Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní Ústav řídicí techniky a telematiky Bakalářská práce Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla Praha 2008 JIŘÍ BARNET

1

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedených literárních pramenů. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). Praha, srpen 2008 Jiří Barnet... 2

Abstrakt Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla Teoretická část práce se zabývá definicí základních geodetických pojmů, prostředky kosmické geodézie a definicí použitých souřadnicových systémů. Dvě kapitoly jsou věnovány podrobnému odvození lokálního transformačního klíče pomocí Helmertovy transformace a matematickým základům Křovákova zobrazení. Praktická část práce porovnává přesnost získaných výsledků pomocí globální transformace a vypočtené lokální transformace na několika úrovních a snaží se získat na definovaném testovacím okruhu co nejpřesnějších výsledků. V příloze je uveden popis programu, který byl vytvořen pro potřeby této práce. Summary Spatial transformation accuracy for research of car trajectory The theoretical part of this thesis deals about the basic geodetic definitions, the cosmic geodesy resources and the definitions of used coordinate systems. Two of the chapters are dedicated to detailed deduction of the local transformation key by Helmert s transformation and mathematic basis of the Křovák s projection. The practical part of the thesis matches accuracy of acquired results by global and local transformation on several levels and try to get on the proving ground the most accurate results as possible. In the appendix is introduced description of the program created with correspondence of the requirements of coordinate transformation accuracy. Klíčová slova: Geodézie, Křovákovo zobrazení, Helmertova transformace, souřadnicový systém, kartografie, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, lokální transformační klíč Keywords: Geodesy, Křovák s projection, Helmert s transformation, coordinate system, cartography, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, local transformation key 3

Obsah: Seznam zkratek:... 6 1. Úvod... 8 2. Geodetické a kartografické základy... 11 2.1. Základní geodetické pojmy:... 12 2.2. Kartografické zobrazovací metody... 16 2.3. Prostředky kosmické geodézie... 18 3. WGS-84 a další souřadnicové systémy... 20 3.1. WGS-84... 20 3.2. ETRS-89... 21 3.2.1. Konvenční referenční systémy... 21 4. S-JTSK... 23 5. Helmertova transformace... 27 5.1. Základní Helmertova metoda... 27 5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče... 30 5.3. Metoda nejmenších čtverců... 33 5.4. Redukce souřadnic k těžišti... 34 6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK... 36 6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých... 36 6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic... 36 6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických... 36 6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných... 38 6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli 38 6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem... 39 6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce a vrcholem kužele Q... 39 4

6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé... 40 7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89... 41 8. Globální transformace... 43 9. Lokální transformace... 49 10. Porovnání přesnosti použitých transformací... 51 10.1. Vyhodnocení globální a lokální transformace... 51 10.2. Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic... 62 10.3. S-JTSK/95... 64 11. Závěr... 66 Seznam obrázků a tabulek:... 69 Použitá literatura... 71 Seznam příloh:... 75 5

Seznam zkratek: ADAS AGS BIH Bpv CEP CIO CTP CZEPOS DOPNUL DORIS Advanced Driving Assist Systems astronomicko-geodetická síť Bureau International de I Heure výškový systém Balt po vyrovnání Celestin Ephemeris Pole Conventional International Origin Conventional Terrestrial Pole česká polohová síť kampaň doplnění sítě nultého řádu napojení polohy bodů na EUREF Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite EGM 96 Earth Gravity Model 1996 ETRF-89 European Terrestrial Reference Frame 1989 EUREF GIS GLONASS GNSS GPS European Reference Frame Geografické informační systémy ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система Globální navigační satelitní systém (Rusko) Global Navigation Satellite System Global Position System GRS-80 Geodetic Reference System 1980 IAT ICRS(F) IERS ITRS(F) LLR MNČ International Atomique Temps International Celestial Reference System (Frame) International Earth Rotation and Reference Systems Service International Terrestrial Reference System (Frame) Lunar Laser Ranging Metoda nejmenších čtverců 6

NATO PRARE North Atlantic Treaty Organisation Precise Range And Range-rate Equipment S-42/83 Souřadnicový systém 1942/1983 S-JTSK(/95) SLR TB TL UTC UTM VLBI VÚGTK Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (zdokonalený) Satellite Laser Ranging trigonometrický bod triangulační list Coordinated Universal Time Universal Transverse Mercator Very Long Baseline Interferometry Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický WGS-84 World Geodetic System 1984 ZÚ Zeměměřičský úřad 7

1. Úvod V rámci výzkumu pozornosti řidiče a jeho vlivu na řízení lze zkoumat odchylku od zamýšlené ideální trajektorie. Tyto odchylky mohou být způsobeny únavou řidiče (mikrospánky) nebo ovládáním různých zařízení na palubní desce (radiopřijímač, navigace) a mohou vést k vážným zdravotním následkům posádky. Takovéto jevy je nutné zkoumat, aby jim bylo možno předcházet. Odchylku od trajektorie silničního vozidla lze v zásadě zkoumat dvěma metodami. První vhodnou metodou je použití simulace. Na silničním simulátoru je stanovena dráha, kterou projíždí vybraný proband a vyhodnocuje se reálná poloha vozidla. Prostředí simulátoru může používat vlastní souřadnicový systém, nebo systém převzatý například z GIS (Geografické informační systémy). Odchylka polohy vozidla od ideálního stavu je následně vyhodnocena sestaveným programem. Jedná se o bezpečnou laboratorní metodu, při které lze zkoumat i nebezpečné jevy (mikrospánky). Výhodou je snadná změna promítaného prostředí, které působí na chování řidiče (monotónní krajina, hustá zástavba), náročné je však vymodelování tohoto prostředí. Druhou metodou je měření v reálné situaci. Proband projíždí vybraný okruh a měří se jeho poloha metodou GPS (Global Position System). V této situaci vstupují do měření parametry, které lze na simulátoru snadno odstranit (hustý provoz, chodci), v reálné situaci je však nutné s těmito vlivy počítat. Do naměřené odchylky vozidla navíc vstupuje najednou několik poruchových veličin (např. nepřesnost v určení ideální jízdní dráhy, nepřesnost určení polohy GPS, ztráty přesnosti při transformaci souřadnic). Přestože lze polohu vozidla měřit i pomocí jiných metod, GPS se v tomto ohledu nabízí jako velice výhodné řešení. Není nutno dělat žádné zásahy do infrastruktury ani omezovat provoz na pozemních komunikacích. Instalace přijímače do měřeného vozidla je rovněž velice snadná. Do současné doby bylo měření prováděno výhradně pomocí silničního simulátoru. Snahou je však měření přiblížit co nejvíce realitě, proto společnost Škoda Auto a.s. nyní zavádí měření v reálné situaci. Měření je prováděno pomocí diferenciální GPS, která výrazně zpřesňuje určení pozice vozidla. Referenční stanice s přesně známou polohou byla umístěna přibližně ve středu silničního okruhu, na kterém probíhalo 8

měření a získávala korekční signál ze sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Přijímač GPS byl umístěn na střeše vozidla společně s kamerou, která snímala krajní jízdní pruh a zaznamenávala změny polohy vozidla vůči tomuto vodícímu pruhu. Data z přijímače GPS byly zaznamenávány v intervalu menším, než 1 s. a zaznamenávána byla zeměpisná šířka (přesnost na 8 desetinných míst), zeměpisná délka (přesnost na 8 desetinných míst) a elipsoidická výška (přesnost na 3 desetinná místa) na elipsoidu WGS-84. Měření prováděla Škoda Auto a.s., určení přesnosti naměřené polohy je proto v kompetenci společnosti Škoda Auto a.s. (podrobnosti např. v [39]). Prostorové vyjádření polohy v zeměpisných souřadnicích není vhodné pro vyhodnocování odchylek od ideální trajektorie vozidla. Proto je nutné prostorové souřadnice převádět do souřadnic rovinných. V rovinných souřadnicích lze snadno matematicky i graficky vyjádřit možnou odchylku od ideální polohy. Při transformaci souřadnic za použití některé z kartografických projekcí však dochází ke ztrátám přesnosti. Transformací prostorových souřadnic, které používá GPS, do souřadnic rovinných, které jsou využívány na území ČR, se zabývá tato práce. Vyhodnocení GPS se provádí na referenčním elipsoidu značeném WGS-84 (World Geodetic System 1984). Naproti tomu terestrický systém, ve kterém je většina českých map je tzv. souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). S-JTSK je založen na jiném elipsoidu a vyznačuje se lokálními odchylkami, které komplikují transformaci [8], [21]. Hlavním úkolem této práce je nalezení vhodné transformační metody s přijatelnou chybou a určení poruchových veličin, které mohou mít vliv na přesnost transformace mezi uvedenými systémy. Postupy popsané v této práci nejsou vázány k zadanému projektu, ale mohou být použity i v jiných aplikacích, a to nejen dopravního charakteru. Přesnost určení polohy bodu v rovině po transformaci souřadnic lze vyjádřit kružnicí, při určování maximální odchylky od ideální trajektorie pak obálkou těchto kružnic (viz. Obrázek 1). Při následujících transformačních postupech, kdy bude popisována přesnost polohy vozidla, je myšlena přesnost naměřeného bodu ve vozidle. Bod je určen umístěním přijímače GPS v prostoru vozidla. Pro zjištění celkové odchylky je nutné k transformační odchylce započítat odchylku v určení polohy pomocí GPS. 9

Obrázek 1 rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla Zadaný problém zjištění přesnosti převodu dat z moderní GPS aparatury do terestrického systému českých map je nutné řešit ve 2 hlavních fázích. První fáze spočívá ve vymezení území měření, určení transformační metody, odchylek hlavního transformačního klíče v pevných bodech a zkreslení vzdáleností. V následující fázi je třeba najít takový lokální klíč, který by pro měřenou splňoval stanovená kritéria přesnosti. Tato práce je rozdělena do 11 hlavních kapitol. První čtyři kapitoly seznamují se základními skutečnostmi, které vedou k transformačnímu postupu, podrobně popsaného v následujících kapitolách 5, 6 a 7. V kapitolách 8 a 9 jsou uvedeny výsledky provedených transformací a v následující kapitole jsou tyto výsledky porovnány. 10

2. Geodetické a kartografické základy Měření polohy souřadnic bodů na Zemi je problém geodetický. Následný převod naměřených veličin do roviny pak problém kartografický. Oba problémy vstupují do procesu zpracování a vyhodnocování polohy vozidla a její přesnosti v aplikacích asistenčních systémů (ADAS). S vývojem technických prostředků jsou nám k dispozici stále přesnější údaje a je zřejmé, že některá měření provedená v minulosti nebyla zcela věrohodná 1. Při zjišťování polohy bodů (či trajektorie pomocí bodů) na mapě je nutné mít na paměti, že jejich přesnost nikdy není absolutní a vlivem přírodních jevů dochází ke drobným změnám jejich vzájemné polohy v čase. Nepřesnosti nastávají především při: 1. měření samotném Jedná se především o nepřesnost měřící soustavy nebo různé fyzikální jevy, které do výsledné polohy vysílače a přijímače není možno započítat. 2. převodu geodetických dat do roviny Při použití jakékoli kartografické metody lze zachovat pouze některé vlastnosti zobrazení úhly (konformní zobrazení), délky v určitém směru (ekvidistantní zobrazení) nebo obsahy ploch (ekvivalentní zobrazení). 3. transformaci různých kartografických děl Pro některé lokální mapy jsou zobrazení natolik složitá, že při jejich transformacích platí pouze omezené klíče. 4. nepřesnosti vyplývající z použitých metod Jedná se o špatně lokalizovatelné chyby, např. nepřesně ležící elipsoid WGS- 84 v těžišti Země. Tato práce se dále nebude zabývat přesností měření samotného, protože to je natolik složitá záležitost, že jí lze věnovat samostatnou práci. Při transformaci souřadnic tak naměřená poloha vstupuje do výpočtu jako absolutní hodnota. Předmětem této práce jsou především prostřední dvě kategorie nepřesností uvedené výše. 1 bez prostředků kosmické geodézie (kapitola 2.3), jedná se např. o systém S-JTSK 11

2.1. Základní geodetické pojmy: Poloha každého objektu je vyjádřena hodnotami souřadnic v definovaném souřadnicovém systému. Určováním vzájemné polohy bodů na Zemi, zkoumáním tvaru a fyzikálních vlastností zemského tělesa se zabývá obor Geodézie 2. Geoid je základním modelem zemského tělesa. Vychází ze skutečnosti, že ideální zemský povrch lze definovat jako plochu, na kterém má tíhová síla v každém místě stejnou hodnotu. Tuto plochu pokládáme na úroveň klidné střední hladiny moří (tzv. nulová hladinová plocha). Jedná se o myšlenou nulovou ekvipotenciální plochu, kolmou v každém bodě na směr zemské tíže. Nadmořská výška je pak výškou nad geoidem (nadmořská výška hladin jednotlivých moří je různá 3 ). Modelování plochy geoidu je značně obtížné, proto je většinou nahrazován modelem rotačního elipsoidu. Modelů rotačních elipsoidů (referenční elipsoidy) je několik, a jsou určovány na základě aproximace daného území, pro které jsou určeny. Referenční elipsoidy jsou určeny primárními a sekundárními parametry. Jedná se především o rozměry hlavní a vedlejší poloosy, zploštění a excentricitu. S referenčním elipsoidem je spjat používaný souřadnicový systém. To je mnohdy problém, protože těžiště používaných elipsoidů neleží ve stejném bodě. Při převodu zobrazení na různých referenčních elipsoidech je proto nutné přistoupit k prostorové transformaci souřadnic. Výhodné je zavedení světového elipsoidu, který má těžiště v těžišti Země a jeho použití je univerzální kdekoli na Zemi. Po dlouhém vývoji se ustálilo používání světového geodetického systému WGS-84. Na rotačním zemském elipsoidu je určena soustava geodetických zeměpisných souřadnic (viz Obrázek 2). 2 z řeckého geo Země a daiomai dělím 3 na území ČR se používá výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv), kdy je za nulovou výšku považována hladina Baltského moře ve městě Kronštandt 12

Obrázek 2 soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8] Vedlejší osa spojuje severní a jižní pól (P s, P j ). Řez roviny procházející středem elipsoidu, kolmý k této ose, s plochou elipsoidu je rovník. Řezy rovin rovnoběžných s rovinou rovníku jsou rovnoběžky. Svazek rovin, procházejících osou rotace, seče povrch elipsoidů v polednících (meridiánech). Rovnoběžky a poledníky vytvářejí ortogonální soustavu čar zeměpisnou síť [34]. Zeměpisná geodetická šířka φ je úhel, který svírá rovina rovníku s normálou k ploše elipsoidu (kladná na sever). Zeměpisná geodetická délka λ je úhel, který svírá rovina místního poledníku s rovinou základního poledníku (základním nultým poledníkem je nejčastěji volen poledník, procházející astronomickou laboratoří v Greenwich v Londýně. Některá zobrazení používají základní poledníkem Ferro, který prochází stejnojmenným ostrovem v Kanárských ostrovech). Kladné hodnoty poledníků jsou směrem na východ. Elipsoidická výška H je vzdálenost od elipsoidu měřená po normále. Kladné hodnoty jsou vně elipsoidu. Elipsoidická a nadmořská výška se zásadně liší, viz. Obrázek 3. 13

Obrázek 3 vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8] Pro vyjádření polohy na povrchu Země jsou zeměpisné geodetické souřadnice φ, λ, H používané nejčastěji. Poloha elipsoidu může být ale vyjádřena i v pravoúhlých prostorových souřadnicích x, y, z (viz. Obrázek 4). Obrázek 4 prostorový souřadnicový systém [20] Prostorový souřadnicový systém má počátek ve středu elipsoidu. Osa x je vložena do průsečíku rovníku a roviny základního (nultého) poledníku, osa z spojuje střed elipsoidu a severní pól a osa y leží v rovině rovníku otočena o 90º proti směru hodinových ručiček od osy x (geodetická orientace os) [17]. Mezi geodetickými souřadnicemi (φ, λ, H) a prostorovými souřadnicemi (x, y,z) platí následující vztahy [21]: cos cos cos sin 1 sin (2.1) 14

kde je excentricita elipsoidu 1 (2.2) a příčný poloměr křivosti. (2.3) Matematické výpočty na ploše referenčního elipsoidu lze za určitých skutečností (území do 250 km) dále zjednodušit použitím referenční koule o daném poloměru R. Vztahy (2.1) se zjednoduší na: R sin cos R cossin cos. (2.4) Na územích do 700 km 2 lze zakřivení zemského povrchu zanedbat a výpočty ještě zjednodušit použitím referenční roviny. Pro určení polohy v rovině se využívá kartézské soustavy souřadnic. Jedná se o ortogonální souřadný systém, kdy počátek souřadnic a natočení souřadnicových os může být v rovině při kartografických aplikacích různé polohy. Je nutno pečlivě rozlišovat zda zadaný systém má matematickou orientaci os, tj. kladná osa X se s kladnou osou Y ztotožní pootočením o 90º proti směru pohybu hodinových ručiček, nebo geodetickou orientaci os, kdy se osy ztotožní pootočením po směru hodinových ručiček [17]. Pojmem souřadnicový systém se v oboru zeměměřictví míní soubor těchto údajů [17]: geodetické datum (elipsoid, jeho referenční bod, datum určení) souřadnicový systém geografických souřadnic φ, λ (včetně volby základního poledníku) zobrazovací rovnice (včetně voleb v nich použitých konstant) souřadnicový systém rovinných souřadnic X, Y (včetně umístění počátku systému X, Y do obrazu geografické sítě, orientace os a matematických úprav souřadnic X, Y v rovině zobrazení, posuny počátku, násobení konstantou redukující délkové zkreslení aj.) 15

V souřadnicových systémech se udržuje síť geodetických bodů (geodetická síť). Geodetický bod je trvale označený bod stanovený měřičskými značkami. Rozlišují se bodová pole tíhová, výšková a polohová. Bodová pole jsou základní jednotky mapování povrchu Země a jejich změn [6]. Bodovým polem je např. S-JTSK nebo síť AGS zmíněné v kapitole 4. 2.2. Kartografické zobrazovací metody Teorií zobrazování referenční plochy zemského povrchu do roviny se zabývá vědní obor matematická kartografie 4. Obor kartografie úzce souvisí s geodézií a geografií, a nelze je oddělit. Všechny tyto obory společně s teorií informačních systémů a dalšími obory spoluvytvářejí Geografické informační systémy (GIS), který jsou mocným nástrojem využívaným v mnoha odvětvích (dopravu nevyjímaje). Transformační a zobrazovací postupy zde uvedené jsou nedílnou součástí software GIS. Při tvorbě mapy je důležité, aby referenční plocha, na kterou zobrazujeme, co nejlépe přimykala referenční ploše v dané oblasti. Tím se stane, že osa zobrazovací plochy není totožná se zemskou osou. Definuje se proto kartografický souřadnicový systém. Kartografické souřadnice jsou definovány stejně jako souřadnice zeměpisné, ale jsou vztaženy ke vhodně zvolenému kartografickému pólu K [3]. Přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách označujeme kartografickým zobrazením. To je jednoznačně matematicky definováno zobrazovacími rovnicemi. Převod dat do roviny se provádí několika metodami. Většinou se geoid převádí na referenční elipsoid (sféroid), na kterém se měření provádí. Elipsoid se často dále zobrazuje na Gaussovu kouli a ta se zobrazí do referenční roviny. Při procesu převodu referenčních ploch dochází ke kartografickým zkreslením. Zpravidla se jedná o tři druhy zkreslení délkové, plošné a úhlové (směrníkové). Křivky konstantního zkreslení nazýváme ekvideformáty. Délkové ekvideformáty systému S-JTSK jsou uvedeny v příloze A na obrázku A.1. 4 Nejstarší nalezená mapa (Pavlovské vrchy) uložena v AV ČR v Brně je stará až 25000 let. 16

Z hlediska zkreslení lze hovořit o těchto zobrazeních [3]: ekvidistantní nezkreslují se délky v určitých směrech ekvivalentní nezkreslují se plochy konformní nezkreslují se úhly kompenzační vše je zkresleno trochu Z pohledu užité zobrazovací plochy lze hovořit o těchto zobrazeních: zobrazení na kulovou plochu zobrazení elipsoidu na kouli jednoduchá zobrazení zobrazení do rozvinutelné plochy (kuželová, válcová, azimutální) nepravá zobrazení (pseudokonická, pseudocylindrická, pseudoazimutální) mnohokuželová zobrazení zobrazení po vymezených částech obecná Nejčastěji používaná jsou jednoduchá zobrazení kuželová, válcová a azimutální. Jejich přehled spolu s polohou zobrazovací plochy je na Obrázek 5. Obrázek 5 jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8] 17

Azimutální projekce lze dále dělit dle druhu promítání: gnómonická ze středu osy Země (velké zkreslení při větších vzdálenostech od středu mapy) stereografická z opačného pólu, než je položena zobrazovací plocha (konformní zobrazení) ortografická kolmo na zobrazovací plochu (ekvidistantní v rovnoběžkách) Kartografických zobrazovacích metod je samozřejmě mnohem více, ale jejich popis není cílem této práce. Nástin uvedených metod jistě postačí k pochopení dále používaných postupů. 2.3. Prostředky kosmické geodézie Hodnoty souřadnic v geodetických souřadnicových systémech jsou v současné době zjišťovány pomocí kosmické geodézie. Následuje přehled hlavních používaných metod kosmické geodézie [5], [29]. VLBI (Very Long Baseline Interferometry) je technologie zaměřování velmi vzdálených kvasarů, používá se především při definici polohy referenčních soustav (ICRF) a určování přesného univerzálního času (UT). Podstata spočívá v určování časového posunu a změny tohoto časového posunu v čase příchodu stejné vlny rádiového záření pocházejícího z mimogalaktických zdrojů na alespoň dva radioteleskopy. Přesnost je v řádu mikrosekund. SLR (Satellite Laser Ranging) je technologie zaměřování vzdálenosti mezi pozemní stanicí a družicí pulsním laserem. Střední kvadratická chyba se pohybuje mezi 2 až 3 cm. LLR (Lunar Laser Ranging) měří vzdálenost mezi Zemí a Měsícem se střední kvadratickou chybou 1-5 cm. GPS (Global Positioning System) je rádiový dálkoměrný systém, kdy pomocí známé polohy družic a časovému zpoždění rádiové vlny mezi vysílačem (družice) a přijímačem lze určit polohu přijímače. Přesnost určení polohy se uvádí několik centimetrů u diferenciální GPS. 18

DORIS (Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite) je systém založený na měření změn radiální vzdálenosti mezi pozemní stanicí a družicí na základě dopplerovského jevu. Přesnost změny vzdálenosti je charakterizována střední kvadratickou chybou 0,4 mm/s. PRARE (Precise Range And Range-rate Equipment) je založený na radiovém měření vzdáleností a změn vzdáleností s časem mezi stanicí a družicí. 19

3. WGS-84 a další souřadnicové systémy Následující kapitola definuje světové (evropské) souřadnicové systémy (včetně referenčních elipsoidů) používané v ČR. Zobrazením a souřadnicovým systémům určeným výhradně pro ČR (resp. Československo) se věnuje kapitola 4. 3.1. WGS-84 Souřadnicový systém (rovněž referenční elipsoid), na kterém probíhá měření GPS je označován jako WGS-84 (World Geodetic System 1984). WGS-84 byl původně vyvinut armádou USA, nyní je standardizovaným globálním geodetickým geocentrickým systémem armád NATO (North Atlantic Treaty Organisation). Počátek leží v těžišti Země. Osa x je průsečnice referenčního poledníku WGS-84 (nultý poledník definovaný BIH) a roviny rovníku vztaženého ke konvenčnímu terestrickému pólu CTP (Conventional Terrestrial Pole). Osa y vytváří pravoúhlý pravotočivý systém a osa z má směr ke konvenčnímu terestrickému pólu definovaného BIH na základě souřadnic stanic definující BIH [8]. Systém WGS-84 je pevně spojený se zemí a je definován primárními a sekundárními parametry. Primární parametry definují rozměry referenčního elipsoidu, úhlovou rychlost rotace vůči nebeskému referenčnímu systému a součin gravitační konstanty a hmoty Země, soustředěné v referenčním elipsoidu. Sekundární parametry definují model zemského gravitačního pole pomocí rozvoje geopotenciálu do sférických harmonických funkcí. Model gravitačního pole EMG-96 je možno využít pro výpočet průběhu plochy geoidu WGS-84. Přesnost geocentrických souřadnic bodů přímo určených v systému WGS-84 na základě technologie GPS, je charakterizována středními kvadratickými chybami v zeměpisné šířce (B) a zeměpisné délce (L) m B = m L < 0,4 m a geodetické výšce (H) m H < 0,5 m. Do této chyby je započítána odchylka určení počátku souřadnicového systému (asi 0,1 m v každé ose), určení rozměru sítě a měřické chyby [8]. Systém WGS-84 je definován jako pravoúhlý a zároveň geodetický systém. Mezi pravoúhlými a geodetickými souřadnicemi platí vztahy (2.1) až (2.3). 20

3.2. ETRS-89 WGS-84 zdaleka není jediný systém používaný při geodetických měřeních. V ČR jsou pro civilní sféru bodová pole pro systém S-JTSK navázána na systém ETRS-89 (European Terrestrial Reference System 1989), který byl použit při lokální transformaci popsané níže. ETRS-89 je odvozen z dále popsaných konvenčních referenčních systémů. 3.2.1. Konvenční referenční systémy Referenční systém je určen souborem konstant, algoritmů a technologií a referenčním rámcem. Referenční rámec je soubor objektů (hvězd, bodů), kterým jsou přiřazeny souřadnice a změny těchto souřadnic v čase. Lze rozlišit dva základní konvenční systémy [29]. Jedná se o mezinárodní nebeský referenční systém ICRS (International Celestial Reference System) a mezinárodní terestrický referenční systém ITRS-YY (International Terrestrial Reference System), kde YY je dvojčíslí roku realizace. Systém ICRS má počátek v barycentru sluneční soustavy, osa z je totožná s konvenčním efemeridovým pólem CEP (celestin ephemeris pole) v epoše J2000.0 a osa x směřuje do jarního bodu této epochy. Osa y dělá systém pravotočivým. Referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame) je realizován 212 rádiovými zdroji výhradně pomocí nejpřesnější technologie VLBI. Systém ITRS má počátek ve hmotném středu Země, osa z je totožná s konvenčním mezinárodním počátkem CIO (conventional International Origin), osa x leží v rovině greenwichského poledníku a osa y doplňuje systém na pravotočivý. Referenční rámec ITRF (International Terrestrial Reference Frame) je realizován pomocí bodů ležících na povrchu Země. Tyto body mají souřadnice definované jako funkce času. Vlivem tektonických pohybů, variací geocentra a dalšími vlivy se jejich hodnoty mění. Systém ITRS je definován pomocí prostředků kosmické geodézie popsaných v kapitole 2.3 (jedná se o SLR a VLBI pro ITRF-2005). Mezi systémy ICRS a ITRS platí převodní vztah. Oba systémy jsou časově proměnné. ITRS díky jevům precese, nutace, pohybům pólů, pohybům kontinentů nebo vlivem variace v rotaci země, ICRS nestálostí vzdálených kosmických objektů a dalšími vlivy. Z tohoto pohledu je systém ICRS přesnějším systémem. 21

Systém ETRS-89, který byl použit při transformaci, je odvozen od systému ITRS a spojen s euroasijskou kontinentální deskou, takže roční časové změny jsou max. v řádu milimetrů. Referenční rámec ETRF-89 je realizován technologiemi SLR a VLBI. Systém ETRS-89 není zastaralý systém, ale z praktických důvodů nemá konstantní polohu souřadnicových os (souřadnicové osy se natáčejí dle pohybu euroasijské kontinentální desky). Novější měření mohou být transformována do ETRS-89. Systém ITRS používá elipsoidu GRS-80 (Geodetic Reference System 1980). Ten je svými parametry velice podobný elipsoidu WGS-84, proto je možno tyto elipsoidy při výpočtech zaměnit [21]. Od roku 1994 je systém WGS-84 ztotožněn se systémem ITRS [32]. Přesnost statických bodů je tedy nezávislá na tom, zda se použije systém ETRS-89 nebo WGS-84. To však platí jen do určité přesnosti, ve skutečnosti se souřadnice ve WGS-84 a ETRS-89 v roce 2005 lišila až o 0,3 m [4]. Při přesných výpočtech je proto nutné provést i transformaci mezi systémy WGS-84 a ETRS-89 v patřičné epoše (viz. kapitola 7). Porovnání obou elipsoidů (WGS-84 a GRS-80) a přehled dalších používaných elipsoidů s jejich hodnotami uvádí Tabulka 1. Tabulka 1 některé používané elipsoidy Elipsoid: Používané Parametry elipsoidu: soustavy: a velká poloosa [m]: b- vedlejší poloosa [m]: f -1 1/zploštění: WGS-84 UTM 6378137,0 6356752,31425 298,257223563 GRS-80 ITRF, ETRS 6378137,0 6356752,31414 298,257222101 Hayfordův 1909 Mezinárodní 6378137,0 6356911,94613 297,0 mapy Besselův 1841 S-JTSK 6377397,15508 6356078,96290 299,152812853 Krakovského 1940 S-42 6378245,0 6356863,01877 298,3 Aktualizace údajů bodových sítí v systému ETRS-89 včetně rozvoje geodetických základů ČR pomocí družic GNSS je prováděna pomocí permanentních stanic sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Jedná se o 26 stanic rozmístěných rovnoměrně na celém území ČR [31]. 22

4. S-JTSK V České Republice se v současné době používají dvě základní zobrazení. Systém S- JTSK určený pro civilní sféru a systém S-42 určený pro vojenské použití. Vojenské mapy po vstupu do NATO přecházejí na zobrazení UTM (Universal Transverse Mercator). V civilní oblasti se asi ještě nějakou dobu bude používat S-JTSK, případně novější S-JTSK/95. Následující text, stejně jako následná transformace se věnuje souřadnicovému systému S-JTSK. Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK) vznikal mezi lety 1920-1958. Po vzniku republiky v roce 1918 bylo třeba co nejdříve vytvořit samostatný geodetický základ a vymyslet vhodnou kartografickou projekci. Již v roce 1919 byla založena Triangulační kancelář (zřizovatel ministerstvo financí ČSR), jejímž předsedou se stal Ing. Josef Křovák [5]. Josef Křovák navrhl zobrazení, které bylo vhodné pro potřeby ČSR a mělo vhodné minimální deformace. Ve svém návrhu transformace zvolil konformní zobrazení Besselova elipsoidu na zmenšenou kouli a následně konformní kuželové zobrazení v obecné poloze. Pól kužele Q má zeměpisné souřadnice j Q = 59 42'42,7'' s.š. a l Q = 42 31'31,4'' v.d. od Ferra. Plášť kužele se dotýká referenční koule v horizontální kružnici S 0, která prochází bodem A (l A = 42 31'31,4'', j A = 48 12'42,7'') na území Podkarpatské Rusi. Tato kružnice je ve výchozím bodě A kolmá na základní poledník (l A = 42 31'31,4''), prochází středem území a její kartografická šířka je 78 30' [10] (viz. Obrázek 6). Obrázek 6 Křovákovo zobrazení [20] 23

Kartografické poledníky se v tomto zobrazení zpodobňují jako svazek paprsků vybíhajících z vrcholu kužele. Kartografické rovnoběžky se zobrazují jako soustředěné kružnice o poloměrech R. Rovinné souřadnice S-JTSK se zapisují (Y, X) S-JTSK, osa X je orientovaná k jihu a osa Y na západ. Tomuto zobrazení se často říká Křovákovo zobrazení po jeho tvůrci. V S-JTSK se tohoto zobrazení používá dodnes. Obrázek tohoto zobrazení je v příloze A.2. Práce na trigonometrické síti I. řádu byly ukončeny roku 1927 a všech 268 naměřených bodů bylo vyrovnáno. Při měření bylo rozhodnuto, že se převezmou osnovy měřených směrů z rakouské vojenské triangulace (1862-1898). S touto vojenskou sítí měla nově vznikající S-JTSK společných 107 bodů. Pomocí Helmertovy transformace byla určena kvalita vojenské triangulace, z nichž jen 42 bodů v Čechách posloužilo pro určení rozměru, orientace a polohy S-JTSK na Besselově elipsoidu (v Podkarpatské Rusi se jednalo o 22 bodů). V následujícím období se síť zhušťovala body II. až V. řádu, kdy po každém zhuštění bylo provedeno vyrovnání. Tak bylo nakonec naměřeno přes 47000 bodů, jejichž průměrná vzdálenost je kolem 2 km. Kvůli finančním i časovým důvodům se za celou dobu budování S-JTSK neprovedlo žádné astronomické měření ani měření nových základen. Právě z těchto důvodů vzniku byla poloha celé sítě špatně nakloněná, ohnutá a v jednotlivých bodech nastaly různé odchylky. Po první světové válce se započalo s budováním astronomicko-geodetické sítě (AGS) na tehdejší dobu přesnými měřícími prostředky (viz. příloha A.3). Do roku 1955 bylo astronomicky zaměřeno 53 bodů a 6 základen. Nový systém označený S- 42 byl vyrovnán a body S-JTSK byly do něj postupně transformovány. S-42 používá Krakovského elipsoid a Gaussovo zobrazení. Tento systém je přesnější a celkově lépe orientován. Následně byl ještě poopraven na systém S-42/83. Přehled nejdůležitějších souřadnicových systémů používaných v ČR uvádí tabulka 2 (podrobněji v [10], [16]). 24

Tabulka 2 přehled souřadnicových systémů používaných v ČR Systém souřadnic: Zkratka: Druh zobrazení: Přesnost zobrazení: Souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální S-JTSK Křovákovo dvojité konformní zobrazení (na kouli a následně na kužel) Technickými prostředky konce 19.století a přístroji 1.pol. 20.stol. Souřadnicový systém 1942 S-42 Gaus-Kruegerovo cylindrické zobrazení v transverzální poloze Technickými prostředky poválečného období a astronomickým měřením Universal Transverse Mercator UTM Transverzní Mercatorovo zobrazení Stále se zdokonalující mřížkový systém pro celosvětové použití určený prostředky GPS European Terrestrial Reference System ETRS- 89 cylindrické zobrazení v transverzální poloze Stále se zdokonalující systém definovaný pro evropský kontinent, určený VLBI Po druhé světové válce byla snaha začlenit geodetické základy ČSR do soustavy astronomicko-geodetické sítě SSSR. To se nejprve provedlo předběžnou transformací bodů S-JTSK do nového systému S-52. Tento systém však nepřinášel nic nového a měl stejné lokální deformace jako systém S-JTSK. Koncem 90. let 20. stol. se začala v Evropě mohutně budovat celoevropská referenční síť (EUREF), do které se ČR zapojila v roce 1991 kampaní EUREF-CS/H 91. Při této kampani bylo měřeno na 6 bodech a následně napojeno na evropskou síť. Následovali kampaně CS-NULRAD-92 a DOPNUL, které vytvořili národní referenční síť napojenou na EUREF. Pro body této sítě jsou tak určeny zpřesněné souřadnice v S-JTSK i v ETRS-89. Tím bylo umožněno aplikovat měření GPS na území ČR a následnou transformaci do S-JTSK. Přehled důležitých kampaní uvádí Tabulka 3 (podrobněji např. v [5], [6], [19]). 25

Tabulka 3 přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy Kampaň: Realizace: Důvod: Lokalizace: Měření jednotné trigonometrické sítě I. řádu 1920-1927 Tvorba geodetického systému pro nově vzniklé Československo Bývalé Československo Počet měřených bodů: 268 bodů Měření jednotné trigonometrické sítě II.-V. řádu 1928-1957 Zhušťování jednotné trigonometrické sítě Bývalé Československo přes 29000 bodů Měření astronomickogeodetické sítě (AGS) měření 1950-1955 Tvorba vojenské sítě S- 42 stabilizace 1956-1958 Bývalé Československo (a státy východního bloku) asi 40000 bodů EUREF-CS/H-91 1991 CS-NULRAD-92 1992 CS-BRD-93 1993 DOPNUL 1993-1994 První realizace ETRS-89 v ČR Vytvoření sítě nultého řádu Spojení české a slovenské sítě s obdobnou sítí v Německu Doplnění sítě nultého řádu Bývalé Československo ČR a SR 6 bodů 19 bodů ČR, SR, Německo - ČR celkem 176 bodů 26

5. Helmertova transformace Jak bylo stručně uvedeno v předchozí kapitole, Křovákovo zobrazení v S-JTSK má lokální odchylky [21]. Z toho vyplývá, že neexistuje přesný matematický transformační klíč pro celé území ČR. Lze najít přibližnou transformaci pomocí bodů, pro které jsou známy souřadnice v ETRS-89 i S-JTSK. Pomocí těchto upevněných bodů lze vytvořit transformační klíč, který bude aproximovat dané území. Po převodu souřadnic za použití zjištěného klíče nastanou na pevných bodech odchylky. Je třeba však mít na paměti, že v dané lokalitě nemusí být maximální odchylka rovná nalezené odchylce na porovnávaných bodech. Z uvedených bodů můžeme najít pouze hodnotu lokálního maxima. Transformovat souřadnice lze několika způsoby. Mezi používanější patří Moloděnského transformace, Helmerova transformace a transformace interpolační mřížkou. Výběr vhodného typu transformace závisí na požadované přesnosti vypočteného transformačního klíče. Porovnání transformace Moloděnského a Helmertovy jednoznačně hovoří pro použití Helmertovy transformace. Transformací interpolační mřížkou lze získat přesné výsledky (uvedené např. v [12]), vykoupené ale vyšší technickou náročností. K volbě Helmertovy transformace vede především možnost získání jednoznačného transformačního klíče, který lze zjistit pro jakékoli souřadnicové systémy. Helmertova transformace je nejpoužívanější transformací pro převod mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK. Běžně se používá v geodézii a dalších oborech. Touto transformací je navíc určen nový zpřesněný systém S-JTSK/95, který odstraňuje lokální odchylky (viz kapitola 10.3) a využívá jí většina produktů GIS. 5.1. Základní Helmertova metoda Helmertova 7-prvková transformace je lineární konformní podobnostní transformace s vyrovnáním koeficientů podle metody nejmenších čtverců. Následující vztahy jsou podrobně popsány např. v [23], [24], [25] a [26]. Vztah dvou souřadnicových systémů lze popsat pomocí polohového vektoru r. Uvažujme dvě prostorové pravoúhlé pravotočivé soustavy (viz. Obrázek 7), kde 27

počátek vektoru r je umístěn v počátku soustavy I. (ETRS-89) a konec v počátku soustavy II. (S-JTSK). Obrázek 7 vztah polohy dvou elipsoidů [16] Translační vektor jednoznačně určí posun počátku, označme tyto složky jako složky translace,, (5.1) Natočení souřadnicových soustav v prostoru může být různé. Vzájemný vztah natočení je vyjádřen maticí rotace R. Postupným otáčením os proti směru hodinových ručiček při pohledu proti směru kladné osy nejprve o úhly,, dle Obrázek 7 získáme tyto matice: Složky rotace vypočteme podle 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos cos sin 0 sin cos 0 (5.2) 0 0 1,, (5.3) Po roznásobení matic dostáváme 28

,, (5.4) cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos V referenčních systémech používaných v geodézii jsou zpravidla úhly otočení velmi malé (v řádu obloukových vteřin), proto lze goniometrické funkce linearizovat. sin sin sin (5.5) cos cos cos 1 (5.6) Po dosazení do rovnice (5.4) dostáváme 1,, 1 (5.7) 1 Položíme-li ještě 0, lze matici R upravit na 1,, 1 (5.8) 1 Tento výsledný tvar již nezávisí na pořadí otáčení os souřadnic. V geodetických aplikacích se v transformaci uplatňuje změna měřítka. Pokud je v každé ose jiná, jedná se o afinní transformaci. V tomto případě lze počítat s měřítkem, které je ve všech osách stejné (konformní transformace). Změna měřítka se označuje 1 (5.9) Pokud je r vektor souřadnic bodů v souřadnicovém systému I. (ETRS-89), (5.10) můžeme psát výsledný vztah pro polohový vektor lineární konformní podobnostní prostorové transformace. 29

1 1 1 1 1 1 1 (5.11) Z rovnice (5.11) je patrné, že pro převod souřadnic mezi dvěma soustavami potřebujeme znát 7 parametrů. translační složky os x, y, z (pro zjištění vektoru posunu počátku) rotační složky os ω x, ω y, ω z, (pro zjištění pootočení jednotlivých os) poměr měřítek Parametry transformace mezi ETRS-89 a S-JTSK lze snadno najít v některé literatuře (např. [21]). Většinou se jedná o globální transformační klíče počítané z bodů kampaně DOPNUL, platné pro celou ČR. Jelikož S-JTSK vykazuje lokální transformace, lze tyto klíče použít jen do určité přesnosti. Pokud je požadována maximální přesnost transformace, lze pomocí identických bodů určit lokální transformační parametry. Identické body by měli být rovnoměrně rozprostřeny kolem zkoumané lokality, aby nedocházelo k extrapolaci dat, což negativně ovlivňuje výsledek pokusu. Uvnitř území by měli být body rovněž rozprostřeny rovnoměrně tak, aby se postihly všechny směrové deformace. 5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče Jelikož se jedná se o transformaci s nadbytečným počtem identických bodů, je nutné zvolit kritérium minimalizace charakteristiky chyby. Obvykle se používá minimalizace efektivní hodnoty chyby nebo minimalizace maximální radiální chyby. Při volbě vhodné charakteristiky chyby byly uvažovány výsledky aplikace globální transformace. Při vyhodnocování přesnosti globální transformace byla použita minimalizace maximální radiální chyby, dle doporučení v [21]. Tato metoda má však vyšší statistické odchylky, proto byla pro výpočet lokálního klíče zvolena metoda nejmenších čtverců (MNČ - minimalizace efektivní hodnoty chyby). Výpočet transformačního klíče vychází ze vztahu (5.11). Po aplikaci transformačního klíče, získaného pomocí MNČ, na identické body se hodnoty souřadnic v systému II. (S-JTSK) budou lišit od původních hodnot. 30

Platí tak rovnice oprav: - souřadnice S-JTSK získané transformací známé souřadnice v systému S-JTSK Dosazením rovnice oprav (5.12) do (5.11) získáváme (5.12) 1 1 (5.13) 1 Tento vztah lze snadno vyjádřit rovnicemi (5.14) Protože se v rovnicích (5.14) vyskytují násobky hledaných hodnot, je nutné zavést substituci (5.15) Rovnice (5.14) lze pak upravit na tvar (5.16) Pro vyjádření transformačního klíče je nutné převést soustavu na 3, 1 3, 7 7,1 3, 1 (5.17) kde 3 (pro prostorovou transformaci) a platí 31

3, 1 (5.18) 7,1 (5.19) 3, 1 (5.20) Matice A tak vyplyne z rovnice (5.17), resp. (5.16): 3, 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (5.21) Výsledný vztah lze vyjádřit jako 32

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (5.22) Na rovnici (5.22) lze nyní snadno aplikovat metodu nejmenších čtverců. 5.3. Metoda nejmenších čtverců Tato často používaná metoda je vhodná pro lineární transformace. Je všeobecně známo, že požadavkem MNČ je, aby. (5.23) Chceme tedy, aby byli minimální i jednotlivé složky vektoru (např..., jedná se tedy o minimalizaci skalárního součinu. Platí. a stejně i pro složky a. Transpozicí rovnice (3.17) dostáváme: Pro minimum skalárního součinu platí: (5.24). (5.25) Lokální extrém lze najít položením první derivace rovno nule. Vyjde soustava normálních rovnic, které mají tvar: 2 2 0 (5.26) 0 (5.27) Vyjádřením vektoru h (transformační klíč) dostáváme výsledný vztah 33

(5.28) Pro zjištění transformačního klíče lze postupovat takto: 1. souřadnice identických bodů vyjádříme v souřadnicích x, y, z systému I. (ETRS-89) a x,y, z systému II. (S-JTSK) 2. hodnoty souřadnic dosadíme do (5.22) 3. vypočítáme transformační klíč dle (5.28) Pro výpočet klíče bylo použito prostředí Matlab. Při výpočtu inverze složitějších matic však dochází ke ztrátě přesnosti. Prostředí MATLAB, přestože je vytvořeno pro operace s maticemi, může hlásit takovouto chybu: Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. V horším případě pak Warning: Matrix is singular to working precision. Částečně lze tento numerický problém vyřešit zvýšením přesnosti ze standardního short (4 desetinná místa) na long (14 desetinných míst) příkazem format long. Obecně však problém zůstává a je ho třeba řešit obejitím výpočtu inverzní matice. Řešením normálních rovnic je vyrovnaný transformační klíč, který souřadnicové systémy I. a II. neztotožní v žádném z identických bodů, ale splňuje podmínku minimální efektivní hodnoty na všech identických bodech. To způsobí, že oba souřadnicové systémy se ztotožní v těžišti identických bodů, a kolem tohoto bodu se natočí tak, že je splněna podmínka. Tato skutečnost přivádí na upravené řešení Helmertovy transformace, které obchází výpočet inverzní matice. Výpočet modifikovaného řešení spočívá v redukci souřadnic k těžišti [24]. 5.4. Redukce souřadnic k těžišti Nejprve je nutné zjistit souřadnice těžiště identických bodů v systému ETRS-89,,,, (5.29) 34

A následně zavést redukované souřadnice k těžišti identických bodů v systému ETRS-89,,.,,,, (5.30) Kontrolu redukovaných souřadnic lze provést podle 0 (5.31) Původní souřadnice nahradíme v matici A souřadnicemi redukovanými. Sestavíme opět rovnici (3.17). Vzhledem k zavedení redukovaných souřadnic přejde matice normálních rovnic na diagonální tvar. Inverzní matici pak jednoduše zjistíme dle 0 0 (5.32) 0 0 A dále řešíme dle metody nejmenších čtverců popsané v kapitole 5.3. Při dosazení konkrétních hodnot lze vidět, že hledané hodnoty jsou souřadnice těžiště soustavy v systému II. (S-JTSK). Tím se potvrzuje, že se oba souřadnicové systémy ztotožní v těžišti. Výpočtem těžiště v systému II. a porovnáním s vypočtenými hodnotami translace lze snadno ověřit správnost výpočtu. Na závěr výpočtu transformačního klíče se obvykle provádí výpočet míry ztotožnění obou systému pomocí středních rozdílů, a. (5.33) 35

6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK Pokud je znám transformační klíč, lze přistoupit k samotnému převodu souřadnic ze systému ETRS-89 do systému S-JTSK. Postup převodu je uveden na následujícím schématu.,,,,,,,,, Celý postup se skládá ze čtyř postupných převodů souřadnic, které jsou uvedeny v kapitolách 6.1 až 6.4 [3], [13], [16], [21], [29]. 6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých,,,, Jednoduchým dosazením do (2.1) až (2.3) lze vyjádřit pravoúhlé prostorové souřadnice. 6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic,,,, Použijeme vztah (5.11). Pro zjištění lokálního klíče je nutné souřadnice S-JTSK taktéž vyjádřit v pravoúhlých prostorových souřadnicích. Jedná se o inverzní postup postupu,,, popsaného v kapitole 6.4 a následného použití vztahu (2.1). 6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických,,,, Pokud označíme p vzdálenost bodu od počátku promítnutou do roviny geodetického rovníku, platí (6.1) Z toho plynou vztahy cos sin, (6.2) 36

dostáváme tan (6.3) Pro geodetickou délku platí 2arctan (6.4) a pro výšku a šířku platí cos (6.5) 1 sin (6.6) Eliminací výšky z (2.1) dostáváme rovnici pro zeměpisnou šířku tan (6.7) Tuto rovnici lze řešit například prostou iterací. Platí 1,2,, (6.8) při počáteční hodnotě což odpovídá řešení pro nulovou elipsoidickou výšku. Poté určíme geodetickou šířku, (6.9) a elipsoidickou výšku. arctan (6.10) 1 (6.11) 37

6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných,,, Postup převodu do rovinných souřadnic Křovákova zobrazení je uveden na následujícím schématu:,, Š,,,, geodetické souřadnice na Besselově elipsoidu, sférické souřadnice na referenční kouli Š, - kartografické souřadnice na referenční kouli s posunutým pólem Q, - polární souřadnice na kuželu s vrcholem Q, - pravoúhle rovinné souřadnice S-JTSK 6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli Sférická šířka U je dána vztahem,, tan tan, (6.12) z kterého lze získat 2arctanktan (6.13) Pro sférickou délku V platí (6.14) Konstanty α a k jsou určeny zvolenou střední zeměpisnou šířkou 49 30 (6.15) 1 cos 1,000597498371542, (6.16) 38

tomu odpovídá střední kulová šířka tan tan arcsin 49 2 35.84625 (6.17) 1,003419163966575 (6.18) 6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem Souřadnice posunutého pólu Q jsou, Š, 48 15 42 30 (6.19) Kartografická šířka Š a kartografická délka D sin Š sin sin cos cos cos Δ (6.20) sin Š kde je sférická šířka pólu Q posunutá o 11 30, (6.21) 2 arctan k tan, 59 4242.69689 (6.22) a je rozdíl mezi poledníkem Q a poledníkem transformovaného bodu 42 31 31.41725 (6.23) (6.24) 6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce a vrcholem kužele Q Š,, Souřadnice šířky základní nezkreslené rovnoběžky je z toho lze vypočítat polární souřadnice pomocí 78 30, (6.25) 39

Š (6.26) (6.27) sin 0,97992470462083 (6.28) Délkové zkreslení by v tomto případě bylo nulové jen na této základní rovnoběžce. Na okrajích pásu vzniká zkreslení až m = 1,0002. Proto se zavádí multiplikační konstanta k. Poloměr referenční koule je kvůli redukci délkového zkreslení zmenšen v poměru k = 0,9999. 0,9999 cot 0,9999 1298039,004638987 (6.29) Tím se vytvoří kužel mírně sečný, který má nezkreslené 2 rovnoběžky. Vliv délkového zkreslení je asi 1 10; 14 /. 6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé,, Souřadnice S-JTSK lze snadno získat použitím známých vztahů sin cos (6.30) 40

7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89 Definice souřadnicových systémů WGS-84 a ETRS-89 je popsána v kapitole 3. Při transformacích s metrovou přesností lze oba systémy zaměnit, při snaze o dosáhnutí maximální přesnosti je však nutné provést transformaci i mezi těmito systémy. Podle [32] je systém WGS-84 (G873 5 ) totožný s ITRS-2000 s centimetrovou přesností. Mezi oběma systémy neexistuje přesný transformační klíč, proto se pro drtivou většinu aplikací uvažuje jejich totožnost. Obecně platí, že systémy ITRS-YY jsou přesnější než WGS-84. Systém ETRS-89 vznikl ze systému ITRS-89 zakonzervováním souřadnic Evropských stanic, souřadnice se proto pohybují s celým Evropským kontinentem a jejich posun na území ČR je zcela zanedbatelný. ETRS-89 se však pohybuje vůči ITRS a tedy i WGS-84, přibližně se jedná o posun 2,7 cm SV. Při transformaci souřadnic je proto nutné kromě transformace mezi jednotlivými systémy zohledňovat i posun souřadnic v čase (tzv. epocha). Při obecném převodu mezi systémy i epochami je nutné aplikovat následující tři kroky [37]. a) převést všechny souřadnice stanic do ITRS-YY v epoše t c pomocí: (7.1) kde t c je aktuální epocha (např. 2007) a t 0 epocha ze které je nutné souřadnice stanic převést (např. 1989). je rychlost posunu souřadnic, pro kterou platí: 0 3 2 3 0 1 2 1 0. (7.2) Kde proměnné 1,2 a 3 jsou rychlosti rotace souřadnicového systému v jednotlivých osách. Pro převod souřadnic např. v systému ITRF-2005 mezi epochami t 0 a t c proto platí: 0 3 2 3 0 1 2 1 0. (7.3) 5 Znamená epochu systému WGS-84, tj. 873 týden ke standardní epoše GPS (6.1.1980), což odpovídá 29.9.1996 a je počítáno již do epochy 1997.0 [32]. 41

b) provést transformace mezi souřadnicovými systémy ITRS-YY a ETRS-89 v aktuální epoše podle: 0 3 2 3 0 1 2 1 0. 1989.0 (7.4) kde jsou rychlosti rotace souřadnicového systému (tj. posun do roku 1989) a T je posun souřadnic (tj. převod mezi ETRS-89 a ITRS-YY). c) převést souřadnice ETRS-89 do epochy 1989: 89. 1989.0, (7.5) kde pro stabilní části lze považovat 0. Pro převod ze systému WGS-84 v epoše 2007 (tj. ITRS-2005 epocha 2007) do systému ETRS-89 v epoše 1989 stačí provést: S parametry v Tabulka 4 [37]. 0 3 2 3 0 1. 2 1 0 Tabulka 4 transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989. 2007 1989.0 (7.6) T1 T2 T3 R1 R2 R3 5,6 cm 4,8 cm -3,7 cm 0,054 mas/rok 0,518 mas/rok -0,781 mas/rok Hodnota mas/rok uvádí rychlost rotace souřadnicového systému ITRF-YY v tisícin sekundách/rok. Pro potřeby transformace je nutné tuto hodnotu převést na radiány za rok podle: / /, Jelikož jsou hodnoty získané měřením Škoda Auto a.s. všechny ve stejné epoše, není nutné provádět krok a). V kroku c) se provádí převod do epochy 1989 pomocí rychlosti souřadnic stanic. Pohyby souřadnic v rámci ČR v ETRS-89 jsou velmi malé, a proto je možné tento krok vynechat. Získané souřadnice lze proto uplatnit pro převod z ETRS-89 do S-JTSK v epoše 1989 (to odpovídá bodům kampaně DOPNUL, z kterých jsou sestaveny transformační klíče). (7.7) 42