III. Dynamika hmotného bodu

III. Dynamika hmotného bodu Příklad 1. Vlak o hmotnosti 800 t se na dráze 500 m rozjel z nulové rychlosti na rychlost 20 m. s 1. Lokomotiva působila silou 350 kn. Určete součinitel smykového tření. [0,004] Návod: Nejprve určíme zrychlení vlaku. Protože se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem s nulovou počáteční rychlostí, platí, že v = at, s = 1 2 at2 = s = 1 v 2 2 a = a = 1 v 2 2 s Celkovou sílu působící na vlak určíme ze vztahu F = ma = 1 mv 2 2 s.. = 0,4 m s 2. Tato síla je rovná rozdílu tažné síly lokomotivy F l = 350 kn a třecí síly F t = fr = ff G = fmg, proto platí, že F l fmg = ma, odkud pro f součinitel smykového tření vyplývá, že f = F l ma mg = 350000-800000. 0,4 800000. 9,8. = 0, 004. Příklad 2. Těleso o hmotnosti 6,0 kg leží na podložce s koeficientem smykového tření 0,25. Vodorovně na těleso začne působit síla 28 N. Jakou rychlost těleso získá za 8,0 s? [17,7 m. s 1 ] Návod: Výslednice sil působících na těleso je rozdíl tažné a třecí síly, tedy F V = F F t = F fmg. = 28 N 0,25. 6. 9,8 N. = 13,3 N. Těleso se tedy pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením Za čas t = 8,0 s získá rychlost a = F V m = F fmg m. = 2,22 m s 2. v = at = F fmg t =. 17,7 m/s. ma Příklad 3. Vlak má hmotnost 400 t a pohybuje se rovnoměrně. V určitém okamžiku přestane působit tažná síla lokomotivy a vlak se zastaví účinkem odporových sil o velikosti 200 kn za dobu 1 min. a) Určete původní rychlost vlaku při rovnoměrném pohybu. b) Na jaké dráze vlak zastavil? [30 m. s 1, 900 m] 1

Návod: a) Zrychlení, s nímž vlak zpomaluje, má velikost a = F m = 200 kn 400 t = 0,5 m. s 2. Zastavuje po dobu t = 1 min = 60 s, měl tedy rychlost v 0 = at = 30 m/s. b) Vlak zastaví na dráze (pohyb rovnoměrně zpomalený = záporné zrychlení) s = v 0 t + 1 2 at2 = 30 60 m + 1 2 ( 0,5) 602 m = 900 m. Příklad 4. Automobil o hmotnosti 2,5 t jel rychlostí 18 km. h 1. Působením stálé síly zrychlil na dráze 150 m na rychlost 54 km. h 1. Vypočtěte velikost síly, jestliže tření a odpor zanedbáváme. Návod: Převody: 18 km/h = 18 : 3,6 m/s = 5 m/s, 54 km/h = 54 : 3,6 m/s = 15 m/s. Označme v 1 = 18 km/h = 5 m/s, v 2 = 54 km/h = 15 m/s. Abychom vypočetli působící sílu F, musíme vypočítat zrychlení automobilu a. To vypočteme ze vztahu a = v 2 v 1 ( ) t kde t je čas, za který automobil zrychlil z rychlosti v 1 na rychlost v 2. Ten neznáme, víme však, že automobil během zrychlování urazil dráhu s = 150 m, kterou můžeme vypočítat ze vztahu s = 1 2 at2 + v 1 t Po dosazení za zrychlení a dostaneme s = 1 ( ) v2 v 1 t 2 +v 1 t = 1 2 t 2 (v 2 v 1 )t+v 1 t = 1 2 v 2t 1 2 v 1t+v 1 t = 1 2 v 2t+ 1 2 v 1t = v 1 + v 2 t 2 Z výsledného vztahu vyjádříme, že s = v 1 + v 2 t 2 t = v 1 + v 2 a po dosazení do vztahu ( ) pro zrychlení dostaneme a = v 2 v 1 t = v 2 v 1 = (v 2 v 1 )(v 2 + v 1 ) = v2 2 v1 2 v 1+v 2 2

Číselně vyjde a = 152 5 2 2 150 m. 225 25 s 2 = 300 m. s 2 = 2 3 m. s 2 Pro působící sílu pak máme vztah (m = 2,5 t = 2500 kg) F = ma = 2500 2 3 N = 5000 3 N = 5 3 kn. = 1, 66 kn. Příklad 5. Cyklista jedoucí rychlostí 18 km. h 1 do kopce se sklonem 5% přestal šlapat. Jak daleko dojede setrvačností, můžeme-li odpor vzduchu zanedbat? [25 m] (V kopii na stránkách je chybný výsledek.) Návod: Cyklista se pohybuje po nakloněné rovině. Její sklon musíme přepočítat na úhel náklonu. Sklon 5% značí, že na 100 m dráhy cyklista vystoupá o 5 m. Pro odpovídající úhel α platí Proti cyklistovi působí síla Ta jej zpomaluje, pro zpomalení platí a = F m sin α = 5 = 0, 05 100 F = F G sin α = mg sin α = 0, 05mg = 0, 05mg m = 0, 05g. = 0, 05 9, 81 m. s 2. = 0, 49m. s 2 Označme v 0 = 18 km/h = 5 m/s počáteční rychlost cyklisty. S vypočteným zpomalením cyklista ujede dráhu s = v 0 t z 1 2 at2 z kde t z je čas, který uplyne do zastavení cyklisty. Tento čas potřebujeme určit. Protože pro rychlost v cyklisty platí, že v = v 0 at, pro čas t z, kdy rychlost v klesne na nulu, platí 0 = v 0 at z t z = v 0 a Po dosazení dosazení do vztahu pro dráhu máme v 0 s = v 0 a 1 2 av2 0 a 2 = 1 v0 2 2 a = 1 2 5 2 0, 49 m. = 25 m 3

Příklad 6. Nakloněná rovina svírá s vodorovnou úhel 20 a její délka je 2,5 m. Jakou rychlost získá těleso, které položíme na vrchol a necháme je sjet z nakloněné roviny. Tření zanedbáváme. [4,1 m. s 1 ] Návod: Na těleso působí ve směru podél nakloněné roviny síla která tělesu uděluje zrychlení F = F G sin α = mg sin α a = F m = g sin α Dráhu s těleso (rozjíždějící se z klidu) urazí za čas t, pro který platí s = 1 2 at2 = t = a Za tento čas získá rychlost v = at = a a = a = g sin α číselně v = 2 2, 5 9, 81 sin 20 m/s. = 4, 1 m/s Příklad 7. Řetízek sklouzl z desky stolu v okamžiku, kdy třetina délky visela přes hranu desky. Určete součinitel smykového tření na desce. [0,5] Návod: Označme m hmotnost řetízku. Ve chvíli, kdy jeho jedna třetina visí ze stolu, působí na tuto třetinu tíhová síla F G = 1 3 mg Dvě třetiny ležící na stole naopak brzdí síla tření, pro kterou platí F t = 2 3 fmg Tyto dvě síly jsou podle zadání přibližně v rovnováze (řetízek sklouzl až ve chvíli, kdy jedna třetina visela ze stolu, předtím ne). Proto 1 3 mg = 2 3 fmg 1 3 = 2 3 f 1 = 2f f = 1 2 = 0, 5 4

Příklad 8. Dvě tělesa o hmotnostech 25 kg a 65 kg jsou vzdálena 8,0 m. První těleso začne přitahovat druhé stálou silou 12 N. Za jak dlouho se setkají? [4,9 s] Návod: Síla F = 12 N prvnímu tělesu udělí zrychlení a druhému tělesu zrychlení a 1 = F m 1 = 12 25 m. s 2 a 2 = F m 2 = 12 65 m. s 2 Obě tělesa jsou na počátku v klidu a ve vzdálenosti s = 8,0 m. Působením síly F se začnou pohybovat proti sobě rovnoměrně zrychleným pohybem, první těleso urazí dráhu s 1 = 1 2 a 1t 2 a druhé dráhu s 2 = 1 2 a 2t 2, obě se totiž pohybují po stejný čas t. Součet drah při srážce musí dát dráhu s = 8 m, platí tedy Číselně s = s 1 + s 2 s = 1 2 a 1t 2 + 1 2 a 2t 2 = a 1 t 2 + a 2 t 2 = (a 1 + a 2 )t 2 t 2 = a 1 + a 2 t = a 1 + a 2 2 8 t = = a 1 + a 2 12 65 + 12 25 s. = 4,9 s Příklad 9. Pružná koule o hmotnosti 30 g dopadne na stěnu rychlostí 9,0 m. s 1. Vektor rychlosti svírá se stěnou úhel 40. Náraz trvá 0,20 s a koule se po něm odrazí se stejnou rychlostí. Určete jakou průměrnou silou působila stěna na kouli. [1,7 N] Návod: Označme α = 40 a t = 0,20 s čas srážky. Vektor rychlosti rozložíme do dvou směrů: kolmého na stěnu v = v sin α a rovnoběžného se stěnou v = v cos α. Složka rychlosti v rovnoběžná se stěnou se nemění. Složka rychlosti v kolmá ke stěně si zachová velikost, změní se ale její orientace na opačnou. Z hodnoty v se tedy změní na hodnotu v. Rozdíl před a po srážce je tedy v = v ( v ) = 2v = 2v sin α. Hodnota zrychlení je tudíž a = v t = 2v sin α t 5

Působící síla během srážky má velikost číselně F = F = ma = 2mv sin α t 2 0, 03 9, 0 sin 40 0, 20 N. = 1,7 N. Příklad 10. Na těleso pohybující se vodorovně rychlostí 3,0 m. s 1 začne ve směru pohybu působit stálá síla 20 N. Za jak dlouho od tohoto okamžiku urazí těleso dráhu 27 m? Hmotnost tělesa je 40 kg. [6 s] Návod: Síla bude těleso urychlovat, zrychlení bude Pro dráhu platí po dosazení a = F m = 20 40 m. s 2 = 0, 5 m. s 2. s = 1 2 at2 + v 0 t 27 = 1 2 0, 5 t2 + 3 t 27 = 0, 25t 2 + 3t / 4 108 = t 2 + 12t t 2 + 12t 108 = 0 Kvadratický trojčlen na levé straně lze rozložit (t 6)(t + 18) = 0 a kvadratická rovnice má tedy dvě řešení, t 1 = 6 s a t 2 = 18 s. Druhé (záporné) řešení označuje nějaký čas v minulosti, který nás nezajímá. Tudíž odpověd je t 1 = 6 s. Příklad 11. Těleso o hmotnosti 400 g leří na desce a je spojeno nití přes kladku s tělesem o hmotnosti 50 g, které volně visí ve vzduchu. Určete zrychlení obou těles a sílu napínající nit. Tření, hmotnost kladky i nití zanedbáváme. [1,1 m. s 2, 0,44 N] Návod: Na těleso o hmotnosti m 2 = 50 g = 0,05 kg působí síla tíhová F G = m 2 g a proti ní F síla, která je reakcí na napínané lanko. Celková síla působící na volně visící těleso je tedy F G F = m 2 g F. Síla o stejné velikosti F zároveň působí na těleso o hmotnosti m 1 = 400 g = 0,4 kg ležící na desce. Jestliže zanedbáváme tření, je jediná. Obě tělesa jsou spojená napnutým lankem, musí se tedy pohybovat se stejným zrychlením a. Pro těleso na desce platí F = m 1 a 6

pro těleso visící ve vzduchu platí F G F = m 2 a Po dosazení ze vztahu pro tíhovou sílu F G = m 2 g a ze vztahu F = m 1 a výše máme m 2 g m 1 a = m 2 a Číselně a = m 2 g = m 1 a + m 2 a m 2 g = (m 1 + m 2 )a a = m 2g m 1 + m 2 0, 05 9, 81 0, 05 + 0, 4 m. s 2. = 1,1 m. s 2 Pro sílu F napínající nit máme (viz vztah výše) F = m 1 a. = 0, 4 1, 1 N = 0,44 N. Příklad 12. Hmotnost rakety je 15 t. Po svislém startu má za 100 s získat rovnoměrně zrychleným pohybem rychlost 2,0 km. s 1. Jak velká musí být tahová síla motoru? V jaké výšce nad zemí v tu chvíli bude? Úbytek hmotnosti paliva a odpor zanedbáváme a tíhové zrychlení považujeme za stálé. [447 kn, 100 km] Návod: Jestliže tahová síla F motoru má být stálá, raketa bude mít také stálé zrychlení a. Za čas t = 100 s má zrychlit o v = 2,0 km/s = 2 000 m/s, zrychlení je tedy a = v t = 2000 100 m. s 2 = 20 m. s 2 Musíme si uvědomit, že proti tahové síle motoru F působí ještě tíhová síla F G. Platí, že F F G = ma a pro tahovou sílu motoru tedy máme (m = 15 t = 15 000 kg) F = ma+f G = ma+mg = m(a+g)15000 (20+9, 81) N = 447 150 N. = 447 kn. Výška nad zemí je rovna uražené dráze s, pro kterou platí s = 1 2 at2 = 1 2 20 1002 m = 100 000 m = 100 km Příklad 13. Střela o hmotnosti 10 g je vystřelena rychlostí 900 m. s 1 z pušky o hmotnosti 3,75 kg. Jakou rychlost získá puška, jestliže není upevněna? [2,4 m. s 1 ] 7

Návod: Označme m 1 = 10 g = 0,01 kg hmotnost střely a v 1 = 900 m/s její rychlost. Označme m 2 = 3,75 kg hmotnost pušky a v 2 =? její rychlost, kterou máme spočítat. Hybnost pušky i střely před výstřelem byla nulová, podle zákona zachování hybnosti musí celková hybnost zůstat nulová také po výstřelu. To znamená, že 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 a tedy číselně m 2 v 2 = m 1 v 1 v 2 = m 1v 1 m 2 0, 01 900 v 2 = 3, 75 m/s = 2, 4 m/s Puška se tedy bude pohybovat rychlostí 2,4 m/s, znaménko minus značí, že opačným směrem než vystřelený náboj. Příklad 14. Z děla byla vystřelena střela o hmotnosti 30 kg rychlostí v = 600 m. s 1. Hmotnost děla je 1200 kg. Hlaveň se zastavila na dráze 0,8 m. Vypočtěte a) maximální rychlost hlavně, b) průměrnou sílu proti pohybu hlavně, c) oč se změnila energie hlavně. (Naučíme se počítat ve 4. kapitole Práce, výkon, energie.) Návod: Označme m = 30 kg hmotnost střely a v = 600 m/s její rychlost. Označme m d = 1200 kg hmotnost děla, v d =? rychlost hlavně po výstřelu (máme spočítat) a s = 0,8 m jím uraženou dráhu. Maximální rychlost má hlaveň hned po výstřelu. Podle zákona zachování hybnosti (viz také minulý příklad pro podrobnější komentář) platí, že hlaveň se pohybuje opačným směrem než střela s rychlostí m d v d = mv v d = mv 30 600 = m d 1200 m/s = 15 m/s Předpokládejme, že hlaveň zpomaluje s konstantním zrychlením a působením stálé (průměrné) síly F. Pro dráhu, kterou hlaveň urazí, máme s = v d t 1 2 at2 a protože hlaveň zpomaluje do nulové rychlosti, je a = v d t, tudíž t = v d a. Po dosazení za t do vztahu pro dráhu dostaneme v d s = v d a 1 2 av2 d a 2 = 1 vd 2 2 a 8

odkud vyjádříme, že a = v2 d = 152 2 0, 8 m. s 2. = 140 m. s 2 Průměrná síla proti pohybu hlavně musí být F = m d a = 1200 140 N. = 168 kn. Energie hlavně se změnila o kinetickou energii udělenou nárazem, tedy o hodnotu E k = 1 2 m dv 2 d = 1 2 1200 152 J. = 135 kj. Příklad 15. Hlaveň děla má hmotnost 200 kg. Vyletí z ní náboj o hmotnosti 30 kg. Pohyb hlavně trvá 18 ms a hlaveň zastaví na 80 cm. Určete rychlost náboje. Návod: Nejprve určíme rychlost hlavně v d hned po výstřelu. Označme s = 80 cm = 0,8 m dráhu, kterou hlaveň urazí, a t = 18 ms = 0,018 s čas do zastavení. Pro uražnou dráhu platí s = v d t 1 2 at2 kde a je zpomalení hlavně. To můžeme vypočítat ze vztahu a = v d t, nebot za čas t hlaveň zpomalí z rychlosti v d na nulu. Po dosazení dostaneme tedy s = v d t 1 v d 2 t t2 = 1 2 v dt s = 1 2 v dt a odtud vyjádříme v d = t = 2 0, 8 0, 018 m/s. = 88,9 m/s Označme nyní m = 30 kg hmotnost střely a v =? její rychlost, kterou máme spočítat. Podle zákona zachování hybnosti (viz také příklady předchozí) máme, že mv = m d v d v = m d m v d = m d m t = 200 2 0, 8 30 0, 018 m/s =. 590 m/s. Příklad 16. První koule má hmotnost 0,50 kg a rychlost 5,0 m. s 1 a druhá koule hmotnost 1,0 kg a rychlost 8,0 m. s 1. Pohybují se stejným směrem a srazí se dokonale nepružným rázem. Jakou rychlostí se budou společně pohybovat a kolik mechanické energie se přemění na energii jiného druhu? [7 m. s 1, 1,5 J] 9

Návod: Označme m 1 = 0,5 kg, v 1 = 5,0 m/s, m 2 = 1,0 kg, v 2 = 8,0 m/s. Po srážce se koule pohybují společně rychlostí v =?, kterou máme spočítat. Podle zákona zachování hybnosti platí celková hybnost před srážkou = celková hybnost po srážce m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v a tedy v = m 1v 1 + m 2 v 2 0, 5 5, 0 + 1, 0 8, 0 = m 1 + m 2 0, 5 + 1, 0 Energie koulí před srážkou je m/s. = 7 m/s. 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 6,25 J + 32 J = 38,25 J, energie po srážce je 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 = 36,75 J. Rozdíl celkové (kinetické) energie koulí před a po srážce je 38, 25 J 36, 75 J = 1,5 J. Tato energie se přeměnila na vnitřní energii koulí při deformaci (srážka byla nepružná). Příklad 17. Jedeme setrvačností na vozíku, jehož hmotnosti i s námi a nákladem činí 200 kg rychlostí 2 m. s 1. Směrem dozadu vyhodíme závaží 15 kg rychlostí 6,0 m. s 1 vzhledem k zemi. Na jakou hodnotu se v tu chvíli změní rychlost vozíku? [2,45 m. s 1 ] (Špatný výsledek na kopii.) Návod: Označme m = 200 kg, v 1 = 2 m/s, m z = 15 kg, v z = 6 m/s a v 2 =? rychlost vozíku po odhození závaží, kterou máme spočítat. Podle zákona zachování hybnosti se celková hybnost zachovává, je tedy mv 1 = m z ( v z ) + mv 2, přitom znaménko minus u v z značí, že závaží házíme opačným směrem, než se pohybuje vozík. Je tedy mv 1 = m z ( v z ) + mv 2 mv 1 = m z v z + mv 2 Číselně mv 1 + m z v z = mv 2 v 2 = mv 1 + m z v z m = v 1 + m z m v z v 2 = 2 m/s + 15 6 m/s = 2 m/s + 0, 45 m/s = 2, 45 m/s. 200 10

Příklad 18. Zavěšený granát o hmotnosti 800 g se výbuchem roztrhl na tři části. První část o hmotnosti 250 g se po výbuchu pohybovala rychlostí 18 m. s 1, druhá o hmotnosti 150 g se pohybovala rychlostí 22 m. s 1. Rychlosti jsou na sebe kolmé. Určete rychlost třetí části. Návod: Hybnost granátu (resp. všech jeho tří částí) před výbuchem byla nulová. Podle zákona zachování hybnosti musí být celková hybnost nulová stále. Označme p 1, p 2 a p 3 hybnosti první, druhé a třetí části po srážce jejich vektorový součet musí být nulový, jak naznačuje diagram níže. p 3 p 1 p 2 Velikost hybnosti p 3 (rovnou délce šipky p 3, resp. délce čárkované šipky v diagramu) můžeme z hybností p 1 a p 2 vypočítat podle Pythagorovy věty: p 3 = p 21 + p22 = m 2 1 v2 1 + m2 2 v2 2 Po dosazení p 3 = m 3 v 3 máme a dělením m 3 dostaneme, že m 3 v 3 = m 2 1 v2 1 + m2 2 v2 2 v 3 = 1 m 3 m 2 1 v2 1 + m2 2 v2 2 Hmotnosti částí jsou m 1 = 0,25 kg, m 2 = 0,15 kg, m 3 = m m 1 m 2 = 0,4 kg. Rychlosti jsou v 1 = 18 m/s, v 2 = 22 m/s. Číselně tedy vyjde v 3 = 1 0, 252 18 0, 4 2 + 0, 15 2 22 2 m/s =. 14,0 m/s. Příklad 19. Závěs řetízkového kolotoče, který je zavěšen na obvodu vodorovně se otáčejícího disku o poloměru r = 3,0 m, svírá s osou otáčení úhel 30. Délka závěsu je 6,0 m. Určete úhlovou rychlost otáčení sedačky. [0,97 rad. s 1 ] Návod: Ve vztažné soustavě spojené se sedačkou na sedačku působí následující síly: síla tíhová F G svisle dolů, síla (setrvačná) odstředivá F S vodorovně od středu kolotoče a síla F, kterou je napínán závěs. Protože sedačka je v této 11

vztažné soustavě v klidu, musí být vektorový součet těchto sil nulový, jak naznačuje také silový diagram níže. Přitom úhel α v diagramu je roven 30, nebot síla F má směr závěsu (a ten svírá se svislým směrem úhel 30 podle zadání úlohy). F F G α F s Z diagramu vyplývá, že tg α = F s F G přitom F S = mω 2 r a F G = mg, kde m je hmotnost sedačky, ω její úhlová rychlost a r poloměr kružnice, kterou obíhá. Po dosazení a zkrácení dostaneme, že tg α = mω2 r mg tg α = ω2 r g ω 2 = g tg α r g tg α ω = r zbývá tedy dopočítat r. Je dáno, že disk horní části kolotoče má poloměr R = 3 m a závěs délku l = 6 m (viz obrázek). R α l r 12

Tudíž Podle obrázku je Číselně r = R + l sin α g tg α g tg α ω = = r R + l sin α ω. = 0, 97 rad. s 1. Příklad 20. Při jaké rychlosti je tlaková síla automobilu na kruhový mostní oblouk poloviční než jeho tíha? Poloměr oblouku je 30 m. [12,1 m. s 1 ] Návod: Při takové, kdy je velikost odstředivé síly poloviční než velikost tíhové síly, tedy když platí F s = 1 2 F G m v2 r = 1 2 mg v 2 r = 1 2 g v 2 = 1 2 gr Číselně v. = 12,1 m/s. v = 1 2 gr Příklad 21. Na jednom konci lodě o hmotnosti 45 kg a délce 3,6 m stojí člověk o hmotnosti 90 kg. Jak daleko by se lod posunula, kdyby člověk přešel na její opačný konec? Odpor vody zanedbáváme. [2,4 m] Návod: Jestliže nepůsobí vnější síly a celková hybnost je nulová, pak (ve vztažné soustavě spojené se zemí) se zachovává poloha těžiště soustavy. Jestliže člověk o hmotnosti m 1 sedí na jednom konci lod ky o hmotnosti m 2 a délce l, pak pro polohu x těžiště od kraje lod ky, kde člověk sedí, platí Číselně x = m 1 0 + m 2 l/2 m 2 l = m 1 + m 2 2(m 1 + m 2 ) x = 0, 6 m Od středu lod ky má tedy těžiště vzdálenost l 2 x = 1,2 m 13

Pokud by člověk seděl na druhé straně, těžiště by se z jedné strany lod ky také přesunulo na druhou, tedy se posune o dvakrát 1,2 m, tedy celkem o 2,4 m. O tolik se také musí posunout lod ka, aby těžiště soustavy zůstalo ve stejné poloze (vůči zemi). Příklad 22. Přes pevnou kladku zanedbatelné hmotnosti je vedeno vlákno, na kterém visí závaží o hmotnosti 200 g a 300 g. Určete zrychlení závaží a síly, kterými je napínáno vlákno. [1,96 m. s 2, 2,35 N] Návod: Těžší těleso o hmotnosti m 2 = 0,3 kg se zřejmě bude pohybovat dolů a lehčí o hmotnosti m 1 = 0,2 kg vzhůru. Obě tělesa se budou pohybovat se stejným konstantním zrychlením a (nebot působící síly mají stálé velikosti i směry). Na těžší těleso působí tíhová síla F G2 = m 2 g (ve směru pohybu) a proti ní síla napínající vlákno F. Máme tedy F G2 F = m 2 a m 2 g F = m 2 a Na lehčí těleso působí tíhová síla F G1 = m 1 g (proti směru pohybu) a proti ní síla napínající vlákno F. Máme tedy Dostáváme tedy soustavu rovnic F F G1 = m 1 a F m 1 g = m 1 a m 2 g F = m 2 a F m 1 g = m 1 a s neznámými F a a. Sečtením obou rovnic dostaneme což po dosazení dává m 2 g F + F m 1 g = m 2 a + m 1 a m 2 g m 1 g = m 2 a + m 1 a g(m 2 m 1 ) = a(m 2 + m 1 ) a = m 2 m 1 m 2 + m 1 g a = 1 5 g. = 1,96 m. s 2 Pro sílu napínající vlákno můžeme vyjádřit například z rovnice pro první těleso F m 1 g = m 1 a číselně vyjde F = m 1 g + m 1 a = m 1 (g + a) F. = 2,35 N. 14

Příklad 23. Vzdušný balon o celkové hmotnosti M (včetně plynové náplně) klesá s konstantní rychlostí v. Jakou hmotnost m musí mít vyhozená zátěž, aby balon rovnoměrně stoupal rychlostí o stejné velikosti? Celkový objem balonu je V, hustota okolního vzduchu ϱ. Změnu tlakové síly a změnu velikosti odporu vzduchu odhozením zátěže zanedbejte. Řešte nejprve obecně, pak numericky pro hodnoty M = 1050 kg, V = 1000 m 3, ϱ = 1,0 kg. m 3. [m = 2(M ϱv ), 100 kg] Příklad obsahuje vztlakové síly (a Archimédův zákon), o nich bude řeč v sedmé kapitole Mechanika kapalin a plynů. Návod: Ve chvíli, kdy balon klesá, působí na něj síla tíhová F G = Mg a proti ní síla vztlaková F vz = V ϱg a odpor vzduchu F o, přičemž tyto síly musí být v rovnováze, protože balón se pohybuje rovnoměrně. Je tedy a tedy F G F vz F o = 0 F o = Mg V ϱg Po odhození zátěže s balón pohybuje rovnoměrně vzhůru. Opět na něj působí tíhová síla F G = (M m)g (menší o odhozenou zátěž), vztlaková síla F vz = V ϱg (ta se nezmění) a odpor vzduchu F o, který má stejnou velikost jako prve, ale protože působí vždy proti směru pohybu, působí nyní společně s tíhovou silou svisle dolů. Síly jsou opět v rovnováze (pohyb je rovnoměrný), a tudíž máme F G F vz + F o = 0 a tedy po dosazení ze vztahů výše máme Odtud máme vyjádřit m. odkud po zkrácení g vyplývá, že Číselně m = 100 kg. (M m)g V ϱg + Mg V ϱg = 0 Mg mg V ϱg + Mg V ϱg = 0 2Mg 2V ϱg = mg m = 2(M ϱv ) 15