Strana 1 ze 5 (D1) Binární pulzar Astronomové díky systematickému hledání v posledních desetiletích objevili velké množství milisekundových pulzarů (perioda rotace 10 ms). Většinu těchto pulzarů pozorujeme v binárních systémech s téměř kruhovými drahami. Perioda rotace pulzaru a průmět zrychlení ve směru k pozorovateli, které měříme, se obojí systematicky mění v důsledku orbitálního pobybu. Pro kruhové dráhy lze tuto změnu matematicky popsat pomocí orbitální fáze 0 2 jako kde kde kde je oběžná perioda binárního systému, je perioda vlastní rotace pulzaru a je poloměr oběžné dráhy. Následující tabulka obsahuje sadu měření a v různých (heliocentrických) časech vyjádřených jako zkrácené modifikované juliánské datum (truncated Modified Julian Days - tmjd), tj. počet dnů od MJD 2 0 000. T P a No. (tmjd) (μs) (m s -2 ) 1 50.5 58.8889-0.92 ± 0.08 2 50.03 58.833-0.2 ± 0.08 3 5.100 588.100-1.8 ± 0.0 5.5 588.5810 + 1. ± 0.0 5 5981.811 58.883 + 0.2 ± 0.0 5983.932 58.8552-0. ± 0.08 005.893 589.1029 + 0.52 ± 0.08 8 00.85 589.1350 + 0.00 ± 0.0 9 335.90 589.1358 + 0.00 ± 0.02 Vynesením jako funkce získáme parametrickou křivku. Jak je vidět z výše uvedených vztahů, je tato křivka elipsou v rovině (diagramu) perioda-zrychlení. V této úloze odhadneme periodu vlastní rotace oběžnou periodu a poloměr dráhy analýzou tohoto souboru dat za předpokladu kruhové oběžné dráhy. (D1.1) Vyneste data do roviny perioda-zrychlení včetně chybových úseček (označte váš graf jako D1.1 ). (D1.2) Nakreslete elipsu, která bude nejlepším proložením (fitem) dat (do stejného grafu D1.1 ). (D1.3) Z grafu určete, a, včetně intervalů nejistot. (D1.) Vyjádřete a pomocí, a. (D1.5) Vypočtěte přibližnou hodnotu B a na základě vašeho výsledku z bodu (D1.3), včetně intervalů nejistot. (D1.) Vypočtěte orbitální fázi odpovídající epochám následujících pěti pozorování v tabulce: datové řady číslo 1,,, 8, 9. (D1.) Zpřesněte odhad oběžné periody B s využitím výsledků získaných v části (D1.) následujícím způsobem: (D1.a) Nejprve určete základní epochu, která odpovídá nejbližší epoše nulové fáze před prvním pozorováním. (D1.b) Předpokládaný čas odhadnuté fáze každého pozorování je dán vztahem 2 2
Strana 2 ze 5, kde n je počet celých cyklů fázi mezi časy a. Odhadněte n a pro každé z pěti pozorování z části (D1.). Poznamenejte rozdíl mezi pozorovaným časem a. Zapište tyto hodnoty do tabulky v odpovědním listu. (D1.c) Vyneste O C v závislosti na (označte váš graf jako D1. ). (D1.d) Určete zpřesněné hodnoty základní epochy, a oběžné periody,. (D2) Vzdálenost Měsíce V tabulce jsou uvedeny geocentrické efemeridy Měsíce v září 2015 pro každý den v 00:00 UT. Datum R.A. (α) Dec. (δ) úhlová velikost (θ) Fáze (ϕ) elongace h m s ' '' '' Měsíce 01. září 0 3,02 3 1,8 1991,2 0,92 18, W 02. září 1 33 51,3 32 2,1 19,0 0,852 13, W 03. září 2 30 5,03 11 25 31,1 1950, 0,59 121,1 W 0. září 3 2 28,8 1 32,3 1923,9 0,55 10,9 W 05. září 23 52,28 1 3 18,2 189,3 0,5 95,2 W 0. září 5 19 3,25 1 55, 189,8 0,38 82,8 W 0. září 1 19,23 18 2, 185,5 0,33 0, W 08. září 35,58 1 23 55, 182,3 0,23 59,0 W 09. září 59 11,0 15 50 33,0 180,5 0,13,5 W 10. září 8 9 0,93 13 3 55, 192,0 0,09 3,2 W 11. září 9 3 11,2 10 5 2, 180, 0,0 25,1 W 12. září 10 23 5, 30, 12,2 0,015 1,1 W 13. září 11 9 1,8 3 59 28,8 1,5 0,001 3,3 W 1. září 11 5 9,80 0 19 50,2 13, 0,005,8 E 15. září 12 39 50,01-3 20 3, 13,8 0,02 18, E 1. září 13 25 11, - 52 18,8 1,0 0,05 29,5 E 1. září 1 11 23,13-10 9, 13,8 0,120 0, E 18. září 1 58 50, -13 2 2, 18, 0,189 51, E 19. září 15 5,9-15 2 1, 199, 0,20 2,5 E 20. září 1 38 50,31-1 22,8 1819,1 0,33 3,9 E 21. září 1 31 0,0-18 0 52,3 183,0 0,3 85, E 22. září 18 2 15,3-18 0 1, 180, 0,5 9, E 23. září 19 22 1,51-1 0 50, 1900,9 0,2 110,0 E 2. září 20 19 19,5-1 59 38,0 1931,9 0,2 122,8 E 25. září 21 1 55,3-11 59 59, 191,1 0,81 13,2 E 2. září 22 1,33-8 10 18,3 1985,5 0,933 150,0 E 2. září 23 12 3,3-3 28, 2002,0 0,981 1,0 E 28. září 0 10 8,32 0 58 58,2 2008,3 1,000 18,3 E 29. září 1 9 5,89 5 38 5,3 2003, 0,988 1, W 30. září 2 39,02 9 5 1,1 1988, 0,9 153,2 W Na složeném obrázku 1 níže je několik fotografií Měsíce, které byly pořízeny v průběhu úplného zatmění, které nastalo v daném měsíci. Středová severo-jižní linie stínu (umbry) procházela středem každého snímku. Předpokládejte, že se v tomto případě pozorovatel nacházel ve středu Země a že pod úhlovými velikostmi se rozumí úhlové průměry objektů a stínů. 1 Credit: NASA s Scientific Visualization Studio
Strana 3 ze 5 (D2.1) Apogeum oběžné dráhy Měsíce se v září 2015 nachází nejblíže okamžiku novu (New Moon) / první čtvrti (First Quarter) / úplňku (Full Moon) / poslední čtvrti (Third Quarter). Zatrhněte správnou odpověď v odpovědním archu. Odpověď nemusíte zdůvodňovat. (D2.2) Vzestupný uzel oběžné dráhy Měsíce vzhledem k rovině ekliptiky se v září 2015 nachází nejblíže okamžiku novu (New Moon) / první čtvrti (First Quarter) / úplňku (Full Moon) / poslední čtvrti (Third Quarter). Zatrhněte správnou odpověď v odpovědním archu. Odpověď nemusíte zdůvodňovat. (D2.3) Odhadněte excentricitu oběžné dráhy Měsíce na základě dat poskytnutých v této úloze. Odhad podložte výpočtem. (D2.) Odhadněte úhlovou velikost umbry pomocí úhlové velikosti Měsíce. Geometricky znázorněte váš postup na obrázku na zadní straně odpovědního archu. Odhad podložte výpočtem. (D2.5) Úhlová velikost Slunce v den tohoto zatmění Měsíce je 1915,0. Na obrázku níže jsou a polopřímky (paprsky) vycházející z dvou protilehlých bodů okraje slunečního disku. Obrázek není v měřítku. 3 8 9 Vyjádřete úhlovou velikost penumbry pomocí. Předpokládejte, že pozorovatel se nachází uprostřed Země. (D2.) Nechť je úhlová velikost Země pozorovaná ze středu Měsíce. Vyjádřete pomocí úhlovou velikost Měsíce pro pozorovatele ve středu Země v den tohoto zatmění. (D2.) Pomocí předchozích výsledků odhadněte poloměr Měsíce v km. Odhad podložte výpočtem. (D2.8) Odhadněte nejkratší vzdálenost a největší vzdálenost Měsíce od Země. Odhad podložte výpočtem. (D2.9) Použijte vhodná data z 10. září k odhadu vzdálenosti Země od Slunce. Odhad podložte výpočtem. 5 3 10
Strana ze 5 (D3) Supernova typu IA Supernovy typu Ia jsou považovány a velmi důležité pro měření velkých extragalaktických vzdáleností. Zjasnění a následné zeslabení těchto explozí vytváří charakteristickou světelnou křivku, která tyto objekty identifikuje jako supernovy typu Ia. Světelné křivky všech supernov typu Ia mohou být nafitovány univerzální modelovou světelnou křivku za předpokladu, že je vhodně naškálujeme. Abychom tohoto dosáhli, musíme tyto světelné křivky nejprve vyjádřit ve vztažné soustavě mateřské galaxie tím, že zohledníme kosmologickou dilataci všech pozorovaných časových intervalů Δ s faktorem 1. Časový interval v klidové soustavě mateřské galaxie je označen jako Δ. Světelná křivka supernovy v její klidové soustavě se změní o dvě magnitudy vzhledem k maximu za časový interval Δ od maxima. Pokud dále přeškálujeme všechny časové intervaly faktorem s (tedy Δ Δ ) tak, aby přeškálovaná hodnota veličiny Δ byla stejná pro všechny supernovy, pak budou mít všechny světelné křivky stejný tvar. Také se ukazuje, že lineárně závisí na absolutní hvězdné velikosti v maximu zářivého výkonu supernovy. Můžeme tedy psát, kde a jsou konstanty. Jestliže známe faktor s, můžeme z výše uvedené lineární rovnice určit absolutní hvězdnou velikost supernovy v neznámé vzdálenosti. Tabulka níže obsahuje data pro tři supernovy, zahrnující hodnoty jejich modulu vzdálenosti (pro první dvě), velikost rychlosti oddalování a jejich pozorované hvězdné velikosti v různých časech. Čas Δ vyjadřuje počet dnů, které uplynuly od okamžiku, kdy supernova dosáhla maxima své jasnosti. Pozorované hvězdné velikosti už jsou opraveny o mezihvězdnou a atmosférickou extinkci. Název SN200TD SN200IS SN2005LZ μ (mag) 3,2 35, cz (km s -1 ) 515 92 1200 Δt obs (dny) m obs (mag) m obs (mag) m obs (mag) -15,00 19,1 18,35 20,18-10,00 1,8 1,2 18,9-5,00 1,12 1,2 1,85 0,00 15, 1,1 1,58 5,00 1,0 1,1 1,2 10,00 1,2 1,82 18,2 15,00 1,53 1,3 18,98 20,00 18,08 1,91 19,2 25,00 18,3 18,39 20,1 30,00 18, 18,3 20,8 (D3.1) Vypočtěte hodnoty Δ pro všechny tři supernovy a doplňte je do prázdných políček v tabulce na zadní (BACK) straně odpovědního archu. Vyneste na milimetrový papír datové body z tabulky výše a nakreslete odpovídající tři světelné křivky v klidové soustavě. (označte váš graf jako D3.1 ). (D3.2) Pro supernovu SN200IS položte faktor s roven 1,00 a označte jej. Vypočtěte faktory, resp. pro zbývající dvě superovy SN200TD, resp. SN2005LZ tím, že nejdříve určíte hodnotu Δ pro každou z nich. (D3.3) Vypočtěte přeškálované časové intervaly Δ pro všechy tři supernovy. Hodnoty pro Δ vepište do stejných tabulek odpovědního archu jako v úloze D3.1. Na jiný milimetrový papír 15 5 1
Strana 5 ze 5 vyneste všechny tři světelné křivky za účelem ověření, že nyní mají identický profil (označte váš graf jako D3.3 ). (D3.) Vypočtěte absolutní hvězdné velikosti,, resp., v maximu jasnosti pro SN200TD, resp. SN200IS. Použijte tyto hodnoty k výpočtu a. (D3.5) Vypočtěte absolutní hvězdnou velikost, v maximu jasnosti a modul vzdálenosti pro SN2005LZ. (D3.) Použijte modul vzdálenosti k odhadu hodnoty Hubblovy konstanty. Dále odhadněte charakteristické stáří vesmíru. Odhad podložte výpočtem.