ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA MĚŘENÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Určení nejistot měření při testování dynamických vlastností A/Č systémů Pavel Fexa 2008

Kopie zadání:

Anotace Cílem této diplomové práce je analyzovat vliv nejistot parametrů harmonických a náhodných signálů na přesnost určení efektivního počtu bitů při testování dynamických vlastností A/Č systémů. Ověření výsledků se bude provádět v programovém prostředí MATLAB a MATHEMATICA Annotation This thesis deals with analyzing influence uncertainties parameters harmonic and random signals on accuracy determination effective number of bits at testing dynamic feature analog digital system. Results are verified in MATLAB and MATHEMATICA.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil pouze podklady (literaturu, projekty, SW) uvedené v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č.121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne 23.5.2008 podpis

Poděkování Chtěl bych tímto poděkovat Doc. Ing. Josefu Vedralovi, CSc. za pomoc a odborné vedení při tvorbě diplomové práce. Dále bych rád poděkoval své rodině za podporu v průběhu studia. Také bych rád poděkoval Ing. Svatošovi za poskytnutí literatury.

Obsah 1. Úvod... 1 1.1. Cíl diplomové práce... 1 1.2. Analogově číslicový převodník... 1 1.3. Stručný přehled A/Č převodníků... 1 2. Úvod do terminologie používané pro testování A/Č převodníků... 2 2.1. Analogově-číslicový převodník... 2 2.2. Převodní charakteristika A/Č převodníku... 3 2.3. Kvantování... 5 2.4. Vzorkování... 6 2.5. Základní parametry A/Č převodníku... 7 Plný rozsah... 7 Kvantovací úroveň... 7 Šířka kódového slova... 7 Ideální šířka kódového slova (q i )... 7 Střední šířka kódového slova (q )... 7 Chyba offsetu a zesílení... 8 Pásmo střídání... 8 Integrální nelinearita... 9 Diferenciální nelinearita... 9 Vzájemná závislost mezi INL a DNL... 10 Monotónnost A/Č převodníku... 10 Chybějící kódové slovo... 10 Hystereze... 10

Efektivní počet bitů ENOB... 10 Harmonické zkreslení... 10 Celkové harmonické zkreslení... 11 Odstup signál šum... 11 SINAD... 11 Dynamický rozsah bez rušivých složek... 12 Odstup signál šum bez harmonických složek... 12 Intermodulační zkreslení... 12 Šířka pásma... 13 Zpoždění údaje... 13 Doba ustálení... 14 Hranice rychlosti náběhu... 14 Doba obnovení po překročení rozsahu... 14 Doba odběru... 14 Nejistota doby odběru... 14 Přeslech... 14 Náhodný šum... 14 2.6. Typické aplikace A/Č převodníků... 15 3. Nejistota ENOB při testování A/Č převodníku metodou nejlépe proložené sinusovky... 16 3.1. Teorie k metodě nejlépe proložené sinusovky... 16 3.2. 3 - parametrová metoda... 16 3.3. 4 - parametrová metoda... 17 3.4. Minimální počet vzorků na periodu, tak aby bylo otestováno každé kódové slovo... 18 3.1. Minimální počet vzorků na periodu... 22 4. Nejistoty při testování A/Č převodníku metodou Step Gauss... 25 4.1. Teorie Step Gauss:... 25 4.2. Vliv směrodatné odchylky signálu σ a stejnosměrného posuvu signálu Δ... 26

4.3. Odhad počtu vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku... 28 4.4. Okrajová chyba histogramu... 31 4.5. Přechod od ideálního náhodného signálu k reálnému náhodnému signálu... 32 4.6. Konstrukce simulace metody Step Gauss... 36 4.7. Odhad počtu vzorků potřebných k vyhodnocení kumulovaného histogramu... 38 4.8. Výsledky simulací... 40 5. Závěr... 48 Seznam obrázků... 49 Seznam tabulek... 50 Použitá literatura:... 51 Popis příloh... 51

1. Úvod 1.1. Cíl diplomové práce Cílem mé diplomové práce je simulovat nejistoty měření ENOB z hlediska odebraného počtu vzorků. Simulovat budu metodu nejlépe proložené sinusovky a metodu testování A/Č převodníku náhodným signálem (metodu Step Gauss) na modelu ideálního A/Č převodníku v programovém prostředí Matlab a Mathematica. Výsledkem diplomové práce by měl být odhad potřebného počtu vzorků pro zvolenou nejistotu ENOB 1.2. Analogově číslicový převodník Analogově číslicový převodník (dále A/Č převodník) je brána z analogového světa do světa číslicového. Výhody A/Č převodníků (levný a snadno realizovatelný převod z analogové oblasti do číslicové a naopak, dostupnost výkonných mikrokontrolérů pro zpracování signálu, možnost zpracovávat stejnými metodami signály s diametrálně odlišnými fyzikálními veličinami, u senzorů nabízí možnost zpravovat signál přímo v senzoru a přenášet tak signál digitální formou) vedou k jejich k masivnímu nasazení. A/Č převodníky naleznete v oblasti zpracování obrazu, videa, měřicí technice, řídící technice telekomunikacích atd. Aplikace A/Č převodníku do systému vyžaduje znalost jeho parametrů -viz kap. 2.5Základní parametry A/Č. Příklad důležitých parametrů pro jednotlivé aplikace je v tabulce tab. 1. 1.3. Stručný přehled A/Č převodníků V současnosti se používá v digitalizaci spojitých signálů paralelních převodníků, postupně paralelních převodníků, kompenzačních převodníků na principu postupné aproximace a / převodníky. Pro přesná stejnosměrná měření převodníků s vícenásobnou integrací. Paralelní (Flash) A/Č převodník je z výše uvedených nejrychlejší. Vzorkovací frekvence dosahují hodnot stovek MSa/s až jednotek MSa/s. Rozlišení mají obvykle 8-12 bitů. Převodníky s postupnou aproximací je převodník tzv. kompenzačního typu. Obsahuje v sobě Č/A převodník jako zdroj kompenzačního napětí, či klasický odporový dělič. Vzorkovací frekvence závisí na rozlišení daného převodníku. Kdybychom chtěli vzorkovat audiosignál Stránka 1

44 khz s rozlišením 32 bitů musel by převodník pracovat na frekvenci 1,41 MHz. Typické hodnoty 16 bitového převodníku jsou 200 ksa/s až 1 MSa/s. / A/Č převodníky nabízejí vysoké rozlišení, mají nízkou diferenciální nelinearitu, jsou monotónní a to vše za nízkou cenu díky použité CMOS technologii. Jsou vhodné pro kontinuální zpracování signálů s vysokou přesností. Rozsah použití těchto převodníků je značně široký, například jsou to audio aplikace, modemy a zpracování signálů ze snímačů fyzikálních veličin. Frekvence se pohybují desítek vzorků za sekundu při rozlišení 24 bitů až po 2,5 MSa/s při rozlišení 16 bitů. Integrační převodníky mají výhodu v potlačení sériového střídavého rušení. Lze dosáhnout činitele SMR až 120 db. Při použití metody vícesklonné integrace lze potlačit aditivní i multiplikativní chyby. To vše je za cenu pomalé frekvence, která se pohybuje v jednotkách do stovek vzorků za sekundu. 2. Úvod do terminologie používané pro testování A/Č převodníků 2.1. Analogově-číslicový převodník A/Č převodník je zařízení, jež konvertuje časově a amplitudově spojitý signál na časově a amplitudově diskrétní signál tak, že vstupnímu signálu x(t) pokrývajícímu rozsah převodníku přiřazuje konečnou množinu číslicových výstupních kódů reprezentovaných číslicovým signálem. Více o vzorkování je v kapitole vzorkování 2.4 Analog. vstup Vzorkovač Kvantizátor n B0 B1... Bn-1 TCLK Obr. 1 Blokové schéma A/Č převodníku Základní blokové schéma A/Č převodníku je zobrazeno na obrázku obr. 1. Vzorkovací obvod je předřazen kvantizátoru, aby ovzorkoval vstup a držel hodnotu vstupu během doby Stránka 2

převodu na konstatní velikosti. Vztah mezi výstupním číslem je naznačen v rovnici (1). a vstupem (1) (2) představuje digitalizovanou hodnotu analogové veličiny a reprezentuje kvantovací chybu. Kvantovací chyba je rozdíl mezi analogovým signálem vztaženým k referenční hodnotě a kvantovaným signálem. 2.2. Převodní charakteristika A/Č převodníku Převodní charakteristika je grafická schodovitá reprezentace deterministického převodního vztahu, kde jako nezávislá proměnná figuruje analogová vstupní hodnota x (vztažená např. k vstupnímu rozsahu daného A/Č převodníku) a závislou proměnnou je hodnota příslušného výstupního kódu zaznamenaná obvykle v konstantních krocích. Podle typu převodních charakteristik je možné v zásadě rozlišit dva základní typy A/Č převodníků, a to A/Č převodníky s unipolární převodní charakteristikou obr. 2 a A/Č převodníky s bipolární převodní charakteristikou. Ty je dále možné dělit podle toho, jestli množina možných výstupních kódů daného převodníku obsahuje kódové slovo pro nulovou hodnotu vstupního signálu tzv. převodníky s pravou nulou (True Zero, Mid-Riser) obr. 3 nebo tzv. převodníky s falešnou nulou (No True Zero, Mid-Tread) obr. 4. Stránka 3

7 6 Číslicový výstup 5 4 3 2 T(1) W(3) 1 0 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 U a /U r ε 0.5 0-0.5 0 1/8 1/4 3/8 1/2 U a /U r 5/8 3/4 7/8 Obr. 2 Unipolární A/Č převodník s binárním výstupem včetně příslušné kvantovací chyby Číslicový výstup 7 6 5 4 3 2 1 0 0.5-1/2-3/8-1/4-1/8 0 1/8 1/4 3/8 U a /U r ε 0-0.5-1/2-3/8-1/4-1/8 0 1/8 1/4 3/8 U a /U r Obr. 3 Bipolární A/Č převodník s binárním výstupem s převodní charakteristikou typu True Zero včetně příslušné kvantovací chyby Stránka 4

7 6 Číslicový výstup 5 4 3 2 ε 1 0 0.5 0-0.5-3/8-1/4-1/8 0 1/8 1/4 3/8 U a /U r -3/8-1/4-1/8 0 1/8 1/4 3/8 U a /U r Obr. 4 Bipolární A/Č převodník s binárním výstupem s převodní charakteristikou typu No True Zero včetně příslušné kvantovací chyby 2.3. Kvantování Kvantování je proces, při kterém je spojitý rozsah vstupního signálu rozdělen na nepřekrývající se úseky a každému takovému úseku je jednoznačně přiřazena jediná diskrétní hodnota. Jestliže se hodnota spojitého vstupního signálu nachází uvnitř takového úseku, je jí přiřazena právě tato diskrétní hodnota. Amplitudová diskretizace je spojená s tím, že změna vstupního signálu v intervale jedné hladiny, nevyvolá změnu číslicového údaje na výstupu A/Č převodníku. To představuje kvantovací chybu, která se vnáší do dalšího číslicového zpracování signálu. Kvantovací chyba ideálního A/Č převodníku se pohybuje v rozsahu, kde q je ideální šířka kódového slova (slova). Efektivní hodnota kvantovací chyby představuje směrodatnou odchylku náhodné chyby A/Č převodníku způsobené kvantováním. Vypočítá se podle rovnice (3). Stránka 5

(3) ε ve vzorci (3) je funkce kvantovací chyby. 2.4. Vzorkování Vzorkování je proces, který signálu spojitému v čase přiřazuje vzorkovaný signál (posloupnost) v čase diskrétní. Doba odběru vzorku ta (Aperture Time) způsobuje při vzorkování časově proměnného signálu s časovou změnou nejistotu viz obr. 5 (4) Při vzorkovaném sinusovém signálu o rozkmitu má tato nejistota maximální hodnotu viz obr. 6 (5) Má-li být tato nejistota srovnatelná s rozlišitelností n-bitového převodníku, pak maximální kmitočet tohoto signálu je (6) u a (t) U m /2 S=du a /dt u a =(U m /2)sin t 0 t u a t a 0 Obr. 5 Chyba odebrání vzorku t -U m /2 Obr. 6 Časová změna sinusového signálu Stránka 6

2.5. Základní parametry A/Č převodníku Plný rozsah Plný rozsah FSR (Full Scale Range). Rozsah mezi maximální a minimální zaznamenatelnou vstupní hodnotou, pro N-bitový převodník je FSR dáno vztahem (7) Kvantovací úroveň Kvantovací úroveň T(k) Je hodnota vstupního parametru A/Č převodníku, v které se nachází přechodový bod mezi dvěma sousedními kódovými slovy. Šířka kódového slova Rozdíl skutečných kvantizačních úrovní a (8) Ideální šířka kódového slova (q i ) Je definována jako poměr FSR k počtu kódových slov (9) Střední šířka kódového slova (q ) Je definována jako průměrná šířka kódových slov (10) Stránka 7

Chyba offsetu a zesílení Nezávislá definice chyby zesílení [3]: Na určení zesílení a offsetu se podílejí všechny kvantovací úrovně. Využitím metody nejmenších čtverců minimalizující efektivní hodnotu chyb pro všechny kódy viz rovnice (11) (11) Pásmo střídání Rozsah vstupních úrovní, pro které A/Č převodník náhodně překmitává mezi sousedními úrovněmi. 7 6 k=p/w id 5 p Číslicový výstup 4 3 2 1 W id 0 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 U a /U r Obr. 7 Pásmo střídaní pro parametr k=0,5 k je poměr mezi pásmem střídání a ideální šířkou pásma. Pak se efektivní hodnota kvantovacího šumu změní podle rovnice (12): (12) Stránka 8

Např. pro platí (13) Pak se změní na (14) Integrální nelinearita Je pro každé kódové slovo definována odchylkami středů kvantovacích úrovní ideálního a reálného převodníku. Někdy se ještě tyto odchylky, vztahují k střední šířce kódového slova. Nebo ideální šířce kódového slova. (15) (16) Kde je rozdíl mezi a ideální hodnotou spočítanou dle (11). Diferenciální nelinearita Je pro každé kódové slovo definována, jako rozdíl šířky kódového slova skutečného převodníku a střední šířkou kódového slova, vztažená k střední šířce kódového slova nebo ideální šířce kódového slova. (17) Stránka 9

Vzájemná závislost mezi INL a DNL (18) (19) Monotónnost A/Č převodníku Zda hodnota výstupních kódů neklesá, resp. neroste při použití rovnoměrně klesajícího, resp. rostoucího signálu na vstupu A/Č převodníku. Chybějící kódové slovo Jestliže existuje číselný kód, pro který není odpovídající analogová úroveň, má převodník chybějící kódové slovo. Pro chybějící kódové slovo k platí. Hystereze Změřené hodnoty převodní křivky A/Č převodníku, mohou záviset na směru, kterým byly kvantovací úrovně přecházeny. Efektivní počet bitů ENOB Efektivní počet bitů ENOB (Effective Number of Bits). K výpočtu spolehlivě rozlišitelných úrovní slouží směrodatná odchylka všech parazitních vlivů. Představuje efektivní hodnotu napětí ekvivalentního zdroje rušení. Zlepšování parametrů A/Č převodníku se tato hodnota přibližuje efektivní hodnotě ideálního kvantovacího šumu. (20) (21) Harmonické zkreslení Vlivem dynamické chyby a nelinearit převodníku je harmonický signál převodem zkreslen. Obecně je-li na vstupu nelineárního systému přítomen spektrálně čistý harmonický signál, Stránka 10

pak na jeho výstupu jsou kromě základní harmonické složky přítomny také složky, jejichž frekvence jsou celočíselným násobkem frekvence základní harmonické složky, tj. tzv. vyšší harmonické. Tyto vyšší harmonické složky nazýváme harmonickým zkreslením. Podíl jednotlivých vyšších harmonických složek na zkreslení závisí na charakteru nelinearity přenosové funkce nelineárního systému. Celkové harmonické zkreslení Celkové harmonické zkreslení THD (Total Harmonic Distortion) je dáno poměrem efektivní hodnoty složek vyšších harmonických harmonických k efektivní hodnotě základní harmonické. (22) Odstup signál šum Odstup signál šum SNR (Signál Noise Ratio). Je definován jako poměr efektivní hodnoty základní harmonické spektra A/Č převodníku (buzeného ideálním sinusovým signálem), k efektivní hodnotě ostatních spektrálních složek kromě stejnosměrné složky a všech harmonických složek. SINAD SINAD (Signal to Noise and Distortion) se dá nalézt jako poměr efektivní hodnoty základní harmonické spektra A/Č převodníku (buzeného ideálním sinusovým signálem) k efektivní hodnotě ostatních spektrálních složek kromě stejnosměrné složky a základní harmonické. Pokud je na jeho vstupu přiveden spektrálně čistý harmonický signál. Na výstupu se objeví spektrální složky způsobené kvantovacím šumem a náhodným šumem. (23) (24) Stránka 11

Pro ideální A/Č převodník s binárním výstupem se předpokladá, že harmonický signál beze zbytku pokrývá jeho rozsah a kvantovací šum je v rámci kvantovacího kroku rovnoměrně rozložen, je možné pro poměr efektivních hodnot harmonického signálu a celkového (v tomto případě jen kvantovacího) šumu psát: (25) Kde n je počet bitů A/Č převodníku. Ze vzorce (25) plyne, že přidáním jednoho bitu se poměr signál šum zlepší o 6 db. Dynamický rozsah bez rušivých složek Dynamický rozsah bez rušivých složek SFDR (Spurious Free Dynamic Range) je amplitudový rozsah ležící mezi amplitudou základní harmonické o frekvenci průměrovaného amplitudového spektra výstupního signálu A/Č převodníku a nejvyšší amplitudou harmonické nebo rušivé složky tohoto signálu za předpokladu, že na vstupu testovaného A/Č převodníku je spektrálně čistý harmonický signál. (26) kde je průměrované amplitudové spektrum z výstupu A/Č převodníku, i je frekvence vstupního signálu a resp. jsou frekvence vyšších harmonických resp. rušivých spektrálních složek. Odstup signál šum bez harmonických složek Odstup signál šum bez harmonických složek SNHR (Signal Non Harmonic Ratio) je poměr efektivní hodnoty základní harmonické signálu k efektivní hodnotě jeho šumu, do které není zahrnut vliv vyšších harmonických složek signálu. Intermodulační zkreslení Intermodulační zkreslení IMD (Inter Modulation Distortion). Je-li vstupní signál obecně nelineárního systému složen alespoň ze dvou spektrálně čistých harmonických signálů, pak je Stránka 12

výstupní signál dán součtem a rozdílem frekvencí (tj. obecně lineární kombinací) celočíselných násobků frekvencí vstupních harmonických signálů v závislosti na typu uvažované nelinearity systému. Takový signál je nazýván intermodulačně zkresleným signálem viz obr. 8. F[dB] 0 základní spektrální složky vstupního signálu -20-40 -60 intermodulační složka -80-100 -120 f 2 -f 1 f 1 f 2 f 1 +f 2 f s /2 f Obr. 8 IMD pro dvě frekvence Intermodulačními zkreslení 2. řádu je definováno poměrem efektivní hodnoty intermodulačních spektrálních složek o kmitočtech a k efektivní hodnotě amplitudy signálu, složeného ze dvou sinusových průběhů o kmitočtech a (27) Šířka pásma Šířka pásma odpovídá kmitočtovému rozsahu, ve kterém neklesne zesílení A/Č převodníku pod úroveň 3 db. Zpoždění údaje Zpoždění v počtu cyklů převodu, mezi odebráním vzorku na vstupu a objevením se kódu na výstupu A/Č převodníku. Stránka 13

Doba ustálení Doba ustálení (Settling Time) je doba od reakce na skokovou změnu spouštěcího signálu do ustálení do specifikovaného chybového pásma. Hranice rychlosti náběhu Hranice rychlosti náběhu (Slew Limit) je hodnota rychlosti změny výstupního kódu, kdy zvětšení rychlosti vstupního signálu už nevyvolá změnu. Doba obnovení po překročení rozsahu Doba obnovení po překročení (Out of Range Recovery Time) rozsahu je čas potřebný pro zotavení vstupu A/Č převodníku po přechodovém ději z 10% nad pozitivním plným rozsahem do 10% nad záporným plným rozsahem, nebo z 10% pod záporným plným rozsahem do 10% pod pozitivním plným rozsahem. Doba odběru Toto zpoždění má za následek, že převod vstupního signálu je opožděn vůči středu přechodové hrany start převodu Nejistota doby odběru Směrodatná odchylka doby odběru Přeslech Nežádoucí energie objevující se v signále, jako důsledek vazeb mezi jinými signály Náhodný šum Náhodná veličina na výstupu A/Č převodníku, způsobená náhodnými změnami parametrů převodníku v jeho analogové a číslicové části. Stránka 14

2.6. Typické aplikace A/Č převodníků Typická aplikace Audio Tab. 1 Typické aplikace A/Č převodníků Kritické parametry A/Č SINAD, THD Automatické řízení Monotónnost, krátká doba ustálení, dlouhodobá stabilita Digitální osciloskop Geofyzika Zpracování obrazu SINAD, ENOB, šířka pásma, počet chybových slov WER, doba obnovení po překročení rozsahu THD, SINAD, dlouhodobá stabilita DNL, INL, SINAD, ENOB, doba obnovení po překročení rozsahu, odezva na jednotkový skok Radar, sonar SINAD, IMD, ENOB, SFRD, odezva na jednotkový skok Spektrální analýza Komunikace v rozprostřeném spektru SINAD, ENOB, SFRD SINAD, ENOB, SFRD, IMD, odstup šum od rušení Telekomunikace SINAD, NPR, SFRD, IMD, WER, počet chybových bitů Video Širokopásmové digitální příjmače DNL, SINAD, SFRD, chyba fáze a zesílení SFRD, IMD, SINAD Stránka 15

3. Nejistota ENOB při testování A/Č převodníku metodou nejlépe proložené sinusovky 3.1. Teorie k metodě nejlépe proložené sinusovky Jde o nepřímou dynamickou metodu testování A/Č převodníku v časové oblasti. Na vstup A/Č převodníku je přiveden harmonický signál. A výstupní data A/Č převodníku se proloží sinusovkou metodou nejmenších čtverců. Tím získáme odhad vstupního signálu. A můžeme spočítat chybový vektor jako rozdíl výstupních odhadnutých dat. Efektivní hodnota chybového vektoru představuje efektivní hodnotu šumu A/Č převodníku. Z efektivní hodnoty šumu se vypočte SINAD a ENOB. Existují dvě varianty této metody. Pokud předem známe frekvenci vstupního signálu. Pak se volí 3 parametrová metoda viz [3] (odhaduje se amplituda signálu, fázový posuv, a střední hodnota stejnosměrná složka). V praxi se používá 4 parametrová metoda, protože neznáme přesně frekvenci signálu. Kromě předchozích parametrů se odhaduje i vstupní frekvence signálu. 3 parametrová metoda nejlépe proložené sinusovky je algoritmus, který vždy bude mít řešení. Výsledku bude závislý na přesnosti odhadu frekvence aplikovaného harmonického testovacího signálu 4 - parametrová metoda je iterační algoritmus, který nutně nemusí konvergovat, nebo konverguje velmi pomalu. Například pokud je počáteční odhad frekvence velmi nepřesný, nebo jsou data poškozená. 3.2. 3 - parametrová metoda V časech až odebereme vzorky až. Sestavíme Cílem je nalézt parametry,,. Takové abychom minimalizovali následující výraz (28) Vytvoříme matici, vektor dat které chceme proložit a vektor výsledků. V maticovém zápisu lze rovnici (28) vyjádřit: Stránka 16

(29) Pak vypočteme vektor výsledků x 0 : (30) Nejlépe proložená sinusovka má tvar: (31) Efektivní hodnota šumu A/Č převodníku je dána vztahem: (32) Efektivní počet bitů se vypočítá podle rovnice (20) 3.3. 4 - parametrová metoda 1. Vypočteme,,. Pomocí 3 - parametrové metody tím, že frekvenci přibližně odhadneme ( ). Nastavíme index, 2. inkrementujeme index, 3. ( pro ) 4. vytvoříme matici, vektor výsledků a matici Stránka 17

5. Vypočteme vektor výsledků (33) 6. Vypočítám amplitudu a fázi signálu: (34) Kde, pro pro 7. Opakujeme kroky 2 až 6 dokud nejsou změny,,, dostatečně malé. 8. Vypočteme efektivní hodnotu šumu z rovnic (32). 9. Efektivní počet bitů se vypočítá z efektivní hodnoty šumu podle rovnice (20) 3.4. Minimální počet vzorků na periodu, tak aby bylo otestováno každé kódové slovo 16 19 4 bitový A/Č převodník 19 vzorků na periodu 14 12 amplituda 10 8 6 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Obr. 9 Minimální počet vzorků na periodu t Stránka 18

Následující tabulka nám ukáže, kolik je potřeba vzorků na periodu, aby bylo otestováno každé kódové slovo. Nominální počet bitů Minimální počet vzorků 3 9 4 19 5 41 6 89 7 187 8 385 10 1581 12 6391 14 25669 16 102839 Tab. 2 Minimální počet vzorků na periodu Z této tabulky lze najít souvislost mezi nominálním počtem bitů s minimálním počtem vzorků na periodu. (35) Pokusil jsem se odvodit tento vzorec. Vyjdu z toho, že sinusovka má nejvyšší strmost kolem nuly. Pokud uvažuji unipolární převodník. Signál pro unipolární převodník bude sinusovka s amplitudou stejnosměrně posunutá o. První vzorek tedy bude mít hodnotu. Chceme, aby další odebraný vzorek měl hodnotu. Tudíž chci, aby další hodnota na vstupu A/Č převodníku nebyla větší více než o jeden kvantovací krok q. Kde n je nominální počet bitů A/Č převodníku. Pojďme sestavit rovnici. Rozsah unipolárního A/Č převodníku si zvolím 1. Amplitudu testovacího signálu volím, stejnou velikost bude mít stejnosměrný posuv signálu. Takto signál přesně pokryje plný rozsah A/Č převodníku. (36) Stránka 19

(37) Pro velké i je možná náhrada Dosazením a upravením rovnice (37) získáme vztah: a počet vzorků na periodu se vypočte jako (38) Tento vztah ale nepotvrzuje výsledky z rovnice (35). Je to dáno průběhem funkce sinus. Na intervalu pro dvě různé hodnoty argumentu funkce sinus existuje hodnota. Takže druhý vzorek na vstupu teoreticky může být větší až o dva kvantovací kroky. Následující obrázek ukazuje, že na 3 bitový A/Č převodník stačí pouze sedm vzorků. 8 7 6 5 amplituda 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Obr. 10 Minimální počet vzorků na periodu t pro 3 bitový A/Č převodník Počet vzorků odebraný za jednu periodu určuje, v jakých místech sinusovky jsou data odebírána. To ovlivní kvalitu odhadu parametrů sinusovky. I kdybychom dokázali ideálně rekonstruovat sinusovku z naměřených dat. Bude se efektivní hodnota šumu lišit podle toho, ve kterých místech se data odebírala. Obě skutečnosti mají vliv na výslednou efektivní Stránka 20

hodnotu šumu a tím ovlivní i ENOB. Obrázek obr. 11 ukazuje problém určení skutečné efektivní hodnoty šumu z nízkého počtu vzorků. Modře je znázorněn průběh kvantizačního šumu pro 10 3 vzorků na periodu (blížící se ideálnímu případu), červený průběh kvantizačního šumu pro 19 vzorků na periodu. Nedostatečný počtu vzorků, může i v ideálním případě způsobit, že efektivní hodnota šumu je buď větší než ideální efektivní hodnota kvantovacího šumu, pak ENOB vychází menší než nominální počet bitů A/Č převodníku. Pokud je efektivní hodnota šumu menší než efektivní hodnota kvantovacího šumu, pak ENOB je větší než nominální počet bitů A/Č převodníku (20). Oba případy jsou vidět na obrázku obr. 13. 15 amplituda 10 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kvantizační chyba 0.5 0-0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t Obr. 11 Vzorkování a průběh kvantizační chyby Obrázek obr. 12 ilustruje problém nízkého počtu vzorků na periodu a také vliv nejistot parametrů (,, ) proložené sinusovky na průběh kvantizační chyby. Stránka 21

15 amplituda 10 5 Kvantizační chyba 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0-0.5-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t Obr. 12 Vliv nejistot parametrů proložené sinusovky 3.1. Minimální počet vzorků na periodu Tabulka tab. 3 zobrazí minimální počet vzorků na periodu, kdy nejistota ENOB klesne pod danou hranici, s ohledem na to, aby bylo otestováno každé kódové slovo A/Č převodníku. nejistota ENOB nomin. poč. bitů Minimální počet vzorků ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,005 8 803 807 2403 3207 10 1603 3217 6431 9645 12 6391 12861 25731 38581 14 25668 25668 51499 102943 16 102837 102837 205909 411739 Tab. 3 Minimální počet vzorků na periodu pro danou nejistotu ENOB s ohledem na to, aby se otestovalo každé kódové slovo. Stránka 22

Pokud nepotřebujeme otestovat všechna kódová slova. Stačí nám mnohdy daleko méně vzorků, jak ukazuje tabulka tab. 4. nejistota ENOB nomin. poč. bitů Minimální počet vzorků ±0,1 ±0,05 ±0,01 ±0,005 8 803 807 2403 3207 10 1603 3217 6431 9645 12 1169 12861 25731 38581 14 1119 17151 51499 102943 16 1429 5551 205909 411739 Tab. 4 Minimální počet vzorků na periodu pro danou nejistotu ENOB Obrázek obr. 13 ukazuje, jak závisí ENOB na počtu vzorků na periodu. 8.25 Závislost ENOB na počtu vzorků na periodu 8-bit unipolar A/Č převodník 8.2 8.15 8.1 8.05 ENOB 8 7.95 7.9 7.85 7.8 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Počet vzorků na periodu Obr. 13 Závislost ENOB na počtu vzorků na periodu Stránka 23

Závislost ENOB na počtu vzorků na periodu 8-bit unipolar A/Č převodník 8.03 8.02 8.01 ENOB 8 7.99 7.98 7.97 7.96 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 Počet vzorků na periodu Obr. 14 Detail obrázku 14 Extrémní hodnoty průběhu ENOB se vyskytují kolem násobku π. Proto je dobré řídit se tabulkou tab. 3, či tab. 4. při volbě vzorků. Stránka 24

4. Nejistoty při testování A/Č převodníku metodou Step Gauss 4.1. Teorie Step Gauss: Tato metoda je jednou z histogramových metod, které se používají k testování A/Č. Pro histogramové testy je možné použít náhodný signál s rovnoměrným rozdělením, který vytváří vhodný histogram, ale obtížně se generuje nebo použít šum s normálním rozdělením, který je přirozený a jednodušeji se generuje. Při použití šumu s normálním rozdělením je vhodné zaručit, aby jeho rozptyl byl větší a pokryl všechna slova. Takovýto šum může velice snadno přebudit a poškodit vstupní obvody testovaného převodníku, proto je vhodné použít omezovací obvody. Tyto omezovací obvody však mohou zdeformovat rozdělení použitého šumu. Další problém nastává při generování takového šumu pomocí Č/A převodníku, spektrální charakteristika bude ovlivněna omezenou rychlostí náběhu (Slew Rate) použitého Č/A převodníku. Toto omezení by teoreticky mohlo být omezeno snížením rozptylu testovacího signálu. Vstupní rozsah A/Č převoníku Četnost výskytu u [v] Obr. 15 Superpozice relací Mějme ideální náhodný signál s normálním rozložením a parametry μ představující střední hodnotu signálu a σ směrodatnou odchylku signálu. Při superpozici tohoto signálu se stejnosměrným signálem, který rovnoměrně posouvá náhodný signál přes celý rozsah A/Č Stránka 25

převodníku s krokem Δ, vznikne oblast, která výborně aproximuje signál s rovnoměrným rozložením. Při malých hodnotách Δ vzhledem k hodnotě σ. Pro každou relaci je generován signál posunutý o stejnosměrnou složku. Z jednotlivých relací se vytvoří kumulativní histogram. Nelze použít prostý součet signálů, výsledek směsi signálu by byl opět signál s normálním rozdělením se střední hodnotou rovnou součtu středních hodnot. Výsledný rozptyl by byl roven součtu rozptylů, viz obrázek (obr. 16). 400 Histogram signálu X 1 a signálu X 2 300 Četnost 200 100 0-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 400 Histogram směsi náhodných signálu X 1 +X 2 Četnost 300 200 100 Obr. 16 Směs náhodných signálů 4.2. Vliv směrodatné odchylky signálu σ a stejnosměrného posuvu signálu Δ Při generaci histogramu z náhodného signálu, který se superponován na stejnosměrný signál, dochází v ploché části histogramu k jeho zvlnění. Toto zvlnění je závislé na volbě parametrů Δ a σ. 0-6 -4-2 0 2 4 6 Vstup Stránka 26

R Četnost Četnost výskytu S Mean Vstupní rozsah A/Č převoníku R R u Vstup [v] Obr. 17 Zvlnění histogramu Pokud zavedeme pomocnou proměnnou P, která závisí na poměru velikosti stejnosměrného kroku Δ a směrodatné odchylky signálu σ. Pak můžeme analyzovat vliv proměnné P na relativní zvlnění histogramu r. Relativní zvlnění histogramu r jsem si definoval jako poměr rozdílu maximální a minimální hodnoty ku dvojnásobku střední hodnoty ploché části histogramu. V obrázku obr. 17 je to poměr. Závislost zvlnění r na poměru P nám ukáže tabulka tab. 5 a graf obr. 18,. (39) Stránka 27

Poměr r P=Δ /σ [-] [-] 3 2,23E-01 2,9 1,91E-01 2,8 1,61E-01 2,7 1,33E-01 2,6 1,08E-01 2,5 8,50E-02 2,4 6,50E-02 2,3 4,79E-02 2,2 3,39E-02 2,1 2,28E-02 2 1,44E-02 1,9 8,44E-03 1,8 4,52E-03 1,7 2,16E-03 1,6 8,96E-04 1,5 3,10E-04 1,4 8,46E-05 1,3 1,69E-05 1,2 2,23E-06 1,1 1,65E-07 1 5,35E-09 0,9 5,22E-11 0,8 8,05E-14 Tab. 5 Závislost relativního zvlnění histogramu r na poměru P r 1E+00 1E-01 1E-02 1E-03 1E-04 1E-05 1E-06 1E-07 1E-08 1E-09 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 Závislost relativního zvlnění r histogramu na poměru P 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Obr. 18 Závislost relativního zvlnění histogramu r na poměru P P S odkazem na článek [2] uvedu tvrzení, že pro pro testování až 24 bitových A/Č převodníků. je zvlnění histogramu dostatečně malé 4.3. Odhad počtu vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku Nyní se podíváme na to, jak odhadneme počet vzorků v aktivní oblasti. Nadefinuji si novou funkci F, která vznikne součtem funkcí reprezentující hustotu pravděpodobností normálního rozdělení (40) vzájemně posunutých o krok Δ. (40) Stránka 28

Parametry a, b volím tak, abych dodržel minimální počet relací mimo aktivní oblast (počet relací náhodného signálu s hustotou pravděpodobnosti oblast A/Č převodníku), kde μ je mimo aktivní (41) Procentuální poměr aktivních vzorků vůči celkovému počtu vzorků lze odhadnout podle vztahu (42). Ke zjednodušení jmenovatele na celkový počet relací jsem došel díky skutečnosti, že integrál hustoty pravděpodobnosti od minus nekonečna do plus nekonečna musí být jednotkový. Meze integrálu v čitateli jsou voleny s ohledem, že jde o model unipolárního A/Č převodníku. (42) V tabulce tab. 6 můžeme sledovat, jak se mění procento vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku, v závislosti na směrodatné odchylce signálu σ, parametr P se zde nemění a je zvolen pevně tedy. Počet relací mimo aktivní oblast jsem zvolil 12 (podle tabulky tab. 8). Jednotka V může znamenat jednotku volt, ale obecně to je jednotka vstupní veličiny A/Č převodníku, znamená minimální střední hodnotu krajní relace, maximální hodnotu, je pak oblast, kde se rovnoměrně po kroku Δ posouvají jednotlivé relace. Procento aktivních vzorků představuje odhad procenta vzorků spadající do aktivní oblasti A/Č převodníku. Stránka 29

μ min μ max μ max - μ min Počet relací σ Procento aktivních vzorků [V] [V] [V] [-] [V] [%] -0,006 1,006 1,012 1012 0,001 98,7-0,012 1,012 1,024 512 0,002 97,5-0,018 1,018 1,036 346 0,003 96,3-0,024 1,024 1,048 262 0,004 95,1-0,03 1,03 1,06 212 0,005 93,9-0,036 1,036 1,072 179 0,006 93,1-0,042 1,042 1,084 155 0,007 92,2-0,048 1,048 1,096 137 0,008 90,6-0,054 1,054 1,108 124 0,009 89,6-0,06 1,06 1,12 112 0,01 88,5-0,078 1,078 1,156 89 0,013 86,4-0,12 1,12 1,24 62 0,02 79,4-0,24 1,24 1,48 37 0,04 65,8-0,48 1,48 1,96 25 0,08 50,0-0,6 1,6 2,2 22 0,1 43,5-0,78 1,78 2,56 20 0,13 38,5-1,2 2,2 3,4 17 0,2 27,8-2,4 3,4 5,8 15 0,4 16,7-4,8 5,8 10,6 14 0,8 8,9-6 7 13 13 1 7,1 Tab. 6 Procento vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku při konstantním P Obr. 19 Procento vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku při konstantním P Stránka 30

Je vidět, že zvolená směrodatná odchylka náhodného signálu σ ovlivní procento aktivních vzorků. Podle této tabulky je nutné počet vzorků korigovat, abychom dosáhli požadovaného počtu vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku. Např. pro, 11 relací mimo aktivní oblast a musí být celkový počet vzorků 2,3x větší než zvolený počet aktivních vzorků. Další tabulka ukazuje vliv změny P při konstantní směrodatné odchylce σ. Poměr P=Δ /σ Procento aktivních vzorků [-] [%] 0,003 35,71 0,03 35,69 0,3 35,461 0,5 35,09 0,7 34,84 0,9 34,72 1 34,48 1,3 34,97 1,5 35,08 1,6 34,72 1,9 35,1 2 33,33 Tab. 7 Procento vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku při konstantní σ Jak je patrné z tabulky tab. 7, můžeme zanedbat vliv parametru P na počtu aktivních vzorků. Takže můžeme uvažovat jenom vliv parametru σ. Zvolil jsem 18 relací mimo aktivní oblast. Proto se liší tab. 6 a tab. 7 v procentu aktivních vzorků pro stejně zvolené parametry P a σ. 4.4. Okrajová chyba histogramu 10 Četnost 10 10 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Vstup Obr. 20 Detail ploché části histogramu, počet relací mimo aktivní oblast 12 tedy 6 připadající pod aktivní oblast a 6 nad aktivní oblast, celkový počet relací 23 Stránka 31

Další problém nastává v okrajových oblastech ploché, aktivní části histogramu. Pokud nevhodně zvolíme počet relací mimo aktivní oblast A/Č převodníku, dochází k okrajové chybě. Na obrázku obr. 20 vidíme vhodně zvolený počet relací (odměrů), náhodného signálu se střední hodnotou mimo aktivní oblast. 10.0000 9.9995 Četnost 9.9990 9.9985 9.9980 Vstup 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Obr. 21 Vznik okrajové chyby, počet relací mimo aktivní oblast 6 tedy 3 připadající pod aktivní oblast a 6 nad aktivní oblast, celková počet relací 17 a nedostatečný počet relací obr. 21. Následující tabulka ukazuje minimální počet relací se střední hodnotou mimo aktivní oblast A/Č převodníku tak, aby nedocházelo k okrajové chybě. Poměr P=Δ /σ 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Počet relací mimo aktivní oblast 18 14 11 9 7 6 5 4 4 3 Tab. 8 Minimální počet relací mimo aktivní oblast 4.5. Přechod od ideálního náhodného signálu k reálnému náhodnému signálu Simulace předchozích vlastností testovacího signálu, jak zvlnění výsledného histogramu signálu v aktivní oblasti, tak okrajová chyba, byly zjednodušeny tím, že jsme pracovali s ideální hustotou pravděpodobnosti normálního rozdělení definovanou dle (40). V praxi však použijeme generátor náhodného signálu. Který pro jistý počet vzorků vygeneruje signál s hustotou pravděpodobnosti blížící se ideálnímu případu. Obrázek obr. 22 ukazuje rozdíl mezi ideálním histogramem (červený průběh) a reálným histogramem (modrý průběh počet vzorků signálu 10 5 ). Stránka 32

1.15 1.1 1.05 Četnost 1 0.95 0.9 0.85 0.8-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 Vstup Obr. 22 Detail ploché části histogramu pro ideální a reálný náhodný signál Simulace jsou tedy zaměřeny na to, kolik bude potřeba vzorků, aby nejistota ENOB klesla pod předem stanovenou mez. První věc co bylo potřeba zjistit, zda je výhodnější použít větší počet relací s menším počtem vzorků, či je výhodnější generovat menší počet relací o větším počtu vzorků. Aby bylo možné výsledky porovnat bylo nutné zachovat vždy stejný počet vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku. Pokud dodržíme maximální zvlnění histogramu pro daný A/Č převodník (prakticky stačí zvolit parametr ), tak záleží pouze na počtu vzorků v aktivní oblasti, viz obrázky obr. 23 a obr. 24 Stránka 33

Obr. 23 Graf závislosti ENOB na počtu relací při dodržení konstantního počtu vzorků v aktivní oblasti Stránka 34

Obr. 24 Graf Maximálního zvlnění v závislosti na počtu relací při dodržení konstantního počtu vzorků v aktivní oblasti Stránka 35

4.6. Konstrukce simulace metody Step Gauss Pro simulace jsem volil a. Z předchozích analýz víme, že pro takto zvolené parametry potřebujeme zvolit 11 relací mimo aktivní oblast A/Č převodníku. Pracuji s modelem ideálního A/Č převodníku s rozsahem vstupní veličiny. Převodník má nominální počet bitů n. Zvolím si počet vzorků v aktivní oblasti. Toto číslo pak musím vhodně korigovat podle tabulky tab. 6. V tomto případě je nutno toto číslo vydělit konstantou 0,435. Počet vzorků zaokrouhlíme. Vygeneruji signál s normálním rozdělením s parametry σ a s aktuální střední hodnotou. Původně jsem tento signál virtuálně zpracoval ideálním A/Č převodníkem. Proces je následující signál zesílí (vynásobí konstantou ), pak se zaokrouhlí funkcí round. Pak se signál omezí na maximální hodnotu. Nakonec jsem zjistil, že je tento převod zbytečný. Protože se stejně potom vytváří histogram signálu. A stejnou práci (obdoba zaokrouhlování) odvede v matlabu funkce histc v matematice BinCounts. Kdy si vhodně nadefinujeme rozhodovací úrovně. Proč jsem v Matlabu volil fuknci histc a ne hist. Bylo pro mne přirozenější nadefinovat si hrany do funkce histc. Vytvořil jsem si vektor kvantovacích úrovní A/Č převodníku a tento vektor sloužil jako vstupní vektor hran do funkce histc. Při této konstrukci je nutné kontrolovat, zda funkce histc nevrací na výstupu bin histogramu odpovídající vstupní veličině větší než je rozsah A/Č převodníku. Tento bin je nutné oříznout. Podobná konstrukce je i v programu Mathematica. Oříznul jsem první bin histogramu a poslední bin histogramu. Což odpovídá kódovému slovu a. Pak totiž nemusím korigovat četnosti výskytu 0 a max. kódového slova. Šířka kódového binu prvního a posledního slova je poloviční. Tudíž bychom museli první a poslední bin histogramu vynásobit dvěma. Názorná ukázka je na obrázku obr. 25. Stránka 36

4.5 x 105 Četnost výskytu kódových slov 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Číslicový výstup Obr. 25 Histogram 3 bit A/Č převodník Pro každou relaci provedeme stejnou operaci výpočet histogramu a ukládáme četnosti kódových slov do jednoho akumulovaného histogramu. Potom vypočtu a a [2]. Použiji četnosti jednotlivých kódových slov. Vypočtu střední hodnotu četností, pak je dána rozdílem, střední hodnoty četností kódových slov od jednotlivých četností kódových slov (44). se vypočte jako kumulativní součet (45). se vypočte podle vztahu (46). V následujících rovnicích si označíme četnost výskytu kódového slova. Střední hodnotu četností označme jako. (43) (44) (45) (46) Stránka 37

4.7. Odhad počtu vzorků potřebných k vyhodnocení kumulovaného histogramu Pro vyhodnocení histogramu a následné určení průběhu diferenciální nelinearity a dalších navazujících charakteristik je nutné odebrat v rámci celého rozsahu testovaného A/Č převodníku určitý počet vzorků. Tento počet je odvozen z požadované nejistoty určení průběhu DNL viz [1]. Při digitalizaci signálu s rovnoměrným rozdělením amplitudy A/Č převodníkem majícím ideální převodní charakteristiku s kvantovacími úrovněmi je pravděpodobnost výskytu každého z kódových slov převodníku dána vztahem (47) Pravděpodobnost toho, že se dané kódové slovo vyskytne při celkovém počtu odměrů N právě k-krát, se řídí binomickým rozdělením, pro jehož pravděpodobnostní funkci platí (48) Pro střední hodnotu náhodné veličiny X platí (49) a pro její rozptyl (50) Pro odhad pravděpodobnosti výskytu daného kódového slova vyskytujícího se v záznamu naměřených dat k-krát při celkovém počtu odměrů N platí (51) Stránka 38

Střední hodnotu odhadu pravděpodobnosti výskytu kódového slova je možné určit dosazením do vztahu (49) jako (52) a jeho rozptyl po dosazení do (50) jako (53) Normovaná směrodatná odchylka odhadu je potom dána vztahem (54) kde poslední výraz vznikl dosazením vztahu (47). Za předpokladu, že pro velká N přechází binomické rozdělení do rozdělení normálního, je možné pro interval spolehlivosti psát (55) kde 1 je koeficient spolehlivosti intervalového odhadu a je příslušný kvantil normovaného normálního rozdělení. Z tohoto výrazu je pak možné pro velikost relativní chyby odhadu pravděpodobnosti výskytu daného kódového slova v záznamu dat psát (56) Stránka 39

Porovnáním vztahu (4.13) se vztahem pro výpočet diferenciální nelinearity (2.3) je patrné, že chyba představuje vlastně nejistotu určení hodnot diferenciální nelinearity testovaného A/Č převodníku. Ze vztahu (56) je dále možné určit pro požadovanou hodnotu nejistoty stanovení diferenciální nelinearity testovaného A/Č převodníku postačující velikost záznamu v závislosti na nominálním rozlišení daného převodníku. Úpravou tedy dostáváme (57) Například pro určení průběhu diferenciální nelinearity pro A/Č převodník mající nominální rozlišení 8 bitů s nejistotou pro 95% intervalový odhad (tj. ) je nutné přes celý rozsah rovnoměrně odebrat více než 10 6 vzorků. 4.8. Výsledky simulací Cílem této části mé práce bylo zjistit kolik je potřeba vzorků, aby nejistota ENOB klesla pod danou hranici. Parametry simulace jsou v kapitole 4.6. Testoval jsem A/Č s nominálním počtem bitů 4 až 10. Pro vyšší počet bitů jsou simulace velmi časově náročné. Abych mohl sledovat vývoj ENOB pro A/Č převodníky s různým nominálním počet bitů, rozhodl jsem se sledovat závislost ENOB na počtu aktivních vzorků připadající na jednotlivé kódové slovo. Volil jsem 6 až vzorků na kódové slovo. Což znamená pro 10 bit A/Č 65milionů aktivních vzorků a skoro 200 milionů všech vzorků. Aby simulace byly vůbec realizovatelné, využil jsem příležitosti a řešil jsem svůj projekt na superpočítači ALTIX (Výpočetní a informační centrum ČVUT). Abych získal detailnější informace o tom, jak ENOB závisí na počtu vzorků, opakoval jsem každou simulaci 100x. Získal jsem pak střední hodnotu ENOB pro zvolený počet vzorků. A odhad nejnepříznivějšího případu - minimum ENOB (v tabulce tab. 9 jsem vynesl rozdíl nominálního počtu bitů od minima ENOB tedy max. ΔENOB). Poznámka při použití metody Step Gauss dostaneme vždy o něco horší výsledek (uvažuji ideální A/Č), nikdy nedostaneme výsledek lepší než je nominální počet bitů, protože v rovnici (46) se v sumě vyskytuje je kvadrát INL, tudíž nejpříznivější výsledek této sumy je 0, kterému odpovídá ENOB rovný nominálnímu počtu bitů n. V následujících grafech a v tabulkách jsem pak nevynášel ENOB, ale rozdíl nominálního počtu bitu n od vypočteného ENOB tedy ΔENOB. tab. 9 je ukázka dat, ze kterých jsem potom vytvořil grafy (obr. 26, obr. 27). Stránka 40

průměrný počet aktivních vzorků počet vzorků na kódové slovo n=8 Střední hodnota ENOB Minimální hodnota ENOB Střední hodnota ΔENOB Maximální hodnota ΔENOB 1607 6 5,56 4,71 2,44 3,29 2026 8 5,65 4,46 2,35 3,54 2549 10 5,80 5,01 2,20 2,99 3215 13 5,97 4,90 2,03 3,10 4047 16 6,17 5,36 1,83 2,64 5091 20 6,28 5,16 1,72 2,84 6410 25 6,41 5,57 1,59 2,43 8066 32 6,56 5,81 1,44 2,19 10166 40 6,70 5,63 1,30 2,37 12787 50 6,83 5,81 1,17 2,19 16106 63 6,96 6,01 1,04 1,99 20275 80 7,08 6,13 0,92 1,87 25513 100 7,14 6,25 0,86 1,75 32130 126 7,30 6,16 0,70 1,84 40448 159 7,37 6,63 0,63 1,37 50913 200 7,46 6,86 0,54 1,14 64105 252 7,56 6,76 0,44 1,24 80702 318 7,63 7,08 0,37 0,92 101598 400 7,70 7,34 0,30 0,66 127879 503 7,74 7,32 0,26 0,68 161006 634 7,78 7,52 0,22 0,48 202698 798 7,83 7,44 0,17 0,56 255165 1005 7,85 7,50 0,15 0,50 321286 1265 7,88 7,58 0,12 0,42 404443 1592 7,91 7,78 0,09 0,22 509174 2005 7,92 7,73 0,08 0,27 641011 2524 7,94 7,76 0,06 0,24 806875 3177 7,95 7,81 0,05 0,19 1015906 4000 7,96 7,86 0,04 0,14 1278854 5035 7,97 7,90 0,03 0,10 1609998 6339 7,98 7,94 0,02 0,06 2026872 7980 7,98 7,94 0,02 0,06 2551748 10046 7,98 7,95 0,02 0,05 3212502 12648 7,99 7,96 0,01 0,04 4044267 15922 7,99 7,95 0,01 0,05 5091269 20044 7,99 7,97 0,01 0,03 6409683 25235 7,99 7,98 0,01 0,02 8069290 31769 7,99 7,97 0,01 0,03 10158762 39995 8,00 7,99 0,00 0,01 12789057 50351 8,00 7,99 0,00 0,01 16100433 63388 8,00 7,99 0,00 0,01 Tab. 9 Ukázka výsledků ze simulací Barevně jsem si označil přibližně místa, kde ΔENOB klesne pod stanovenou hranici, tyto údaje jsem vynesl do tabulek tab. 10, tab. 11. Stránka 41

Obr. 26 Graf závislosti střední hodnoty Δ ENOB na počtu vzorků na kód. slovo - 100 odměrů Stránka 42

Obr. 27 Maximální hodnota Δ ENOB v závislosti na počtu vzorků na kód. slovo - 100 odměrů Stránka 43

průměr ENOB< n-bit ADC Počet vzorků na kód. slovo 0,5 0,1 0,05 0,01 4 12,5 100 200 1000 5 25 200 400 2000 6 50 400 800 4000 7 100 800 1600 8000 8 200 1600 4000 16000 9 400 3200 6400 32000 10 800 6300 12800 64000 Tab. 10 Počet vzorků na kód. slovo A/Č kdy průměr ΔENOB ze 100 odměrů klesne pod dané pásmo max ENOB< n-bit ADC Počet vzorků na kód. slovo 0,5 0,1 0,05 0,01 4 40 400 800 5000 5 126 800 1300 8000 6 200 1200 3200 12600 7 500 3000 6000 32000 8 1000 5000 10000 >64000 9 1600 13000 32000 >64000 10 4000 20000 64000 >64000 Tab. 11 Počet vzorků na kód. slovo A/Č kdy maximální hodnota ΔENOB ze 100 odměrů klesne pod stanovené pásmo Při hledání funkční závislosti ENOB na počtu vzorků pro danou nejistotu ENOB jsem v prvním kroku vycházel z tabulky tab. 10. Kde jsou data zprůměrovaná, vykazují menší rozptyl. (58) Stránka 44

Výsledek je v rovnici (58). Kde n je nominální počet bitů A/Č převodníku. A koeficient udává, jak musíme zvětšit počet vzorků na kód slovo, pro danou nejistotu ENOB. Velikosti danou nejistotu ENOB jsou v následující tabulce tab. 12. ΔENOB 0,5 0,1 0,05 0,01 K ΔENOB 1 8 16 80 Tab. 12 K ΔENOB Z tabulky (tab. 11) jsem odhadoval, jak je nutné zvětšit počet vzorků, tak, aby nejistota jednoho z jednoho měření klesla pod mez danou pásmem ΔENOB. Protože v tabulce je vynesen počet vzorků, pro které maximum ΔENOB ze sta odměrů klesne pod stanovenou hranici, tedy odhad nejhoršího případu. Když porovnáme tabulky tab. 10, tab. 11 a vytvoříme poměr počtu vzorků na kód. slovo z těchto tabulek. Dostaneme odhad koeficientu rozšířeni pro jedno měření. ENOB n-bit ADC Poměr počtu vzorků 0,5 0,1 0,05 0,01 4 3,2 4 4 5 5 5,04 4 3,25 4 6 4 3 4 3,15 7 5 3,75 3,75 4 8 5 3,125 2,5-9 4 4,0625 5-10 5 3,174603 5 - Tab. 13 Poměr počtu vzorků na kód. slovo z tabulky 7 a tabulky 8 Z tabulky (tab. 13) můžeme odhadnout. tedy budeme volit v intervalu. Vzorec (58) se nám rozšíří o koeficient. (59) Jak tedy zvolíme? Pokusil jsem se o upřesnění potřebného počtu vzorků z histogramu ENOB (opakoval jsem simulaci 10 4 krát a udělal jsem z výsledků ENOB histogram). Jak je vidět na následujícím obrázku, dalo by se uvažovat o normálním rozdělení. Stránka 45

350 Závislost četnosti četností ENOB pro různé počty aktivních vzorků Četnost výskytu ENOB 300 250 200 150 100 50 0 32000 vzorků 16000 vzorků 8000 vzorků 4000 vzorků 3 4 5 6 7 8 ENOB Obr. 28 Histogramy ENOB Chtěl jsem odhadnout z histogramů odhadnout parametry normálního rozdělení. Vysledovat vývoj parametrů a získat obecnější vzorec. Pro vyšší počet vzorků se však histogram deformuje. Takže náhrada normálním rozdělením není možná. Následující obrázek ukazuje, jak se změní tvar histogramu pro vyšší počet vzorků. Histogram ENOB Četnost ENOB 800 700 600 500 400 300 200 100 0 7,991 7,992 7,992 7,992 7,993 7,993 7,993 7,994 7,994 7,994 7,995 7,995 7,995 7,996 7,996 7,996 7,997 7,997 7,997 7,998 7,998 7,998 7,999 7,999 7,999 Další ENOB Obr. 29 Histogram ENOB pro 33milionů vzorků Stránka 46

Proto jsem upustil od obecné analýzy, tohoto problému. Zaměřil jsem se na ověření předchozího vzorce (59). Zvolil jsem pevně konstantu. Testoval jsem pro 10 4 pokusů, zda výsledek ENOB je změřen s danou nejistotou. Pokud je ΔENOB větší, tak s jakou pravděpodobností získáme výsledek s danou nejistotou. Nominální počet bitů Nejistota ENOB K ΔENOB Počet vzorků Konfidenční pravděpodobnost 5 0-0,1 8 1,92E+04 98,53 5 0-0,05 16 3,83E+04 98,42 5 0-0,01 80 1,92E+05 98,25 7 0-0,1 8 3,07E+05 98,67 7 0-0,05 16 6,13E+05 98,4 7 0-0,01 80 3,07E+06 98,25 9 0-0,1 8 4,91E+06 98,76 9 0-0,05 16 9,81E+06 98,31 9 0-0,01 80 4,91E+07 98,01 Tab. 14 Odhad pravděpodobnosti, že nejistota ENOB překročí stanovený interval Z tabulky (tab. 14) jde vidět, že vzorec (59), vyhověl i při opakování simulace 10 4 krát. Získali jsme i odhad konfidenční pravděpodobnosti pravděpodobnosti, že nejistota ENOB bude uvnitř zvoleného intervalu. Tato pravděpodobnost větší než 98%, což je uspokojivý výsledek. Uvedu tedy finální podobu vzorce pro odhad potřebného celkového počtu vzorků. (60) Kde ProcentoAktivníchN vychází z tabulky (tab. 6), n je nominální počet bitů A/Č převodníku. najdeme v tabulce (tab. 12), doporučuji volit 3. Podle (59) vypočítáme potřebný počet vzorků na kódové slovo A/Č převodníku. Proto jsme museli celkový výsledek ještě vynásobit. Výsledný potřebný počet vzorků je úměrný. Stránka 47

5. Závěr Prováděl jsem analýzu metody nejlépe proložené sinusovky a analýzu metody Step Gauss. Vycházel jsem z předchozích prací podobně zaměřených. Ve své práci jsem se zaměřil na analýzu vlivu počtu odebraných vzorků na výslednou nejistotu určení efektivního počtu bitů, s cílem najít minimální počet vzorků pro danou nejistotu. U metody nejlépe proložené sinusovky jsem potřebný počet vzorků na periodu pro danou nejistotu ENOB zpracoval formou tabulek tab. 3, tab. 4. V tabulce tab. 4 je uveden počet vzorků na periodu pro danou nejistotu ENOB s tím, že není otestováno každé kódové slovo. Zde vidím prostor pro budoucí práci založenou na ověření možnosti zrychleného testování A/Č převodníků. V předchozích prací zaměřených na metodu Step Gauss je odvozen vzorec pro potřebný počet vzorků pro danou nejistotu DNL. Já jsem pomocí simulací našel vzorec pro odhad potřebného počtu vzorků pro danou nejistotu ENOB. Potřebný počet vzorků pro nejistotu DNL je úměrný. Potřebný počet vzorků pro nejistotu ENOB je úměrný. Díky obrovským požadavkům na potřebný počet vzorků se tato metoda nehodí na testování A/Č převodníků s vysokým rozlišením, i když bychom byli schopni garantovat nejistoty výsledků měření ENOB. Stránka 48

Seznam obrázků Obr. 1 Blokové schéma A/Č převodníku... 2 Obr. 2 Unipolární A/Č převodník s binárním výstupem včetně příslušné kvantovací chyby... 4 Obr. 3 Bipolární A/Č převodník s binárním výstupem s převodní charakteristikou typu True Zero včetně příslušné kvantovací chyby... 4 Obr. 4 Bipolární A/Č převodník s binárním výstupem s převodní charakteristikou typu No True Zero včetně příslušné kvantovací chyby... 5 Obr. 5 Chyba odebrání vzorku... 6 Obr. 6 Časová změna sinusového signálu... 6 Obr. 7 Pásmo střídaní pro parametr k=0,5... 8 Obr. 8 IMD pro dvě frekvence... 13 Obr. 9 Minimální počet vzorků na periodu... 18 Obr. 10 Minimální počet vzorků na periodu pro 3 bitový A/Č převodník... 20 Obr. 11 Vzorkování a průběh kvantizační chyby... 21 Obr. 12 Vliv nejistot parametrů proložené sinusovky... 22 Obr. 13 Závislost ENOB na počtu vzorků na periodu... 23 Obr. 14 Detail obrázku 14... 24 Obr. 15 Superpozice relací... 25 Obr. 16 Směs náhodných signálů... 26 Obr. 17 Zvlnění histogramu... 27 Obr. 18 Závislost relativního zvlnění histogramu r na poměru P... 28 Obr. 19 Procento vzorků v aktivní oblasti A/Č převodníku při konstantním P... 30 Obr. 20 Detail ploché části histogramu... 31 Obr. 21 Vznik okrajové chyby... 32 Obr. 22 Detail ploché části histogramu pro ideální a reálný náhodný signál... 33 Obr. 23 Graf závislosti ENOB na počtu relací při dodržení konstantního počtu vzorků v aktivní oblasti... 34 Obr. 24 Graf Maximálního zvlnění v závislosti na počtu relací při dodržení konstantního počtu vzorků v aktivní oblasti... 35 Obr. 25 Histogram 3 bit A/Č převodník... 37 Stránka 49