STATISTIKA I. Pracovn listy ke cvicenm. Tady se objev jmena lid, kter to vubec necekali.

STATISTIKA I. Pracovn listy ke cvicenm. Tady se objev jmena lid, kter to vubec necekali. 1

Teorie pravdepodobnosti. Prklad 1.1.: Matka husa za sebou vede v zastupu svych 7 housat. a) Kolika zpusoby se mohou housata seradit, vme-li, ze kazda dve housata jsou od sebe snadno rozeznatelna? b) Kolika zpusoby se mohou housata seradit, vme-li, ze dve housata jsou zaspinena od blata, ctyri housata zar cistotou a zbyle house je duvtipne prestrojeny agent kontrarozvedky? Prklad 1.2.: Kolik statnch vlajek tvorenych tremi vedle sebe posazenymi jednobarevnymi pruhy muzeme vytvorit, mame-li k dispozici 6 ruznych barev a zadnou z nich nesmme pouzt dvakrat? Prklad 1.3.: Kolik statnch vlajek tvorenych tremi vedle sebe posazenymi jednobarevnymi pruhy muzeme vytvorit, mame-li k dispozici 6 ruznych barev? Barvy se sm na vlajce opakovat za podmnky, ze zadne dva sousedn pruhy nebudou vyplneny stejnou barvou. Prklad 1.4.: Jerry si dle motta bezpecnost predevsm\ zahesloval termosku s kavou. Pamatuje si, ze kod je " trojmstny a tvoreny cslicemi od nuly do devtky, pricemz se zadna z nich v kodu neopakuje. Kazdou minutu zkus sestavit a zadat jeden kod. Kolik casu by si mel Jerry vyhradit na laman kodu, aby mel absolutn jistotu, ze se ke sve kave dostane? 2

Prklad 1.5.: Behem kabaretnho vystoupen vas kouzelnk vyzve, abyste z nabzeneho balcku nahodne vybrali pet karet a ukazali je zvedavemu publiku. Predpokladejme, ze balcek nen nijak upraveny, obsahuje 32 karet a kouzelnk tento trik predvad na vystoupen pouze jednou. a) Kolik vystoupen by musel kouzelnk minimalne absolvovat, aby publiku ukazal alespon jednou kazdou moznou petici karet? b) S jakou pravdepodobnost se vam povede publiku ukazat postupku, mame-li na mysli postupku tvorenou peti kartami stejne barvy od destky vyse? Prklad 1.6.: Vasnivy sberatel ma doma vyvesene 3 vzacne obrazy, o ktere by nerad prisel. Rozhodne se proto, ze si necha do zd vestavet 5 dostatecne velkych trezoru, do kterych obrazy uschova. Kolika zpusoby muze sberatel uzamknout v trezorech sve obrazy? S jakou pravdepodobnost umst vsechny 3 obrazy do jednoho trezoru? Prklad 1.7.: Hrajeme hru, ve ktere hazme najednou dvema ferovymi sestistennymi kostkami. Konkretnm clem je, aby soucet hodnot padlych na obou kostkach byl nizs nebo roven 8. S jakou pravdepodobnost v hodu uspejeme? Prklad 1.8.: Hrajeme hru se stejnymi podmnkami jako v prkladu 1.7. az na jednu vyjimku - smme hazet tremi ferovymi sestistennymi kostkami a secteme dve nejnizs padle hodnoty, nejvyss padla hodnota je ignorovana. O kolik se zvys pravdepodobnost uspechu? 3

Prklad 1.9.: Hrajeme hru se stejnymi podmnkami jako v prkladu 1.7. az na jednu vyjimku - smme hazet tremi ferovymi sestistennymi kostkami a secteme dve nejnizs padle hodnoty, nejvyss padla hodnota je ignorovana. Protihrac nam velkoryse nabdne moznost vymenit tuto vyjimku za moznost jednoho opakovaneho hodu obema kostkami, nebude-li soucet hodnot padlych na obou kostkach nizs nebo roven 8. Je vyhodne jeho nabdku prijmout? Prklad 1.10.: Evzenie se po vecerech bav vybranm zahozenych "pokladu"z peti popelnic stojcch v okol jejho domu. Netus ale, ze se po jej vcerejs navsteve v jedne z nich ubytoval myval. Evzenie si vzdy nahodne zvol dve popelnice, ktere dukladne prohleda, nikdy ovsem neprohleda stejnou popelnici dvakrat. S jakou pravdepodobnost si ze sveho nocnho dobrodruzstv odnese i nebezpecny virus vztekliny, vme-li, ze myval kousne kazdeho, kdo otevre "jeho"popelnici a 2 ze 3 myvalu jsou nositeli viru? Prklad 1.11.: Na zahradce nas trap krtek. Cas od casu vykope nahodne svuj kruhovy krtinec o polomeru 10cm na ctvercove zahrade o plose 100m 2. Je to krtek cimprlich, a proto svuj krtinec vzdy vykope tak, ze se cela jeho plocha rozleha na zahrade a neprekracuje ji. Jaka je pravdepodobnost, ze se krtek vykope tak, ze krtinec bude zasahovat do zahonku s orchidejemi, vme-li, ze orchideje pestujeme ve stredu zahrady v kruhovem zahonku o prumeru 1,5m? 4

Prklad 1.12.: Na Jihocesky kraj ma o patecn pulnoci nerzene dopadnout vyrazena ceska druzice Spuntk I. S jakou pravdepodobnost dopadne druzice na nesklizene kukuricne pole o rozloze 5000 m 2 patrc jihoceskemu hospodari Hanakovi, vme-li, ze rozloha Jihoceskeho kraje je 10056km 2 a msto dopadu je urceno stredem druzice? Prklad 1.13.: Detektiv Hercule Poirot se snaz objasnit zavazny zlocin. Poirot zapocne vyslechem jednoho ze tr prtomnych svedku - Monsieura Boba, Monsieura Frecheta a Madame Delacroix. Jelikoz je Poirot spravny gentleman, dama ma dvakrat vets sanci stat se prvnm zpovdanym nez kazdy z panu. Behem vyslechu se pak pokus nalezt nejakou indicii, ktery by poukazala smerem k pachateli. Sance, ze onu potrebnou stopu svedek poskytne je 0, 25 pro Msr Boba, 0, 45 pro Msr Frecheta a 0, 10 pro Mme Delacroix. S jakou pravdepodobnost bude muset vehlasny detektiv vyslechnout vce nez jednoho svedka? Prklad 1.14.: Vrat'me se k prkladu 1.13. Nyn jiz vme, ze Poirota dovedlo k pachateli prave ono vyzpovdan prvnho svedka. S jakou pravdepodobnost to byla Mme Delacroix, ktera dovedla Poirota k pachateli? Prklad 1.15.: Firma zakoupila 25 tiskaren od 1. vyrobce, 10 od 2. vyrobce a 15 od 3. vyrobce. Pravdepodobnost, ze tiskarna bude spolehlive pracovat, pochaz-li od 1. vyrobce je 0,7, od 2. vyrobce 0,8 a od 3. vyrobce 0,9. a) Jaka je pravdepodobnost, ze nahodne vybrana tiskarna pracuje spolehlive? b) Jaka je pravdepodobnost, ze spolehlive pracujc tiskarna pochaz od 2. vyrobce? 5

Nahodna velicina. Prklad 2.1.: Dr. Solus se chysta na dovolenou k mori a na posledn chvli natahne ruku k nejblizs polici s knihami a vytahne z n nahodne 4 knihy, ktere mu budou jeho pobyt zprjemnovat. Vme, ze na policce se nachaz 9 knih, 5 z nich jsou chemicke zurnaly a 4 knihy jsou horory. NV X predstavuje pocet hororovych knih mezi vybranymi knihami. Dr. Solus je vasnivy ctenar, chemicky zurnal precte za jeden vecer a horor mu zabere vecery tri. Zavedeme si NV Y vyjadrujc pocet veceru, behem kterych ma Dr. Solus co cst. Nicmene ani Dr. Solus se nevyhne obcasne rozmarilosti a tak dava prednost pestrosti zanru pro prpad, ze jej stavajc kniha omrz. Zavedeme si NV Z nabyvajc hodnot Z=1 v prpade, ze vybrane knihy nenalez jen k jednomu zanru a Z=0 v prpade opacnem. a) Urcete a zakreslete pravdepodobnostn funkci NV X. b) Urcete a zakreslete distribucn funkci NV X. c) Urcete modus NV X. d) Urcete stredn hodnotu a rozptyl NV X. 6

e) Urcete a zakreslete pravdepodobnostn funkce NV Y a NV Z. f) Urcete a zakreslete distribucn funkce NV Y a NV Z. g) Urcete mody NV Y a NV Z. h) Urcete stredn hodnoty a rozptyly NV Y a NV Z. 7

Prklad 2.2.: V osud se nachaz 7 zlutych a 6 cervenych mcku. NV X predstavuje pocet vytazenych zlutych mcku mezi 5 vybranymi. Zlute i cervene mcky byly dodany v balen po 10 mccch, mcky nepouzite v osud jsme polozili stranou a vytazene mcky pokladali k odlozenym mckum se stejnou barvou. NV Y predstavuje pocet zlutych mcku odlozenych stranou po vytazen 5 mcku z osud. a) Urcete a zakreslete pravdepodobnostn funkci NV Y. b) Urcete a zakreslete distribucn funkci NV Y. c) Urcete modus NV Y. d) Urcete stredn hodnotu a rozptyl NV Y. 8

Prklad 2.3.: Mejme NV X denovanou hustotou pravdepodobnosti 1 + x 1 x < 0 f(x) = 1 x 0 x < 1. 0 jinde Dale mejme nahodnou velicinu Y = 4X 3. a) Urcete distribucn funkci NV X. b) Urcete stredn hodnotu, rozptyl a doln kvartil NV X. c) Urcete pravdepodobnostn a distribucn funkci NV Y. d) Urcete stredn hodnotu a rozptyl NV Y. 9

Nahodny vektor. Prklad 3.1.: Nahodny vektor X=(Y,Z) ma pravdepodobnostn funkci zadanou tabulkou: Y \ Z -1 0 1 0 0,14 0,04 0,02 2 0,20 0,12? 4 0,06 0,03 0,01 6 0,17 0,09 0,04 a) Urcete chybejc hodnotu sdruzene pravdepodobnostn funkce. b) Sestavte marginaln pravdepodobnostn funkce P Y (y), P Z (z). c) Urcete EY, DY, σ Y, EZ, DZ, σ Z. 10

d) Vypoctete podmnenou str. hodnoty E(Z Y = 2) a E(Y Z = 1). e) Urcete kovariancn matici cov(y, Z). f) Vypoctete korelacn koecient. g) Overte, zda jsou obe slozky vektoru X navzajem nezavisle nahodne veliciny. 11

Prklad 3.2.: Mame danu sdruzenou hustotu pravdepodobnosti dvouslozkoveho nahodneho vektoru { x + y (x, y) 0, 1 0, 1 f(x, y) =. 0 jinde a) Urcete sdruzenou distribucn funkci F (x, y). b) Urcete marginaln hustoty pravdepodobnosti f X (x) a f Y (y). c) Urcete marginaln distribucn funkce F X (x) a F Y (y). d) Vypoctete P (X > 0, 5), P (0 < Y < 1), P (X < 1; Y < 0, 5), P (X < 1; Y > 0, 5). 12

e) Urcete EX, DX, σ X, EY, DY, σ Y. f) Rozhodnete, zda jsou NV X a NV Y zavisle. g) Rozhodnete, zda jsou NV X a NV Y linearne zavisle a urcete mru. 13

Vybrana rozdelen diskretn nahodne veliciny Prklad 4.1.: V regalu s ovocem se nachaz 30 hrusek maslovek, pricemz 10 z nich je nezralych. S jakou pravdepodobnost si pri nakupu (nahodnem vyberu) peti hrusek odnesete prave dve nezrale hrusky? Prklad 4.2.: Dobre opecovavany kaktus vykvete s pravdepodobnost 54%. S jakou pravdepodobnost vykvetou pestiteli alespon 2 z jeho 6 dobre opecovavanych kaktusu? Prklad 4.3.: Poctac ZAX v 80% prpadu poraz Dr. Borouse v sachu. S jakou pravdepodobnost "poraz"dr. Borouse az pri druhe hre? Prklad 4.4.: Vzdy kdyz si agent Cooper objedna svuj oblbeny tresnovy kolac, s pravdepodobnost 30% mu zavola nadrzeny. Nestane-li se tak, sn svuj kolac a objedna si dals. S jakou pravdepodobnost stihne sporadat vce nez tri kolace, nez bude jeho gurmansky pozitek narusen? Prklad 4.5.: V petine prpadu obsahuje nahodne vybrane vejce dva zloutky. Jaka je pravdepodobnost, ze budeme muset rozklepnout vce nez tri vejce, abychom nalezli dve vejce obsahujc dva zloutky? 14

Prklad 4.6.: Na Islandu dochaz rocne prumerne ke trem sopecnym erupcm. S jakou pravdepodobnost dojde k alespon jedne erupci prst mesc? Prklad 4.7.: Balk hokejovych karticek obsahuje 10 ruznych karet. Jestlize v prumeru na 1 z 20 karticek byva brankar, s jakou pravdepodobnost po rozbalen balcku najdeme alespon dva brankare? Prklad 4.8.: Soutezc v pevnosti Boyard ma nabrat lopatou psek a prest ho, aby nasel klc. Pri preset kazde lopaty psku je 7% sance nalezen klce. S jakou pravdepodobnost bude muset lopatou zabrat alespon desetkrat nez klc najde? Prklad 4.9.: Ve skladu je uchovavano 50 vodnch cipu, pricemz 15 z nich jiz proslo zarucn lhutou a jsou nefunkcn. Nastane-li zavada a bude-li nutna vymena 5 vodnch cipu, s jakou pravdepodobnost budou instalovany nejvyse dva nefunkcn cipy? Prklad 4.10.: U levne vyrabenych resinovych gurek je zvykem, ze jeden ze tr kusu trp nespecikovanou zavaznou vadou. S jakou pravdepodobnost budeme muset zakoupit vce nez pet gurek, abychom zskali tri gurky bez vady? 15

Prklad 4.11.: Jestlize za tyden usouka krizak prumerne pet st, s jakou pravdepodobnost usouka za nasledujc den prave dve ste? Prklad 4.12.: Profesor Orfanik vystreluje kazdy mesc jednu raketu na Mesc. Vzdy pred vystrelem svemu mecenasi slibuje, ze "tentokrat se urcite tref". S jakou pravdepodobnost se tref do peti let od chvle prvnho vypusten rakety kdy jeho mecenasi denitivne dojde trpelivost, vme-li, ze se kazda raketa "tref"na Mesc s pravdepodobnost 0,1%? Prklad 4.13.: Arcibiskup se pri hodinovem kazan prerekne v prumeru jednou za sest minut, prereknut nejsou nicm ovlivnena a vyskytuj se nahodne. V nedeli jej ceka dals kazan. a) S jakou pravdepodobnost se neprerekne behem prvnch patnacti minut kazan? b) S jakou pravdepodobnost se behem posledn pulhodiny kazan prerekne alespon ctyrikrat? 16

Vybrana rozdelen spojite nahodne veliciny Prklad 5.1.: Doba do vymeny ltracnho systemu (min) je modelovana Weibullovym rozdelenm s linearne rostouc intenzitou poruch a parametrem mertka 10. a) Predpokladejme, ze ltracn system je 100 hodin v chodu. Urcete pravdepodobnost, s jakou dojde k poruse ltracnho systemu v nasledujcch 10 minutach. b) Urcete pravdepodobnost, ze system bude behem prvnch 15 hodin chodu pracovat bez poruchy. c) Urcete pravdepodobnost, ze system bude behem prvnch 50 hodin chodu pracovat bez poruchy. Prklad 5.2.: Objem padajcch krup lze modelovat pomoc normalnho rozdelen N(µ = 1cm 3 ; σ = 0, 05cm 3 ). a) S jakou pravdepodobnost bude objem prave spadnuvs kroupy vets nez 1cm 3? b) S jakou pravdepodobnost bude objem prave spadnuvs kroupy vets nez 0, 8cm 3 a mens nez 1, 1cm 3? 17

Prklad 5.3.: Modelarska rma prinas na trh vlastn typ vrtacek, jejichz zivotnost lze modelovat exponencialnm rozdelenm. Stredn zivotnost nove nabzenych vrtacek je 10 000 hodin. a) Jaka je pravdepodobnost, ze nahodne zvolena vrtacka bude fungovat i za 12 000 hodin? b) Urcete pravdepodobnost, ze zivotnost nahodne zvolene vrtacky nepresahne 3 000 hodin. c) Urcete mezn dobu zivotnosti, kterou presahne alespon 75% vrtacek. Prklad 5.4.: Farmaceuticka rma vyvinula novou mast pro lecbu slabych popalenin. Z klinicke studie vyplyva, ze po aplikaci masti je prumerna doba potrebna k uplnemu uzdraven zasazene pokozky 20 hodin. Predpokladejme, ze doba do uzdraven ma exponencialn rozdelen. a) S jakou pravdepodobnost bude potreba k zahojen popaleniny alespon 14 hodin od aplikaci masti? b) S jakou pravdepodobnost bude potreba k zahojen popaleniny alespon den od aplikaci masti? 18

Prklad 5.5.: NV X ma rozdelen N(µ; σ 2 ). Urcete a) P (µ kσ < X < µ + kσ). b) k Z : P (µ kσ < X < µ + kσ) < 0, 6. Prklad 5.6.: Doba do nutne udrzby horske drahy je modelovana pomoc Weibullova rozdelen s linearne rostouc intenzitou poruch a parametrem mertka 50. a) Urcete pravdepodobnost, ze behem prvnch 50 hodin provozu nebude zapotreb udrzby. b) Urcete pravdepodobnost, ze mezi 30 a 40 hodinou provozu nebude zapotreb udrzby. Prklad 5.7.: Na zaklade meren odchycenych gavialu indickych jsme dospeli k zaveru, ze jejich delku lze modelovat normalnm rozdelenm N(µ = 5, 25m; σ = 2, 10m). a) Odhadnete, kolik procent gavialu indickych dorusta delky mens nez 4m. b) Odhadnete, kolik procent gavialu indickych dorusta delky mezi 3,5m a 6m. 19

Prklad 5.8.: Baskytarista Jimmy si chce pordit novy zesilovac znacky Eden, jehoz zivotnost lze modelovat exponencialnm rozdelenm. Stredn zivotnost jm zvoleneho typu zesilovace je 44 000 hodin. a) Jaka je pravdepodobnost, ze Jimmymu vydrz jeho nahodne vybrany zesilovac Eden do evropskeho turne, ktere je planovane za 5 let? b) Urcete mezn dobu zivotnosti, kterou presahne alespon 80% zesilovacu Eden. 20

Exploratorn analyza Prklad 6.1.: Oleg Petrovsky se zucastnil sachoveho turnaje a vyhral celkem 10 her. V nasledujc tabulce jsou uvedeny zkratky nazvu gur, kterymi zahral sach-mat (Q=kralovna, B=strelec, K=kun, T=vez). Data z tabulky vyhodnot'te (absolutn cetnosti, relativn cetnosti, modus) a vhodnym zpusobem gracky znazornete. Q Q B K T Q K B Q K Prklad 6.2.: Do tabulky jsme vepsali obtznosti sestaven 16 leteckych modelu spolecnosti Revell, ktere nabz lokaln modelarstv. Urcete rozdelen cetnosti obtznosti sestaven modelu (absolutn, relativn a kumulativn cetnosti, modus) a data vhodnym zpusobem znazornete. Dale urcete modus daneho rozdelen a kolik procent nabzenych modelu je urceno pro zacnajc modelare (nejvyse stredn obtznost). Nzka Stredn Vysoka Vysoka Extremn Extremn Nzka Extremn Extremn Extremn Nzka Stredn Vysoka Nzka Nzka Vysoka 21

Prklad 6.3.: Soukromy detektiv ve svem cenku udava slevy, ktere bude zakaznkum poskytovat v prpade, ze bude behem sledovac akce spatren, poprpade kdyz bude behem akce jeho totoznost odhalena. Bude-li spatren, bude si uctovat jen polovinu dohodnute sumy (Kc). Bude-li odhalena jeho totoznost, uctovat si bude pouhou ctvrtinu dohodnute sumy. Urcete prumerny vydelek detektiva na jednu akci behem uplynuleho mesce, znate-li dohodnute sumy a uspesnost jeho prace: Neodhalen 10 000 5 000 8 000 - Spatren 6 000 12 000 7 000 2 000 Odhalen 20 000 4 000 - - Prklad 6.4.: Petr, Pavel a Martin dostali za ukol obrat na zahrade 3 angrestove kere. Petr obral ker za 1,5h, Pavel za 0,9h a Martin za 2h. Jak dlouho trvalo v prumeru obran jednoho angrestoveho kere? Prklad 6.5.: V roce 2010 doslo k mezirocnmu narustu populace tucnaku csarskych o 5%. V roce 2011 populace vzrostla o dals 3%. V roce 2012 pak narust cinil dokonce 7%. Jaky byl prumerny mezirocn narust populace tucnaka csarskeho behem udanych tr let? Prklad 6.6.: V roce 1997 bylo vyloveno 23 000 t stikozubce obecneho (hejka), v roce 1998 se ale mnozstv vylovenych kusu snzilo na 8000 t. Urcete prumerny procentualn mescn pokles mnozstv uloveneho stikozubce ve sledovanem obdob (12 mescu). Prklad 6.7.: Vedecky tym se kazdorocne vydava na vypravu proti proudu Amazonky. S 80% sanc se jim podar zajistit motorovy clun, v opacnem prpade se budou muset spokojit s kanoemi. Clunem trva cesta do jejich clove destinace 5 dn, na kanoch cesta trva 12 dn. Kolik dn v prumeru zabere takova vyprava? 22

Prklad 6.8.: V souboru Odstavky.xlsx naleznete zaznamenane delky odstavky teple vody v lokalitach Moravskoslezskeho kraje behem uplynuleho mesce. Urcete prumerny pocet odstavek teple vody, shorth, modus, horn kvartil, doln kvartil a dale overte, zda data neobsahuj odlehla pozorovan. 23

Vyberove charakteristiky. Intervalove odhady. Prklad 7.1.: Poruchovost satelitnho prijmace lze modelovat exponencialnm rozdelenm se stredn dobou do poruchy 5 let. Muzete verit distributorovi, tvrd-li, ze prumerna zivotnost 100 prodanych satelitnch prijmacu presahla 6 let? Prklad 7.2.: Datove uloziste ma celkovou kapacitu 2 GB. Urcete maximaln pocet uzivatelu zalohujcch na uloziste sva data tak, aby byla pravdepodobnost prehlcen uloziste mens nez 5%? Na zaklade zaznamu spravcu datoveho uloziste lze usuzovat, ze velikost zalohovanych dat ma stredn hodnotu 10 MB a smerodatnou odchylku 3 MB. Rovnez predpokladame, ze zadny z uzivatelu v dobe sledovan kapacity uloziste sve zalohy nesmaze. Prklad 7.3.: Na merenem useku silnice prekroc rychlost ve vsedn den mezi 13 a 14 hodinou v prumeru 2 ridici za 5 minut. Na prst stredu je naplanovana na 13 az 14 hodin na tomto useku naplanovane kontroln meren. Jaka je pravdepodobnost, ze behem akce bude zjisteno prekrocen rychlosti alespon u 30 vozidel? Srovnejte presny vypocet s pribliznym vypoctem pomoc CLV. 24

Prklad 7.4.: Stavebn rma udava, ze v zimnm obdob je za jeden den polozeno 20m ± 3m 1 dalnice. S jakou pravdepodobnost bylo polozeno alespon 0, 5 km dalnice behem a) ledna, b) unora. Prklad 7.5.: Potravinarska kontrola otestovala vzorek 300 velikonocnch zajcku z mlecne cokolady od ruznych vyrobcu, aby overila, zda zajcci splnuj zakonem danou kvotu o obsahu kakaa v cokolade. Na zaklade povedom o tuzemskych prodejcch kontrola ocekava, ze u kazdeho zajcka je 20% sance, ze nebude splnovat kvotu o obsahu kakaa. Da se ocekavat, ze kontrolou uspesne projdou vce nez dve tretiny testovanych zajcku? 1 ve tvaru stredn hodnota ± smerodatna odchylka 25

Prklad 7.6.: Testovali jsme zivotnost n bateri znacky Pylon. Zjistili jsme, ze jejich zivotnost lze modelovat normalnm rozdelenm. Pozorovana zivotnost bateri byla (120 ± 10) hodin. Odhadnete interval, v nemz s 95% pravdepodobnost lez stredn hodnota vydrze testovanych bateri Pylon, pokud jsme otestovali a) 100 bateri. b) 10 000 bateri. 26

Prklad 7.7.: Pri kontrole zasob jsme namatkou prohledli 120 sklenic s merunkovou marmeladou a zjistili jsme, ze u 35 z nich je prekroceno datum spotreby. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro procentualn odhad proslych merunkovych marmelad mezi zasobami. Nezapomente overit predpoklady pouzit zvoleneho vztahu. Prklad 7.8.: Mame za ukol odhadnout stredn vahu hlavky salatu v mstnm zelinarstv s maximaln povolenou chybou ±0, 1 kg. Predpokladejme, ze vaha hlavky salatu ma normaln rozdelen se smerodatnou odchylkou ±0, 3 kg, kterou jsme urcili na zaklade predvyberu. Kolik hlavek salatu musme navazit, abychom mohli stanovit 95% interval spolehlivosti pro stredn vahu hlavky a zaroven zajistili pozadovanou presnost odhadu? Prklad 7.9.: Overovali jsme kvalitu serzen plnc linky na barvy Koloryt. Z otestovan mnozstv barvy ve 100 nahodne vybranych plechovkach jsme dosli k hodnote smerodatne odchylky ±4ml. Odhadnete 95% interval spolehlivosti pro rozptyl a smerodatnou odchylku objemu barev Koloryt v testovanem typu balen. 27

Prklad 7.10.: Mezi 500 prohlednutymi kavovymi zrny z pytlku kavy Urban jsme nalezli 125 spatnych zrnek nevhodnych ke zpracovan. Kolik pytlku kavy Urban (kazdy pytlk obsahuje 600 zrnek) bychom museli otestovat, abychom mohli stanovit 99% interval spolehlivosti procentualnho zastoupen zavadnych zrnek v balench kavy Urban s toleranc ±5 zrnek? Prklad 7.11.: Z inspekce 60 kontrolnch bodu prenosove ste jsme namerili napet v sti (50 ± 6) kv. Urcete mezn stredn hodnotu napet, ktera nebude prekrocena vce nez v 10% prpadu. Prklad 7.12.: Vyrobce golfovych mcku nam nechce sdelit prumerny pocet uderu, ktere jeho mcky vydrz. Testovali jsme vydrz 40 zakoupenych golfovych mcku a dosli jsme k zaveru, ze u mcku dochaz k jejich nevratnemu poskozen po 300 ± 2 ranach. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro stredn pocet uderu, ktere golfove mcky zmneneho vyrobce vydrz bez vaznejsho poskozen za predpokladu, ze zivotnost golfoveho mcku lze modelovat normalnm rozdelenm. 28

Prklad 7.13.: Firma Vesely Pask prohlasuje, ze v jejich veprovych konzervach je mnohem vce veproveho masa nez je tomu u konzerv rmy Smutny Knour. Abychom overili toto tvrzen, vyzadali jsme si od obou rem testovac vzorky. Obe rmy nam zaslaly vzorek svych 400 gramovych konzerv, namereny objem masa jsme ulozili do souboru konzervy.xlsx. Je mozne oznacit s 95% spolehlivost tvrzen rmy Vesely Pask za zavadejc? Prklad 7.14.: Tezebn spolecnost H&H Mining zahajila tezbu ve dvou novych lokalitach, Glowu a Bakerseldu. Behem prvnch dvou mescu zdokumentovala mnozstv vytezene uranove rudy za den, data jsou k dispozici v souboru uran.xlsx. Dokazete na zaklade uvedenych dat rozhodnout, na kterou ze dvou zmnenych lokalit se rme H&H Mining vyplat soustredit? 29

Testovan parametrickych hypotez. Prklad 8.1.: Zucastnili jsme se kontrolnho odchytu Varanu Smaragdovych na Nove Guinei za ucelem zskan presnejsch informac o tomto jesterovi. Zmerili jsme 40 jedincu. Do souboru V arani.xlsx jsme ulozili namerene hodnoty. Muzeme tvrdit, ze jedinci z Nove Guinei se dorustaj vetsch delek, nez je tomu u jedincu z Australie? (V literature je uvedeno, ze se Varan Smaragdovy vyskytuje pouze na Nove Guinei a severnm cpu Australie a dorusta v prumeru 87, 5cm). Prklad 8.2.: Imrich Drapal se letos zucastn dalsho rocnku mysch zavodu, kde ma mys za ukol najt cestu bludistem v co nejkratsm case. Pro ucely trenovan svych mys si doma vybudoval provizorn bludiste a vpoustel do nej mysky ze sveho vlastnho chovu. Zatm ma tri mysky - cerneho Throta, bleho Skweela a sedeho Mouldera. Sve mysi opakovane vpoustel po jedne do bludiste a kdyz z nej vysly ven, zapsal si jejich cas do souboru Mysky.xlsx. Bohuzel, Moulder pred zavodem onemocnel a Imrich by proto nejradeji vzal Skweela, jelikoz ver, ze Skweel prekona bludiste rychleji nez Throt, kteremu to trvalo v prumeru 15 s. Nen Imrichuv zaver ponekud ukvapeny? 30

Prklad 8.3.: Prumerna srka kloboucku zampionu znacky Shroom v balen je (10, 6 ± 1, 7) cm. Obchod nyn dovezl 100 balen zampionu Mush, jejichz dodavatel tvrd, ze obsazene kloboucky zampionu maj statisticky vyznamne vets rozmery nez je tomu u zampionu Shroom. Urcete mezn srku kloboucku v balen, abychom se mohli priklonit k tvrzen dodavatele (predpokladejte, ze srku kloboucku lze popsat normalnm rozdelenm). Prklad 8.4.: Behem prvn sezony divadla Kacer na Retezu jsme divakum rozdavali dotaznk, kde krom jineho vyplnili i svuj vek. Vyplynulo, ze prumernemu navstevnkovi divadla je 30 ± 6 let. Po prvn hre v nove sezone jsme divakum rozdali tentyz dotaznk, po prostudovan 30 nahodne vybranych dotaznku jsme dosli k hodnote smerodatne odchylky 8 let. Muzeme tvrdit, ze divadlo behem zacatku druhe sezony pritahuje sirs vekove spektrum navstevnku (predpokladejte, ze vek navstevnku divadla ma normaln rozdelen)? 31

Prklad 8.5.: V roce 2011 tvorila odruda jablek Golden Delicious 14% dennho odbytu jablek v ceskych obchodech. Polovinu nasledujcho roku jsme venovali pozorovan odbytu GD a kazdy den jsme podl GD na dennm odbytu jablek zapsali do souboru Jablka.xlsx. Predpokladejme, ze mnozstv jablek dodanych do obchodu bylo v obou letech stejne. Muzeme na zaklade naseho pozorovan tvrdit, ze obliba odrudy Golden Delicious behem sledovane doby poklesla? Prklad 8.6.: V souboru Orechy.xlsx se nachaz udaje o celkove vaze nasbranych lskovych orechu v kilogramech, sber probhal behem prvnch ctyr cervencovych tydnu. Overte, zda muzeme tvrdit, ze v polovine dn se nenasbralo mene nez 50kg lskovych orechu. 32

Prklad 8.7.: Vyrobce neodymovych magnetu doposud vyrabel magnety s pritazlivou silou 1 (20 ± 2)N, nyn chce prijt na trh s novym typem magnetu stejne velikosti, o nichz rka, ze jsou silnejs nez doposud vyrabene magnety. K overen tvrzen jsme nahodne vybrali 75 novych magnetu. Urcete kritickou hodnotu prumerne pritazlivosti testovanych magnetu tak, abychom mohli se spolehlivost 95% tvrdit, ze je vets nez puvodnch 20N. Prklad 8.8.: Zucastnili jsme se kontrolnho odchytu Varanu Smaragdovych na Nove Guinei a severu Australie za ucelem zskan presnejsch informac o tomto jesterovi. Zmerili jsme a zvazili 40 jedincu z kazdeho kontinentu. Do souboru V arani.xlsx jsme ulozili namerene hodnoty. Muzeme tvrdit, ze jedinci z Nove Guinei se dorustaj vetsch delek, nez je tomu u jedincu z Australie? 1 ve tvaru str. hodnota ± smerodatna odchylka 33

Prklad 8.9.: Firma Vesely Pask prohlasuje, ze v jejich veprovych konzervach je mnohem vce veproveho masa nez je tomu u konzerv rmy Smutny Knour. Abychom overili toto tvrzen, vyzadali jsme si od obou rem testovac vzorky. Firma VP nam zaslala 80 400-gramovych konzerv (objem masa cinil (290, 0 ± 5, 3) gramu) zatmco rma SK nam dodala 200 400-gramovych konzerv (objem masa cinil (245, 0 ± 6 gramu)). Je mozne oznacit s 95% spolehlivost tvrzen rmy Vesely Pask za zavadejc? Prklad 8.10.: Spolecnost Pluhy a Sekery tvrd, ze kvalita vyrobn linky rmy Hemenex a Drozd je nizs, nez je tomu u jejich vlastn vyrobn linky. Z 200 produktu dodanych rmou PaS bylo 14 reklamovano kvuli zavadam vzniklym na vyrobn lince. Firme HaD bylo reklamovano 23 produktu z 320 vyrobenych, rovnez kvuli zavadam vzniklym na vyrobn lince. Muzeme se priklonit k tvrzen rmy PaS, ze jejich vyrobn linka je skutecne kvalitelnejs, tedy nezavdava tolik podnetu k reklamaci, jako je tomu u jejich konkurence? 34

Prklad 8.11.: Imrich Drapal se letos zucastn dalsho rocnku mysch zavodu, kde ma mys za ukol najt cestu bludistem v co nejkratsm case. Pro ucely trenovan svych mys si doma vybudoval provizorn bludiste a vpoustel do nej mysky ze sveho vlastnho chovu. Zatm ma tri mysky - cerneho Throta, bleho Skweela a sedeho Mouldera. Sve mysi opakovane vpoustel po jedne do bludiste a kdyz z nej vysly ven, zapsal si jejich cas do souboru Mysky.xlsx. Bohuzel, Moulder pred zavodem onemocnel. Kterou ze zbyvajcch dvou mysek by si mel Imrich vzt s sebou, pomysl-li tento rok na vtezstv? Prklad 8.12.: Testovali jsme vliv nove znacky kavy Cafe Urban na pracovn vykonnost 100 postovnch urednic. Pro ucel analyzy jsme u kazde urednice zaznamenavali pocet pracovnch ukonu (prijaty balk apod.) behem prvnch 4 hodin pracovn doby. Po uplynut prvnch 4 hodin smeny kazda z urednic vypila jeden salek kavy Cafe Urban, nasledujc 4 hodiny jsme opet u kazde urednice zaznamenavali pocet pracovnch ukonu. Vysledky jsme zanesli do souboru P osta.xlsx. Rozhodnete, zda melo pozit kavy vliv na pracovn vykonnost urednic. 35

Prklad 8.13. Zahradnci pestujc kaktusy v Canyon City a Buena Viste se ocitli ve sporu o to, ktere z mest skyta leps podmnky pro rust kaktusu Echinocactus grusonii. Nabdli jsme se, ze jim jejich spor pomuzeme vyresit, proto jsme v obou mestech provedli kontroln meren vysky kaktusu. Namerene udaje jsou k dispozici v datovem souboru Skleniky.xlsx. Rozhodnete, ve kterem z mest se kaktusu E. grusonii dar lepe. Prklad 8.14. Cnsky vyrobce grackych karet Envydia udava, ze jen 2% jejich grackych karet trp pri dodan na trh zavaznou zavadou. Testovali jsme dodavku 600 grackych karet, ze kterych se u 21 karet vyskytla zavazna zavada. Rozhodnete, zda lze tvrzen vyrobce pokladat za pravdive. 36

Vcevyberove testy parametrickych hypotez. Prklad 9.1.: Imrich Drapal se letos zucastn dalsho rocnku mysch zavodu, kde ma mys za ukol najt cestu bludistem v co nejkratsm case. Pro ucely trenovan svych mys si doma vybudoval provizorn bludiste a vpoustel do nej mysky ze sveho vlastnho chovu. Zatm ma tri mysky - cerneho Throta, bleho Skweela a sedeho Mouldera. Sve mysi opakovane vpoustel po jedne do bludiste a kdyz z nej vysly ven, zapsal si jejich cas do souboru Mysky.xlsx. Kterou ze svych mysek by si mel Imrich vzt s sebou, pomysl-li tento rok na vtezstv? 37

Prklad 9.2.: Zajmal nas charakter vyskytu kremenacu na prelomu leta a podzimu. Vyslali jsme proto 100 dobrovolnych sberacu do 5 ruznych typu lokalit. Sberaci pri spatren kremenace udelali carku do bloku, pri navratu se pak carky secetly a tak jsme dosli k mnozstv kremenacu, ktere byly danym dobrovolnkem nalezeny. V souboru kremenace.xlsx jsou k nalezen mnozst zpozorovanych hub rozdelenych dle hledacu a lokalit. Muzeme na zaklade dat urcit lokalitu, ve ktere se kremenacum nejvce dar? 38

Prklad 9.3.: Provadeli jsme kontrolu kvality resinovych odlitku zaslanych tremi ruznymi spolecnostmi. Pri kontrole kvality bylo kazdemu z vyrobku prirazeno porad odpovdajc jeho kvalite (1 - nejlepe zpracovany vyrobek, 40 - nejhure zpracovany vyrobek). V souboru resin.xlsx se nachaz vysledky vyhodnocen kvality. Je mozne na zaklade dostupnych dat jednoho z vyrobcu uprednostnit, mame-li zajem o modely nejvyss kvality? 39

Prklad 9.4.: Tezebn spolecnost H&H Mining zahajila tezbu ve trech novych lokalitach. Behem prvnch dvou mescu zdokumentovala mnozstv vytezene uranove rudy za den, data jsou k dispozici v souboru uran.xlsx. Dokazete na zaklade uvedenych dat rozhodnout, na kterou lokalitu/ktere lokality konkretne se rme H&H Mining vyplat soustredit? 40

Prklad 9.5.: Inzenyr Pospsil si behem pracovn doby chodva zakourit na cerstvy vzduch. Behem prvnch dvou dn v tydnu nejvce later, ze na nej byla uvalena hromada prace. Ve stredu pak jeho zlost pozvolna odeznva a posledn dva pracovn dny se snaz relaxovat. Jeho zlomysln kolegove si zapisovali, kolikrat denne behem zmnenych faz tydne odchaz kourit do souboru Pospisil.xlsx. Zapisovan probhalo pouze behem pracovn doby a Ing. Pospsil behem pauzy vykouril vzdy prave jednu cigaretu. a) Rozhodnete na hladine vyznamnosti 5%, zda se pocet pauz Ing. Pospsila lis v jednotlivych fazch pracovnho tydne. b) Ktera faze tydne je nejvhodnejs pro neplanovanou konzultaci s Ing. Pospsilem, budete-li se snazit jej zastihnout venku behem jedne z jeho pauz? 41

Testy neparametrickych hypotez. Prklad 10.1.: Hodili jsme celkem 3000 krat minc. 1623 krat nam padla hlava, 1367 krat orel. Je mozne o minci tvrdit, ze je nevyvazena? 42

Prklad 10.2.: Veden elektrarny odhaduje pocet vypadku ste behem jednoho tydne pomoc Poissonova rozdelen s parametrem λt = 1, 6. Po modernizaci dvou bloku zaznamenavali pocet vypadku po dobu 150 tydnu, vysledky pozorovan jsou k dispozici v tabulce. Rozhodnete, zda ma smysl modelovat i nadale vypadky ste Poissonovym rozdelenm se zadanym parametrem. x i { pocet poruch behem tydne 0 1 2 3 n i { pocet pozorovan 32 29 77 12 Prklad 10.3.: Veden elektrarny odhaduje pocet vypadku ste behem jednoho tydne pomoc Poissonova rozdelen s parametrem λt = 1, 6. Po modernizaci dvou bloku zaznamenavali pocet vypadku po dobu 150 tydnu, vysledky pozorovan jsou k dispozici v tabulce. Rozhodnete, zda ma smysl modelovat vypadky ste Poissonovym rozdelenm. x i { pocet poruch behem tydne 0 1 2 3 n i { pocet pozorovan 32 29 77 12 43

Prklad 10.4.: Merili jsme tloust'ku 40 preklizkovych desek. Namerene hodnoty v centimetrech jsme zavedli do tabulky uvedene nze. Muzeme tloust'ku preklizkovych desek povazovat za nahodnou velicinu s normalnm rozdelenm? Tloust'ka desky [cm] 1,2 2,6 3,4 2,0 2,2 2,0 1,4 3,1 1,6 2,4 1,8 3,3 1,9 2,3 2,2 2,7 2,5 2,5 2,3 1,9 3,6 3,0 1,2 1,5 1,3 4,0 1,2 2,6 1,8 1,2 2,7 2,9 1,0 3,2 3,1 3,0 1,7 2,4 1,8 2,6 44

Prklad 10.5.: Na rmu Hammerite dolehly tezke casy. Veden rmy se rozhodlo zrusit jednu ze dvou nejmene prosperujcch pobocek a to bud' pobocku v Katzenburgu nebo pobocku v Heutetanz. K tomuto ucelu se rma dotazala 97 kupujcch ve zmnenych dvou pobockach, nakolik byli s jejich vyrobky spokojeni. Vysledky setren jsou uvedeny v souboru Hammerite.xls. Rozhodnete o zavislosti spokojenosti s produkty Hammerite na umsten pobocky. 45

Prklad 10.6.: Mezi roky 2012 a 2014 byla testovana metoda vyztuzen drevenych konstrukc pomoc stazen spoju upravenymi podlozkami. Po dobu dvou let jsme na lisu otestovali celkem 1763 vzorku, 897 z nich tvorily vzorky vyztuzene podlozkami, zbytek vzorku pak vyztuzen nebyl. Kazdy vzorek byl ponechan v lisu a byl na nej vyvjen tlak az do chvle, kdy doslo k popraskan dreveneho vzorku. Pro nase potreby jsme se pro kazdy vzorek rozhodli zaznamenat, zda doslo k popraskan behem prvnch peti minut testovan vzorku v lisu ci nikoliv. Za 2 sledovane roky doslo k popraskan u 146 vyztuzenych vzorku a u 273 nevyztuzenych vzorku. Rozhodnete, zda na zaklade uvedenych dat muzeme vyvodit, ze pouzit upravenych podlozek opravdu vede ku zlepsen vydrze drevenych konstrukc. 46

Korelacn a regresn analyza. Prklad 11.1.: Zajmal nas vliv mnozstv pridaneho uhlku ve slitine na vyslednou kvalitu uslechtile oceli. Firma Cold Steel nam pro potreby testovan poskytla malou cast svych vyrobnch dat (k dispozici v souboru Steel.xlsx ). Overte, zda lze tvrdit, ze kvalita uslechtile oceli roste s mnozstvm uhlku ve slitine. Prklad 11.2.: Zajma nas, zda muze byt zvysena spotreba kavy jednou z prcin narustu poruch nespavosti v lidske populaci. Do souboru Nespavost.xlsx jsme zanesli prumernou spotrebu kavy a procento populace stizene nespavost u 20 nahodne vybranych zem sveta. Zjistete, zda skutecne existuje spojitost mezi spotrebou kavy a problemy se spankem. 47

Prklad 11.3.: Snmame vzorek kazove oceli pomoc radkove kamery, pricemz postupne snizujeme rychlost posuvu vzorku. Pri kazdem zpomalen vuci maximaln rychlosti (v procentech) hodnotme kvalitativn zlepsen snmku oproti kvalite snmku zskaneho pri maximaln rychlosti posuvu kamery. Vysledky testu jsme vlozili do souboru Kamera.xlsx. Zajma nas, jak se men kvalita snman vzorku v zavislosti na zmene rychlosti posuvu kamery. a) Vyberte vhodny linearn regresn model pro popis zavislosti kvality snmku na zmene rychlosti posuvu kamery, odhadnete koecienty regresn funkce a vysvetlete prakticky vyznam hodnot koecientu.. b) Overte kvalitu linearnho regresnho modelu pomoc indexu determinace a vysvetlete jeho vyznam. c) Overte, zda byly splneny predpoklady pro pouzit vybraneho linearnho regresnho modelu (analyza residu, normalita vstupnch dat). d) Odhadnete mru zlepsen kvality snmku pri snzen rychlosti posuvu kamery o 20% (vcetne 95% intervalu spolehlivosti). e) Odhadnete stredn mru zlepsen kvality snmku pri snzen rychlosti posuvu kamery o 35% (vcetne 95% intervalu spolehlivosti). 48

Prklad 11.4.: Zajma nas, zda lze tvrdit, ze pocet otacek vetraku u notebooku Acer roste linearne s mnozstvm vydaneho tepla procesorem pri zatezi. Vysledky testu jsme vlozili do souboru Otacky.xlsx. a) Vyberte vhodny linearn regresn model pro popis zavislosti otacek vetraku na teplote procesoru, odhadnete koecienty regresn funkce a vysvetlete prakticky vyznam hodnot koecientu. b) Overte presnost linearnho regresnho modelu (R 2 ). c) Overte, zda byly splneny predpoklady pro pouzit vybraneho linearnho regresnho modelu (analyza residu, t-testy). d) Odhadnete pocet otacek pri teplote 70 C vcetne 95% intervalu spolehlivosti. e) Odhadnete stredn hodnotu poctu otacek pri teplote 75 C vcetne 95% intervalu spolehlivosti. 49