ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 2/99 Tektonika zemských desek školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 2 NG1-90 Jan Dolista

2 Tektonika zemských desek Zadání: Určete roční změnu přímé spojnice dvou bodů ležících na různých tektonických deskách. Předpokládejte, že se tyto litosférické desky pohybují pouze horizontálním rotačním pohybem. Vektor úhlové rotace jednotlivých desek určete na základě známého vektoru rychlosti posunu na třech stanicích ležících na téže desce. (Vektory rychlostí jsou určeny metodami kosmické geodézie, o nichž bude přednášet prof. Kostelecký.) Číselné zadání 21 a 35: Antarktická deska stanice X Y Z v X v Y v Z [m] [m] [m] [m/rok] [m/rok] [m/rok] Rothera Amsterdam Ile Des Petrals Africká deska stanice X Y Z v X v Y v Z [m] [m] [m] [m/rok] [m/rok] [m/rok] Hartebeesthoek Libreville Seychelles Souřadnice výpočetních bodů číslo bodu X [m] Y [m] Z [m] 14 (A) (B) Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Určení vektoru úhlové rotace desek Pro každý z bodů (stanici) ležících na dané tektonické desce platí vzah: v = ω r, kde ω je vektor úhlové rotace desky, r je průvodič dané stanice v systému ITRS a v je vektor rychlosti pohybu stanice. Průvodič stanice v systému ITRS: X i r = Y i Z i Vektor rychlosti pohybu stanice v systému ITRS: v = Vektor rychlosti v systému ITRS zahrnuje jak horizontální složku rychlosti, tak vertikální složku. Pro další výpočet je však potřeba z vektoru vertikální složku rychlosti odstranit. Proto je nutné vektor transformovat ze systému ITRS do topocentrického systému, kde kladná osa X směřuje v Xi v Y i v Zi

3 k jihu, kladná osa Y na východ a kladná osa Z je ve směru průvodiče. K provedení této transformace je nutné nejprve určit geocentrické sférické souřadnice stanic (ρ, φ, λ). Délka průvodiče: Geocentrická šířka: ρ i = Xi 2 + Y i 2 + Zi 2 φ i = arcsin Z i ρ i Geocentrická délka: λ i = arctan Y i X i Získané souřadnice byly zobrazeny v mapách Google Maps a porovnáním se zákresem tektonických desek bylo zjištěno, na které desce stanice resp. výpočetní bod leží. Antarktická deska stanice φ λ barva značky A S E fialová ROTHERA S W žlutá AMSTERDAM S E oranžová ILE DES PETRALS S E červená

4 Africká deska stanice φ λ barva značky B N E tm. fialová HARTEBEESTHOEK S E žluté LIBREVILLE N E sv. fialová SEYCHELLES N E červená Rozdělení Země na tektonické desky zdroj:

5 Vektor rychlosti pohybu stanice v systému S,E,r je získán rotací: v Si v Xi v Ei = T v Y i, v ri v Zi kde matice rotace T je součinem dvou rotačních matic: T = R Y (90 φ i ) R Z (λ i ) Vektor rychlosti v horizontálním směru v systému ITRS je získán obrácenou rotací, přičemž prvek vektoru v ri odpovídající složce rychlosti ve směru průvodiče je položen rovný 0. v v i Xi v Si = v Y i = T T v Ei v Zi 0 Jelikož pro celou tektonickou desku platí jeden vektor úhlové rotace desky a k dispozici jsou tři stanice, byl vektor úhlové rotace určen vyrovnáním MNČ. Rozepsáním vektorového součinu v = ω r do jednotlivých složek vektorů jsou pro každou stanici získány tři rovnice pozorování: v X = ω Y Z ω Z Y v Y = ω Z X ω X Z v Z = ω X Y ω Y X Neznámými jsou složky vektoru ω. Vzhledem k jeho malým hodnotám lze přibližné hodnoty neznámých považovat za rovné 0. Vyrovnané hodnoty jsou pak rovny přírůstkům: ω = ( A T A) 1 A T l Vektor měření je sloupcovým vektorem, ve kterém jsou seřazeny vektory rychlostí stanic i = 1, 2, 3 v horizontálním směru. l = Matice plánu je matice derivací rovnic pozorování podle neznámých. Opět jsou zde seřazeny tři submatice pro stanice i = 1, 2, 3. kde A i = 2 Vektory rychlosti bodů A,B A = v 1 v 2 v 3 A 1 A 2 A 3, 0 Z i Y i Z i 0 X i Y i X i 0 Vektory rychlosti sledovaných bodů A,B jsou vektorovým součinem vektoru průvodiče daného bodu a vektoru úhlové rotace desky na které se bod nachází. v A = ω 1 r A v B = ω 2 r B r B

6 3 Roční změna vzdálenosti bodů A,B Ze souřadnic sledovaných bodů v základní epoše byl určen vektor souřadnicových rozdílů: AB = r B r A Délka mezi body A,B je pak velikostí tohoto vektoru. d AB = AB Zárověň byl určen jednotkový vektor směru spojnice bodů A,B. AB d AB AB = AB Průměty vektorů rychlosti bodů A,B do směru jejich spojnice byly určeny pomocí pravidla pro skalární součin: u v = u v cos θ, kde v je vektor rychlosti bodu a u směrový vektor spojnice. Jelikož vektor směru spojnice je jednotkový, je skalární součin přímo průmětem vektoru v do tohoto směru. A = AB v A B = AB v B Roční změna délky A,B je pak rozdílem velikosti posunů ve směru spojnice: Nová délka spojnice A,B v epoše +1 rok: 4 Číselné výsledky Vektor úhlové rotace 1.desky (Antarktické) ω 1 = Vektor úhlové rotace 2.desky (Africké) ω 2 = dab = B A d AB = d A B + dab [rad/rok] [rad/rok] Vektor rychlosti bodu A Vektor rychlosti bodu B v A = v B = [m/rok] [m/rok]

7 Vektor souřadnicových rozdílů A,B AB = Délka spojnice bodů A,B v základní epoše Jednotkový směrový vektor spojnice bodů A,B d AB = m AB = Průmět rychlosti bodu A do směru spojnice Průmět rychlosti bodu B do směru spojnice A = m B = m Změna délky mezi body A,B dab = m Délka mezi body A,B v epoše +1rok d AB = m Závěr: Ze souřadnic tří stanic (na Antarktické resp. Africké desce) a vektorů rychlosti stanic byl určen vektor úhlové rotace příslušné tektonické desky. K určení vektoru úhlové rotace desky z nadbytečného počtu měření bylo použito vyrovnání MNČ. Při určování rotace tektonické desky byl uvažován pouze horizontální pohyb stanic. Ze známé rotace zemských desek (Antarkticé a Africké) byly určeny vektory rychlosti sledovaných bodů A,B. Dle výše uvedených obrázků leží oba body u okrajů tektonických desek, tedy poblíž zlomu. Průmětem vektorů do směru spojnice byla určena roční změna vzdálenosti těchto bodů. Body se od sebe vzdalují rychlostí přibližně 2.4mm za rok. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)