6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 Modeling and in-sample forecasing of volailiy using linear and nonlinear models of condiional heeroscedasiciy Modelování a ex-pos predikce volailiy pomocí lineárních a nelineárních modelů podmíněné heeroskedasiciy Per Seďa Absrac his paper deals wih esimaes of volailiy using seleced linear and nonlinear models of condiional heeroskedasiciy which are able o accoun for he main empirical feaures observed in daa on equiy markes. he aim of his paper is o compare in-sample forecasing performance of volailiy models in seleced ime periods wih a special emphasis on he ime of he global financial crisis. here are a firs described he seleced ways of volailiy approximaion and furher characerized linear and nonlinear models of condiional heeroscedasiciy. he empirical analysis has been applied on he daily reurns of boh developed (USA, Grea Briain) and emerging (Czech Republic, Poland) equiy markes in he years 004-0. Esimaes obained using volailiy models are compared wih he real values of volailiy on he basis of loss funcions as indicaors of forecasing qualiy in differen ime periods. I seems ha wors resuls were achieved when analyzing daa from he global financial crisis period. In addiion, he forecasing performance of used models is generally beer on developed equiy markes represened by U.S. and Grea Briain sock markes. Keywords condiional heeroscedasiciy, EGARCH model, ex-pos forecas, GARCH model, global financial crisis, loss funcion, sock marke, volailiy. JEL Classificaion: C3, C 5, C 53, C 58, G7. Úvod Modelování volailiy se dosalo do popředí zájmů analyiků i eoreických ekonomů zhruba před 30 ley a v současnosi zůsává jedním z nejdůležiějších výzkumných éma finanční ekonomerie. Vývoj ekonomerických modelů volailiy probíhal společně s jejich aplikacemi ve sféře akademické a rovněž progresivním využiím ve finančním průmyslu. Nedávné výzkumy považují volailiu za v podsaě nepozorovaelnou veličinu, a udíž pracují s podmíněnou sřední hodnoou či podmíněným rozpylem za účelem analýzy a odhadu laenní volailiy. eno přísup vedl ke všem druhům modelům ypu GARCH a aké Ing. Per Seďa, Ph.D., Ekonomická fakula VŠB-U Osrava, Kaedra maemaických meod v ekonomice, Sokolská řída 33, 70 Osrava, Česká republika, per.seda@vsb.cz. eno článek vznikl za finanční podpory Sudenské granové souěže EkF VŠB-U Osrava v rámci projeku SP0/7 Empirická analýza volailiy akciových rhů v konexu finanční krize. 557
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 modelům sochasické volailiy. Odhady ěcho modelů ale nejsou časo jednoduchou či riviální záležiosí, o se ýká zejména modelů sochasické volailiy, keré nejsou schopny replikova někeré empirické vlasnosi finančních časových řad. Invesoři inerpreují zvýšení volailiy na akciovém rhu jako zvýšení rizika invesic a v důsledku oho přesunují finanční prosředky do méně rizikových akiv, což souvisí mimo jiné s ekonomickými aspeky globalizace, viz Sucháček (009). Kolísání cen akcií je ale aké známkou efekivnosi rhu na akciových rzích, viz Goudarzi a Ramanaraynan (0). Negaivním důsledkem kolísání cen, kerý ovlivňuje výkonnos finančního rhu, je zv. desrukivní volailia, kerá může vyúsi v krizi na finančních rzích. Zaímco analýze volailiy a jejímu vzahu k ceně akiva byla věnována pozornos na vyspělých finančních rzích, v případě rozvíjejících rhů omu ak není. Chování rozvíjejících se rhů se liší od projevů rhů vyspělých. ypickým projevem rozvíjejících se rhů je vyšší volailia, viz Bekaer a Harvey (997), což má významný dopad na rozhodování invesorů. Cílem ohoo příspěvku je empirické esování kvaliy ex-pos predikce volailiy pomocí modelů podmíněného rozpylu na vyspělých a aké rozvíjejících se akciových rzích. Kvalia predikce bude následně evaluována pomocí sandardně používaných kriérií v podobě zráových funkcí. Navíc bude provedeno srovnání predikčních schopnosí modelů na zkoumaných rzích v před, během a po skončení globální finanční krize v leech 008-09.. eoreická východiska V éo kapiole budou sručně popsány vybrané způsoby aproximace volailiy, keré jsou běžně využívané a lze je využí pro porovnání kvaliy odhadů modelů. Následně budou definovány vybrané lineární a nelineární modely podmíněné heeroskedasiciy, keré budou využiy pro modelování volailiy vybraných vyspělých i rozvíjejících se akciových rhů. V neposlední řadě budou popsány krieriální funkce, keré budou využiy pro hodnocení kvaliy predikce.. Aproximace volailiy Modely hisorické volailiy pracují se směrodanou odchylkou σ jako proměnnou, jejíž hodnoy známe. Jak ji lze vypočía, si ukážeme nyní. První meodou, kerá se zdá bý přirozená, je použií čverce výnosů. Předpokládejme obecně používanou rovnici pro výnosy: r = µ + e, () kde e = ε + σ, () r je výnos akiva v čase a µ je vhodně modelovaná sřední hodnoa výnosů. Přirozené se zdá použií e jako veličinu pro použií míso volailiy σ. oo však není vhodné. Podle Lopez (00) plaí, že pokud pro ε zvolíme například normální rozdělení, j. ε ~ N ( 0,), pak druhá mocnina ε ~ χ ( ) pochází z chí-kvadrá rozdělení e. o ale znamená, že v 75 procenech případů je e věší nebo naopak menší než σ alespoň o polovinu. ao aproximace se nezdá příliš vhodná a lze dle Poon (005) využí jiné meody. Pokud máme dosaek finančních da naměřených s věší časovou frekvencí, než je frekvence volailiy (např. pokud chceme odhadnou denní volailiu a máme dosupná daa pro výnosy akiva měřené každých 5 minu), můžeme pro volailiu v každém časovém okamžiku s použí vzorec výběrové směrodané odchylky: 558
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 S ) σ = S µ S s= ( r ) kde S je poče měření. Podle say (005) má ao meoda aké své nevýhody. Pokud použijeme ao daa, nesmíme zapomenou, že se s finančními akivy neobchoduje neusále, burzy se na noc zavírají. Volailia se skládá ze dvou čásí: denní a noční, přičemž noční můžeme vníma jako vliv poziivních či negaivních zpráv na kurz v době, kdy se neobchoduje, nebo vliv obchodování v jiných čásech svěa. Daa, kerá máme k dispozici, dokážou popsa a vysvěli pouze denní volailiu. Nemáme-li přísup k daům s minuovou či hodinovou frekvencí nebo se jim chceme vyhnou, můžeme použí meodu nazvanou High-Low. V ní se pro odhadnuí denní volailiy používají daa, kerá jsou obvykle dosupná: nejvyšší a nejnižší hodnoa, popř. oevírací a uzavírací cena. uo meodu poprvé použil Parkinson (980), kerý předpokládá, že chování volailiy následuje Brownův pohyb, a pro odhad volailiy pak používá vzah: ( ln H ln L ) ) σ =, (4) 4ln kde H, L udávají posupně nejvyšší a nejnižší denní hodnou akiva. Garman a Klass (980) upravili eno esimáor do podoby:, ) H p σ = 0,5 ln 0, 39 ln, L p kde p, p jsou posupně uzavírací a oevírací cena ze dne. Esimáor v éo formě je velmi cilivý na odlehlá pozorování, proo se doporučuje ao pozorování nají a ze souboru da odsrani. Pokud se ve vzorku desabilizující hodnoy nevyskyují, pak je esimáor velmi efekivní, viz Poon (005). Ve všech vzorcích Poon (005) doporučuje používa směrodanou odchylku. Jako zdůvodnění uvádí fak, že se směrodaná odchylka udává ve sejných jednokách jako sřední hodnoa, na rozdíl od rozpylu, a aké je sabilnější.. Lineární modely podmíněné heeroskedasiciy V klasické lierauře předsavované prací Bollersleva (986) se sandardně používá model GARCH neboli model podmíněné heeroskedasiciy pro modelování rozpylu výnosů da z finančních rhů. Popularia ěcho modelů spočívá v jejich kompaibiliě s někerými ypickými vlasnosmi finančních časových řad výnosů, exisenci relaivně účinných saisických meod pro odhad paramerů modelu a aké možnosi relaivně účinné možnosi predikce. Sandardní GARCH modely či modely sochasické volailiy však nejsou schopny zachyi někeré podsané rysy ypické pro vysokofrekvenční časové řady z finančních rhů. Jedná se například o: lusé konce, dlouhou paměť volailiy, vysoké hodnoy šikmosi či špičaosi, keré klesají se supněm agregace. Sandardně je AR()-GARCH(, ) model podmíněné heeroskedasiciy podle Bollersleva (986) pro diskréní daa definován následujícím způsobem: r = α + α r + ε, (6) 0 ξ σ, ε = (7) ( 0 ) ξ ~ N,, (8) σ = β + β ε + β σ (9) 0, kde r je výnos podkladového indexu. Podmíněná heeroskadasicia je modelována podle rovnice (9). β 0, β, β jsou konsany, keré vyhovují podmínkám: β0 > 0, β + β <. (3) (5) 559
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 GARCH modely nejlépe fungují za relaivně sabilních ržních podmínek. Ačkoli GARCH model je explicině navržen pro modelování proměnlivé volailiy, není schopen modelova vysoce nepravidelné jevy včeně divokých ržních flukuací jako např. krachy na burzách a následné oživení, a další neočekávané událosi, keré vedou k významným srukurálním změnám. Nevýhodou GARCH modelů je aké jeho symerie, kerá je důsledkem volby kvadraického varu inovací v podmíněném rozpylu, proože současná volailia je pak ovlivněna pouze velikosí předchozích šoků a nebere do úvahy znaménko šoku. o je ovšem problém, proože finanční daa vykazují pákový efek. Symerická povaha modelu brání oo chování zachyi. Proo se využívají modely nelineární..3 Nelineární modely podmíněné heeroskedasiciy Jak bylo uvedeno v předchozí podkapiole, jedním z hlavních omezení lineárních modelů podmíněné volailiy je fak, že nezohledňují rozdílný vliv poziivních a negaivních zpráv. Je o dáno ím, že podmíněný rozpyl v lineárním modelu podmíněného rozpylu je funkcí čverců reziduí, nezohledňuje edy jejich znaménka. Z oho důvodu je nuné pro účely naší analýzy vsoupi do oblasi modelů nelineárních. Asymerické modely podmíněného rozpylu oiž umožňují zachyi různé dopady poziivních a negaivních šoků na hodnou volailiy. K modelování ohoo jevu jsme edy využili model, kerý umožňuje analyzova asymerický vliv šoků na volailiu, edy EGARCH model. Zaímco model symerický GARCH pracuje se čverci zpožděných hodno rozpylu a náhodných chyb v rovnici rozpylu, EGARCH(p, q) model, viz Nelson (00), odhaduje logarimus podmíněného rozpylu dle následujícího vzahu: p p q ε i ε i ln ( σ ) = ω + αi + γ i + β j ln ( σ j ). (0) σ σ i= i i i= i j= Příomnos pákového efeku je povrzena, pokud γ i < 0. Špané zprávy mají edy věší vliv na volailiu a předpokládá se, že γ i bude v omo případě negaivní. Kromě analyického vyjádření pákového efeku je vhodné a rovněž užiečné vyjádři graficky. Vhodným způsobem grafického vyjádření pákového efeku je použií křivky asymerických zpráv (NIC). ao křivka měří vliv zpráv k dau na volailiu v čase, zaímco informace z předchozích je konsanní, viz Seďa (0)..4 Krieriální funkce pro hodnocení kvaliy predikce Jedním z rozhodujících kriérií pro výběr vhodného modelu pro modelování volailiy je jejich predikční schopnos. Abychom zjisili, kerý model je lepší, je důležié porovna přesnos predikce zvolených modelů. Porovnáva modely lze buďo na základě predikce expos, o znamená, jak dobře popisují skuečnos předsavovanou hisorickými day, nebo predikce ex-ane, edy jak kvaliní je jejich schopnos skuečné predikce do budoucna. Ačkoli jsou běžně používané odhady prvního ypu, podle Lopez (00) doporučuje používa pro vyhodnocení kvaliy modelu predikci ex-ane. Je možné předpokláda, že dobrá shoda modelu s day je předpokladem pro dobrou predikci, edy pokud bude někerý model generující proces popisova španě, bude mí i špané hodnoy predikce. Ideální by byla meoda, kerá by nám ukázala relaivní nebo absoluní užiečnos modelu. Ve skuečnosi lze užiečnos obížně definova, a proo se kvalia predikce vyhodnocuje pomocí zv. zráové funkce. Pro každý model lze vypočía hodnou éo zráové funkce a podle éo hodnoy určí, kerý model je nejlepší. Je přiom důležié si uvědomi, že i zráové funkce samoné jsou zaíženy určiým šumem či chybou. o znamená, že pokud nabývá hodnoa zráové funkce prvního modelu věší hodnoy než u modelu druhého, nemůžeme ješě s jisoou říci, že je druhý model lepší, ale musíme ověři navíc významnos esu. 560
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 Uvedeme někeré časo používané zráové funkce, viz Poon (005) nebo Lopez (00). Časo využívaným kriériem je kriérium odmocniny sřední kvadraické chyby (RMSE): RMSE = ( ˆ σ ) σ, () = kde člen ˆ σ označuje predikovanou hodnou a σ skuečnou hodnou volailiy pro predikovaných. Nevýhodou RMSE je symerická podoba éo zráové funkce, kerá nedosaečně penalizuje záporný rozpyl. Někeré další saisiky bývají používány, ovšem jsou zaíženy sejnou chybou, jako RMSE. Používá se aké kriérium průměru absoluních hodno chyb (MAE): MAE = ˆ σ σ. () = Zráovou funkcí, kerá penalizuje předpovědi volailiy asymericky, je heeroskedasická HMSE, viz Bollerslev a Ghysels (996): σ HMSE =. = ˆ σ (3) Bollerslev, Engle a Nelson (994) doporučují zráovou funkci obsaženou v Gaussovské funkci quasi-maximální věrohodnosi časo používané při odhadování GARCH modelu: σ GMLE = ln ( ˆ σ ) +. = ˆ σ (4) Pro porovnání kvaliy predikce lze využí heilův koeficien nerovnosi U, kerý má var: U = = 56 ( σ ˆ σ ) ˆ σ + σ = = RSME posihuje věší chyby více než MAE, a proo RMSE nabývá vyšší hodnoy než MAE. Jinými slovy, věší rozdíl mezi nimi znamená, že věší rozpyl jednolivých chyb ve vzorku. Hodnoa heilova koeficienu nerovnosi U se pohybuje od 0 do, přičemž nižší hodnoa znamená lepší kvaliu. Podle Poon (005), je vhodné se zaměři především na RMSE a heilův koeficien nerovnosi. Pro porovnávání přesnosi předpovědí jednolivých modelů lze využí saisické esy, keré využívají obecnou zráovou funkci a analyzují rozdíly mezi hodnoami zráových funkcí porovnávaných modelů, viz Diebold a Mariano (995). 3. Empirická analýza V éo podkapiole budou popsána daa použiá pro analýzu, včeně jejich empirických vlasnosí, dále pak budou odhadnuy modely definované v předchozí kapiole a aké bude posouzena kvalia ex-pos predikce na základě vybraných zráových funkcí. 3. Daa Empirická analýza bude provedena na denních daech vybraných vyspělých i rozvíjejících se akciových indexů v od ledna 004 do března 0, což znamená více než 00 denních pozorování. K dispozici máme více než 9 le dlouhé časové řady oevíracích a uzavíracích kurzů, keré byly získány především z veřejně dosupných zdrojů. Denní výnosy r v čase je definován jako logarimus rozdílů uzavíracích kurzů p ( ) r = log p p. Vývoj uzavíracích kurzů všech analyzovaných indexů je uveden na Obr... (5)
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 Pro účely ohoo příspěvku byly zvoleny následující akciové rhy: rozvíjející rhy jsou zasoupeny českým a polským rhem (index PX a WIG0), vyspělé rhy pak rhem americkým (index S&P500) a briským (index FSE00). esovací bylo zvoleno záměrně, a o s cílem analyzova volailiu v čase s důrazem na její chování v před, během a po globální finanční krize v leech 008-009. Empiricky bylo povrzeno, že krize se neýkají pouze vyspělých rhů (USA, Velká Briánie, Německo, Japonsko, Singapur, Hong-Kong ad.), ale nevyhýbají se ani rhům rozvíjejícím (Česká republika, Polsko). V návaznosi na rozšíření negaivních zpráv z amerického akciového rhu, keré vyúsily v globální finanční krizi, akciové rhy reagovaly poklesem aké v Evropě. Zaznamenány byly poklesy akciových rhů ve výši cca 60%, viz Obr.. K omu došlo především díky odchodu zahraničních porfoliových invesorů v od září do prosince 008 a aké díky psychologickém dopadu na národní invesory.,600 Obr. : Vývoj indexů S&P500, FSE00, WIG0 a PX 6,800,000 4,000,400 S&P500 6,400 6,000 FSE00,800 PX 3,600 WIG0 5,600,600 3,00,00 5,00,400,800,000 4,800,00,400 4,400,000,000 800 4,000 3,600 800,600 600 3,00 600,00..004 5.4.004 9.7.004..004 4..005 9.6.005.9.005 5..006 0.4.006 3.8.006 6..006.3.007 4.6.007 7.9.007 0..008 4.4.008 7.8.008 0..008 5.3.009 8.6.009.0.009 4..00 9.4.00.8.00 5..00 0.3.0 3.6.0 6.0.0 9..0..004 5.4.004 9.7.004..004 4..005 9.6.005.9.005 5..006 0.4.006 3.8.006 6..006.3.007 4.6.007 7.9.007 0..008 4.4.008 7.8.008 0..008 5.3.009 8.6.009.0.009 4..00 9.4.00.8.00 5..00 0.3.0 3.6.0 6.0.0 9..0..004 5.4.004 9.7.004..004 4..005 9.6.005.9.005 5..006 0.4.006 3.8.006 6..006.3.007 4.6.007 7.9.007 0..008 4.4.008 7.8.008 0..008 5.3.009 8.6.009.0.009 4..00 9.4.00.8.00 5..00 0.3.0 3.6.0 6.0.0 9..0..004 5.4.00 4 9.7.00 4..004 4..00 5 9.6.005.9.00 5 5..006 0.4.00 6 3.8.006 6..006.3.007 4.6.00 7 7.9.00 7 0..00 8 4.4.00 8 7.8.008 0..008 5.3.009 8.6.00 9.0.00 9 4..0 0 9.4.0 0.8.0 0 5..00 0.3.0 3.6.0 6.0.0 9..0 Z Obr. je zřejmé, že výnosy se pohybují kolem nulové sřední hodnoy. Volailia je v někerých ch nízká a v jiných ch naopak vysoká. Pohyby volailiy jsou jak kladné, ak záporné, a je zřejmá endence shlukování volailiy v někerých ch či naopak relaivně nízkých hodno volailiy. Na Obr. je vidě shlukování volailiy, kdy vysoké výnosy jsou následovány nižšími výnosy, což vede k m relaivní sabiliy. Shlukování volailiy indikuje silnou auokorelaci čverců výnosů. Proože volailia byla nejvyšší v roce 008, kdy hodnoy věšiny indexů dosáhly minimálních hodno ve sledovaném, bylo základní esovací rozděleno na ři dílčí. První bylo definováno od roku 004 do poloviny roku 007, kdy indexy dosahovaly maximálních hodno, druhé zahrnuje globální finanční krize a končí březnem 009, kdy rhy dosáhly svých minimálních hodno, zaímco poslední je zakončeno březnem 0 a zahrnuje edy pozvolného růsu sledovaných indexů.. Obr. : Vývoj výnosů indexů S&P500, FSE00, WIG0 a PX.00.00.5.08 S&P 500.075 FSE00.075 WIG0.0 PX.050.050.05.04.05.05.00.00.000.000 -.05 -.04 -.05 -.050 -.05 -.050 -.0 -.08 -.075 -.075 -.5 -. -.00 -.00 -.0..004 6.4.004 30.7.004..004 5..005 0.6.005 3.9.005 6..006.4.006 4.8.006 7..006.3.007 5.6.007 8.9.007..008 5.4.008 8.8.008..008 6.3.009 9.6.009.0.009 5..00 30.4.00 3.8.00 6..00.3.0 4.6.0 7.0.0 0..0..004 6.4.004 30.7.004..004 5..005 0.6.005 3.9.005 6..006.4.006 4.8.006 7..006.3.007 5.6.007 8.9.007..008 5.4.008 8.8.008..008 6.3.009 9.6.009.0.009 5..00 30.4.00 3.8.00 6..00.3.0 4.6.0 7.0.0 0..0.. 004 6.4.004 30.7.004..0 04 5..005 0.6.005 3.9.005 6.. 006.4.006 4.8. 006 7..0 06.3. 007 5.6.007 8.9.007..008 5.4.008 8.8. 008..0 08 6.3. 009 9.6.009.0.009 5..00 30.4.00 3.8.00 6..0 0.3.0 4.6.0 7.0.0 0..0..004 6.4.004 30.7.004..004 5..005 0.6.005 3.9.005 6..006.4.006 4.8.006 7..006.3.007 5.6.007 8.9.007..008 5.4.008 8.8.008..008 6.3.009 9.6.009.0.009 5..00 30.4.00 3.8.00 6..00.3.0 4.6.0 7.0.0 0..0 3. Empirické vlasnosi analyzovaných výnosů Deskripivní saisiky používáme zejména kvůli věší přehlednosi analyzovaných údajů. Při výpoču deskripivních saisik jsou vypočíány aké čvré momeny sledovaných údajů, edy špičaosi, mediánu, sřední hodnoy a směrodané odchylky. Navíc byl proveden aké J-B 56
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 es normaliy. Výsledky popisných saisik všech analyzovaných indexů ve všech dílčích ch jsou uvedeny v abulce. U sřední hodnoy a směrodané odchylky je možné si všimnou poměrně velkých rozdílů u jednolivých. Zaímco v. a 3. je sřední hodnoa u všech akciových indexů kladná, což znamená, že v ěcho ch byl průměrný denní výnos kladný a edy docházelo v průměru ke zhodnocování vložených prosředků. Naopak ve. je sřední hodnoa u všech sledovaných indexů výrazněji záporná a o znamená, že v omo docházelo časěji k záporným denním výnosům, než ke kladným. Při pohledu na velikos směrodané odchylky je jasně parné, že nejvěší směrodaná odchylka byla zjišěna u všech indexů ve., což znamená, že oo můžeme označi za nejrizikovější pro invesory. Nižší hodnoa byla zjišěna ve 3. a nejnižší hodnoa byla dosažena v., což naznačuje skuečnos, že. bude ze všech sledovaných neklidnější, bez výrazných šoků. abulka : Popisné saisiky výnosů indexů S&P500, FSE00, WIG0 a PX S&P500 FSE00 Sř. hodnoa 0,0004-0,009 0,0009 0,0004-0,005 0,0006 Median 0,0006-0,000 0,0009 0,0004-0,0005 0,0003 Směr. odch. 0,0066 0,03 0,03 0,0067 0,006 0,0 Špičaos 4,09 7,569 6,494 4,775 6,939 4,6635 J-B sa. 63,9 365,5 399,64 37,9 76,68 90,5 Pravděpod. 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 WIG0 PX Sř. hodnoa 0,0009-0,00 0,0006 0,00-0,005 0,0006 Median 0,0007-0,0005 0,0000 0,006-0,00 0,0000 Směr. odch. 0,07 0,08 0,058 0,007 0,05 0,05 Špičaos 4,56 4,7066 5,443 8,6038,045 5,7086 J-B sa. 03,87 55,48 90,48 54,09 49,78 39,9 Pravděpod. 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Ani v jednom z dvanáci případů není špičaos menší nebo rovna číslu 3, což jen povrzuje, že finanční časové řady mají špičaější rozdělení pravděpodobnosi, než je omu u normálního rozdělení, což znamená, že se hodnoy výnosů, keré éměř odpovídají sřední hodnoě, vyskyují časěji, než je omu u normálního rozdělení. Ač všechny výše uvedené skuečnosi nasvědčují omu, že se žádná časová řada indexu nechová dle normálního rozdělení, je přeso nuné oo vrzení povrdi pomocí J-B esu normaliy. 3.3 Výsledky odhadů modelů Následující podkapiola je věnována odhadům lineárních a nelineárních modelů volailiy časových řad indexů S&P500, FSE00, WIG0 a PX ak, jak byly yo modely definovány v podkapiole. a.3. Pro účely éo sudie byly odhadnuy GARCH(, ) a EGARCH(, ) modely. Sejně jako v předchozí podkapiole budou odhady rozděleny podle ří zkoumaných, j., předkrizového, globální finanční krize a pokrizového. Výsledky všech odhadů jsou uvedeny v abulce. Odhady paramerů, jež jsou saisicky významné na 5% hladině významnosi, jsou zvýrazněny učným písmem. β0, β, β a γ jsou 563
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 paramery modelů podmíněného rozpylu a MV předsavuje hodnou funkce maximální věrohodnosi. Z výsledků uvedených v abulce je zřejmé, že hodnoy odhadnuých paramerů jsou ve věšině případů, kromě dvou koeficienů asymerie, a o v předkrizovém na polském rhu a pokrizovém na českém rhu, u všech lineárních i nelineárních modelů saisicky významné. Hodnoy koeficienů asymerie jsou přiom nejvyšší právě v době globální finanční krize, což povrzuje hypoézu, že negaivní informace způsobují zvýšenou volailiu. Navíc je vidě, že hodnoy funkcí maximální věrohodnosi jsou éměř vždy vyšší v případě nelineárních modelů ve srovnání s modely lineárními, což naznačuje, že mohou bý vhodnější pro predikci, přičemž nabývají nejnižších hodno opě v době globální finanční krize a nejvyšších v předkrizovém. abulka : Výsledky odhadů lineárních a nelineárních modelů podmíněného rozpylu GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH S&P500 FSE00 β 0 0,000-0,530 0,000-0,849 0,000-0,407 0,000-0,6779 0,000-0,87 0,000-0,30 β 0,0339-0,038 0,084 0,094 0,034 0,46 0,0893 0,0773 0,347 0,0390 0,0804 0,53 β 0,8977 0,9456 0,879 0,973 0,8760 0,9673 0,837 0,9387 0,8453 0,9749 0,890 0,9743 γ - -0,499 - -0,779 - -0,565 - -0,568 - -0,693 - -0,388 MV 333 3359 5 34 404 4 3349 336 3 4 406 46 WIG0 β 0 0,000-0,90 0,000-0,40 0,000-0,939 0,000 -,0906 0,000-0,56 0,000-0,396 β 0,049 0,00 0,0976 0,0344 0,0706 0,490 0,36 0,39 0,049 0,843 0,6 0,635 β 0,998 0,9838 0,88 0,974 0,95 0,9906 0,836 0,8995 0,7945 0,958 0,8634 0,9777 γ - 0,075 - -0,704 - -0,0788 - -0,66 - -0,969 - -0,06 MV 75 750 07 088 5 33 955 967 4 7 70 68 PX Lze aké konsaova, že všechny zkoumané indexy vykazují podobné rysy chování, zn., že nebyl zaznamenán rozdíl mezi vyspělými a rozvíjejícími se rhy. 3.4 Porovnání kvaliy ex-pos predikce jednolivých modelů Odhady volailiy získané na základě výsledků z předchozí podkapioly budou porovnány se skuečnými hodnoami volailiy, keré byly aproximovány ze skuečných da. Pro aproximaci volailiy byla zvolena meoda High-low dle rovnice (4), přičemž byly použiy oevírací a uzavírací ceny. Garman-Klassova meoda dle rovnice (5) nebyla využia vzhledem k absenci pořebných da. Hodnoy vybraných zráových funkcí jsou shrnuy v abulce 3. K dispozici edy máme pro každý index a každé sledované dva vekory predikované volailiy získané pomocí GARCH(, ) a EGARCH(, ) modelů a jeden vekor aproximované volailiy. Na jejich základě jsou vypočeny hodnoy následujících zráových funkcí: RMSE, MAE, HMSE, GMLE a heilova koeficienu U. Z vypočíaných hodno jsou pak porovnány predikční vlasnosi modelů pro každý index, lineární a nelineární model, zvolené a danou zráovou funkci. 564
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 abulka 3: Kvalia ex-pos predikce modelů volailiy hodnocená pomocí zráových funkcí GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH GARCH EGARCH S&P500 FSE00 RMSE 0,0066 0,006 0,0 0,08 0,03 0,07 0,0067 0,0069 0,0 0,006 0,0 0,05 MAE 0,0049 0,0044 0,049 0,056 0,0090 0,0086 0,005 0,0050 0,043 0,044 0,0087 0,0089 HMSE 0,76 0,70 0,487 0,4598 0,066 0,9 0,68 0,698 0,630 0,56 0,97 0,08 GMLE 0,58 0,868 0,5769 0,5457 0,386 0,347 0,465 0,477 0,78 0,70 0,79 0,935 heil U. 0,39 0,7 0,487 0,69 0,75 0,666 0,8 0,637 0,704 0,6 0,377 0,87 WIG0 RMSE 0,07 0,09 0,0 0,07 0,058 0,059 0,007 0,08 0,05 0,05 0,05 0,057 MAE 0,0094 0,009 0,066 0,06 0,03 0,06 0,0075 0,008 0,058 0,054 0,009 0,03 HMSE 0,79 0,89,58,885 0,9 0,95 0,067 0,378,838,069 0,4 0,5 GMLE 0,3768 0,408 0,8790 0,8943 0,346 0,3437 0,587 0,7 0,80 0,839 0,383 0,408 heil U. 0,83 0,073 0,64 0,844 0,69 0,896 0,74 0,906 0,98 0,39 0,786 0,794 Hodnoy ukazaelů RMSE a MAE vykazují podobné výsledky. Ve věšině případů jsou hodnoy volailiy odhadnué pomocí lineárních modelů lepší v sabiliy, edy před a po krizi, zaímco v krizovém jsou přesnější odhady získané modely nelineárními. Hodnoy heilova koeficienu U ukazují překvapivě relaivně kvaliní predikci v krize v případě indexu S&P500, ale aké FSE00 a PX při použií nelineárních modelů. U indexu WIG0 byly dosaženy nejlepší výsledky v předkrizovém. Na základě hodno zráových funkcí HMSE a GMLE nelze vypozorova žádnou obecnou implikaci, výsledky oiž nevykazují sysemaické rysy. Souhrnně lze konsaova, že zejména lineární modely podmíněného rozpylu mají velice dobré predikční schopnosi v ch sabiliy, zaímco v době krize jsou výsledky odhadů obecně méně kvaliní, přičemž nelineární modely jsou pro predikci vhodnější než modely lineární. Kvalia predikce je obecně vyšší v případě vyspělých rhů než u rhů rozvíjejících se. Na základě hodno zráových funkcí je možné soudi, že hodnocení kvaliy ex-pos predikce pomocí odhadnuých modelů podmíněné heeroskedasiciy není úplně jednoznačné. Různá kriéria poskyují různé výsledky srovnání jednolivých modelů, rhů a sledovaných. Pro porovnávání přesnosi předpovědí jednolivých modelů by bylo vhodné využí saisické esy, keré využívají obecnou zráovou funkci a analyzují rozdíly mezi hodnoami zráových funkcí porovnávaných modelů. 4. Závěr Předložený příspěvek byl věnován modelování volailiy pomocí lineárních a nelineárních modelů podmíněné heeroskedasiciy a evaluaci ex-pos predikce získané pomocí ěcho modelů při využií vybraných zráových funkcí. Empirická analýza byla provedena na denních výnosech vyspělých (USA, Velká Briánie) i rozvíjejících se akciových rhů (Polsko, Česká republika) v od roku 004 do března 0. Cílem ohoo příspěvku bylo porovna predikční schopnosi modelů volailiy v před, během a po skončení globální finanční krize v leech 008-009. Při odhadech modelů bylo zjišěno, že hodnoy koeficienů PX 565
6 h Inernaional Scienific Conference Managing and Modelling of Financial Risks Osrava VŠB-U Osrava, Faculy of Economics,Finance Deparmen 0 h h Sepember 0 asymerie byly saisicky významné éměř ve všech případech, přičemž nejvyšších hodno dosahovaly právě v globální finanční krize. Co se ýče kvaliy predikce, nejhorších výsledků bylo dosaženo v finanční krize, a o na základě hodno věšiny zráových funkcí. V ch sabiliy jsou kvalinější výsledky získané pomocí lineárních, zaímco v finanční krize naopak modelů nelineárních. Dalšími možnými přísupy pro analýzu volailiy je využií HAR-RV modelů či modelů s proměnlivými režimy. Seznam lieraury [] Bekaer, G. and Harvey, C. R., 997. Emerging Equiy Marke Volailiy. Journal of Financial Economics, 43, pp. 9 77. [] Bollerslev,., 986. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics, 3, pp. 307-37. [3] Bollerslev,. and Ghysels, E., 996. Periodic auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Business and Economic Saisics, 4, pp. 39-57. [4] Bollerslev,., Engle, R. F. and Nelson, D. B., 994. he Handbook of Economerics. Amserdam: Norh-Holland, pp. 959-3038. [5] Diebold, F. X. and Mariano, R. S., 995. Comparing Predicive Accuracy. Journal of Business and Economic Saisics, 3, pp. 53 63. [6] Garman, M. B. and Klass, M. J., 980. On he esimaion of securiy price volailiies from hisorical daa. Journal of Business, 53, pp. 67 78. [7] Goudarzi, H. and Ramanaraynan, C.S., 0. Modeling asymmeric volailiy in he Indian sock marke. Inernaional Journal of Business and Managemen, 6, pp. 3. [8] Lopez, J. A., 00. Evaluaing he Predicive Accuracy of Volailiy Models. Journal of Forecasing, 0, pp. 87 09. [9] Nelson, D. B., 99. Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: A new approach. Economerica, 59, pp. 347 370. [0] Parkinson, M., 980. he exreme value mehod for esimaing he variance of he rae of reurn. Journal of Business, 53, pp. 6 65. [] Poon, S. H., 005. A Pracical Guide o Forecasing Financial Marke Volailiy. s ed. Chicheser: John Wiley & Sons Ld. [] Seďa, P., 0. Asymmeric Condiional Volailiy Modeling: Evidence from Cenral European Sock Markes, Proceedings of Finanční řízení podniků a finančních insiucí 0. VŠB echnical Universiy of Osrava, Osrava, pp. 375-383. [3] Sucháček, J., 009. erriorial developmen reconsidered. s ed. Osrava: VŠB-U Osrava. [4] say, R. S., 005. Analysis of Financial ime Series. nd ed. Hoboken: John Wiley & Sons Ld. 566