obazem každého A ρ, A S, je takový bod A ρ, že po vekto SA platí SA = κsa, kde κ R\{0, 1} je pevně zvolené, se nazývá stejnolehlostí (homotetií). Bod S nazýváme středem stejnolehosti a κ koeficientem stejnolehlosti. Stejnolehlost s κ = 1 je středovou souměností. vzo zobazení vzo zobazení stejnolehlost s κ = 2, S = [0, 0] Rotace: Otočení (otace) v ovině je geometické zobazení, kteé je chaakteizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem S, tzv. středem otočení, se změní o stejný úhel ϕ, tzv. úhel otočení, a vzdálenost bodů od středu otočení zůstává nezměněna. vzo zobazení vzo zobazení otace s ϕ = π/4, S = [0, 0] Posunutí: Posunutí (tanslace) je geometické zobazení, kteé je chaakteizováno tím, že všechn bod tansfomované množin bodů změní své katézské souřadnice o stejnou hodnotu, tj. 7
vzo zobazení vzo zobazení posunutí s vektoem posunutí [1, 1] ke každému bodu přičteme stejný vekto posunutí. Nní si ukážeme, jak lze pomocí elementáních maticových opeací zapsat výše uvedená zobazení. Zapišme souřadnice vzou geometického zobazení, tj. bodu z R 2 či R 3, do sloupcového vektou. Pokud vzoem zobazení je více bodů, zapíšeme je jako sloupcové vekto do matice P. Obaz bodů ve stejnolehlosti s koeficientem κ a středem v počátku zapíšeme jako součin tansfomační matice T tpu (n, n), kde n je ozmě postou, ve kteém zobazujeme (2 nebo 3), a matice P. Matice T má všechn pvk na hlavní diagonále ovn koeficientu stejnolehlosti κ. Všechn další pvk jsou nulové. Obaz bodů v otaci s úhlem otočení ϕ a středem otočení v počátku zapíšeme jako součin tansfomační matice R tpu (2, 2) a matice P, kde [ ] cos ϕ sin ϕ R =. sin ϕ cos ϕ Posunutí s vektoem posunutí pos ealizujeme tak, že ke každému sloupci matice P přičteme sloupcový vekto pos. Příklad 2 Implementujte geometická zobazení - stejnolehlost, otaci a posunutí. Nalezněte obaz tojúhelníku s vchol [1, 1], [2, 0] a [1, 1] ve stejnolehlosti se středem v počátku a s koeficientem stejnolehlosti 2, v otaci se středem otočení v počátku a úhlem otočení π/2 a v posunutí s vektoem posunutí [1, 1]. Zobazte vzo a jednotlivé obaz (použijte funkce plot a patch). 8
Cvičení 4 - Monte Calo Hledejme obsah kuhu o poloměu (představme si, že neznáme příslušný vzoec a nic nevíme o číslu π). Pvním nápadem b mohlo být zhotovení válcových nádob s ůznými polomě podstav (např. s polomě o délce 1 a 2 jednotek) a jednotkovou výškou. v=1 v=1 =1 =2 Objem vod, kteý se do takových nádob vejde, je oven obsahu podstav válce, tj. obsahu kuhu s poloměem. Rchle si všimneme, že pokud zvětšíme polomě podstav dvakát, zvětší se objem čtřikát a následně odvodíme, že obsah kuhu je přímo úměný duhé mocnině poloměu. Také zjistíme, že duhou mocninu poloměu kuhu musíme vnásobit vhodnou konstantou, abchom dostali spávnou hodnotu obsahu daného kuhu. Tuto konstantu označíme π. Eistuje mnoho možností, jak tuto konstantu odhadnout. Snad nejjednodušší způsob, jak stanovit meze po π, je vepsat do kuhu o poloměu čtveec a stejnému kuhu opsat jiný čtveec. Potože je snadné spočítat obsah daných čtveců, zjistíme, že π (2, 4) (délka stan menšího čtvece je 2, délka stan většího čtvece je 2). Mnohem ozumnější výsledek získáme, pokud budeme danému kuhu vepisovat n-úhelník a počítat jejich obsah. Tuto metodu nazýváme včepávací (ehaustní) a pavděpodobně pvní ji použil Eudoos 7. Než se budeme věnovat odhadům čísla π, podívejme se kátce na výpočet obvodu kuhu. Jistě víme, že obvod kuhu je přímo úměný dvojnásobku jeho poloměu, ale abchom dostali spávnou hodnotu, je nutno 2 vnásobit vhodnou konstantou. Na následujícím obázku povedeme přeuspořádání kuhu na útva, kteý se po zjemňující se dělení kuhu blíží obdélníku. Poovnáním obsahu kuhu a vzniklého obdélníku je názoně vidět, že tato konstanta je opět π. 7 Eudoos (410 nebo 408 př. n. l. 355 nebo 347 př. n. l.) řecký astonom, matematik a fzik, student Platóna 9
o = 2k k k zjemnění dělení k k = π Nní si ukážeme několik způsobů, jak nalézt přibližnou hodnotu čísla π. Buffonova metoda Řešením tzv. Buffonova poblému s jehlou 8 je apoimace čísla π. Úloha spočívá v opakovaném házení jehl o délce l na ovinu, na kteé máme vznačenu sít ovnoběžek o vzdálenosti s l. Jestliže jehlu hodíme n-kát a -kát nám během těchto pokusů po dopadu zkříží někteou z ovnoběžek, pak v případě, že s = 2l, číslo n apoimuje s danou přesností číslo π. V oce 1975 pánové Pelman a Wichea publikovali tento výsledek týkající se přesnosti Buffonov metod: S pavděpodobností 95 pocent nemá chba apoimace hodnotu větší než 5/ n. Tzn. například po 10000 pokusů nám s pavděpodobností 95 pocent chba nepřekočí hodnotu 0, 05. Příklad 1 Implementujte Buffonovu metodu a použijte ji k apoimaci čísla π. Poovnejte vaši apoimaci se skutečnou hodnotou čísla π a učete chbu apoimace. 8 G. L. Buffon (1707 1788) fancouzský příodovědec 10
Metoda Monte Calo Monte Calo je třída výpočetních algoitmů založená na povádění náhodných epeimentů. Této metod se často používá po simulaci fzikálních a matematických sstémů. Výsledkem povedení velkého množství epeimentů je obvkle pavděpodobnost učitého jevu. Na základě získané pavděpodobnosti a známých vztahů pak spočítáme potřebné výsledk. Potože metoda vžaduje geneování velkého soubou náhodných dat, je vhodné po její implementaci použití počítače. Metod Monte Calo se používá v případě, kd je příliš pacné nebo nemožné nalézt přesný výsledek jiným způsobem. Její výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou elativně malá přesnost. Metoda bla vtvořena skupinou fziků pacujících na pojektu jadené pum v Los Alamos, jméno metod blo navženo v oce 1940 von Neumannem 9. V matematice se Monte Calo používá zejména po výpočet učitých integálů (zejména vícenásobných učitých integálů), kteé je obtížné či nemožné včíslit analtick nebo jinou vhodnou numeickou metodou. Např. obsah ploch ohaničené shoa gafem funkce = 2 na intevalu 0, 1 (tj. 1 0 2 d) je možné metodou Monte Calo vpočíst následujícím způsobem. Necht náš pogam geneuje náhodně dvojice čísel [, ], přičemž každé z čísel a je vbáno nezávisle z intevalu 0, 1. Tuto dvojici budeme chápat jako souřadnice bodu, kteý je náhodně zvolen ve čtveci 0, 1 0, 1. Pavděpodobnost toho, že bod leží uvnitř zadaného čtvece, je 1. Pavděpodobnost toho, že bod leží uvnitř podmnožin E jednotkového čtvece (tj. čtvece, jehož stana má jednotkovou velikost), je ovna obsahu ploch E. Takže obsah ploch, kteá je podmnožinou jednotkového čtvece, můžeme odhadnout jako pavděpodobnost, že náhodně zvolený bod leží v této podmnožině. = 2 E Příklad 2 Implementujte metodu Monte Calo po výpočet 1 0 2 d. Po odhad přesnoti metod Monte Calo platí: S pavděpodobností 95 pocent nemá chba apoimace hodnotu větší než 1/ n. Tzn. například po 10000 pokusů nám s pavděpodobností 95 pocent chba nepřekočí hodnotu 0, 01. Pokud chceme použít metodu Monte Calo k apoimaci čísla π, vpočteme 1 0 1 2 d. Snadno si uvědomíme, že tímto způsobem získáme apoimaci hodnot π/4. 9 John von Neumann (1903 1957) mad aský matematik 11
= 1 2 E Příklad 3 Implementujte metodu Monte Calo po výpočet 1 0 1 2 d a použijte ji k apoimaci čísla π. Poovnejte vaši apoimaci se skutečnou hodnotou čísla π a učete chbu apoimace. Řad Poslední možností k apoimaci čísla π, kteou si v tomto přehledu ukážeme, je vužití řad 10. K této apoimaci použijeme Gegoho řadu 11, kteá ozvíjí funkci actg : actg = 3 3 + 5 5 7 7 +... Tato řada má konečný součet po 1, 1 (říkáme, že konveguje), navíc platí, že čím je menší než 1, tím méně členů řad potřebujeme použít k nahazení actg s uspokojivou přesností. Pvní možností, jak apoimovat π, je tudíž nahadit actg 1 Gegoho řadou (actg 1 = π/4). Apoimaci s chlejší konvegencí získáme, pokud použijeme ovnost actg 1 = actg (1/2) + actg (1/3). 10 Řadou (eálných čísel) ozumíme výaz a 1 + a 2 + + a n + = n=1 a n, kde po každé n N je a n R. 11 James Gego (1638 1675) skotský matematik a astonom 12