1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram Plasticita je pak schopnost tuhých těles nabývat za působení vnějších sil trvalé, nevratné deformace nazývají se plastické deformace. DŮLEŽITÉ VZORCE: - smluvní napětí: = - relativní prodloužení: F A Δl = l E - Hookeův zákon: = - celkové přetvoření: cel = el + pl Obr. 1.1: mluvní pracovní diagram měkké oceli (výrazná mez kluzu) - pozn.: velikost průřezu se v průběhu zatěžování mění a proto hodnoty napětí nejsou skutečné, ale smluvní P B C A D pl cel A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti p D přetržení zkušebního vzorku Deformační proces tělesa, při němž vznikají a rozvíjejí se plastické deformace tělesa, nazýváme plastickým přetvářením.
mluvní diagram vede mylně k představě, že oblast P-D pracovního diagramu leží již mimo technické využití. Ve skutečnosti je řada technologických operací prováděna za bodem P, tedy v oblasti krčku. Trochu historie: Plastické přetváření je známo od bronzové doby, ale teorie plasticity je poměrně mladou vědní disciplínou. 1868 Tresue předložil závěry svých pokusů o trvalém přetváření tuhých těles 1871 aint Venant publikoval práci o plastických deformacích Teorie plasticity: a) umožňuje efektivně využít vlastností materiálů b) řeší určování konkrétní únosnosti konstrukčních částí c) řeší problémy technologických procesů tváření (efektivnost využití zařízení, pomůže při správné volbě nástrojů a pracovního režimu) Teorie plasticity se rozvíjí ve dvou směrech: 1) fyzikální směr teoretické studium vlastností elementárních částic (vychází z fyziky pevné fáze), umožňuje stanovit základní zákonitosti, které určují mechanické vlastnosti tuhých těles v celém oboru přetváření 2) matematicko-mechanický směr vychází z experimentálně zjištěných mechanických vlastností materiálů, navazuje na teorii pružnosti a rozšiřuje ji při analýze napjatosti a přetvoření během různých podmínek působení vnějších sil a účinků. Obr. 1.2: Ocel obvyklých jakostí (třídy 1 nebo 11) [MPa] p=38 k=24 e=21 ú=2 Proč NE síla a absolutní prodloužení v pracovním diagramu: Ve zkušební tyči působí tahová síla po celé délce tyče, takže prodloužení Δl je úměrné počáteční délce tyče l. deformace materiálu, která je nezávislá na délce tyče je udána poměrným prodloužením (přetvořením) = Δl l
Účinek síly se v tyči rozkládá po celé ploše průřezu A, takže mírou namáhání materiálu není síla, ale mechanické napětí ΔF =, ΔA určené podílem síly a plochy průřezu, v němž síla působí. Kvalita materiálu není narušena a velikost skutečného napětí je dána F =, Ak kde F okamžitá hodnota síly A k okamžitá velikost plochy průřezu. K poruše dochází při nejvyšší hodnotě skutečného napětí FD D =, AD která přesahuje hodnotu skutečného i smluvního napětí na smluvní mezi pevnosti. Následkem změny tvaru zúžením je napjatost v krčku trojosá a o poruše rozhodují všechna 3 hlavní napětí. Obr. 1.3: mluvní pracovní diagram houževnatého materiálu C P p cel=,5 pl=,2 (,2%) - nemá výraznou mez kluzu vysokopevnostní oceli, termomechanicky zpracované konstrukční oceli - úmluvou je zavedena mez kluzu pomocí napětí, které způsobí trvalou deformaci pl =,2 ( K2 ) nebo celkovou deformaci cel =,5 ( t5 ). Protože u oceli je pracovní diagram pro tah i tlak souměrný podle počátku, uvádí se pouze část pro tah. U některých stavebních materiálů se meze v tlaku podstatně liší od mezí v tahu, např. beton.
Obr. 1.4: Pracovní diagram betonu tah + p=3 porušení v tahu tlak - porušení v tlaku p=2 Při odtěžování (snižování napětí) za mezí kluzu A a opětovném zatěžování vytváří pracovní diagram hysterezní smyčku P. K tomuto vlivu hystereze zpravidla nepřihlížíme a předpokládáme, že odtěžování a opětovné zatěžování probíhá lineárně pružně. Obr. 1.5: Hysterezní smyčka s A Ky P Dále výsledky zkoušek často ukazují, že po předchozím tahovém zatěžování tělesa nad mez kluzu se tlaková mez plasticity snižuje Bauschingerův efekt.
Obr. 1.6: Bauschingerův efekt A s A' - cs ' '' Obvykle předpokládáme tzv. ideální Bauschingerův efekt, že mez plasticity v tlaku se sníží o stejnou velikost, o jakou se zvýšila mez plasticity při tahovém zatěžování. R = 2 R R. ycs y ys Při uplatnění ideálního Bauschingerova efektu hovoříme o kinematickém zpevnění materiálu. Bauschingerův efekt se uplatní při cyklickém zatěžování. Obr. 1.7: Ideální Bauschingerův efekt Δ 2 s cs - '' Δ
Pro malé deformace (zhruba do meze kluzu) není změna průřezu významná, velikosti skutečných hodnot a průběhy obou diagramů (smluvního a skutečného) se neliší. Za mezí kluzu se však oba průběhy odlišují, zvláště za smluvní mezí pevnosti. Obr. 1.8: kutečný pracovní diagram houževnatého materiálu =F/A spl sd pl pl el celk - pozn.: nastane-li lom při malých deformacích, hovoříme o křehkém lomu na rozdíl od plastického 1.2 Příčné napětí a Poissonovo číslo oučasně s podélným prodloužením při namáhání tyče v tahu se mění i její příčné rozměry (dobře pozorovatelné u gumy). Obr. 1.9 Namáhání na tah b b F tah + l l Δl
- hodnota poměrného příčného zkrácení je kladná Obr. 1.1 Namáhání na tlak b b F tlak - l l Δl - záporné znaménko poměrného příčného zkrácení odpovídá síle, která ho vyvolává Poměrné příčné zkrácení Δb η = Δb = b b. b Pro tlak i tah v pracovním diagramu platí η = μ, kde μ je konstanta úměrnosti (Poissonovo číslo), závisí na druhu materiálu, její hodnota souvisí s tím, jak těleso při namáhání tahem a tlakem mění objem. Mějme hranol s počátečním objemem V = a b. c Tahová síla rovnoběžná s hranou a způsobí poměrné prodloužení a = a + a = a ( 1+ ), na hranách b, c nastane poměrné zkrácení η = μ, proto b = b ηb = 1 μ pro malá plyne: V V b ( ) c = c ηc = c ( 1 μ ) = a ( ) ( ) 2 1+ b 1 μ 2 ( + )( 1 μ ) = 1+ V = abc c 2 2 [ 1 ] ( )( 1 μ + μ ) V = V V [ ] 2 [( + )( 1 2μ )] = V [ 1 2μ + ] = V [ 1+ ( 1 2μ) ] 1 Z odvozené závislosti plyne, že μ max <,5, neboť objem tělesa se buď zvětšuje (tah) nebo zmenšuje. Hodnoty pro kov: μ=,3, pro =,1 je ΔV=,4V (zvětšení objemu).
1.3 Aproximace pracovních diagramů Výpočty v teorii plasticity vyžadují analytickou závislost napětí na přetvoření. Přesné funkce vyjadřující průběh pracovního diagramu jsou velmi složité. Proto se používá aproximace průběhu pracovního diagramu. Obr. 1.11: Aproximace skutečného pracovního diagramu lomenou přímkou, pružně plastický materiál s lineárním zpevněním s pl el a) <R y d platí = E, modul pružnosti v tahu d b) >R y d platí = E z, modul zpevnění. d Bude-li E z = pro s >> pl lze podle Prandtla provést aproximaci pomocí pracovního diagramu pro ideálně pružněplastický materiál. Obr. 1.12: Pracovní diagram pro ideálně pružněplastický materiál pl el
Jiná aproximace se řídí vztahem: m = A, kde A, m se určí dle potřeb řešené úlohy, obvykle se parabola vede 2 body nebo lze vycházet z požadavku rovnosti poměrných přetvárných prací skutečného a aproximovaného diagramu. m Obr. 1.13: Aproximace pracovního diagramu pomocí vztahu = A =A m Další idealizace pracovních diagramů: Obr. 1.14: Aproximace pracovního diagramu pro tuhoplastický materiál s lineárním zpevněním s B pl
Obr. 1.15: Pracovní diagram pro ideálně tuhoplastický materiál pl Celková deformace lze rozložit: = +. cel el pl Z jednoosého namáhání tahového zkušebního vzorku za mezí plasticity lze získat závislost = H ( pl ). Obr. 1.16: K odvození vztahu = H ( pl ) (eq) eq=h(eq,pl) d tečna H' 1 =H(pl) 1 Hs dpl pl pl (eq,pl) Konstitutivní vztahy vyjadřujeme v teorii plasticity 2 hlavními způsoby: 1) teorie deformací Popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami napětí a deformace. Například pro jednoosou napjatost materiálu se zpevněním lze napsat: = + cel el = E el pl
pl =, sečnový modul plasticity H cel = + E H 1 1 cel = + E H Obr. 1.17 K odvození předchozích vzorců pl cel el 2) teorie přetváření Formuluje vzájemné vztahy mezi přírůstky napětí a deformace. Například přírůstek podélné deformace při osovém tahu vyjadřuje vztah: 1 1 d = + d E H d H =, tečnový model plasticity. d pl Experimentálně získané závislosti při jednoosé napjatosti se v teorii plasticity často transformují na obecnou napjatost prostřednictvím ekvivalentního napětí eq a ekvivalentní plastické deformace eq,pl.