Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy pro případ kartézského souřadnicového systému a druhého Newtonova pohybového zákona, lze pro soustavu N hmotných bodů napsat 3N složkových pohybových rovnic. Pro jejich integraci je pak potřeba znát 6N počátečních podmínek např. pro polohy a rychlosti jednotlivých hm. Bodů. Jednotlivé hmotné body na sebe obecně vzájemně působí. Toto vzájemné působení vyjadřujeme vnitřními silami (interními), charakterizující účinek bodu i na bod j. Přitom platí. Síly, kterými na soustavu hmotných bodů působí její okolí (okolní tělesa) nazýváme silami vnějšími (externími). Výslednici všech vnějších sil působící na i-tý bod označíme. Jestliže jsou jednotlivé hmotné body vázány geometrickými vazbami buď mezi sebou, nebo ke svému okolí, pak mluvíme o soustavě vázaných hmotných bodů. Vazby snižují počet nezávislých souřadnic počet stupňů volnosti, protože mezi některými souřadnicemi platí rovnice vazby. Jestliže se v soustavě vazby nevyskytují hovoříme o soustavě volných bodů. Za soustavu hmotných bodů lze považovat i těleso nebo soustavu těles. V tom případě roste počet hmotných bodů nade všechny meze. V případě, že všechny body jsou vázány tak, že se jejich poloha vzájemně nemění hovoříme o dokonale tuhém tělese. Věty a závěry odvozené pro soustavu hmotných bodů lze tedy aplikovat i pro další mechanické modely, jako jsou především tuhá tělesa a jejich soustavy. Pohybové rovnice soustavy hmotných bodů Newtonův způsob sestavování pohybových rovnic Při sestavování pohybových rovnic postupujeme metodou uvolňování. Jednotlivé hmotné body tedy nejdříve uvolníme nahradíme jejich vazby s okolím ekvivalentním silovým působením. Na libovolný bod o hmotnosti m i pak působí jednak síly vnější a jednak síly vnitřní (obr. 2.1).
Obr. 2.1: Síly působící na soustavu hmotných bodů Výslednici všech sil působících na i-tý hmotný bod získáme jako kde index k označuje jednotlivé vnější síly a index j jednotlivé vnitřní síly působící na i-tý hmotný bod. Pro soustavu N hmotných bodů potom můžeme na základě 2. Newtonova pohybového zákona psát N vektorových pohybových rovnic U soustavy vázaných hmotných bodů vyplývají z rovnic vazeb závislosti mezi jednotlivými kinematickými veličinami, tedy i mezi jednotlivými zrychleními. Sečtením soustavy pohybových rovnic (2.2) dostaneme protože V rovnici (2-3) vystupují tedy pouze vnější síly a nazýváme ji pohybovou rovnicí celé soustavy hmotných bodů. Každou vektorovou pohybovou rovnici pro jednotlivé body (2.2) i pro celou soustavu (2.3) můžeme opět rozepsat do rovnic složkových na základě zvoleného souřadnicového systému. d Alembertův způsob sestavování pohybových rovnic
Použitím d Alembertova principu pro jednotlivé uvolněné hmotné body, zavedeme setrvačné síly Pohybové rovnice potom můžeme psát ve tvaru Jejich sečtením dostaneme Vztah (2.7) vyjadřuje rovnováhu soustavy sil tvořené vnějšími silami působící na jednotlivé hmotné body se silami setrvačnými těchto bodů. Střed hmotnosti soustavy hmotných bodů Poloha středu hmotnosti soustavy hmotných bodů je definována rovností statických momentů hmotnosti všech hmotných bodů soustavy a statického momentu celkové hmotnosti soustředěné v tomto středu. Označíme-li polohový vektor středu hmotnosti můžeme psát kde je hmotnost celé soustavy hmotných bodů. Pro obvyklý případ, kdy na všechny hmotné body působí stejné tíhové zrychlení g je střed hmotnosti (S) totožný s těžištěm (T)
Derivací podle času výrazu (2.8) dostáváme kde je hybnost celé soustavy hmotných bodů. Hybnost soustavy hmotných bodů je tedy dána hybností hmotného bodu o hmotnosti umístěného ve středu hmotnosti. Podobně derivací výrazu (2.10) dostaneme S využitím vztahu (2.3) potom platí což je věta o pohybu středu hmotnosti: Střed hmotnosti soustavy hmotných bodů se pohybuje jako hmotný bod, v němž je soustředěna hmota celé soustavy a na nějž působí všechny vnější síly. Všimněme si, že ve vztahu (2.12) nevystupují vnitřní síly. Obecně však jejich účinkem dochází ke změně polohy a rychlosti jednotlivých hmotných bodů soustavy. Budou-li v takovém případě vnější síly závislé na poloze nebo rychlosti některého z těchto bodů, dojde tím ke změně vnějších sil, a tedy i ke změně pohybu středu hmotnosti. Hybnost soustavy hmotných bodů Aplikací věty o změně hybnosti pro uvolněný hmotný bod soustavy vztah (1.26) dostaneme
kde je hybnost hmotného bodu a je impuls všech sil (vnějších i vnitřních) působících na uvolněný k-tý bod. Pro impulsy vnitřních sil platí Sečteme-li rovnice (2.13) pro jednotlivá i dostaneme což je věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů v integrálním tvaru: Změna hybnosti soustavy hmotných bodů v určitém časovém intervalu je dána impulsem všech vnějších sil v tomtéž časovém intervalu. Tato věta se také označuje jako první impulsová věta. Větu lze i formulovat v diferenciálním tvaru: Časová změna hybnosti soustavy hmotných bodů je dána součtem vnějších sil. Pro izolovanou soustavu, tedy soustavu na níž nepůsobí žádná vnější síla plyne z (2.16), že hybnost takovéto soustavy zůstává konstantní tj., což je věta o zachování hybnosti soustavy hm. bodů. Moment hybnosti soustavy hmotných bodů Aplikací věty o změně momentu hybnosti hmotného bodu k bodu O (1.33) na uvolněný i-tý hmotný bod soustavy dostaneme
kde je moment hybnosti hmotného bodu k bodu O je moment vnějších sil k bodu O je moment vnitřních sil k bodu O Sečtením rovnic (2.17) pro jednotlivá i dostaneme (výsledný moment vnitřních sil ) kde je moment soustavy hmotných bodů k bodu O. Vztah (2.18) představuje větu o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů v diferenciálním tvaru: Časová změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů k libovolnému bodu (ose) je dána součtem momentů vnějších sil k témuž bodu (ose). Tato věta se také označuje jako druhá impulsová věta. Větu lze i formulovat v integrálním tvaru: Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů k určitému bodu (ose) za určitou dobu je dána impulsem momentů všech vnějších sil k témuž bodu (ose) za stejnou dobu. Pro bod (resp. osu) pro něž platí plyne z (2.18), že moment hybnosti soustavy k tomuto bodu (ose) zůstává konstantní tj., což je věta o zachování momentu hybnosti soustavy hm. bodů. Tato podmínka je splněna pro izolovanou soustavu hmotných bodů, kde jsou všechny vnější síly nulové. Moment hybnosti soustavy hm. bodů k určitému bodu můžeme také vyjádřit jako součet momentu hybnosti celé hmoty soustředěné ve středu hmotnosti k danému bodu a momentů hybnosti jednotlivých hmotných bodů vzhledem ke středu hmotnosti soustavy.
kde je polohový vektor i-tého hmotného bodu vzhledem ke středu hmotnosti a je vektor rychlosti i-tého hmotného bodu vzhledem ke středu hmotnosti Kinetická energie soustavy hmotných bodů platí Použijeme-li pro uvolněný i-tý hmotný bod soustavy větu o změně kinetické energie např. ve tvaru (1.36), kde a ( jsou síly vnější i vnitřní, které působí na i-tý uvolněný hmotný bod) Zavedeme-li kinetickou energii soustavy hmotných bodů, práci všech (vnějších i vnitřních) sil a sečteme rovnice (2.21) pro jednotlivá i dostaneme Zdůrazněme, že práce vnitřních sil není obecně nulová, protože
a obecně např. při poddajném spojení. Je to jediný případ, kdy v základních větách dynamiky soustav hmotných bodů psaných pro celou soustavu vystupují vnitřní síly. Ve vztahu pro práci je zahrnuta i práce reakčních sil ve vazbách. U vazeb bez pasivních odporů je práce reakcí nulová a u vazeb s pasivními odpory je dána prací pasivních odporů. U vázaných soustav hmotných bodů není nutno tedy sledovat nepracovní složky reakcí, protože jejich práce je nulová. Označíme-li tyto síly jako vazbové a ostatní síly jako pracovní, zahrnující síly akční a pracovní složky reakcí, můžeme psát Celková práce je tedy dána pouze prací pracovních sil. Vztah (2.23) můžeme tedy přepsat do tvaru což je věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů v elementárním tvaru: Elementární změna kinetické energie soustavy hmotných bodů je dána elementární prací všech pracovních (vnějších i vnitřních) sil. Vztah (2.27) můžeme upravit na kde je výkon všech pracovních sil. Vztah (2.28) představuje větu o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů v diferenciálním tvaru: Časová změna kinetické energie soustavy hmotných bodů je dána výkonem všech pracovních sil. Integrací výrazu (2.27) mezi dvěma polohami dostaneme větu o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů v integrálním tvaru
Větu můžeme formulovat jako: Změna kinetické energie soustavy hmotných bodů mezi dvěma polohami je dána prací všech pracovních sil vykonanou při přemístění mezi těmito polohami. Zvláštní situace nastává, jsou-li všechny pracovní síly potenciální (viz kap. 1.3.4). jejich práce je pak dána rozdílem potenciálu v konečné a počáteční poloze nebo při použití potenciální energie rozdílem potenciálních energií Zavedeme-li potenciál všech potenciálních sil, resp. potenciální energii všech potenciálních sil můžeme vztah (2.29) přepsat do tvaru nebo s uvážením do tvaru kde E c je celková mechanická energie. Vztah (2.34) představuje větu o zachování mechanické energie soustavy hmotných bodů: Pokud všechny síly působící na soustavu hmotných bodů jsou síly potenciální (konzervativní), pak celková mechanická energie soustavy (součet kinetické a potenciální energie) se nemění.