Maxima Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 2

Transkript

1 Uvedené pogamy kolegy velmi zaujaly. Všichni by je ádi ve výuce alespoň občas používali, ale poblém pávem viděli ve finanční náočnosti licencování uvedeného softwae jak po školu, tak po žáky (pokud by měli s pomocí počítače vypacovávat domácí úkoly). Potože jsem příznivcem opeačního systému Linux a Open Souce Softwae, ozhodl jsem se vytipovat pogamy podobného zaměření, jejichž licence je po školu i žáky zdama, a připavit semináře učené učené učitelům matematiky a fyziky, kteří chtějí učit své předměty modeně a dát svým žákům k dispozici výkonné nástoje k ozvíjení matematických představ a řešení náočnějších fyzikálních a technických poblémů. Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky a tři stejnojmenné božuky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých pogamů: OSS ve výuce matematiky a fyziky 1 Inteaktivní geometický náčtník Geonext OSS ve výuce matematiky a fyziky Systém počítačové algeby Maxima OSS ve výuce matematiky a fyziky 3 Tabulkový poceso OpenOffice.og Calc a edito vzoců OpenOffice.og Math Maxima Open Souce Softwae ve výuce matematiky a fyziky - Mg. Michal Musílek říjen

2 (C7) y(x):=sqt(^-x^)$ (C8) integate(3/8*y(x)^4*m/^3,x,-,); m (D8) y Tedy J = y dx = x dx = m. Všimněte si, že jsme při výpočtu pomocí Maximy vhodně využili substituci a tím zjednodušili zadání vlastního příkazu po integaci. V případě neučitého integálu Maxima nezobazuje integační konstantu. Musíme si ji pohlídat sami. Zkusme integovat vztah po ychlost ovnoměně zychleného pohybu. (C9) v(t):=a*t+v0; (D9) v(t) := a t + v0 (C10) integate(v(t),t); a t (D10) t v Pokud místo příkazu integate použijeme 'integate s apostofem, bude se integál místo výpočtu zobazovat. (C11) integate(v(t),t); / [ (D11) I (v0 + a t) dt ] / Závěem Ukázali jsme si jen malou část příkazů a možností systému počítačové algeby Maxima. Jednak poto, že čas vyhazený po seminář je kátký, jednak poto, že metody a z nich plynoucí příkazy dalece přesahují učivo středoškolské matematiky. Poč jsem napsal tento text V uplynulých třech letech jsem jako cetifikovaný lekto volitelného modulu ICT ve výuce matematiky školení SIPVZ 7 úovně P 8 seznámil více než šedesát učitelů matematiky základních a středních škol s obsluhou a využitím softwae po podpou výuky matematiky, konkétně s pogamy Cabi Geometie II Plus, Deive 6, Excel a Imagine Logo. 7 SIPVZ státní infomační politika ve vzdělávání. 8 Úoveň P (poučený uživatel) dosáhne pedagogický pacovník, kteý absolvuje povinný úvodní modul a dva volitelné moduly z nabídky speciálně infomatických a předmětových modulů

3 Deivace a totální difeenciál K výpočtu deivace i totálního difeenciálu dané funkce slouží příkaz diff, kteý může mít ůzný počet paametů. Ukážeme si to na příkladu z kinematiky. Po dáhu ovnoměně zychleného pohybu v závislosti na čase platí s(t) = ½ vt + v 0t + s 0. Deivováním tohoto vztahu podle času získáme nejpve vztah po ychlost a potom po zychlení. C(1) s(t):=1/*a*t^+v0*t+s0; 1 D(1) s(t) := - a t + v0 t + s0 C() diff(s(t),t); pvní deivace D() a t + v0 C(3) diff(s(t),t,); duhá deivace D(3) a Po totální difeenciál použijeme příklad z dynamiky. Hybnost je definována jako součin hmotnosti a ychlosti tělesa. Obě se obecně mohou měnit. C(4) p(m,v):=m*v; D(4) p(m, v) := m v C(5) diff(p(m,v)); D(5) m del(v) + v del(m) Neboli d p = md v v dm, tedy k změně hybnosti tělesa dojde buď změnou jeho ychlosti nebo jeho hmotnosti. Integály K výpočtům integálů slouží příkaz integate(exp,x); po neučitý nebo integate(exp,x,a,b); po učitý integál. Ukažme si výpočet momentu setvačnosti válce a koule užitím učitých integálů. Představme si, že válec je složen z tenkých pstenců o tloušťce dx, hmotnost každého je md = πx. dx / π a polomě je x. Tento polomě se mění od nuly do a výsledný moment setvačnosti zjistíme integací momentů setvačnosti těchto tenkých pstenců: (C6) integate(*pi*x/(pi*^)*m*x^,x,0,); m (D6) ---- π x Tedy m x dx= 1 0 π m. Když známe moment setvačnosti válce, můžeme ho využít k výpočtu momentu setvačnosti koule. Představme si, že koule je složena z tenkých plátků (jako když kájíme salám) o tloušťce dx. Každý plátek je malý válec π o poloměu y= x y a výšce dx. Jeho hmotnost je dm = 4 π dx a moment 3 3 setvačnosti dj = 3 y 8 3 y dx. Integací těchto příspěvků získáme výsledek Jak získat, nainstalovat a spustit Maximu Na domovské stánce systému počítačové algeby Maxima jsou v sekci Download k dispozici instalační balíčky jak po Windows, tak po Linux. Instalaci jsem vyzkoušel pod Windows 000, Windows XP Home a pod Mandake Linuxem 10.1 a ve všech případech poběhla naposto bezpoblémově. V systému Windows se pogam objeví v nabídce [START] a, pokud to během instalace neodmítneme, také jako ikona na ploše. Dialog se spouští v okně, kteé je ozděleno do dvou nad sebou umístěných oblastí. V Linuxu je možné pogam spustit také v gafickém ežimu. Např. v mém Mandake - postředí KDE zvolím [ ] > Další aplikace > Věda > Matematika > Maxima. Pod Linuxem můžeme pogam spustit také v textové konzole příkazem maxima. Nejpve se přepneme do textové konzole nebo spustíme teminálové okno v gafickém postředí a za výzvu systému zapíšeme do příkazové řádky maxima. Objeví se úvodní hlášení pogamu, kteé končí řádky: Distibuted unde the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memoy of William Schelte. This is a development vesion of Maxima. The function bug_epot() povides bug epoting infomation. (C1) Poslední řádek (C1) je už výzva Maximy k zadání příkazu. Maxima se tedy ovládá z příkazového řádku a to i když pacujeme v gafickém postředí. Hlavní výhodou gafického postředí je, že ve spodní části okna máme k dipozici stučnou nápovědu. Ovládání je naposto analogické 1 pod oběma opeačními systémy, takže je v tomto textu nebudeme nijak odlišovat. Pvní koky - příkazy Maximy Každý příkaz musí končit středníkem, jinak se nepovede! Reakce na spávné zadání (C1) 1+1; (D1) Na chybné zadání bez středníku (C1) 1+1 Maxima nezaeaguje. Pokud na středník zapomenete, můžete ho doplnit na dalším řádku. Po doplnění středníku se příkaz povede. Vyzkoušejte příkazy po všechny základní aitmetické opeace: (C) 9-6/3; (C4) sqt(11); (D) 7 (D4) 11 (C3) 5^3-5*5; (C5) 5!+4!; (D3) 100 (D5) Podle veze Maximy může být ůzné označování výzvy systému - vstup (C1), (%i1) a jeho odpovědí - (D1), (%o1), kde číslo 1,, 3,... je pořadové číslo zadaného příkazu. Po umocňování používáme symbol stříška ^, ale je možné používat také dvě hvězdičky **. Při násobení nesmíme vynechat symbol hvězdička *

4 Maxima počítá přesně se zlomky a výsledek zobazuje v základním tvau ve třech řádcích: (C6) 1/5+1/6; 11 (D6) 30 Zadáme-li algebaický výaz tak se nejpve jenom opíše, např.: (C7) (x+5)^3; 3 (D7) (x + 5) Jestliže chceme výaz oznásobit, použijeme příkaz expand(výaz);, pokud chceme oznásobit nebo jinak použít naposledy zadaný výaz, není třeba ho znovu vypisovat 3, stačí použít znak pocent (%): (C8) expand(%); 3 (D8) x + 15x + 75x + 15 Jiná je situace u následujícího lomeného výazu, kteý nepomůže expandovat. Po zkácení musíme použít příkaz adcan(výaz);: (C9) (a^-b^)/(a+b); a - b (D9) (C10) expand(%); a + b a b (D10) + a + b a + b (C11) adcan(%); (D11) a - b (C1) expand((a-*b)^3); 3 3 (D1) a - 6 a b + 1 a b - 8 b Ludolfovo číslo, Euleovo číslo a numeické výpočty Maxima umí pacovat s iacionálními čísly jako je Ludolfovo číslo π, nebo základ přiozených logaitmů e. Používá po ně znaky %pi a %e. Zadáme-li je do výpočtu, výsledek může být zobazen opět pomocí těchto zástupných znaků. Jestliže chceme výsledek zobazit numeicky (pomocí desetinného čísla), musíme za výaz napsat čáku a slovo nume;. Vyzkoušejte: (C13) %e; (D13) %E (C14) %e, nume; (D14) Pokud se chceme vátit nikoliv k naposled zadanému výazu, ale k výazu zadanému dříve, dáme do závoek místo znaku pocent označení řádku s výazem např. expand(c7); Jiný způsob zadání matice je pomocí příkazu matix, jehož agumentem je seznam řádků matice (každý řádek jako vekto v hanatých závokách): (C5) C: matix([1,,3],[1,-1,1],[5,1,-]); [ 1 3 ] (D5) [ ] [ ] (C6) X: matix([x],[y],[z])$ (C7) C.X; [ x + y + 3 z ] (D7) [ x y + z ] [ 5 x + y x ] V tuto chvíli už vidíme levé stany soustavy ovnic, kteou můžeme v maticovém tvau zapsat jako C.X = P. Přidáme-li matici P pavých stan a můžeme řešit: (C8) P: matix([-1],[6],[5])$ (C9) invet(c); [ ] [ ] [ ] [ 7 17 ] (D9) [ ] [ ] [ 3 1 ] [ ] [ ] (C10) invet(c).p; [ ] (D10) [ - 3 ] [ 1 ] Soustava ovnic má tedy řešení x =, y = -3, z = 1. Všimněme si znaku $ dola, kteý je uveden na konci někteých příkazů místo středníku a kteý potlačí vypsání odpovědi systémem Maxima. Tím jsme ušetřili několik řádků textu. Na závě exkuze do vyšší algeby deteminant matice C a matice tansponovaná k matici C. (C11) deteminant(c); (D11) 33 (C1) tanspose(c); [ ] (D1) [ ] [ ]

5 Matice a opeace s nimi Maxima ovládá velké spektum maticových opeací. Ukážeme si pouze část, kteou můžeme využít i na středoškolské úovni výuky. Vložit pvky matice můžeme inteaktivně pomocí funkce entematix. Vložíme dvě matice A a B a vypočteme součiny matic A.B a B.A: (C1) A: entematix(,3); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row 1 Column 3: 3; Row Column 1: -1; Row Column : 0; Row Column 3: 1; Matix enteed. [ 1 3 ] (D1) [ ] (C) B: entematix(3,); Row 1 Column 1: 1; Row 1 Column : ; Row Column 1: 3; Row Column : 4; Row 3 Column 1: 5; Row 3 Column : 6; Matix enteed. [ 1 ] (D) [ 3 4 ] [ 5 6 ] (C3) A.B; [ 8 ] (D3) [ 4 4 ] (C4) B.A; [ -1 5 ] (D4) [ ] [ ] Podle definice maticového součinu snadno ověříme, že skutečně platí [ ] [ = 5 6] [ 4 4] Podobně můžeme ověřit i výsledek duhého násobení matic B.A. Pokud po zadávání matice zvolíme stejný počet řádků i sloupců (čtvecová matice), Maxima se zeptá, zda chceme zadávat diagonální, symetickou, antisymetickou, nebo obecnou matici A = [ ] B = [ ] (C15) *%pi; (D15) %PI (C16) %, nume; (D16) Učitě jste si všimli, že numeické výsledky jsou uvedeny na 15 desetinných míst, ve skutečnosti ovšem na 16 platných číslic: (C17) *%PI, nume; (D17) Se stejnou přesností, ale v semilogaitmickém tvau vací výsledky výpočtů funkce bfloat(výaz); Přesnost této funkce můžeme změnit 4 pomocí nastavení globální poměnné fppec. Nejpve ověříme, že default hodnota je 16, potom ji změníme na 333 a nakonec si dáme vypsat π na 33 desetinných míst: (C18) fppec; (D18) 16 (C19) fppec: 333; (D19) 333 (C0) bfloat(%pi); (D0) # # # # # B0 Písmeno B odděluje exponent u desítky (zde kát deset na nultou ). Podobně jako s π nebo e počítá maxima s odmocninami. Částečně odmocní co lze, o numeické vyjádření musíme požádat (vyzkoušejte): C(1) sqt(75); 75 = 5 3 D(1) 5 SQRT(3) Řešení ovnic a soustav ovnic Řešení ovnice vyvoláme pomocí příkazu solve(ovnice);. Pokud je ovnice v anulovaném tvau (pavá stana je 0), stačí do závoky zapsat výaz představující levou stanu ovnice: (C1) 1/*x+5=1/3*x+7; x x (D1) + 5 = (C) solve(%); (D) [x = 1] (C3) solve(5*x+0); (D3) [x = -4] Pokud chceme řešit soustavu ovnic, je nejpřehlednější zadat každou ovnici zvlášť a potom zadat příkaz k vyřešení soustavy tak, že odkazy na jednotlivé ovnice 4 Na ozdíl od přesnosti výsledku zobazeného příkazem nume;,kteou změnit nelze

6 uspořádáme do vektou (tj. umístíme do hanatých závoek a oddělíme čákami): (C4) x-*y+z=1; (D4) x y + z = 1 (C5) -x+3*y+*z=0; (D5) - x + 3 y + z = 0 (C6) *x-y+5*z=5; (D6) x y + 5 z = 5 (C7) solve([c4,c5,c6]); (D7) [[x = 3, y = 1, z = 0]] Příkaz solve má ve skutečnosti dva paamety. Pvním z nich je ovnice, případně vekto s jednotlivými ovnicemi soustavy, duhým je neznámá, případně vekto s jednotlivými neznámými. Pokud je počet ovnic a neznámých shodný, můžeme duhý paamet vynechat. U ovnic s paametem musíme duhý paamet zadat: (C8) t*x^+t^*x+t=0; (D8) t x + t x + t = 0 (C9) solve(c8,x); SQRT(t -4) + t SQRT(t -4) - t (D9) [x = -, x = ] Všimněte si, že Maxima má ve zvyku občas řadit části výsledku jinak, než jsme zvyklí. To se vám možná stalo u soustavy ovnic, kde se nejpve zobazil kořen z a až nakonec x. V případě ovnice C8 bychom množinu řešení zapsali ve tvau { t t 4, t t 4 } navíc za nás Maxima ozhodně nepovede diskuzi 5 závislosti počtu řešení na hodnotě paametu t. Definování funkcí a standadní funkce v Maximě Velmi jednoduše můžeme definovat libovolnou polynomickou funkci. Ukažme si to na příkladech kvadatické funkce a kubické funkce: (C10) f(x):=x^-6*x+8; (D10) f(x) := x - 6 x + 8 (C11) f(1); (D11) 3 (C1) f(); (D1) 0 (C13) f(3); (D13) - 1 (C14) f(4); (D14) 0 Komplexní čísla Maxima umí pacovat s komplexními čísly. Imaginání jednotku značíme %i. Potom algebaický tva komplexního čísla je x + y*%i. Pomocí opeátou dvojtečka můžeme komplexní čísla pojmenovat jedním písmenem a pak s nimi povádět běžné algebaické opeace: (C1) a:+%i; (D1) %i + (C) b:1-*%i; (D) 1 - %i (C3) a+b; (D3) 3 - %i (C4) a-b; (D4) 3 %i + 1 (C5) a*b; (D5) (1 - %i) (%i + ) (C6) adcan(%); (D6) 4-3 %i Dělení se ovšem nepovede, ale pouze naznačí (vyzkoušejte). Komě běžných opeátoů máme k dispozici funkce po výpočet absolutní hodnoty abs(z);, po převod do poláního exponenciálního tvau polafom(z);, zjištění velikosti směového úhlu ϕ cag(z);, do goniometického tvau demoive(z); a zpět do algebaického tvau ectfom(z);: (C7) abs(a); (D7) sqt(5) (C8) abs(a*b); (D8) 5 (C9) polafom(b); - %i atan() (D9) sqt(5) %e (C10) demoive(%); 1 %i (D10) sqt(5) ( - ) sqt(5) sqt(5) Při řešení ovnic Maxima automaticky počítá i komplexní kořeny (i když koeficienty ovnice jsou eálná čísla): (C11) 5*x^+6*x+5; (D11) 5 x + 6 x + 5 (C1) solve(%); 4 %i %i - 3 (D1) [x = -, x = ] Viz příklad 7 v učebnici Chavát, J. - Zhouf, J. - Boček, L. Matematika po gymnázia - Rovnice a neovnice. Dotisk 3. vydání. Pometheus Paha 004. ISBN X

7 (C1) cos(*x)/(sin(x)+cos(x)); cos( x) (D1) sin(x) + cos(x) (C13) tigexpand(%); cos (x) - sin (x) (D13) sin(x) + cos(x) (C14) tigsimp(%); (D14) cos(x) - sin(x) cosx sin x cos x = cos xsin x sin x cos x = cos xsin x cos x sin x cos x sin x = cos xsin x Velmi opatní musíme být při řešení goniometických ovnic. Maxima může někteé kořeny vynechat - sama na to upozoňuje, peiodicitu řešení nevyznačuje a někteé ovnice odmítá řešit úplně: (C15) (5+sin(t))/(1-sin(t))=3; sin(t) + 5 (D15) = sin(t) (C16) solve(%); 'solve' is using ac-tig functions to get a solution. Some solutions will be lost. %pi (D16) [t = - ] 6 Ve skutečnosti množina všech řešení P = { 7 6 } { π k π, k Z 11 6 } π k π,k Z (C17) sin(t)+sqt(3)*cos(t)=1; (D17) sin(t) + sqt(3) cos(t) = 1 (C18) solve(%); (D18) [sin(t) = 1 - sqt(3) cos(t)] Potože tuto ovnici Maxima místo řešení pouze upavila, zkusíme ji vyřešit alespoň gaficky. Úpavu v řádku D18 využijeme a zobazíme zvlášť levou a pavou stanu: (C19) plotd([sin(t),1-sqt(3)*cos(t)],[t,0,*%pi]); Z gafu vidíme, že v intevalu <0; π) mají gafy dva půsečíky, tedy ovnice má v tomto intevalu dvě řešení. Použijeme-li záměný kříž (tedy kuzo myši) k odečtení souřadnic půsečíků a povšimneme-li si hodnot x souřadnic vidíme množinu všech řešení P = { π k π, k Z } { 11 6 π k π, k Z } (C15) f(5); (D15) 5 (C16) g(x):=x^3-8; 3 (D16) g(x) := x - 8 (C17) g(1); (D17) - 7 (C18) g(); (D18) 0 Maxima samozřejmě zná všechny běžné matematické funkce, kteé můžeme použít jak samostatně, tak jako součást definice složitějších funkcí: (C19) sin(%pi/6); 1 (D19) (C0) cos(%pi/6); SQRT(3) (D0) (C1) exp(); (D1) %E (C) log(%e); (D) 1 (C3) log(x):=log(x)/log(); LOG(x) (D3) log(x) := LOG() (C4) log(8); (D4) 3.0 Zobazování gafů funkcí příkaz plotd Pavděpodobně nejužitečnější funkcí CAS 6 Maxima po nasazení v běžné vyučovací hodině matematiky je zobazení gafu funkce na zadaném intevalu <a, b>. Používáme k němu příkaz plotd(funkce,[poměnná,od,do]);. Pokud chceme zobazit více funkcí najednou zapíšeme je do hanatých závoek, oddělené čákami, jako vekto. Jestliže pacujete pod Linuxem, spusťte si nyní Maximu v textové konzole příkazem maxima. Tím získáte všechny výhody páce v příkazovém řádku. Např. se můžete pomocí kuzoových šipek vacet k dříve zadaným příkazům a editovat je. Gafy funkcí se budou zobazovat v samostatných gafických oknech, kteá si můžete podle libosti uspořádat na ploše monitou, a páce v konzole je tak přehlednější než páce v gafickém ežimu. Maximu ukončíte příkazem quit();. 6 CAS compute algeba systém systém počítačové algeby - 7 -

8 Pokud budete chtít samostatná okna gafů v gafickém postředí Linuxu či Windows, stačí zvolit možnost Sepaate v nabídce Options > Plot Windows. (C1) plotd(sin(x),[x,0,*%pi]); (D1) 0 (C4) plot3d(x^-y^,[x,-5,5],[y,-5,5]); (D4) 0 (C5) plot3d(sin(x)-cos(y),[x,-5,5],[y,-5,5]); (D5) 0 Pokud pacujeme v textové konzole, zobazí se nám každý gaf samostatně v novém gafickém okně. Obázek okna pak snadno získáme a uložíme pomocí pogamu KSnapshot. Obázek pak můžeme vložit do svého matematického textu. Vkládaní vzoců pomocí editou OpenOffice.og Math se naučíme příště. (C) plotd([sin(x),sin(x+%pi/),sin(x)+1],[x,0,*%pi]); (D) 0 (C3) plotd([x^,x^-5*x,x^-6,x^-5*x-6],[x,-5,7]); (D3) 0 Gafy funkcí dvou poměnných příkaz plot3d Pokud nemáme k dispozici vhodný počítačový nástoj, pak ve školské matematice zpavidla postoové gafy funkcí dvou poměnných nezobazujeme. Máme-li ovšem k dispozici Maximu, je zobazení 3D gafů dílem okamžiku: Goniometie a tigonometie Po úpavy goniometických výazů se používají funkce tigeduce(výaz); tigexpand(výaz); a tigsimp(výaz);. Ukažme si to na příkladech: (C6) *sin(x)*cos(x); (D6) cos(x) sin(x) (C7) tigeduce(%); (D7) sin( x) (C8) cos(*x); (D8) cos( x) (C9) tigexpand(%); (D9) cos (x) - sin (x) Někteé složitější goniometické výazy se zjednoduší, když je nejpve ozložíme, tj. expandujeme. Ukažme si to opět na příkladech: (C10) sin(%pi/6+x)+sin(%pi/6-x); %pi %pi (D10) sin(x + ) - sin(x - ) 6 6 (C11) tigexpand(%); (D11) cos(x) sin π 6 x sin π 6 x = sin π 6 cos x sin x cos π 6 sin π 6 cos xsin xcos π 6 = sin π 6 cos x - 9 -