MATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ

MATEMATICKÝ MODEL CÉVNÍ STĚNY DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE S UVAŽOVÁNÍM VELKÝCH DEFORMACÍ Vladimír LUKEŠ, Eduard ROHAN 2 Abstract: Cévní stěna je modelována pomocí dvouškálové metody homogenizace, která umožňuje respektovat složitou mikrostrukturu stěny. Použit je nelineární matematický model s uvažováním velkých deformací a hyperelastickým materiálovým vztahem. Homogenizovaný model je rozšířen o elastická vlákna, která reprezentují vnější a vnitřní elastickou vrstvu na povrchu cévní stěny. Problém je linearizován pomocí aktualizované Lagrangeovy formulace a řešen iteračně metodou konečných prvků. Key words: arterial wall, homogenization, large deformation, updated Lagrangian formulation. ÚVOD Stávající modely cévní stěny, viz např. [, 2], bývají založeny na superpozici deformačních energií, které přísluší jejím jednotlivým složkám, jimiž jsou mezibuněčná hmota (matrice), svalová vlákna (uskupení svalových buněk) a další vláknité struktury obsahující elastin a kolagen. Takový přístup umožňuje zohlednění anizotropie tkáně i jejích základních charakteristik při zachování velmi přístupné implementovatelnosti modelu. e zřejmé, že mnohé materiálové nelinearity měkké tkáně, jak jsou pozorovány na makroškále, mají svůj původ v interakcích a geometrických nelinearitách deformující se mikrostruktury. Tento fenomen lze vystihnout s použitím víceškálového modelování, které odráží hierarchické uspořádání materiálu, od nanostruktury vláknitých komponent, přes buněčnou úroveň, až po makroskopické měřítko, kde pozorujeme chování celých orgánů. Dvouškálová metoda homogenizace je jednou z alternativ popisu tohoto hierarchického modelování. V tomto příspěvku je představen zjednodušený model buněčné úrovně cévní stěny, který je založen na existenci periodicky se opakující základní buňky obsahující matrici a nestlačitelnou inkluzi. Navazujeme tak na výsledky předchozího studia metody homogenizace v kontextu popisu měkkých tkání [5, 3]. Uvažovaný přístup je možné dále rozšířit o viskoelastické chování některých složek mikrostruktury i o popis svalové kontrakce [5, 6]... Stěna cévy Stěna artérií je složena ze tří vrstev, jejichž mohutnost a složení závisí na typu cévy. U středních arterií je dominantní střední svalová vrstva (media) obsahující převážně hladké svalové buňky, viz obr.. Tato vrstva je ohraničena na svém vnitřním a vnějším povrchu elastinem ve formě vláknitých lamel a je z mechanického hlediska podstatná, zatímco vnitřní intima a vnější adveticia plní jiné fyziologické funkce. Uspořádání svalových buněk medie je spirální až kruhovité a umožňuje změnu průsvitu cév. Ing. Vladimír Lukeš, Katedra mechaniky, ZČU, Univerzitní 22, 306 4, Plzeň, lukes@kme.zcu.cz 2 doc. Dr. Ing. Eduard Rohan, Katedra mechaniky, ZČU, Univerzitní 22, 306 4, Plzeň, rohan@kme.zcu.cz

V. Lukeš, E. Rohan Endothel Elastica interna Tunica intima Tunica media Tunica adventitia Smooth muscle cell Elastica externa Tunica media Obr.. Fotografie a schéma cévní stěny..2. Matematický model cévní stěny V této práci je cévní stěna modelována pomocí dvouškálové metody homogenizace s uvažováním velkých deformací. Použit je hyperelastický materiálový model. Na mikroskopické úrovni je za základní periodicky se opakující jednotku zvolen zjednodušený model hladké svalové buňky, jež se skládá z elastického cytoskeletu a vlastního endoplazmatu. Ve zde uvažované matematické abstrakci sestává základní referenční buňka z hyperelastické matrice a nestlačitelné inkluze, aproximující jen pasivní chování buňky. Cévu považujeme za osově symetrickou a na makroskopické úrovni modelujeme pouze malý výřez stěny s okrajovými podmínkami odpovídajícími osové symetrii. Tento výřez reprezentuje střední svalovou vrstvu artérie. Na výřezu jsou též definována elastická vlákna, která odpovídají elastickým vrstvám na vnějším a vnitřním povrchu stěny cévy. 2. DVOUŠKÁLOVÁ METODA HOMOGENIZACE 2.. Rovnice rovnováhy V aktualizované Lagrangeově formulaci má rovnice rovnováhy následující tvar (viz [3, 4]) Z Ω Lτkl ( u) e (v) Z dx + τ δη ( u; v) dx = Ω = L(v) Z Ω τ e (v) dx, v V0 (Ω), () kde e (u) = 2 ( j ui + i uj ) je lineární část deformačního tenzoru, δη (u; v) = 2 ( i uk j vk + i vk j uk ) je nelineární část deformačního tenzoru, Lτ (u) je Lieova derivace Kirchhoffova napětí, τ je Kirchhoffovo napětí a L(v) je virtuální práce vnějších sil. V0 (Ω) {v [W,2 (Y )]n v = 0 na ΩD } je prostor přípustných posuvů na oblasti Ω. V této práci je použit neo-hookovský hyperelastický materiálový model, napětí je pak dáno vztahem τ = I p + µ 2/3 dev b, (2) kde = det F, b = F F T (F je deformační gradient), µ je materiálový parametr a p je hydrostatický tlak. e-li materiál stlačitelný, lze tlak vyjádřit vztahem závisejícím na parametru γ: p = γ( ). (3)

Matematický model cévní stěny 2.2. Homogenizovaný model V tomto odstavci jsou shrnuty rovnice dvouškálového modelování hyperelastického materiálu s nestlačitelnými inkluzemi, viz [3, 4]. Uvažujeme dvě měřítka, makroskopické v souřadnicích x a mikroskopické v souřadnicích y. Tato měřítka jsou svázána bezrozměrným parametrem ε, y = x/ε. V procesu homogenizace uvažujeme, že heterogenity na mikroškále jsou velmi malé a proto můžeme vzít ε 0 +. Tím získáme limitní model, který je použitelný pro dostatečně malé ε > 0 vystihující konkrétní reálnou situaci. Na makroskopické oblasti definujeme oscilující koeficienty µ, x γ, x µ ε (x) =, γ ε (x) = 0, x T ε γ, x T ε. (4) t Y Γ t T ε m Γ u Obr. 2. Mikroskopická a makroskopická oblast. Rovnici rovnováhy () a konstitutivní vztah pro tlak (3) lze přepsat do tvaru tt Kε D e kl ( u ε )e (v ε ) dx ε p ε div v ε dx + τ ε δη ( u ε ; v ε ) dx + ε kl + T ε ε m p ε uε i vj ε = L(v ε ) x j x i T ε ε m ε m τ ε e (v ε ) ε dx + ε γ ε pε q dx = T ε p ε div v ε, v ε V 0 () (5) q div u ε dx, q L 2 (). (6) Formálně je možné odvodit homogenizovaný model pomocí metody asymptotických rozvojů. Řešení, pole posuvů a tlaků, hledáme ve tvaru asymptotického Y-periodického rozvoje (podle parametru ε) u ε (x) = u 0 (x) + ε u (x, y) +..., p ε (x) = p 0 (x, y) + ε p (x, y) +... (7) ejich dosazením to (5)-(6) a vhodnou volbou testovacích funkcí odvodíme rovnice mikroskopické a makroskopické úlohy deformovatelného tělesa, které se řeší v iteracích. Řešení mikroúlohy (přírůstek tlaku a posuvů) hledáme ve formě charakteristických funkcí χ, π a π u i (x, y) = χ rs i (x, y) s x u 0 r(x), (8) p 0 (x, y) = π rs (x, y) s x u 0 r(x), (9) p 0 (x) = π rs (x) s x u 0 r(x). (0) Toto nám umožňuje definovat a řešit makroskopický a mikroskopický problém odděleně. Mikroskopický problém: Pro pevné x (každý bod ) najít χ H # (Y ), π L 2 (Y ) a π IR takové, že (r, s =, 2, (3)): a Ym (χ rs Π rs, w) + b Ym (χ rs Π rs, w) (π rs, div y w) Ym + ( π rs, div y w) Ym = 0, w H # (Y ), () ( γ πrs, q) + (q, div y χ rs ) Ym (q, div y Π rs ) Ym = 0, q L 2 (Y ), (2) (, div y χ rs ) Ym = T δ rs (3)

V. Lukeš, E. Rohan kde Π rs i y s δ ri, H # (Y ) {v [W,2 (Y )] n v je Y poriodická, Y v(y) dy = 0} je prostor přípustných posuvů a bilineární formy a Ym (u, v) a b Ym (u, v) jsou definovány následovně a Ym (u, v) = b Ym (u, v) = ( D tt K kl ) + p 0 δ δ kl e y kl (u) ey (v) dy, (4) ( ) τ δ kl p 0 δ kj δ li y i u k y j v l dy. (5) Makroskopický problém: Definujeme symetrický (platí kl = kl, ale kl ji kl) tenzor homogenizovaných koeficientů ˆQ kl ˆQ kl [ ( c Y Π kl χ kl, Π χ ) + ( ) ] γ π, π kl + p 0 (δ kl δ il δ δ kl ), (6) Y kde bilineární forma c Y (u, v) = a Y (u, v)+b Y (u, v). Pro známé homogenizované koeficienty ˆQ kl a průměrná napětí Ŝ = τ dy chceme vypočítat makroskopická posunutí u 0 V () taková, že Y ˆQ kl l x u 0 k j x v i dx = L(v) Ŝ e x (v) dx, v = V 0 (). (7) Homogenizované koeficienty ˆQ kl a průměrná napětí Ŝ je nutné znát ve všech bodech makroskopické oblasti. Problém je nutno vzhledem k nelinearitám řešit iteračním algoritmem. 3. ELASTICKÁ VLÁKNA Elastické vrstvy v cévní stěně je možno modelovat zavedením elastických vláken do homogenizovaného modelu. V každém bodě vnitřní a vnější válcových ploch, které vymezují vrstvu medie, definujeme směrový jednotkový vektor vlákna ν, viz obr.3 ve dvou tzv. preferenčních směrech určujících dvě protiběžné spirály. Cauchyho napětí ve vlákně r-tého směru je dáno vztahem [r] σ fib = σ [r] ν [r] j, (8) kde σ je skalár Cauchyho napětí ve směru vlákna. Směrový vektor vlákna, v počáteční konfiguraci značen ν, je průběžně aktualizován pomocí deformačního gradientu F λ [r] ν [r] i Prodloužení ve směru vlákna λ je dáno vztahem = F ν [r] j. (9) λ 2 [r] = δ ki F ν [r] j F kl ν [r] l = ( ν [r]) T C ν [r], (20) kde C = F T F je pravý Cauchy Greenův deformační tenzor. Nyní použeme výše uvedené vztahy a přepíšeme napětí (8) do nového tvaru, ve kterém použeme velikost druhého Piola Kirchhoffovo napětí S (napětí ve směru vlákna) [r] σ fib = σ [r] ν [r] j = λ2 [r] ν [r] j S(λ 2 [r] ). (2) Napětí S je definováno pomocí funkce deformační energie jako (zavedeme θ = λ 2 ) S(θ) = 2 W (θ). (22) θ

Matematický model cévní stěny V tomto modelu byla funkce deformační energie zvolena ve tvaru kubické funkce { W (θ) = E 6 θ3, pro θ 0 0, pro θ < 0. (23) Protože vlákna nekladou při kompresi odpor, je v případě zkrácení vlákna funkce deformační energie rovna nule. Celkový příspěvek napětí od všech vláken v daném bodě je dán součtem jednotlivých napětích ve vláknech, můžeme tedy psát σ fib = r [r] σ fib = r 2 W (λ 2 λ2 [r] ) [r] (λ 2 [r] ) ν [r] j. (24) Podobně jako v případě napětí, vlákna přispějí i svou tuhostí do celkového tenzoru tuhosti soustavy D fib kl = 2 W (λ 2 4 λ 4 [r] ) [r] ν [r] r (λ 2 [r] )2 j ν [r] k ν[r] l, (25) kde se opět sčítá přes všechna vlákna definovaná v daném bodě. Pro numerické řešení jsou vlákna definována ve vybraných uzlech MKP sítě prostřednictvím směrových vektorů. α α Obr. 3. Vlákna definovaná v MKP modelu. 4. NUMERICKÝ PŘÍKLAD Na makroskopické úrovni máme výřez cévní stěny (okrajové podmínky odpovídají osové symetrii) a tento výřez je zatížen uvnitř přetlakem. Na následujícím obrázku vlevo je vidět deformace stěny v případě, kdy nejsou definována žádná vlákna. Vpravo vidíme situaci při stejném silovém působení ale za přítomnosti elastických vláken na vnitřním a vnějším povrchu (viz obr.3, α = 25 ). Na druhém obrázku vidíme makroskopickou oblast a hodnoty napětí, tlaku a deformace na mikrostruktuře ve vyznačeném bodě makrooblasti. Obr. 4. Deformace stěny vlevo model bez vláken, vpravo s vlákny.

V. Lukeš, E. Rohan a) b) Obr. 5. Deformovaná mikroskopická buňka a) celková deformace, b) napětí, c) tlak. c) 5. ZÁVĚRY V příspěvku je prezentován matematický model cévní stěny založený na dvouškálové metodě homogenizace pro velké deformace. Uvedený přístup umožňuje zohlednit charakteristické vlastnosti mikrostruktury a vysledovat jak jejich případná změna ovlivní chování cévu jako celek. Zavedení elastických vláken do homogenizovaného modelu cévní stěny je dalším krokem k realističtějšímu matematickému popisu chování cév, zde rozšířenému o popis elastických lamel ve vrstvě medie. Pro další zdokonalení modelu je nezbytné uvažovat jev kontrakce svalových buněk a jevy spojené s redistribucí kapalných složek hmoty tvořící cévní tkáň v tomto ohledu bude možné navázat na dílčí výsledky z oblasti homogenizace porézních materiálů, viz [5, 6]. Numerické simulace jsou prováděny vlastními programovými prostředky a algoritmy v jazyce C. Poděkování: Příspěvek byl podpořen projektem Fondu rozvoje vysokých škol č. 352/2004/G3 a projektem LN00B084. LITERATURA [] Holzapfel G. A.: Nonlinear Solid Mechanics.. Wiley, Chichester, 2000. [2] Rohan E., Cimrman R.: Sensitivity analysis and material identification for activated smooth muscle, Computer Assisted Mechanics and Engrg. Science 9, 59 54, 2002. [3] Rohan E.: Mathematical Modellinf of Soft Tissues. Habilitation Thesis. ZČU, Plzeň, 2002. [4] Rohan, E. (2003) Sensitivity strategies in modelling heterogeneous media undergoing finite deformation. Math. and Computers in Simul., 6, 26-270. [5] Rohan, E. (2004) Modelling large deformation induced microflow in soft biological tissues. (submitted for publication, 2004). [6] Rohan E., Cimrman R.: Numerical Modelling and Homogenized Constitutive Law of Large Deforming Porous Media. In Proc. of the Seventh International Conference on Computational Structures Technology, B.H.V. Topping and C.A. Mota Soares (Eds.) Civil-Comp Press 2004.