1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1. Shodnost prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X, Y v tomto zobrazení platí: X Y = XY Přímá shodnost Nepřímá shodnost - shodnost trojúhelníků Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: Typy shodných zobrazení a. Středová souměrnost Střed S střed souměrnosti Shodné zobrazení, které zobrazuje střed S na sebe sama a bod A různý od S na bod A tak, že platí AS = A S samodružné body - samodružné přímky -
Planimetrie 2/12 Příklad: S(S): AB A'B'. Najdi střed S. Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte S(S[4, 0]): ABC A B C. b. Osová souměrnost Osa o osa souměrnosti Shodné zobrazení, které zobrazuje každý bod osy o na sebe sama a bod A mimo osu o na bod A tak, že platí AA o a střed úsečky AA leží na ose o samodružné body - samodružné přímky -
Planimetrie 3/12 Příklad: O(p): AB A'B'. Najdi přímku p. Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte O(p): ABC A B C. Přímka p: x = 4. c. Posunutí ( = Translace) Orientovaná úsečka (P počáteční bod, K koncový bod) udává velikost a směr Shodné zobrazení, které zobrazí každý bod A na bod A tak, že platí: AA PK, AA = PK samodružné body - samodružné přímky -
Planimetrie 4/12 Příklad: T(PK): AB A'B'. Najdi úsečku PK. Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte T(BC): ABC A B C. d. Otočení ( = Rotace) Orientovaný úhel polopřímka SP počáteční rameno polopřímka SK koncové rameno Shodné zobrazení, které je dáno středem otočení a orientovaným úhlem φ. Otočení o φ = 0 (násobky 360 ) - identita Otočení o φ = 180 - středová souměrnost.
Planimetrie 5/12 Příklad: R(S, α): AB A'B'. Najdi střed otáčení a úhel. Jsou dány body A[-1, 4], B[3, 0], C[-4, 1]. Zobrazte R(O[0, 0], α = 60 ): ABC A B C.
Planimetrie 6/12 1. Uveďte základní vlastnosti středové souměrnosti: a) Co platí, je-li bod X vzorem a X jeho obrazem ve středové souměrnosti se středem S? b) Který bod je v tomto zobrazení samodružný? c) Jaká je vzájemná poloha přímky p a jejího obrazu p? d) popište vzájemnou polohu polopřímek ohraničujících daný úhel AVB a jeho obraz A V B ve středové souměrnosti. 2. Uveďte základní vlastnosti osové souměrnosti a) co platí, je-li bod X vzorem a bod X jeho obrazem v osové souměrnosti s osou o? b) které body jsou samodružné? c) jakou vzájemnou polohu mají přímka p a její obraz p? d) jakou vlastnost mají dva úhly AVB a A V B souměrně sdružené podle osy? 3. Uveďte vlastnosti posunutí, které je určeno dvojicí bodů M (vzor) a N (obraz) tj. orientovanou úsečkou MN: a) Jaký význam má délka a směr posunutí pro libovolnou dvojici bodů vzor X a jeho obraz X? b) Existují v posunutí samodružné body? c) Jaká je vzájemná poloha přímky p a jejího obrazu p? d) popište vzájemnou polohu a vztah polopřímek ohraničujících daný úhel AVB a jeho obraz A V B? 4. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Určete jeho obraz v osové souměrnosti s osou o. Volte: a) o prochází bodem A a úsečku BC protíná v jejím vnitřním bodě, b) o je přímka AB,
Planimetrie 7/12 5. V bodě S sestrojte kružnici k o poloměru 3 cm. Sestrojte obraz kružnice k v osové souměrnosti s osou p, tento obraz k dále zobrazte ve středové souměrnosti se středem v bodě O a tento obraz k zobrazte v posunutí učeném orientovanou úsečkou PQ. 2. Podobnost Trojúhelník KLM je podobný trojúhelníku ABC, právě když existuje kladné číslo k takové, že pro jejich strany platí: KL = k.ab, KM = k.ac, LM = k.bc KLM ABC (na pořadí vrcholů záleží) KLM je podobný ABC k = koeficient podobnosti trojúhelníků KLM a ABC k >1 zvětšení k <1 zmenšení k =1 - trojúhelníky jsou shodné 1. Které z následujících trojúhelníků jsou podobné s ABC, kde a =12, b =15 a c =18 a) trojúhelník KLM: k =12, l =10, m = 8 b) trojúhelník XYZ o stranách 28;24;36 c) trojúhelník EFG: EF = 6, EG = 4, FG = 5
Planimetrie 8/12 2. Pro poměr stran v trojúhelníku ABC platí a : b : c = 6 : 5: 4. Které z uvedených trojúhelníků jsou s ním podobné? a) 30; 25; 15 b) 8; 10; 12 c) 18; 20; 24 3. Pro trojúhelníky platí ABC KLM. Urči zbývající strany, pokud víme, že platí: a = 5, b = 4, c = 6, l = 6. 4. Dva z vnitřních úhlů trojúhelníka ABC mají velikosti 47 a 56. Dva z vnitřních úhlů trojúhelníka KLM mají velikosti 77 a 56. Jsou si trojúhelníky podobné? 5. Pro trojúhelníky platí ABC LKM s koeficientem podobnosti q = 3. Urči zbývající strany obou trojúhelníků, pokud víme, že platí: a = 9, k = 4, m = 3.
Planimetrie 9/12 6. Na obrázku jsou rovnoběžky a, b a jejich příčka c. Vyznačeny jsou délky některých úseček. Délka úsečky MN je: 5 7 8 9 A/ cm B/ cm C/ 3 cm D/ cm E/ cm 2 2 3 4 7. Na obrázku jsou dva čtverce ABCD a BEFG s délkami stran AB = 5cm, BE = 8cm. Bod H je průsečík přímek BG a AF. Obsah trojúhelníku ABH je přibližně: A/ 6,2 cm 2 B/ 7,7 cm 2 C/ 12,4 cm 2 D/ 15,4 cm 2 E/ 16,0 cm 2 3. Úhly Vrcholové úhly Vedlejší úhly Souhlasné úhly Střídavé úhly 1. Na obrázku je rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AC a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník BCD se základnou BC. Body A, B, D leží na téže přímce. Zjisti velikost úhlu ACD.
Planimetrie 10/12 2. Zjisti velikost úhluω z obrázku, je-li α = 32, β = 86. 3. Zjisti velikost zbývajících úhlů. 60 α 70 β γ γ β δ 115 α 100 4. Středový a obvodový úhel Oblouk kružnice Středový úhel Obvodový úhel - Thaletova věta - všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. - obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý. Platí : ω = 2 γ Příklady: a) Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníků: ABG, ACE, BEH
Planimetrie 11/12 b) Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku: c) Vypočtěte úhel, který svírají přímky procházející body 7, 2 a 1, 4 d) Vypočtěte úhly 4-úhelníku vepsaného do kružnice, jehož vrcholy dělí kružnici v poměru 2:3:3:4.
Planimetrie 12/12 5. Obsahy a obvody rovinných obrazců Obvod Obsah Proměnné a strana čtverce, Čtverec o = 4a S = a 2 1 e úhlopříčka = e 2 2 Obdélník o = 2.(a+b) S = Kosočtverec o = 4a S = a.v = e. f Kosodélník o = 2.(a+b) S = a.v 1 2 a, b strany a strana čtverce, e,f úhlopříčky a základna, v příslušná výška Lichoběžník o = a+b+c+d S = Kruh o = 2πr S = (a + c).v 2 a,b,c,d strany, v výška r poloměr Příklady: 1. Vypočti obsah RR pravoúhlého trojúhelníku, jehož obvod je 119,5 m. 2. Základna RR trojúhelníku je 40 cm, obsah 960 cm 2. Určete obvod. 3. V PT ABC jsou známy tyto prvky: a = 10 cm, v c = 9,23 cm. Vypočítejte o, S. 4. Pozemek ve tvaru obdélníku má obsah 600 m 2 a jedna jeho strana je dlouhá 30 m. Kolik sloupků potřebujeme k ohrazení pozemku, má-li být vzdálenost mezi sloupky 2,5 m? 5. Zahrada má tvar obdélníku a má obvod 130 m a obsah 800,25 m 2. Urči rozměr zahrady. 6. Vypočti S, a, b obdélníku, je-li velikost úhlopříčky u = 73,8 cm a úhel úhlopříček ω = 36. 7. Vypočti výšku lichoběžníku, mají-li základny velikosti a = 28 cm, c = 21 cm, S = 1764 cm 2. 8. Vypočti S lichoběžníku, je-li a = 65 cm, b = 29 cm, c = 40 cm, d = 36 cm. 9. Vypočti vnitřní úhel dvou stran 8-úhelníku, stranu a, obvod o, poloměr r, obsah S, je-li dán poloměr ρ = 15 cm kružnice vepsané. 10. Vypočti o, S pravidelného 10-úhelníku, je-li: a. r = 12 cm (poloměr kce opsané) b. ρ = 18 cm (poloměr kce vepsané) c. a = 6 cm 11. Obsahy S 1, S 2 dvou kruhů jsou v poměru 1:4. V jakém poměru jsou jejich průměry d 1, d 2?