NELINEÁRNÍ MECHANIKA

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BRNĚ FAKULA SAVEBNÍ Doc.Ing.Ivan Němec, CSc. NELINEÁRNÍ MECHANIKA MODUL D7 M1 ZÁKLADY NELINEÁRNÍ MECHANIKY SUDIJNÍ OPORY PRO SUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU SUDIA

2 Doc.Ing.Ivan Němec, CSc., Brno 26 2

3 OBSAH Předmluva ÚVOD Některé matematické pojmy a notace Indexové, tenzorové a maticové zápisy Voigtova notace Voigtovo pravidlo pro tenzory vyššího řádu enzory ransformace tenzorů Invarianty tenzorů ransformace matic prvku Klasifikace nelinearity Základní rovnice, Eulerovské a Lagrangeovské prvky, souřadné systémy. (Základní pojmy nelineární mechaniky)17 2 GEOMERICKÁ NELINEARIA Základní pojmy Souřadné systémy v nelineární mechanice Deformační gradient Rychlost deformace Míry deformace Green Lagrangeův tenzor deformace Euler - Almansiho tenzor deformace Logaritmická míra deformace Infinitezimální tenzory deformace Jiné míry deformace Srovnání tenzorů deformace est na rotaci tuhého tělesa est na maximální a minimální protažení Míry napjatosti Cauchyho napětí První napětí Piola Kirchhoff Druhé napětí Piola Kirchhoff Korotační napětí Kirchhoffovo napětí ransformace mezi napětími Objektivní tok napětí Jaumannův tok napětí ruesdellův tok napětí Energeticky konjugentní míry deformace a napjatosti Dvě formulace geometrické nelinearity v MKP Formulace na běžné konfiguraci (updated Lagrangian) Formulace na referenční konfiguraci (total Lagrangian)

4 3 MAERIÁLOVÁ NELINEARIA Jednoosá napjatost Jednoosá nelineární pružnost Obecná napjatost Sain Venantův Kirchhoffův materiál Hyperelastické materiály Hypoelastické materiály MEODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Picardova iterační metoda Newton Raphsonova iterační metoda Riksova metoda LINEÁRNÍ A NELINEÁRNÍ SABILIA, POSKRIICKÁ ANALÝZA Lineární stabilita Nelineární stabilita Postkritická analýza Seznam použité literatury

5 Předmluva i, kdo čtou tato skripta jsou již zcela jistě slušně obeznámeni s lineární mechanikou. Jsou zvyklí využívat značných výhod linearizace problémů, relativní snadnosti řešení i principu superpozice, který umožňuje snadné vyhledání nejúčinnějších kombinací zatížení pro každou řešenou veličinu. U mnoha konstrukcí předpoklady linearity vedou k rozumným výsledkům. Je však i řada typů konstrukcí, kde lineární řešení by vedlo k nepřijatelně velkým chybám. Záleží na schopnostech a zkušenosti inženýra, aby dokázal zvolit vhodný výpočetní modul i metodu řešení. Je třeba si uvědomit, že nelineárním řešením sice získáme přesnější řešení konkrétní kombinace zatížení, ale vzhledem k neplatnosti principu superpozice ztrácíme možnost automatického hledání nejúčinnějších kombinací zatěžovacích stavů. Často je v praxi nejlépe spočítat lineárně řadu zatěžovacích stavů, nechat automaticky vyhodnotit nejúčinnější kombinace, nelineárně vyřešit několik kombinací zatěžovacích stavů a ze všeho vyřešit obálky maxim a minim. Samozřejmě při nelineárním výpočtu je nutné, aby bylo aplikováno veškeré zatížení, které v daném okamžiku působí. Žádná superpozice není možná. Je třeba mít také na zřeteli, že počáteční stav konstrukce i historie zatěžování mohou být důležité. Při studiu nelineární mechaniky je třeba odvrhnout řadu představ a návyků z lineární mechaniky, včetně tak zažitých pojmů, jako je statická určitost, nebo mechanismus, který je v linearitě neřešitelný, ale nelineární mechanika umožňuje řešení takových úloh. Cílem těchto skript je poskytnout studentům základní orientaci v problematice nelineární mechaniky, tj. osvojení znalosti příslušných matematických notací, definování potřebných pojmů, popis základních formulací nelineární mechaniky a metod řešení soustav nelineárních rovnic. Po absolvování uvedené látky bude student schopen samostatně rozvíjet své znalosti nelineární mechaniky studiem odborných publikací. Předpokládá se, že studenti již zvládli mechaniku v rozsahu probraném v prvních čtyřech ročnících včetně variačních principů a metody konečných prvků. Z matematiky jsou předpokládány znalosti infinitezimálního počtu a vektorové analýzy. Potřebné znalosti z tenzorového počtu jsou součástí těchto skript. Nelineární mechanika, vektor, tenzor, matice, transformace, tenzor deformace, tenzor napjatosti, konstitutivní matice, Lagrange, Green, Euler, Almansi, Hamel, Cauchy, Kirchoff, Piola, Newton, Raphson, Picard, Riks 5

6 1 ÚVOD 1.1 Některé matematické pojmy a notace Indexové, tenzorové a maticové zápisy Připomeňme některé matematické zápisy, se kterými se setká čtenář literatury o nelineární mechanice. Jedná se především o tři druhy zápisů: indexové, maticové a tenzorové. Indexové zápisy V indexových zápisech jsou složky tenzorů, nebo matic specifikovány explicitně. ak například vektor, což je vlastně tenzor prvního řádu, je v indexovém zápise uveden s jedním indexem, jehož hodnota se mění od jedné do počtu dimenzí. Vektor polohy tedy můžeme zapsat x i. Jestliže se ve výrazech některý index opakuje, aplikuje se Einsteinovo sumační pravidlo, tj. výraz představuje součet součinů, přičemž sumace probíhá podle indexu, který se opakuje. enzorové zápisy V tenzorových zápisech indexy nejsou uvedeny. Vzorce se tak lépe pamatují. enzory se označují tučně. Většinou se tenzory 1.řádu označují malými písmeny a tenzory vyššího řádu velkými, ev. řeckými písmeny. V tenzorových zápisech se součet součinů podle vnitřních indexů označuje tečkou, čímž se odlišuje od násobení matic, které se zapisuje bez tečky. Např. AB AB ij jk. Dvojtečkou se v tenzorovém zápise označuje sumace součinů podle dvojice vnitřních indexů, které se opakují ve stejném pořadí. Např. A: B AijBij Maticové zápisy Často se vyskytují v literatuře o metodě konečných prvků. Od tenzorových zápisů se odlišují tím, že se nezapisuje tečka u maticového součinu. Matice se označují tučnými písmeny. Jednorozměrné matice se často označují malými a dvourozměrné velkými písmeny. U jednorozměrných matic předpokládáme, že jsou sloupcové, u dvourozměrných první index označuje řádek, druhý sloupec. Záměnu řádků a sloupců označujeme transpozicí. Povšimněme si, že platí: A A= AA a x A=x A (1.1.1) je-li A čtvercová a x jednorozměrná matice. Pro porovnání jednotlivých zápisů uveďme několik příkladů. a) čtverec velikosti vektoru: 2 r = xx { i i = xx = xx (1.1.2) { { indexová notace tenzorová notace maticová notace

7 b) kvadratická forma: xax i ij i = x A x = x Ax indexová notace tenzorová notace maticová notace Nelineární mechanika (1.1.3) c) konstitutivní vztahy σ ij = Cijklε kl indexová notace (1.1.4) σ = C : ε tenzorová notace (1.1.5) σ = C ε maticová notace (Voigt) (1.1.6) { } [ ]{ } Je třeba si uvědomit, že zatímco ε a σ jsou tenzory druhého řádu a C je σ jsou jednorozměrné matice, které jsou tenzor čtvrtého řádu { ε } a { } z příslušných tenzorů získány pomocí Voigtova pravidla (viz níže) a [ C ] je symetrická čtvercová matice, Voigtův zápis tenzoru čtvrtého řádu C. d) hustota potencionální energie vnitřních sil εijcijklε kl = ε : C : ε = {} ε [ C]{} ε indexová tenzorová maticová notace notace notace (Voigt) (1.1.7) e) Cauchyho rovnice rovnováhy Indexový zápis: δσji + ρbi = (1.1.8) δ xj enzorový zápis: σ + ρb= (1.1.9) ρb jsou objemové síly. (vyslov del ) je operátor nazývaný divergenční operátor, někdy též označený div. Jeho aplikace na tenzor 2.řádu plyne z porovnání indexového a tenzorového zápisu Cauchyho rovnic rovnováhy (rovnice (1.1.8) a (1.1.9)) výsledkem je vektor. Jeho aplikace na vektor je definována indexovým zápisem vi v= div( v) = (1.1.1) xi a výsledkem je skalár. Maticový zápis ( Voigtova notace ): σ + f = (1.1.11) { } Operátor má ve Voigtově notaci stejný význam jako gradient v tenzorové notaci. Uveďme jej v explicitní formě: 7

8 x z y = y z x z y x (1.1.12) Pro lepší zapamatování upozorňujeme na symetrii levé a pravé poloviny matice a na schéma postupných derivací, které se podobá Voigtovu pravidlu: sym. sym. Operátor můžeme využít i pro geometrické rovnice v lineární mechanice: ε = u (1.1.13) { } f) Gradient Používá se stejného operátoru (del) jako u divergence, ale bez tečky za operátorem pro vektor a tenzor. Gradient se také označuje grad. Gradient aplikovaný na skalár je definován výrazem a a a a= grad ( a) = i + j+ k (1.1.14) x1 x2 x3 a výsledkem je vektor. i, j, k jsou jednotkové vektory ve směru os x1, x2, x 3. V aplikaci na skalár se operátor také nazývá Hamiltonův operátor. Aplikován na vektorové pole je nazýván gradient vektorového pole. Naznačuje postupné derivování podle všech souřadnic. Ukažme jeho aplikaci na vektor v v vxx, vxy, v grad v= = vyx, v (1.1.15) x yy, Připomeňme, že podle proměnné za čárkou v dolním indexu se derivuje. Gradientem vektoru je tenzor 2. řádu. Upozorňujeme, že v= grad ( v) v= div( v ). Výsledkem divergenční operace v je skalár, který je součtem derivací všech složek vektoru v podle příslušných souřadnic. Poznámka : V některé literatuře je symbolem označen levý gradient, který je v aplikaci na vektor transpozicí zde užívaného operátoru. 8

9 1.1.2 Voigtova notace Nelineární mechanika V metodě konečných prvků jsou často tenzory druhého řádu zapsány jako sloupcové matice. omuto druhu zápisu říkáme Voigtova notace. Proceduru na konvertování symetrického tenzoru druhého řádu na sloupcovou matici nazýváme Voigtovým pravidlem. Voigtovo pravidlo závisí na tom, jestli tenzorem je kinetická veličina, jako např. napětí, nebo kinematická veličina, jako např.deformace. Pro kinetické tenzory jako je tenzor napětí σ platí: Pro 2D σ11 σ1 σ x σ11 σ12 σ σ22 σ2 σ y {} σ21 σ = = = σ (1.1.16) 22 σ 12 σ 3 σ xy oto pravidlo můžeme znázornit schématem Pro 3D σ11 σ σ1 σ σ x σ 22 2 y σ11 σ12 σ13 σ 33 σ 3 σ z σ21 σ22 σ 23 = = = σ γ 23 σ 4 yz σ31 σ32 σ 33 σ γ 31 σ 5 zx σ γ 12 σ 6 xy oto pravidlo můžeme znázornit schématem {} σ σ (1.1.17) Všimněme si zákonitosti, že zatímco u diagonálních členů jsou prvky Voigtova vektoru řazeny podle indexů (1,2,3) u mimodiagonálních členů jsou členy řazeny podle indexu, který v příslušném členu chybí. Přiřazení indexů můžeme zapsat do tabulek, kde i, j jsou indexy tenzoru a a je index Voigtova zápisu. 2D 3D i j a a i j Pro kinematické tenzory jako je tenzor deformací ε platí stejné schéma jako u kinetických tenzorů, ale mimodiagonální členy tenzoru musí být u Voigtovy notace vynásobeny dvěma. 9

10 2D : 3D : ε ε ε ε ε ε ε (1.1.18) 11 1 x ε22 ε2 εy ε21 ε = = = 22 2ε 12 ε 3 γ xy ε ε 11 ε1 ε {} ε x ε 22 2 y ε11 ε12 ε13 ε 33 ε3 ε z ε21 ε22 ε 23 = = = 2ε γ 23 ε 4 yz ε31 ε32 ε 33 2ε γ 31 ε 5 zx 2ε γ 12 ε 6 xy ε ε (1.1.19) {} Jednorozměrná matice se často nazývá vektor, ale je třeba si uvědomit, že se nejedná o vektor ve fyzikálním významu. Rozdíl je v transformaci. Fyzikální vektor je vlastně tenzor 1.řádu a při transformaci se násobí tenzorem rotace (maticí směrných kosinů). Pro transformaci vektorů napjatosti a deformace zapsaných ve Voigtově notaci je nutno použít složitější transformační matici Voigtovo pravidlo pro tenzory vyššího řádu Prakticky významná je konverze tenzorů čtvrtého řádu do Voigtovy notace čtvercové matice. Konstitutivní vztahy můžeme za předpokladu lineární pružnosti zapsat σ ij = Cijkl ε kl v indexovém zápisu nebo σ =C:ε v tenzorovém zápisu kde C ijkl resp. C je tenzor čtvrtého řádu. Voigtův maticový zápis by bylo možno zapsat { σ } = [ C]{ ε } nebo σ a = Cab εb, kde pro a ij a b kl použijeme stejného pravidla jako u tenzorů 2. řádu. Voigtova notace konstitutivní matice pro lineárně pružnou úlohu rovinné napjatosti může být zapsána následovně: C11 C12 C13 C1111 C1122 C1112 [ C ] = C21 C22 C 23 C2211 C2222 C = 2212 (1.1.2) C31 C32 C 33 C1211 C1222 C 1212 Indexy v první matici příslušejí Voigtově notaci, indexy ve druhé matici odpovídají indexovému zápisu tenzoru 4.řádu. Pro verifikaci výše uvedené konverze ukažme např. výraz pro σ 12 v indexovém zápise 1

11 σ12 = C1211 ε11 + C1212 ε12 + C1221 ε21 + C1222 ε22 (1.1.21) Ve Voigtově notaci můžeme vztah napsat následovně: τ xy = σ = C ε + C ε + C ε (1.1.22) Nelineární mechanika Můžeme ukázat, že oba vztahy jsou ekvivalentní uvědomíme-li si, že γ = ε = ε + ε = 2ε a symetrii tenzoru C, tedy C1212 = C1221 = C33 xy enzory Vzhledem k tomu, že jde o pojem často užívaný v literatuře o nelineární mechanice neuškodí, uvedeme-li si několik informací ransformace tenzorů enzor je matematická entita, která má jisté vlastnosti. Nejpodstatnější vlastností tenzoru je to, jak se transformují při přechodu z jedné souřadné soustavy do jiné. Mimořádně významnou roli hraje rotace tělesa jako tuhého celku. Pohyb tělesa jako tuhého celku sestávající z translace a rotace kolem počátku souřadnic, můžeme popsat rovnicí x=r X+x =RX+x (1.1.23) nebo v indexové notaci xi = RX ij j + xi (1.1.24) kde x je vektor posunutí počátku a R je tenzor rotace zvaný též matice rotace. Vzhledem k tomu, že prvky tenzoru R jsou kosiny úhlů, které spolu svírají jednotlivé osy obou souřadných soustav, nazývá se tenzor R také maticí směrových kosinů. Explicitní vyjádření této matice můžeme uvést v tomto tvaru: cxx cxy cxz R = cyx cyy c yz (1.1.25) czx czy c zz kde c ij znamená kosinus, který spolu uzavírají osy i a J ( i = x, y, z, J = X, Y, Z). Výhodou tohoto zápisu je skutečnost, že kosinus je sudá funkce a není třeba definovat příslušné úhly jako orientované. ato matice je ortogonální, to znamená, že její inverze je dána její transpozicí 1 R = R. Je možné to jednoduše ukázat z předpokladu, že délka (tedy i její čtverec) zůstává konstantní. xx = XR RX tenzorová notace (1.1.26) X xx= XRR maticová notace (1.1.27) 1 Z výše uvedeného předpokladu plyne, že RR= I a tedy R = R. Vzhledem k ortogonalitě matice R nazýváme rotaci ortogonální transformací. 11

12 Na fyzikální vektor (rozlišujme od pojmu vektor používaný pro jednorozměrné matice) je možno se dívat jako na tenzor 1. řádu. Skalár je pak tenzor nultého řádu. Jestliže není uvedeno jinak rozumíme pojmem tenzor tenzor 2.řádu, který může být zapsán do čtvercové matice. enzory užívané v mechanice kontinuace jsou především tenzor napjatosti (od nějž je odvozeno i slovo tenzor) a tenzor deformace. Pro rotaci tenzoru 2.řádu můžeme také využít již uvedeného tenzoru rotace R. Platí-li pro rotaci vektoru vztahy: r = R r nebo r = Rr, (1.1.28) potom pro rotaci tenzoru druhého řádu σ můžeme psát σ =R σr nebo σ = RσR (1.1.29) Ve shodě s výše uvedenou transformací jsou r a σ v souřadnicích X a r a σ v souřadnicích x. Pokud pracujeme ve Voigtově notaci můžeme uvést transformační matici [ ], která vyhovuje vztahu { ε } = [ ]{ ε } (1.1.3) [ ] cxx cxy cxz cxx cxy cxycxz cxzc xx cyx cyy cyz cyx cyy cyycyz cyzcyx czx czy czz czx czy czyczz czzc zx = 2cxX cyx 2cxY cyy 2cxZcyZ cxx cyy + cyx cxy cxycyz + cyycxz cxzcyx + cyzcxx 2cyX czx 2cyYczY 2cyZczZ cyx czy + czx cyy cyyczz + czycyz cyzczx + czzc yx 2czX cxx 2czYcxY 2czZcxZ czx cxy + cxx czy czycxz + cxyczz czzcxx + cxzczx (1.1.31) Matice [ ] není ortogonální, takže platí: 1 {} [ ] { } ε = ε (1.1.32) Uvažme, že velikost virtuální práce vnitřních sil je nezávislá na souřadné soustavě. Potom můžeme psát { } { } { } { } { } [ ] { } δε σ = δε σ = δε σ (1.1.33) Z toho plyne vztah pro transformaci napětí {} σ = [ ] { σ } a { } [ ] { } σ = σ (1.1.34) Invarianty tenzorů V mechanice kontinuace se setkáváme i s tenzorem 4.řádu. Je to tenzor tuhosti materiálu C daný kontitutivní rovnicí σ = C ε (1.1.35) ij ijkl kl nebo v tenzorové notaci σ = C : ε (1.1.36) 12

13 Pro transformaci tohoto tenzoru mezi konfiguracemi X a x platí obecně vztah: ρ ( X) X X i j Xk Xl Cijkl ( X) = Cpqrs ( x) (1.1.37) ρ ( x) xp xq xr xs ρ ( x) x x i j xk xl Cijkl ( x) = Cpqrs ( X) (1.1.38) ρ X X X X X ( ) p q r s ρ ( X ) a ρ ( x ) je hustota materiálu v konfiguracích X a x, C je konstitutivní tenzor v souřadnicích X a C je konstitutivní tenzor v souřadnicích x. Jedná-li se pouze o rotaci tělesa jako tuhého celku (nedochází k deformaci), je možné transformační vztah zjednodušit. Hustota v obou konfiguracích bude X i stejná a derivacemi typu budou kosiny úhlů, které osy X i a x p svírají xp X i tedy = Cip x p Můžeme tedy psát: Cijkl ( X) = cipcjqckrclscpqrs ( x ) nebo C x = c c c c C X (1.1.39) ( ) ( ) ijkl ip jq kr ls pqrs Pracujeme-li ve Voigtově rotaci, pak bychom mohli transformaci konstitutivní matice [ C ] napsat využitím transformační matice [ ] z rovnice, uvážíme-li přitom, že hustota přetvářené práce (resp. jejího dvojnásobku) nemůže záviset na volbě souřadnic. tedy platí Obdobně platí ( 1 ) [ ][ ] 1 { } ( 1 ) [ ][ ] 1 { } { } { } {} { } {} [ ]{} [ ] { } 2π = ε σ = ε C ε = ε C ε = [ ] [ ][ ] { } [ ] = ε C ε = ε C ε 1 Nelineární mechanika (1.1.4) C = C (1.1.41) ( ) [ ]{} { ε} C { ε} [ ]{} ε C ε = {} ε [ ] [ C][ ]{} ε = {} ε [ C]{} ε 2π = = = tedy [ ] [ ] [ ] (1.1.42) C = C (1.1.43) Další významnou vlastností tenzoru 2.řádu jsou tzv. invarianty, tj. veličiny, které jsou nezávislé na volbě souřadné soustavy. 13

14 Obecný tenzor 2.řádu A má tři invarianty I A = A součet prvků hlavní diagonály ( ) 1 ( A) ( ) 2 ( ) 1 ii 2 { } I = A A A 2 ii ij ji I 3 A = det A determinant matice součet hlavních subdeterminantů 2.řádu Je-li tenzor A symetrický a λ1, λ2, λ 3 jsou vlastní čísla matice A, potom můžeme invarianty napsat ve tvaru I1( A ) = λ1+ λ2 + λ3 (1.1.44) I2( A ) = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 (1.1.45) I A = λ λλ (1.1.46) ( ) ransformace matic prvku Uvažujme, že pro transformaci parametrů deformace z jedné souřadné soustavy do jiné platí následující vztahy (matice není ortogonální): 1 d=d d a d=d d (1.1.47) K parametrům deformace d a d odpovídají příslušné uzlové síly f a f. Vzhledem k nezávislosti práce sil f na posunutích d na volbě souřadné soustavy musí platit: ( ) d f = d d f =d d f =d f (1.1.48) Ze vztahu plyne výraz pro transformaci uzlových sil f=f a f= f (1.1.49) d d Pro odvození transformačního vztahu pro matici tuhosti prvku uvažme, že práce vnitřních sil prvku je nezávislá na souřadné soustavě. Můžeme tedy psát tedy int W = dkd= dkd= d d dkd (1.1.5) K= K (1.1.51) d d Podobně platí int W = dkd= dd Kd d= dkd (1.1.52) tedy K= K (1.1.53) 1 d d Pro matici hmotnosti M platí stejné transformační vztahy jako pro matici tuhosti. 14

15 Otázky Nelineární mechanika 1. Co je to Voigtova notace tenzoru 2. a 4. řádu? 2. Jaké jsou základní vlastnosti tenzorů 2. řádu? 3. Jak se transformují tenzory 2. a 4. řádu? Shrnutí Probrali jsme základní matematické zápisy potřebné ke studiu odborné literatury týkající se nelineární mechaniky. Definovali jsme pojem tenzoru se zvláštním zřetelem na tenzory 2. a 4. řádu, se kterými se setkáváme v mechanice. Ukázali jsme principy transformace matic konečných prvků. 1.2 Klasifikace nelinearity. V mechanice těles je možno rozlišovat dva typy nelinearit : Geometrická nelinearita zdrojem nelinearity jsou tzv. geometrické rovnice, tj. vztahy mezi posunutím a přetvořením. Materiálová, nebo také fyzikální nelinearita zdrojem nelinearity jsou nelineární konstitutivní vztahy (fyzikální rovnice) tj. vztahy mezi napětím a přetvořením. Do tohoto druhu nelinearit je možno logicky začlenit i nelinearity způsobené nelineárním chováním podpor (např. vylučování tahu v podporách či podloží). Ukažme si zdroje nelinearity na jednoduchém případu pružně vetknuté konzoly l F φ F. Obr.1.1 Pružně vetknutá konzola Moment ve vetknutí je v lineárním řešení dán výrazem : M = F l (1.2.1) Geometricky nelineární vztah můžeme s uvážením rovnováhy na deformované konstrukci psát M = F l cosϕ (1.2.2) 15

16 Je-li tuhost vetknutí lineární, můžeme vztah mezi pootočením ϕ a momentem napsat M = K ϕ ϕ (1.2.3) kde K ϕ je konstantní tuhost podpory nezávislá na pootočení ϕ. Vyřešíme-li pootočení ϕ lineárně dostaneme : M F l ϕ = = (1.2.4) K K ϕ ϕ U geometricky nelineárního řešení dostaneme vztah mezi silou F a pootočením ϕ následovně : Kϕ ϕ F = (1.2.5) l cosϕ Ukažme si oba vztahy na grafu : F nelineární π K 2 l ϕ lineární Obr.1.2 Lineární a nelineární vztah mezi sílou a pootočením u pružně vetknuté konzoly Z obrázku je patrna nesmyslnost lineárního řešení při větším pootočeníϕ. Fyzikální nelinearitu bychom do příkladu zavedli nelineárním vztahem mezi momentem a pootočením : M = Ks ( ϕ ) ϕ, (1.2.6) kde tuhost vetknutí K s je funkcí pootočení ϕ. V tomto případě je Ks ( ϕ ) tzv. sečnová tuhost. Pokud bychom tento vztah definovali diferenciálně dm = K ( ϕ ) dϕ (1.2.7) šlo by o tzv. tečnou tuhost. π 2 φ 16

17 M s t φ Obr.1.3 Nelineární pracovní diagram pružného vetknutí Na pracovním diagramu vetknutí je sečnová tuhost K S dána sklonem (směrnicí) sečny s a tečná tuhost K sklonem (směrnicí) tečny t. Otázky 1. Jaké jsou základní zdroje nelinearity? 1.3 Základní rovnice, Eulerovské a Lagrangeovské prvky, souřadné systémy. (Základní pojmy nelineární mechaniky) Celá mechanika je založena na pěti základních systémech rovnic: 1. Zachování hmoty 2. Zachování hybnosti (lineární i úhlové) 3. Zachování energie 4. Konstitutivní vztahy 5. Vztahy mezi posunutím a deformací (také nazývané jako míra deformace) Navíc je vznesen též požadavek na spojitost neboli kompatibilitu deformací. Např. rovnice rovnováhy je možno chápat jako zvláštní případ zákona o zachování hybnosti při vyloučení setrvačných sil. yto rovnice pak přejdou v Cauchyho rovnice rovnováhy. Poslední dva systémy rovnic mohou být nelineární, pak hovoříme o nelinearitě fyzikální nebo geometrické. Numerické metody používané pro řešení nelineárních úloh jsou však společné, tedy nečiní principielní problém řešíme-li nelinearitu komplexně, tedy současně fyzikální i geometrickou. Pro řešení geometrické nelinearity je třeba nově definovat některé pojmy. Obecně prvky (sítě) v geometrické nelinearitě mohou být geometricky neměnné, nebo se mohou deformovat současně s pohybem hmoty. 17

18 Z tohoto hlediska rozlišujeme prvky (sítě) na Eulerovské, které nemění svou geometrii a hmota přechází z jednoho prvku do druhého a Lagrangeovské, které se deformují společně s hmotou (jako by byly na ni nakresleny). Zatímco v mechanice plynů, nebo kapalin je mnohdy nutno použít Eulerovské sítě, protože může dojít k libovolným turbulencím, v mechanice těles jsou v oblibě Lagrangeovské sítě. V dalším se budeme soustředit výhradně na ně. Eulerovská síť Γ Ω Ω Γ Obr.1.4 Eulerovská síť konečných prvků Lagrangeovská síť Γ Ω Γ Ω Obr.1.5 Lagrangeovská síť konečných prvků Otázky 1. Jaké jsou základní systémy rovnic v mechanice těles? 2. Co jsou Eulerovské a Langrangeovské sítě MKP? 18

19 2 GEOMERICKÁ NELINEARIA 2.1 Základní pojmy Souřadné systémy v nelineární mechanice Je účelné definovat dva základní souřadné systémy používané v geometricky nelineární analýze. Prostorové ( nebo také Eulerovské event. globální ) souřadnice budeme označovat x Určují polohu bodu v prostoru. Materiálové ( nebo také Lagrangeovské event. lokální ) souřadnice, které budeme označovat X, označují bod tělesa. Každý materiálový bod má jedny materiálové souřadnice, které jsou obvykle totožné s prostorovými souřadnicemi v počáteční konfiguraci tělesa. Posunutí bodu v prostoru je potom definováno vektorem u( X ) =x X (2.1.1) Platí také x=x+u (2.1.2) y,y Γ Γ Ω u Ω x X Obr. 2.1 Nedeformovaná (počáteční) a deformovaná (běžná) konfigurace tělesa. x,x Deformační gradient Deformační gradient F je definován vztahem x u F= = x= I+ = I+ u X X (2.1.3) 19

20 V matematice je deformační gradient také nazýván Jacobiho matice transformace. Povšimněme si, že deformační gradient je totožný s materiálovým gradientem x. Pro důležitost deformačního gradientu jej rozepíšeme v expandované formě. x1 x1 x 1 x x x X1 X2 X 3 X Y Z x2 x2 x 2 y y y F x grad x = = = X1 X2 X 3 X Y Z x z z z 3 x3 x 3 X X Y Z 1 X2 X 3 (2.1.4) u1 u1 u X1 X2 X3 u2 u2 u 2 = 1+ X1 X2 X3 u3 u3 u 3 1+ X1 X2 X 3 Symbolem značíme operátor gradientu vektorového pole v materiálových souřadnicích (materiálový gradient) a symbolem operátor gradientu vektorového pole v prostorových souřadnicích (prostorový gradient). Vztah mezi původní a výslednou konfigurací, který je dán deformačním gradientem F, lze rozdělit na rotaci danou tenzorem rotace R a deformaci danou buď pravým stretch tenzorem U, nebo levým stretch tenzorem V. Záleží, jestli je v infinitezimální části tělesa myšleně provedena nejdříve rotace a potom deformace, nebo naopak. Vztahy mezi deformačním gradientem F a tenzory U a V můžeme tedy popsat následující rovnicí: F= R U= V R (2.1.5) edy buď je provedena nejdříve deformace U a potom rotace R, nebo nejdříve rotace R a potom deformace V. enzory U a V jsou symetrické ( U = U a V = V). Lze ukázat, že platí U= F F= C a V= FF = B (2.1.6) C a B je pravý, resp. levý Cauchy-Greenův deformační tenzor. Obecně platí, že každou regulární čtvercovou matici lze rozložit na součin matice rotace R a symetrické matice. ento rozklad deformačního gradientu je nazýván polární dekompozice. Jestliže dx je infinitezimální hmotná úsečka v původní konfiguraci, tj. v materiálových souřadnicích, potom odpovídající úsečka v běžné (deformované) dx konfiguraci bude dána vztahem dx=f dx (2.1.7) Determinant deformačního gradientu F je označen J. V matematice je také nazýván Jakobian transformace. J = det F (2.1.8) ( ) 2

21 Jakobian transformace je užíván v integrálech ve vztazích mezi různými konfiguracemi tělesa. Např. f x dω= f X JdΩ (2.1.9) Ω ( ) ( ) Ω Povšimněme si, že platí 1 X F = x (2.1.1) Platí totiž = a X x (2.1.11) 1 FF =I (2.1.12) Proces mapování z původní konfigurace na deformovanou konfiguraci se v literatuře nazývá push forward. x= ϕ X, t (2.1.13) ( ) Opačný proces, tedy mapování z běžné (deformované) konfigurace na původní se nazývá pull back. 1 X= ϕ x,t (2.1.14) ( ) Nelineární mechanika Rychlost deformace Definujme nejdříve gradient rychlosti L. v L= = v= grad v, (2.1.15) x u kde v je vektor rychlosti ( v= = u&, tečka značí derivaci podle času) t enzor L může být rozložen na symetrickou a nesymetrickou (skew symetric) část. 1 1 L= ( L+ L ) + ( L L ) = D+ W (2.1.16) 2 2 Rychlost deformace (rate-of-deformation) D je tenzor definovaný jako symetrická část gradientu rychlosti L. 1 D= ( L+ L ) (2.1.17) 2 Druhou část tenzoru L označíme jako spin W. 1 W= ( L L ) (2.1.18) 2 enzor rychlosti deformace D může být vyjádřen také pomocí Greenova tenzoru deformace (2.1.24). Uvažme, že derivace deformačního gradientu F podle času je materiálový gradient rychlosti x v F& = = = v (2.1.19) t X X S využitím tohoto vztahu můžeme psát v v X 1 L= = = F& F (2.1.2) x X x Dosaďme tento vztah do rovnice (2.1.17) 21

22 1 1 1 D= ( L+ L ) = ( F & F + F F & ) 2 2 (2.1.21) Derivujme nyní Greenův tenzor deformace daný vzorcem (2.2.12) podle času 1 1 E& = ( F F I) = ( F F& + F& F) (2.1.22) 2 t 2 Nyní rovnice (2.1.21) vynásobíme zleva F a zprava F. 1 F D F= ( F F & + F & F) = E & 2 (2.1.23) 1 Vynásobením této rovnice F zleva a F zprava dostaneme 1 D= F E & F (2.1.24) Otázky 1. Jaké souřadné systémy používáme v geometrické nelinearitě? 2. Co je deformační gradient? 3. Co je rychlost deformace? Shrnutí Definovali jsme základní pojmy, se kterými budeme pracovat v geometrické nelinearitě. Nejdůležitější z nich jsou deformační gradient a rychlost deformace. 2.2 Míry deformace V lineární mechanice je používán tenzor deformace ε daný vztahem ve Voigtově notaci {} ε = [ ] u (2.2.1) Operátor byl definován ve vzorci (1.1.12) Ukážeme si, že jde o přibližný vztah, který platí s dostatečnou přesností pouze pro malé rotace a malé deformace. Uveďme zde, že rotace má v nelineární mechanice fundamentální význam a je největším zdrojem problémů. V lineární mechanice platí princip superpozice. Důsledkem je, že pro všechny veličiny platí komutativní zákon. Posunutí i rotace lze považovat za vektory. V případě rotace to však platí jen přibližně. Prakticky do cca.,1 rad. Pro větší rotace již princip superpozice, resp. komutativní zákon pro rotaci nelze aplikovat. Ukažme si to na názorném příkladu. Představme si např. knihu v rovině x, y. Otočme ji nejdříve kolem osy x a potom kolem osy y vždy o úhel 2 π. Potom pokus opakujme s obráceným pořadím rotací. V obou případech dostaneme zcela rozdílné výsledky. Přibližnost lineárního vztahu mezi deformacemi a posunutími si ukažme na vláknu o původní délce ds. Bez ztráty obecnosti zaveďme souřadný systém x s počátkem v počátku vlákna a osou x v původním směru vlákna. Délku tohoto vlákna na deformovaném tělese označme ds. 22

23 ds du x ds dv dw y z Obr. 2.2 Protažení vlákna ds Vektor posunutí počátku vlákna označme u, konec vlákna se posune o vektor u+ du. S použitím vzorce pro tělesovou úhlopříčku kvádru o rozměrech ds + du, dv, dw můžeme vyjádřit novou délku vlákna vztahem ( ) ds = ds + du + dv + dw (2.2.2) Zavedeme-li označení λ pro novou délku jednotkového vlákna můžeme pro tuto veličinu psát vztah ds u v w λ = 1+ εx = = = ds x x x. (2.2.3) u u v w = x x x x Uvažme binomickou větu 2 3 A A A 2 1+ A = K pro A < a vezměme do úvahy pouze první dva členy. Potom můžeme psát: u 1 u v w λ = x 2 x x x a dále pro ε x u 1 u v w εx = λ 1 = x 2 x x x (2.2.4) (2.2.5) Vezmeme-li, přesněji, do úvahy 3 členy binomického rozvoje a zanedbáme-li třetí a vyšší mocniny derivací složek posunutí, dostaneme zpřesněný výraz pro protažení 2 2 u 1 v w λ = (2.2.6) X 2 x x a tedy 23

24 2 2 u 1 v w ε x = + + X 2 x x (2.2.7) Pro 1D problém by se tedy tento zpřesněný výraz rovnal vzorci pro ε x z lineární pružnosti u ε x = (2.2.8) X Nastínili jsme problematiku měr deformace a nyní si uveďme některé používané míry a porovnejme, jak vyhovují našim požadavkům, které jsou především takové, aby větší deformaci odpovídala větší míra deformace a aby dokonale tuhé těleso mělo nulovou deformaci Green Lagrangeův tenzor deformace E ento tenzor deformace má jako základ původní nedeformovanou konfiguraci. Derivace jsou tedy prováděny podle materiálových souřadnic. Z binomického rozvoje druhé odmocniny bere první dva členy, tedy k lineárnímu výrazu známého z lineární mechaniky přibývají kvadratické členy. Uveďme několik způsobů zápisu definice Green - Lagrangeova tenzoru deformace. Indexový zápis: 1 u u i j uk u k 1 Eij = + + = ( ui, J + uj, I + uk, Iuk, J ) (2.2.9) 2 X j Xi Xi X j 2 kde ui uij, = (2.2.1) X j S využitím deformačního gradientu F může být výraz pro Green Lagrangeův tenzor deformace zapsán následujícím způsobem: 1 ( Eij = Fik Fkj δij ) (2.2.11) 2 kde δ = 1, pro j i δ = δ ij je zde Kroneckerovo delta ( ii ij ) enzorový, resp. maticový zápis: u u u u E= ( F F I) = ( F F I) = ( C I) = X X X X (2.2.12) C= F F je pravý Cauchy Greenův deformační tenzor (right Cauchy Green deformation tensor). S využitím materiálového gradientu vektoru posunutí u vypadá vzorec následovně: 24

25 (( ) ( ) ) 1 E= u + u+ u u (2.2.13) 2 u je gradient vektorového pole posunutí v materiálových souřadnicích. Nelineární mechanika Euler - Almansiho tenzor deformace e ento tenzor deformace (který je také nazýván Almansi Hamelův, nebo Eulerovský) je vztažen k výsledné, deformované konfiguraci. Derivace jsou prováděny v prostorových souřadnicích. Indexový zápis: V indexové notaci můžeme zapsat definici Euler Almansiho tenzoru deformace takto: 1 u u i j uk u k 1 e = + = ( ui, j+ uj, i uk, iuk, j), (2.2.14) ij 2 xj xi xi x j 2 ui kde ui, j=, x j nebo s využitím deformačního gradientu F 1 1 eij = ( δij Fik Fkj ) (2.2.15) 2 enzorový, resp. maticový zápis: e= ( I F F ) = ( I F F ) = ( I B ) = x x x x (2.2.16) B= F F je levý Cauchy - Greenův deformační tenzor (Cauchy strain tensor, nebo Finger deformation tensor). u u u u S využitím prostorového gradientu vektorového pole posunutí, lze vzorec napsat následovně 1 (( ) e= u + u ( u) u ) (2.2.17) 2 Mezi tenzory deformace E a e platí následující vztahy : 1 e=f E F (2.2.18) E=F e F (2.2.19) První z těchto rovnic je v literatuře nazývána operace push forward pro Greenovu deformaci, druhá pak operace pull back pro Almansiho deformaci. Platnost vztahů si lze jednoduše ověřit dosazením za tenzory deformace do pravých stran z rovnic (2.2.12) resp. (2.2.16) a uvážením, že F F =I a 1 FF =I. edy F E F = ( F F F F F I F ) = ( I F F ) =e 2 2 (2.2.2) F e F= ( F I F F F F F ) = ( F F I ) =E (2.2.21)

26 Nebo také 1 F e F=F F E F F=E (2.2.22) Logaritmická míra deformace ε n ato míra je definována přírůstkově a je v každém přírůstku vztažena k běžné konfiguraci. Uveďme zde její vyjádření pro 1D. l dl dl l l l dε ε [ ln l] ln ln l ln = = = = = = ln ( 1+ ε ) n n l x l l l l (2.2.23) kde ε xje lineární deformace, l je počáteční délka a l je výsledná délka. ε >,5. ato míra deformace je vhodná pro velké deformace ( ) U konstrukčních materiálů není dosahováno tak velkých deformací, takže použití této míry deformace není pro stavební konstrukční materiály nutné. x Infinitezimální tenzory deformace Je-li deformace tak malá, že lze zanedbat členy 2.řádu v Greenovu tenzoru deformace E dostaneme tzv. infinitezimální tenzor deformace, který je totožný s lineárním tenzorem deformace ε. V indexové notaci můžeme tedy psát 1 u u i j 1 εij = + = ( ui, J + uj, I ) (2.2.24) 2 Xj X i 2 V maticové, resp. tenzorové notaci můžeme výraz pro ε zapsat následujícími způsoby : 1 u u 1 1 ε = + = ( u+ ( u) ) = ( F+F ) I (2.2.25) 2 X X 2 2 Připomeňme, že je materiálový gradient a ε je tedy symetrická část u. Je třeba také definovat infinitezimální tenzor deformace definovaný v prostorových souřadnicích ê. Výrazy jsou obdobou vztahů pro ε derivace ale jsou prováděny v prostorových souřadnicích x. V indexové notaci můžeme psát 1 u u eˆ = + = ( u+ ( u) ) = I ( F + F ) (2.2.26) 2 x x 2 2 Při odvození posledního výrazu bylo využito vztahu u= x X. edy u = I F x 1 (2.2.27) 26

27 Připomeňme, že je prostorový gradient, tenzor ê je tedy symetrická část prostorového gradientu posunutí u. Význam infinitezimálního tenzoru ê plyne z faktu, že tento tenzor deformace je energeticky konjugentní s Cauchyho napětím σ (jak bude též uvedeno v kapitole 2.4.). Nelineární mechanika Jiné míry deformace Jako míry deformace lze též použít i některé jiné tenzory, např. deformační gradient F levý Cauchy Greenův deformační tenzor B= F F pravý Cauchy Greenův deformační tenzor C= F F Srovnání tenzorů deformace est na rotaci tuhého tělesa Pro posouzení různých měr deformace je důležité zjistit, jak se chovají při pohybu tělesa jako tuhého celku, kdy je aplikována pouze translace a rotace. Je možné snadno ukázat, že všechny uvedené míry deformace poskytují nulovou deformaci při translaci tělesa. Uvažme nyní rotaci tuhého tělesa. Uveďme jednoduchý příklad rotace tuhého tělesa. Předpokládejme otočení tuhého tělesa o 9 stupňů. X Y o 9 x, y Snadno lze ukázat, že při otočení tělesa o 9 za předpokladu jeho dokonalé tuhosti budou platit následující vztahy pro složky posunutí : u = X Y v= X Y Protože platí známý vztah, x= X+ u získáme dosazením vztahy mezi prostorovými a materiálovými souřadnicemi. x = Y y = X 27

28 Deformační gradient F potom bude mít tvar x x X Y 1 F = = y y 1 X Y Jeho invertováním získáme 1 1 F = 1 Dosazením do výrazů pro Greenův a Almansiho tenzor deformace zjistíme, že oba tyto tenzory jsou nulové E= ( F F I) = = I e= ( I F F ) = I = Ukažme si nyní obecně, že obě kvadratické míry deformace požadavku na nulovou deformaci při rotaci jako tuhého celku vyhovují. Pro translaci a rotaci tělesa jako tuhého celku platí transformační rovnice x=r X+x (2.2.28) Potom je evidentní, že platí x F= = R (2.2.29) X Dosadíme-li do vztahu pro Green Lagrangeův tenzor deformace tenzor rotace místo deformačního gradientu dostaneme 1 1 E= ( R R I) = ( I I) = (2.2.3) 2 2 Green Lagrangeův tenzor deformace tedy vyhovuje důležitému požadavku na míru deformace, tedy aby míra deformace byla nulová pro tuhá tělesa. Dosadíme-li místo deformačního gradientu tenzor rotace do výrazu pro Euler Almansiho tenzor deformace dostaneme e= ( I R R ) = ( I R R ) = (2.2.31) 2 2 Platí totiž, že je-li matice rotace R ortogonální, je ortogonální i matice R. edy Green Lagrangeův i Euler Almansiho tenzory deformace vyhovují požadavku na nulovou deformaci při rotaci jako tuhého celku est na maximální a minimální protažení Uvažme tyč o počáteční délce l a délce po protažení l. Srovnání měr deformace uspořádejme do tabulky: 28

29 Míra deformace Výraz pro 1D l = l = Lineární ε l l = ε = ε = 1 l Green Lagrange 1 l l E = E = l 1 E = 2 Euler Almansi logaritmická e = ε 1 2 l l l l n = ln l 1 e = e = 2 ε n = ε n = Z tabulky vidíme, že požadavku na nekonečné protažení a zkrácení vyhovuje pouze logaritmická míra deformace. Lineární a Green Lagrangeův tenzor nevyhovují při nekonečném zkrácení a Euler Almansiho tenzor nevyhovuje při nekonečném protažení. Ukažme si nyní, jak různé míry deformace vyhovují při velkých deformacích. Je přirozené, že největší možné, tedy nekonečné protažení by mělo odpovídat protažení na nekonečnou délku a naopak. Nejmenší možná ( nekonečná ), záporná deformace by měla odpovídat zkrácení na nulovou délku. Ukažme, že pro 1D platí následující vztahy, které lze někdy s výhodou použít. Důkaz: dx dx du 1 du 1 dx dx du 1 du E = = + a ε 2 2 E = = dx dx 2 dx 2 dx dx 2 dx ( ) 2 2 dx + du dx dx dx dx + 2dXdu + du dx E = = = = dx 2dX 2dX dXdu + du du 1du = = dx dx 2 dx dx dx 1 dx 2 ( dx 2 2dxdu + du 2 ) e = = = dx 2 dx dxdu du du 1du = = dx dx 2 dx Bylo použito vztahu dx = dx + du. 29

30 Otázky 1. Proč je třeba zavést v geometrické nelinearitě nelineární míry deformace? 2. Definujte Green-Lagrangeův tenzor deformace. 3. Definujte Euler-Almansiho tenzor deformace. Shrnutí Definovali jsme některé základní míry deformace používané v geometrické nelinearitě. Definovali jsme základní požadavky na tyto míry a porovnali, jak je jednotlivé míry deformace splňují. 2.3 Míry napjatosti Vzhledem k tomu, že při deformaci se mění směr i velikost plošky da pomocí které napětí definujeme, je možno představit několik tenzorů napjatosti v závislosti na tom, co je definováno na původní konfiguraci (tedy materiálových souřadnicích) a co na výsledné konfiguraci (tedy v prostorových souřadnicích). Představme si zde několik nejdůležitějších : 1. Cauchyho napětí σ 2. První napětí Piola Kirchhoff P 3. Druhé napětí Piola Kirchhoff S 4. Korotační napětí ˆσ 5. Kirchhoffovo napětí τ. Nejdříve si definujme některé pojmy, které budeme potřebovat. Y n F -1 d f da d f Ω X 3

31 y da n df Ω x Obr. 2.4 Původní a výsledná konfigurace tělesa da infinitezimální ploška v tělese v původní konfiguraci, da infinitezimální ploška ve výsledné (resp. běžné) konfiguraci odpovídající plošce da, df síla na nedeformovanou plošku da transformovaná do materiálových souřadnic df síla na plošku da (resp. da ) v prostorových souřadnicích t vektor napětí působící na plošku da, t vektor napětí působící na plošku da, n jednotková normála k plošce da, n jednotková normála k plošce da, da vektor orientované plochy v materiálových souřadnicích ( v původní konfiguraci )a da vektor orientované plochy v prostorových souřadnicích. Mezi silou df a vektory napětí t a t platí následující vztahy df = t da= t da (2.3.1) Pro vektory orientovaných ploch platí vztahy : da = n da a da = n da (2.3.2) Probereme stručně každý s výše uvedených tenzorů napětí zvlášť Cauchyho napětí Cauchyho napětí σ je definováno Cauchyho zákonem (1. Cauchyho teorém). enzor napětí σ je lineárním mapováním vektoru napětí t na vektor normály n. n σ da = df = t da n σ = t (2.3.3) enzor σ je symetrický ( σ = σ). 31

32 Cauchyho napětí je plně definováno na výsledné, nebo běžné konfiguraci tělesa. Protože představuje opravdové napětí měřené v daném okamžiku na deformovaném tělese. Je proto nazýváno také skutečné napětí ( true stress ) První napětí Piola Kirchhoff ento tenzor napětí je definován podobně jako Cauchyho tenzor napětí, ale je vztažen k nedeformované ploše da. n PdA = da P= df = t da n P= t (2.3.4) enzor napjatosti P není symetrický. Poznámka : enzor P je v některé literatuře nazýván nominální napětí a jeho transpozice potom první napětí Piola- Kirchhoff. Jindy je jako nominální napětí uváděna transpozice tenzoru P Druhé napětí Piola Kirchhoff Připomeňme, že platí d 1 X= F dx Analogicky může být síla df na deformovanou plošku da transformována na sílu df na nedeformovanou plošku da 1 1 df = F df = F da P = da P F da S (2.3.5) ( ) edy 1 S= P F = F P (2.3.6) Analogicky s Cauchyho zákonem můžeme tedy na původní konfiguraci ( v materiálových souřadnicích ) napsat definici tenzoru S takto : 1 n S= F t (2.3.7) Pravá strana této rovnice je vektor napětí na elementární plošku da transformovaný na původní konfiguraci. enzor S je podobně jako σ také symetrický ( S = S) Korotační napětí Jedná se v podstatě o Cauchyho napětí, ale vyjádřené v souřadném systému, který se otáčí společně s materiálem. ento koncept je vhodný pro typy konstrukcí, které pracují s vnitřními silami, např. skořepina, nebo prut. Korotační napětí získáme jednoduše transformací tenzoru σ do pootočné soustavy. σ ˆ =R σ R (2.3.8) Protože tenzor σ je symetrický, je samozřejmě i ˆσ symetrický tenzor. 32

33 2.3.5 Kirchhoffovo napětí Nelineární mechanika ento tenzor napětí je definován následujícím vztahem : τ = J σ, (2.3.9) kde J = det ( F ). Vzhledem k symetrii tenzoru σ je i tenzor τ symetrický ransformace mezi napětími Uveďme zde přehledně transformační vztahy mezi výše uvedenými mírami napětí ve formě tabulky: σ P S σˆ τ J J ˆ J σ F P F S F R σ R τ J J ˆ P F σ SF U σ R F τ S JF σ F P F JU σˆ U F τ F ˆ J J J τ Jσ F P F S F JR σˆ R σ R σ R U P R U S U R τ R U je right strech tensor. U= R F (2.3.1) R je tenzor rotace Objektivní tok napětí Koncept objektivity vychází z očekávání, že napětí a deformace by neměly být ovlivněny pohybem tělesa jako tuhého celku. Jinými slovy měly by být nezávislé na pozorovateli (čili souřadnému systému). enzory S a E definované v materiálových souřadnicích i jejich derivace podle času ( S,E & & ) vyhovují této podmínce, říkáme tedy, že jsou objektivní. enzory σ a e definované v prostorových souřadnicích objektivní nejsou. Mění se totiž s rotací tělesa jako tuhého celku. Ukažme si nyní, proč jsou potřeba objektivní toky napětí pro konstitutivní vztahy. Představme si, že v tělese existuje nějaké počáteční napětí. oto těleso nyní otočme jako tuhý celek. Již dříve jsme ukázali, že bude platit E= e=. Platí také D=. Neplatí ale obecně, že Dσ Dt =. Zápisem D označujeme materiálovou derivaci podle času, tedy derivaci Dt podle času pro neměnné materiálové souřadnice. 33

34 Dσ σ D Vztah = C : D nemůže tedy představovat platnou konstitutivní rovnici. Dt Místo D σ je tedy třeba uvést objektivní tok napětí. Budeme jej označovat Dt σ. Protože objektivních toků napětí σ je více, doplníme ještě další horní index, který jednoznačně určí konkrétní objektivní tok napětí Jaumannův tok napětí Jaumannův tok Cauchyho napětí σ je dán vztahem J Dσ σ = W σ σ W (2.3.11) Dt W je spin definovaný rovnicí (2.1.18) Konstitutivní vztah potom můžeme napsat ve tvaru J J σ = C σ : D (2.3.12) ruesdellův tok napětí ruesdellův tok Cauchyho napětí je dán vztahem D σ σ = + div( v) σ L σ σ L. (2.3.13) Dt V rovnici je L gradient rychlosti daný rovnicí (2.1.15) a ( v) div = v je divergence vektoru rychlosti. Konstitutivní rovnice potom bude mít tvar σ σ = C : D (2.3.14) Otázky 1. Definujte Cauchyho napětí. 2. Definujte druhé napětí Piola-Kirchhoff. 3. Co je objektivní tok napětí? Shrnutí Definovali jsme některé základní míry napjatosti. Definovali jsme koncept objektivity a některé objektivní toky napětí. 34

35 2.4 Energeticky konjugentní míry deformace a napjatosti Energie a práce jsou skalární veličiny nezávislé na souřadném systému. Princip virtuální práce, který je dán vztahem δ W= δwint + δwext = (2.4.1) musí platit pro jakoukoliv volbu míry deformace. oto však je splněno tehdy, jestliže k příslušné míře deformace je přiřazena příslušná, energeticky konjugentní, míra napjatosti. Virtuální práce vnitřních sil je totiž dána součinem tenzoru napjatosti a přírůstku deformace. Dá se ukázat, že platí δ W = S : δ E dω = σ : δ ε dω. (2.4.2) ˆ int Ω Ω Energeticky konjugentní dvojice napětí a deformace tedy tvoří v prvním případě Green Lagrangeův tenzor deformace E a druhé napětí Piola Kirchhoff S (oba tenzory jsou definovány v materiálových souřadnicích, tj. v původní konfiguraci). Energeticky konjugentní dvojici tvoří ve druhém případě dvojice tenzorů definovaných v běžné konfiguraci. Jedná se o lineární část Euler Almansiho tenzoru deformace tedy tzv. infinitezimální tenzor deformace definovaný v prostorových souřadnicích ê a Cauchyho tenzor napětí σ. 1 (( ) ( )) u u 1 u X X u 1 eˆ = + = + = x x 2 X x x X 2 F I F + F F I = = ( I F + I F ) = I ( F + F ) 2 2 (2.4.3) V odvození byly použity vztahy Nelineární mechanika u=x X u x = I=F I X X u x X X = I=F I (2.4.4) Uvedené dvě dvojice mají fundamentální význam, protože jsou základem dvou nejdůležitějších formulací úloh v geometrické nelinearitě, tj. formulace total Lagrangian, která je plně definována v materiálových souřadnicích a deformace i napjatost je vztahována k původní, tj. tedy nedeformované konfiguraci a formulaci updated Lagrangian, která je definována v prostorových souřadnicích a deformace i napjatost je vztahována k poslední známé konfiguraci (tj. k běžné konfiguraci). U konceptu total Lagrangian je tedy užíván Green Lagrangeův tenzor deformace E a druhé napětí Piola Kirchhoff S a u konceptu updated Lagrangian je užíván Euler Almansiho tenzor deformace e, resp. jeho lineární část ê a Cauchyho tenzor napětí σ. Je možné určit i jiné energeticky konjugentní dvojice napětí a deformace, ale jejich význam je menší. 35

36 Např. pro první napětí Piola Kirchhoff P je energeticky konjugentní míra deformace dána výrazem F I u. Pro korotační napětí ˆσ je energeticky konjugentní infinitezimální tenzor deformace ê (lineární část Euler Almansiho tenzor napjatosti), ale transformovaný do stejných souřadnic jako ˆσ, tedy R eˆ R. V literatuře jsou často uváděny vztahy, které místo s deformací pracují s rychlostí deformace, tj. derivací deformace podle času. Potom můžeme pro výkon vnitřních sil napsat vztahy pro některé výkonově konjugentní páry tenzorů napjatosti a deformačních rychlostí. Dˆ = : dω = e W& S E& σ: dω= σ: DdΩ= P : F& dω = σ ˆ :Dˆ dω int Dt Ω Ω Ω Ω Ω (2.4.5) U vztahu s tenzorem P bylo bylo uváženo, že platí I = (2.4.6) t ˆD je rychlost deformace transformovaná do stejných souřadnic jako korotační napětí ˆσ. Ve výše uvedené rovnici je využito rovnosti Dˆ e Dt = D (2.4.7) kterou lze snadno dokázat. Infinitezimální tenzor deformace je v běžné konfiguraci definován vztahem 1 u u eˆ = + (2.4.8) 2 x x Derivujme ê podle času. Deˆ 1 u& u& 1 v v 1 = + = + = ( L+ L ) = D (2.4.9) Dt 2 x x 2 x x 2 Ukažme ještě důkaz platnosti vzorce (2.4.7) na tenzoru ê vyjádřeného pomocí deformačního gradientu 1 1 eˆ = I ( F + F ) (2.4.1) 2 Derivujme jej podle času Deˆ 1 1 = ( F & + F & ) Dt 2 (2.4.11) Porovnáním z (2.4.9) docházíme k novému vztahu pro rychlost deformace D. 1 1 D= ( F& + F& ) (2.4.12) 2 Porovnáme-li tento vztah s rovnicí (2.1.21) dostáváme rovnosti 1 1 FF & = F& (2.4.13) - F F & = F& (2.4.14) 36

37 Ukažme si, že rovnosti platí. Vyjděme ze vztahů x=x+ u X=x u Potom dostaneme následující vztahy pro deformační gradient a jeho derivace podle času. F= & v = v x =L F X x X (2.4.15) 1 v F & = = L x (2.4.16) Dosaďme tyto vztahy do (2.4.13) a do (2.4.14). 1 LFF =L (2.4.17) F F L =L (2.4.18) Obě rovnosti (2.4.13) a (2.4.14) jsou tedy splněny a vztah (2.4.12) pro rychlost deformace D tedy platí a platí tedy i vzorec (2.4.7), který ukazuje, že rychlost deformace je derivací infinitezimálního tenzoru deformace podle času.. Otázky 1. Co jsou energeticky konjugentní míry deformace a napjatosti? Shrnutí Ze základního požadavku nezávislé energie a práce na souřadném systému a zvolené míře napjatosti jsme definovali energeticky konjugentní dvojice měr deformace a napjatosti. 2.5 Dvě formulace geometrické nelinearity v MKP V mechanice těles obvykle používáme Lagrangeovské sítě. Při diskretizaci jsou pak možné dvě formulace úlohy podle toho v jaké konfiguraci tělesa je úloha popsána. Je-li úloha formulována v běžné konfiguraci tělesa (tedy v prostorových souřadnicích) jedná se o formulaci updated Lagrangian a je-li úloha formulována v referenční (původní) konfiguraci (tedy v materiálových souřadnicích) jedná se o formulaci total Lagrangian. Ve formulaci updated Lagrangian jsou derivace prováděny v prostorových (Eulerovských) souřadnicích a integrály jsou prováděny na deformovaném tělese (na běžné konfiguraci). Ve formulaci total Lagrangian jsou derivace prováděny v materiálových souřadnicích a integruje se na počáteční (referenční) konfiguraci (na nedeformovaném tělese). 37

38 V mechanice těles používáme těchto základních rovnic: Zákon zachování hmoty Zákon zachování hybnosti (lineární i úhlové) Zákon zachování energie Konstitutivní rovnice Geometrické rovnice, tj. vztahy mezi přetvořením a posunutím. První skupinu rovnic tvoří zákony o zachování dobře známé z fyziky a další skupina vyjadřuje vlastnosti standartního Boltzmanova continua. Na těchto rovnicích stojí celá mechanika těles. Popišme si nyní podrobněji obě formulace nelinearity v MKP Formulace na běžné konfiguraci (updated Lagrangian) Nejdříve uveďme přehledně jak jsou formulovány základní rovnice Zákon o zachování hmoty ento zákon určuje, jak se mění hustota tělesa v závislosti na deformaci. ρ ρ ( ) = = det( F) ( X ) ρ ( X ) X (2.5.1) kde ρ je původní hustota (na referenční konfiguraci) ρ je běžná hustota (na deformovaném tělese) J Zákon o zachování hybnosti a) Zákon o zachování lineární hybnosti σ + ρb= ρv& = ρu&& (2.5.2) kde v& je vektor zrychlení daného bodu tělesa. Při zanedbání setrvačních sil se rovnice redukuje na Cauchyho rovnici rovnováhy σ + ρ b= (2.5.3) kde ρb je vektor objemových sil, b je nejčastěji vektor gravitačního zrychlení b) Zákon o zachování točivosti (úhlové hybnosti) ento zákon generuje při zanedbání setrvačných sil momentové podmínky rovnováhy a také z něj plyne symetrie tenzoru napjatosti σ σ = σ (2.5.4) ato rovnice vyjadřuje známou větu o vzájemnosti tangenciálních napětí σ = σ ). ( ij ji 38 Zákon o zachování energie ento zákon v mechanice těles znamená, že rychlost změny celkové energie tělesa je rovna součtu rychlosti práce vnějších sil (výkonu zatížení),

39 tepelného toku a zdroje energie. Zanedbáme-li zdroje tepelné energie potom zákon vyjadřuje skutečnost, že rychlost změny potenciální energie je dána rozdílem výkonu zatížení a rychlosti disipace. int Jw & = D : σ q (2.5.5) w w je hyperelastický potenciál na původní konfiguraci S = E D je tenzor rychlosti deformace daný vztahem 1 1 Dˆ D= ( L+ L ) = F E& F = e (2.5.6) 2 Dt kde L je gradient rychlosti v L= = v (2.5.7) x q je vektor tepelného toku (upozorňujeme, že divergence q je skalár). Konstitutivní rovnice Nelineární mechanika ato rovnice vyjadřuje vztah mezi napětím a deformací na běžné konfiguraci tělesa (na deformovaném tělese) σ = σ e, σ,... (2.5.8) ( ) V přírůstkové formě je možno vztah linearizovat δσ = C σe : δe (2.5.9) Ve Voigtově notaci můžeme napsat přírůstkovou formu konstitutivní rovnice takto: σe δ{ σ} = C δ{ e } (2.5.1) σ e C je tečný modul materiálu ze vztahu mezi Cauchyho tenzorem napjatosti a Euler-Almansiho tenzorem deformace (jedná se o tenzor 4.řádu). Nezávadně můžeme konstitutivní rovnici napsat v infinitezimální (rychlostní) formě σ D σ S D, σ, K (2.5.11) σ D t = t ( ) S je funkce závislá na Cauchyho napětí rychlosti deformace a případně i dalších proměnných. σ je některý objektivní tok napětí. Pro širokou třídu tzv. hypoelastických materiálů můžeme psát lineární závislost mezi rychlostí napětí a deformace σ σ = C : D (2.5.12) kde σ je některý z objektivních toků napětí a σ C je tenzor modulů pružnosti, který je pro daný objektivní tok napětí definován. akto můžeme psát např. pro Jaumannův tok napětí J J σ = C σ : D (2.5.13) nebo pro ruesdellův tok σ σ C : D (2.5.14) = 39

40 Geometrické rovnice (míra deformace) 1 1 e= ( I F F ) (2.5.15) 2 Ve formulaci updated Lagrangian se používá Euler Almansiho tenzor deformace e definovaný na deformovaném tělese. Diskretizace MKP pro formulaci na běžné konfiguraci (updated Lagrangian) Diskretizace je zde definována na deformovaném tělese Ω. Je-li definován vztah mezi virtuálním přírůstkem Euler Almansiho tenzoru deformace zapsaným ve Voigtově notaci δ { e } a virtuálním přírůstkem vektoru parametrů deformace δd v běžné konfiguraci. { } δ e = B δd (2.5.16) potom může být důležitý vektor vnitřních uzlových sil počítán podle vzorce int f = B { σ }dω (2.5.17) Ω Ukažme zde stručně odvození tohoto vzorce. Vyjdeme z požadavku energetické ekvivalence vnitřních uzlových sil a napětí tělesa. Virtuální práce, int kterou konají vnitřní uzlové síly f na virtuálních parametrech deformace δd σ na virtuální deformaci musí být rovna virtuální práci konané napětím { } δ { e }. Oba výrazy totiž popisují jednu veličinu, tj. virtuální práci vnitřních sil. int int W = δ{} e {} σ dω= δdf (2.5.18) Ω Dosadíme-li za { } δ { } Ω e ze vzorce (2.5.16), dostaneme db σ dω= δdf int (2.5.19) Protože vektor virtuálních parametrů deformace δd je konstantní vzhledem k integraci, můžeme δd vytknout před integrál a porovnáním obou stran rovnice potom dostaneme vzorec (2.5.17). 4 ečná matice tuhosti ečná matice tuhosti charakterizuje běžnou tuhost v daném okamžiku, tedy respektující změnu geometrie, tečnou tuhost materiálu i vliv napjatosti v daném okamžiku. Napíšeme-li soustavu nelineárních rovnic pro deformační variantu MKP ve formě K( d) d=f (2.5.2) potom tečnou matici tuhosti v běžné konfiguraci d můžeme definovat takto : K =KM + K σ (2.5.21)

41 Uveďme zde algoritmy výpočtu obou složek tečné matice tuhosti. Zdůrazněme, že příslušné integrace jsou provedeny na běžné konfiguraci Ω. a) ečná materiálová matice tuhosti K M K σ M = B C B dω (2.5.22) Ω B je matice prostorových derivací bázových funkcí definovaná vztahem σ (2.5.16), C je tečná konstitutivní matice pro formulaci v běžné konfiguraci, tedy přesněji tečný tenzor pružnosti materiálu definovaný pro danou objektivní míru napětí zapsaný ve Voigtově notaci. Nelineární mechanika b) ečná geometrická matice tuhosti K σ Pojem tuhost konstrukce je dobře znám všem statikům. Jsou obeznámeni s deformační metodou řešení rámů a do značné míry i s deformační variantou MKP, založenou na Lagrangeově variačním principu. Ale vzhledem k tomu, že statici většinou nejsou dostatečně obeznámeni s nelineární mechanikou, pod pojmem tuhost konstrukce rozumějí většinou jen jednu její složku a tou je tzv. materiálová, nebo též počáteční tuhost K. ato tuhost je dána materiálem a tvarem konstrukce a nezahrnuje vliv její napjatosti. Intuitivně je však tato složka tuhosti, která je dána napjatostí konstrukce, známa každému hudebníkovi, který ladí nástroj natahováním struny kolíkem. Statik ví, že frekvence tónu je přímo úměrná druhé odmocnině tuhosti. Ale struna v nenapjatém stavu nemá žádnou tuhost, tedy její tuhost v nástroji je dána výhradně její napjatostí, tzv. geometrickou tuhostí. Na tuto složku tuhosti nemá žádný vliv použitý materiál, ale pouze napjatost. Ukažme si zde jednoduché odvození geometrické tuhosti pro příhradový prut v rovině. y 1 2 l x Je-li vektor parametrů deformace d = [ u1, v1, u2, v2] kde u a v jsou složky posunutí ve směru os x a y, potom je materiálová, (resp. počáteční) matice tuhosti příhradového prutu dána vztahem : 41

42 1 1 EA K M = l 1 1 Všimněme si, že přihradový prut nemá žádnou tuhost v příčném směru. uhost je síla, kterou musíme vyvinout v daném místě a směru, abychom dosáhli jednotkového posunutí v daném místě a směru. ím jsou dány diagonální členy matice tuhosti. Ostatní členy v příslušném sloupci, nebo řádku jsou složky reakce, které přitom vzniknou. Na základě této definice můžeme jednoduše odvodit geometrickou matici tuhosti přihradového prutu taženého silou N. Stačí k tomu pouze momentová podmínka rovnováhy na prutu v konfiguraci s příslušným příčným jednotkovým posunutím v daném uzlu: ( ) ( ) N 1 K 2,2 l = K 2,2 = σ σ N l K σ N N 1 K σ (2,4) N l Geometrická matice tuhosti bude mít následující tvar : 1-1 N K σ = l -1 1 Výsledná matice tuhosti K je potom dána součtem materiálové a geometrické matice tuhosti. K = K + K M σ Než uvedeme obecný algoritmus výpočtu geometrické matice tuhosti pro 3D, uveďme nejdříve zobecnění algoritmu pro tažený prut, které poslouží k lepšímu pochopení 3D algoritmu. 42

43 y,v N N N v dx x N N x,u dx Uvažme jaké síly působí na element o délce d x. Kromě síly N, která bude působit ve stále stejném směru, vznikne také liniový moment o intenzitě m daný následující ekvivalencí v mdx= N dx x Pro daný příhradový prut bude platit v v2 v = 1 = Gd x l 11 kde G =, l l d = v, v [ ] 1 2 Příspěvek práce momentu m na rotaci π σ x Ω v x můžeme napsat ve tvaru v v v m dl N dl dl dl x x x l l l l = = = dgngd = d GNG d= = d dω = 2 G σ G d d Kσd 2 N Při úpravách bylo použito vztahů σ x = a Ω = Al. Z porovnání výsledného A tvaru zápisu potencionální energie ze standartním algoritmem výpočtu materiálové matice tuhosti vyplývá, že napjatost prutu způsobí dodatečnou (geometrickou) tuhost konstrukce danou geometrickou maticí tuhosti K. K G σ G σ = x dω Ω Uveďme nyní obecný algoritmus výpočtu geometrické matice tuhosti prvku. σ 43

44 Nechť pro každou složku u i n j= 1 j ij u i vektoru posunutí u platí vztah = N u (2.5.23) kde u ij je hodnota posunutí u i v uzlu j a n je počet uzlů. Definujme matici N následovně: N = [ N 1I,N 2I, K,Nn I] (2.5.24) kde I je jednotková diagonální matice. Potom můžeme pro vektor posunutí napsat vztah u= N d (2.5.25) kde d je vektor parametrů deformace prvku obsahující všechny složky u ij uspořádaný tak, že pro každý uzel j jsou uvedeny všechny složky u i. Definujme matici g i obsahující první derivace bázových funkcí pro uzel j podle prostorových souřadnic N j,x I g j = N j,y I (2.5.26) N j,z I a matici G tvořenou submaticemi g i G = [ g1, g2, K, gn ] (2.5.27) Dále definujme matici tak, že každou složku Cauchyho tenzoru napjatosti σ vynásobíme jednotkovou diagonální maticí σ I σ I σ I (2.5.28) = σ22 σ I 23I sym. σ 33I Potom můžeme napsat následující vzorec pro geometrickou matici prvku : K = G G dω (2.5.29) σ Ω Integrace je provedena na deformovaném tělese Ω (v běžné konfiguraci) Formulace na referenční konfiguraci (total Lagrangian) V této koncepci jsou derivace prováděny v materiálových souřadnicích a integrály jsou provedeny na nedeformovaném tělese (na referenční konfiguraci). Základní rovnice jsou na referenční konfiguraci formulovány následovně: Zákon o zachování hmoty ρ J = ρ (2.5.3) 44

45 Zákon o zachování hybnosti a) Zákon o zachování lineární hybnosti : P+ ρb= ρu&& (2.5.31) Při zanedbání setrvačních sil se rovnice redukuje na Cauchyho rovnici rovnováhy P+ ρb= (2.5.32) Připomeňme, že je materiálová divergence a u&& vektor zrychlení. b) Zákon o zachování točivosti : F P=P F (2.5.33) nebo také S=S (2.5.34) Důsledkem tohoto zákona je tedy symetrie tenzoru S. Zákon o zachování energie int W & = F& : P q (2.5.35) q= JF 1 q (2.5.36) q je vektor tepelného toku v prostorových souřadnicích q je vektor tepelného toku v materiálových souřadnicích q je materiálová divergence tepelného toku edy při zanedbání zdroje energie zákon vyjadřuje skutečnost, že rychlost změny potenciální energie je dána rozdílem výkonu zatížení a rychlosti disipace (tj. úniku energie ve formě rozptýleného tepla). Konstitutivní rovnice ato rovnice vyjadřuje vztah mezi druhým napětím Piola Kirchhoff S a Green Lagrangeovým tenzorem deformace E. S=S( E,K ) (2.5.37) V přírůstkové, linearizované formě lze konstitutivní vztahy napsat takto : SE δs= C : δ E (2.5.38) nebo ve Voightově notaci SE δ{ S} = C δ{ E } (2.5.39) SE SE C a C je tečná materiálová tuhost v tenzorovém, resp. Voightově zápisu vyjádřená na referenční konfiguraci. Pro infinitezimální přírůstky přejde vztah do rychlostní formy, ve které je linearizace nezávadná a pro hypoelastické materiály můžeme napsat konstitutivní rovnici SE S& = C : E& (2.5.4) SE C je tenzor tečné tuhosti materiálu. 45

46 Geometrické rovnice (míra deformace) Ve formulaci na referenční konfiguraci je jako míra deformace používán Green Lagrangeův tenzor deformace E. 1 E= ( F F I ) (2.5.41) 2 Diskretizace MKP pro formulaci na referenční konfiguraci (total Lagrangian) 46 Diskretizace je ve formulaci total Lagrangian definována na původní konfiguraci tělesa, tedy v materiálových souřadnicích. Je-li definován vztah mezi Green Lagrangeovým tenzorem deformace E a vektorem parametrů deformace d zapsaným ve Voigtově notaci { } { E } =B( d) d (2.5.42) potom můžeme pro vektor uzlových vnitřních sil napsat vzorec int f = B d S dω (2.5.43) kde { } Ω ( ){ } S je druhé napětí Piola Kirchhoff ve Voigtově notaci. Matice B je definována v materiálových souřadnicích. Upozorňeme zde, že matice B( d ) je definována na základě Green Lagrangeova tenzoru deformace a obsahuje tedy i členy druhého řádu. Vzhledem k linearizaci každé iterace řešení nelineární soustavy rovnic jsou členy druhého řádu nahrazeny součiny derivací bázových funkcí a prvních derivací složek vektoru posunutí u na začátku dané iterace. Matici B můžeme rozložit na součet submatic B i pro každý uzel i. edy B= B1, B2, K, Bn (2.5.44) je-li n počet uzlů. Každá z těchto submatic se skládá z lineární části, která je totožná s obdobnou maticí z lineárního řešení úlohy a z nelineární části, která závisí na deformaci.. B = B + B (2.5.45) i i Li edy také výslednou matici B lze rozložit na lineární a nelineární část. B= B + B L (2.5.46) Pro úlohu 3D můžeme napsat následující explicitní výraz pro každou submatici B Li u1,1 Ni,1 u2,1 Ni,1 u3,1 Ni,1 u1,2 Ni,2 u2,2 Ni,2 u3,2 N i,2 u1,3 Ni,3 u2,3 Ni,3 u3,3 N i,3 BLi = (2.5.47) u1,1 Ni,2 + u1,2 Ni,1 u2,1 Ni,2 + u2,2 Ni,1 u3,1 Ni,2 + u3,2 Ni,1 u1,2 Ni,3 + u1,3 Ni,2 u2,2 Ni,3 + u2,3 Ni,2 u3,2 Ni,3+ u3,3 N i,2 u1,3 Ni,1 + u1,1 Ni,3 u2,3ni,1 + u2,1 Ni,3 u3,3 Ni,1 + u3,1 Ni,3

47 Číslo za čárkou v dolním indexu znamená derivaci podle příslušné materiálové souřadnice, tedy např. u2 u2,3 = (2.5.48) X ečná matice tuhosti 3 ečná matice tuhosti formulovaná v referenční konfiguraci bude opět sestávat ze dvou složek, a to z tečné materiálové matice tuhosti K M a tečné geometrické matice K σ tedy K = K + K (2.5.49) M σ ečná materiálová matice tuhosti K M Vzhledem k tomu, že matice B je závislá na deformaci B= B + BL( u ) (2.5.5) Matice BL ( u ) musí být vyhodnocena na začátku každé iterace na základě vektoru u vypočítaného z předchozí iterace. Dosadíme-li B do standardního vzorce pro výpočet materiálové matice tuhosti SE a jako tečnou materiálovou tuhost dosadíme modul C můžeme napsat vztah pro tečnou materiálovou matici tuhosti SE ( ) ( ) K = B C BdΩ = B + B C B + B dω = SE M L L Ω Ω ( ) = B C B dω + B C B + B C B + B C B dω = SE SE SE SE L L L L Ω Ω K KL = K + K L ečná geometrická matice tuhosti Geometrická matice tuhosti se ve formulaci total Lagrangian počítá analogicky jako u formulace updated Lagrangian, tedy podle vzorců (2.5.23) (2.5.29), jen s tím rozdílem, že derivace jsou prováděny v materiálových souřadnicích a integrace je prováděna na původní (referenční) konfiguraci tělesa. Můžeme tedy napsat analogický vzorec pro tečnou geometrickou matici tuhosti prvku K = G G dω (2.5.51) σ Ω kde matice G a jsou analogií matic G a s tím, že matice G obsahuje materiálové derivace a matice obsahuje složky druhého napětí Piola Kirchhoff S. 47

48 Otázky 1. Jaké jsou základní formulace geometrické nelinearity? 2. Jaké jsou důsledky použité formulace úlohy na základní soustavy rovnic v mechanice těles? 3. jak se zvolená formulace projeví v řešení úloh MKP? 4. Co je tečná matice tuhosti, tečná materiálová matice tuhosti a tečná geometrická matice tuhosti? 5. Jak se vypočítá geometrická matice tuhosti? Shrnutí Popsali jsme dvě základní formulace úlohy v geometrické nelinearitě, jejich vliv na aplikaci základních rovnic mechaniky. Definovali jsme pojmy tečná matice tuhosti a geometrická matice tuhosti. Popsali jsme vliv formulace úlohy na diskretizaci úlohy v MKP. 48

49 3 MAERIÁLOVÁ NELINEARIA 3.1 Jednoosá napjatost Pro uvedení do problematiky uvažme nejdříve případ jednoosé napjatosti. Mějme prut o počáteční délce l a počáteční průřezové ploše A. Zatížímeli prut osovou silou F dostaneme nominální (inženýrské) napětí Px =. F A Inženýrská (lineární) deformace je definována vztahem δl εx = = λx 1 (3.1.1) l l kde δ l je protažení prutu a λ x je roztažení prutu (stretch) λ x =. l P x ε x Obr Vztah mezi inženýrskou deformací a inženýrskou napjatostí Alternativně může být odezva také vyjádřena ve vztahu ke skutečnému napětí. Skutečné (Cauchyho) napětí je dáno výrazem F σ x = (3.1.2) A kde A je běžná plocha, tj. proměnná v průběhu roztahování prutu. Alternativní míra napjatosti je odvozena uvážením přírůstku deformace jako změny délky na jednotku běžné délky, tj. l dl l ε n = = ln = ln λx (3.1.3) l l l Deformace ε je nazývána logaritmická, nebo také skutečná, deformace. n 49

50 σ x Obr. 3.2 Vztah mezi skutečnou napjatostí a skutečnou deformací Průřezová plocha A se bude během protahování prutu měnit. Je možno ji vyjádřit následujícím vztahem : A JA l l JA λ = = (3.1.4) x ε n J je Jakobian transformace mezi počáteční a běžnou konfigurací. pro Cauchyho napětí můžeme potom psát σ F F = = λ = λ J P (3.1.5) 1 x x x x A JA Vztah mezi deformacemi a napětím může být závislý na rychlosti deformace, ale zde se omezme na materiál, který je na rychlosti deformace nezávislý. Ve vztahu mezi napětím a deformací nebylo zatím uvažováno odlehčování. Ukažme si, jak může tento vztah vypadat při odlehčování pro různé typy materiálů. U dokonale pružného materiálu je křivka vztahu mezi napětím a deformací při zatěžování i odlehčování totožná (obr. 3.3.(a)). P x ε x Obr. 3.3 Pracovní diagramy různých materiálů při zatěžování a odlehčování 5

51 a) pružný Nelineární mechanika P x ε x Obr.3.3 b) pružnoplastický P x ε x Obr.3.3 c) pružný s mikrotrhlinkami P x Obr.3.3 d) obecný ε x Pro pružnoplastický materiál je sklon křivky při odlehčování typicky stejný jako lineární (počáteční) část křivky při zatěžování (obr.3.3(b)). Materiál, který je při zatěžování porušen mikrotrhlinkami se při odlehčování 51

52 může vrátit do původního tvaru, když se trhlinky uzavřou (obr.3.3(c)). Obecný materiál může být kombinací těchto ideálních případů (obr.3.3.(d)). V dalším se omezíme jen na pružný materiál, nezávislý na rychlosti deformace Jednoosá nelineární pružnost Pro nelineární pružný materiál při jednoosé napjatosti může konstitutivní vztah být napsán jako σ x = s ( ε x ) (3.1.6) kde σ x je Cauchyho napjatost a ε x je inženýrská deformace. Je σ s předpokládáno, že s ( ε x ) je monotónně rostoucí funkce. Případ σε < by x indikoval materiálovou nestabilitu. Jak již bylo řečeno, u pružného materiálu je odlehčovací křivka na pracovním diagramu totožná se zatěžovací křivkou, což implikuje skutečnost, že nedochází k žádné disipaci energie při deformaci. Všechna práce vynaložená na deformaci tělesa je v tělese uchována ve formě potenciální energie pružné napjatosti. Existuje tedy potencionální funkce w( ε x ) dw( ε ) σ kde ( ) x ( ε ), pro kterou platí, že x x = s x = (3.1.7) dε x w ε je hustota potencionální energie pružné napjatosti tělesa. Z rovnice (3.1.7) plyne dw( ε x ) = σxdεx (3.1.8) což po integraci dá vztah pro hustotu energie pružné napjatosti. ε x w= σ dε (3.1.9) x x Hustota energie w je obvykle konvexní funkce deformace, tedy platí, že 2 w ε 2 x (3.1.1) 52

53 w w(ε x ) ε x Obr a) Konvexní funkce w σ x s(ε x ) ds dε x ε x Obr. 3.4 b) Pracovní diagram V případě, že funkce w není konvexní jedná se o deformační změknutí ds materiálu a jeho nestabilitu <. dε x 53

54 Obr. 3.5 a) Nekonvexní funkce w b) Odpovídající pracovní diagram Zobecnění pružnosti na velké deformace, je možno pro jednoosou napjatost provést jednoduše. Je pouze nutné zvolit geometricky nelineární míru deformace a k ní energeticky konjugentní míru napjatosti. Pokud zvolíme Green Lagrangeovu míru deformace a druhé napětí Piola Kirchhoff, můžeme psát w Sx = (3.1.11) E x 54

55 Otázky Nelineární mechanika 1. Jaké jsou základní typy materiálů z hlediska jejich konstitutivních vztahů? 2. Co jsou materiály pružné a pružnoplastické? Shrnutí Na případu jednoosé napjatosti jsme definovali základní typy materiálů a ukázali jsme jejich pracovní diagramy. 3.2 Obecná napjatost Zde můžeme prezentovat obecnější konstitutivní vztahy. Vzhledem k existenci různých měr deformace a napjatosti je také možno stejné konstitutivní vztahy napsat různými způsoby Sain Venantův Kirchhoffův materiál Řada inženýrských aplikací vede na malé deformace ale velké rotace (např.rybářský prut). Odezva takového materiálu může být modelována jako jednoduché rozšíření lineárního zákona pružnosti nahrazením inženýrské deformace Green Lagrangeovým tenzorem deformace a napjatosti druhým napětím Piola Kirchhoff (PKZ). Můžeme tedy psát. S = C E (3.2.1) nebo ij ijkl kl S=C: E Pro tenzor 4.řádu C platí symetrie C = C = C (3.2.2) ijkl jikl ijlk Saint Venantův Kirchhoffův materiál je nezávislý na dráze a má tedy pružný energetický potenciál. Výraz pro hustotu energie můžeme napsat následovně: 1 1 w = SijdEij = CijklEkldEij = CijklEijEkl = E: C: E (3.2.3) 2 2 Napětí je dáno výrazem w Sij = Eij w Nebo S = (3.2.4) E Hustota energie w je nezáporná ( w ) a je rovna nule je pro E=. C je pozitivně definitní tenzor 4.řádu. 55

56 1 Hladkost potencionálu w (spojitost C ) implikuje symetrii Cijkl = Cklij (3.2.5) Matice pružných konstant ev. tečné materiálové tuhosti jsou obvykle zapsány ve Voigtově notaci { S } = [ C]{ E } (3.2.6) Symetrie (3.2.5) implikuje symetrii matice [ C ], takže pro 3D platí S11 C11 C12 C13 C14 C15 C16 E11 S C C C C C E S 33 C33 C34 C35 C 36 E 33 = D S23 C44 C45 C46 2E23 S 13 sym C55 C 56 2E 13 S C 2E (3.2.7) Pro obecný anizotropní Kirchhoffův materiál tedy matice [ C ] obsahuje 21 nezávislých konstant. Pro ortotropní materiál s hlavními osami ortotropie totožnými s osami X1, X2, X 3 je možno konstitutivní vztah napsat v jednodušší formě S11 C11 C12 C13 E11 S C C E S 33 C33 E 33 = S23 C44 2E23 S 13 sym C55 2E 13 S C 2E (3.2.8) Otázky 1. Co je Saint-Venantův- Kirchhoffův materiál? 2. Co jsou hyperlastické materiály? 3. Co jsou hypoelastické materiály? Shrnutí Pro obecnou napjatost jsme definovali Saint-Venantův-Kirchhoffův materiál, hyperelastické a hypoelastické materiály. 56

57 3.2.2 Hyperelastické materiály Nelineární mechanika Pružné materiály, pro které je práce nezávislá na dráze, nazýváme hyperelastické. Platí pro ně vztah w( ) S = E (3.2.9) E ečnou tuhost materiálu je možno definovat vztahem S SE ij Cijkl = (3.2.1) Ekl nebo 2 SE S w( E) C = = E E E SE C vyjadřuje tečnou tuhost materiálu pro přírůstkovou formu vztahu mezi napětím a deformací SE δs= C : δ E (3.2.11) V rychlostní formě můžeme konstitutivní rovnici napsat takto SE S& = C : E& (3.2.12) enzor tečné tuhosti materiálu SE C se také nazývá druhý tenzor pružnosti. V běžné konfiguraci bychom vztah (3.2.12) mohli napsat C τ τ = C : D (3.2.13) C τ je konvekční tok Kirchhofova napětí definovaný vztahem C τ τ = τ& L τ τ L (3.2.14) τ C je tzv. čtvrtý tenzor pružnosti daný vztahem : τ SE Cijkl Fim FjnFkp Flq Cmnpq = (3.2.15) 3.3 Hypoelastické materiály Hypoelastické materiály jsou takové materiály, které je možno definovat konstitutivním vztahem σ = f σ,d (3.3.1) ( ) σ je objektivní míra napětí, rychlost deformace D je také objektivní. Funkce f musí také být objektivní funkcí napětí a rychlosti deformace. Široká třída hypoelastických konstitutivních vztahů může být zapsána lineárním vztahem mezi objektivní mírou toku napětí a rychlostí deformace. σ σ = C : D (3.3.2) σ C je tenzor pružnosti materiálu definovaný pro danou objektivní míru napětí. 57

58 4 MEODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Formulace MKP řešení nelineárních diferenciálních rovnic vede na nelineární algebraické rovnice, které můžeme napsat v následující formě K( d) d= f (4.1.1) kde K je matice tuhosti konstrukce d je vektor neznámých, obvykle uzlových parametrů deformace f je vektor pravých stran, obvykle uzlových sil. Matice K je funkcí d a nemůže tedy být vyhodnocena bez znalosti vektoru kořenů soustavy d. Protože nemůžeme tuto nelineární soustavu řešit přímo, užíváme iteračních procedur, které jsou založeny na postupném zpřesňování řešení. Každý iterační krok je linearizován. Je-li řešení i tíha kroku u. i Potom můžeme rovnici (4.1.1) přepsat do tvaru () ( 1) K( d i ) d i+ = f (4.1.2) tedy ( i+ 1) 1 ( i) d = K ( d ) f (4.1.3) Procedura může být opakována, dokud není dosaženo potřebné přesnosti, která () i ( i+ 1) je založena na rozdílu vektorů d a d. Ukážeme si zde 3 nejčastěji užívané metody : 1. Picardova iterační metoda 2. Newton Raphsonova iterační metoda 3. Riksova metoda zvaná též arc length. Jednotlivé metody ukažme na jedné nelineární rovnici. Uvažujme nelineární rovnici K( d) d = f (4.1.4) nebo r( d ) = (4.1.5) kde d je neznámé řešení. K( d ) je známá funkce d, f je známá pravá strana ( obvykle síla ) a r je residuum ( nevyvážené zatížení ). r d = K d d f (4.1.6) ( ) ( ) Čára daná rovnicí r( d, f ) = je rovnovážná cesta nazývaná též pracovní diagram. Pro jakoukoliv hodnotu r = d d a K () i () i () d je ( i ) je tečna ke křivce v bodě K d je sečna křivky v d () = d i. d = d () i 58

59 4.1 Picardova iterační metoda Nelineární mechanika ato metoda je známá také jako přímá iterační metoda. začínáme () s počátečním odhadem vektoru d, označme jej d. Další aproximace je řešena podle rovnice (4.1.3), tedy (1) 1 () d = K ( d ) f (4.1.7) a stejně pokračují i další aproximace vektoru d pokud není dosaženo požadované pružnosti, která je měřena rozdílem mezi dvěma po sobě následujícími aproximacemi vektoru d. Kritérium konvergence může mít následující tvar : () i () i rj. rj () i () i ( i 1) < ε, r () i () i j = d j d j (4.1.8) d. d j j Pro jednu proměnnou lze princip Picardovi metody znázornit na obr. 1 zatížení, f K K 1 K 2 f ext Možnou divergenci vidíme na obr.2 posunutí, d Obr. 1 Princip Picardovy metody 59

60 Obr. 2 Divergence u Picardovy metody 4.2 Newton Raphsonova iterační metoda Hledáme řešení, při kterém jsou nevyvážené síly r( d ) nulové. Proveďme rozvoj r( d ) kolem známého řešení ( ) ( i 1) d 2 ( i ) r 1 r ( ) δ ( i 1) 2 ( i 2) do aylorovy řady. 1 2 r d = r d + d + δd + K = (4.2.1) d d 2 d d δ d je přírůstek () i () i ( i 1) δ d = d d (4.2.2) Zanedbáme-li členy druhého a vyšších řádů, můžeme rovnici přepsat následovně: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1 1 ( i) ( i 1) ( i 1) ( i 1) ( i 1) ( i 1) δ d = K d r d = K d f K d d (4.2.3) K je sklon (tangenta) čáry r( d ) v d ( i 1). (V mechanice při řešení úloh deformační variantou MKP nazýváme K tečnou maticí tuhosti). Reziduum neboli nevyvážená síla r( d ) postupně klesá k nule pokud procedura konverguje. Řešení rovnice poskytne přírůstek d v i-té iteraci, takže celkové řešení je () i ( i 1) () i d = d + δ d (4.2.4) 6

61 Pro soustavu nelineárních rovnic můžeme zapsat Newton Raphsonovu proceduru takto : 1 δd= K r (4.2.5) kde K je tečná matice () i r K = (4.2.6) ( i 1) d d r je vektor nevyváženého zatížení int ext r = f f (4.2.7) Princip Newton Raphsonovy metody je graficky znázorněn na obr. 3. f K 1 K f ext -r (2) -r (1) f int d ( ) d ( 1 ) δd Obr. 3 Princip Newton Raphsonovy metody d Newton Raphsonova metoda vyžaduje sestavení matice levých stran soustavy rovnic v každém iteračním kroku. akže v každém iteračním kroku se musí také znovu provést dekompozice (faktorizace) matic při řešení Gaussovou, nebo Choleského metodou. Někdy je výhodnější ponechat levé strany soustavy rovnic beze změny a měnit pouze pravou stranu. éto metodě říkáme modifikovaná Newton Raphsonova metoda. Obecně vyžaduje podstatně více iterací, než normální Newton Raphsonova metoda, ale vzhledem k tomu, že dekompozice matice soustavy rovnic je provedena pouze jednou, jsou iterace mnohem rychlejší. Princip modifikované Newton Raphsonovy metody je graficky znázorněn na obr

62 f K () K (1) f ext d () d (1) d Obr. 4 Princip modifikované Newton Raphsonovy metody Někdy je výhodné obě metody kombinovat. Cílem je jednak úspora času potřebného pro řešení úlohy, ale kombinace metod může také umožnit řešení i takových úloh, pro které by řešení nemodifikovanou Newton Raphsonovou metodou selhalo. Na obr. 5 je znázorněn možný takový případ. V bodě 1 je řešení přepnuto na modifikovanou Newton Raphsonovu metodu, v bodě 2 je řešení přepnuto zpět na nemodifikovanou metodu. Obr. 5 Kombinace Newton Raphsonovy a modifikované Newton Raphsonovy metody 62

63 4.3 Riksova metoda Nelineární mechanika Pro řešení nelineárních problémů je často užívána Newton Raphsonova metoda nebo její modifikace. Při sledování rovnovážné cesty řešení nelineární úlohy však tato metoda někdy selže. Problémem je často překonání tzv. limitních bodů, tj. bodů s vodorovnou nebo svislou tečnou na pracovním diagramu. Různé modifikace sice umožňují tyto body překonat a najít stabilní řešení pro vyšší hladinu zatížení, ale neumožňují sledovat řešení i při odlehčování na záporné větvi pracovního diagramu. Obr. 6 Pracovní diagram s limitními body Základní myšlenkou Riksovy metody je sledování cesty řešení (pracovního diagramu) po stejných úsecích Δ s. Pro tuto vlastnost se metoda nazývá také arc length. Riks navrhl definovat Δ s na tečně v daném rovnovážném bodu a další bod určit jako průsečík normály z takto definovaného bodu tečny s křivkou pracovního diagramu. Crisfield navrhl místo normály kruhový oblouk. Z této podmínky je určen přírůstek zatížení. V rámci takto určeného přírůstku (nebo úbytku) je pro nalezení rovnovážného řešení použitá modifikovaná Newton Raphsonova metoda. Grafické znázornění obou variant Riksovy metody je na obr. 7. První index je číslo přírůstku a druhý index je číslo iterace v přírůstku. 63

64 Zatížení, f s 2 a) normály k tečnám s 1 d (1,1) d (1,2) d (2,1) Posunutí, Zatížení, f b) s 2 Kruhové oblouky s 1 d (1,1) d (1,2) d (2,1) Posunutí, d Obr. 7 Dvě varianty Riksovy metody Uveďme zde matematický popis jedné z možných variant Riksovy metody. 64

65 Obr. 8 Princip Riksovy metody Místo přírůstků součinitele zatížení γ se zavádí přírůstky délky křivky pracovního diagramu Δ s. Přírůstek součinitele zatížení Δ γ je vypočítán z parametrické rovnice. ( i+ 1) ( i+ 1) p d, γ = (4.3.1) ( ) Pro variantu Riksovy metody s kruhovým obloukem vypadá tato rovnice následovně: p i+ i ( ) ( ) i+ i ( ) = + α Δ Δ = ( 1) ( ) ( 1) ( ) d, γ d d d d γ f f s (4.3.2) kde ( i+ 1) ( i) Δ γ = γ γ (4.3.3) Δ s je přibližná délka oblouku rovnovážné čáry r( d, f) = v prostoru αf, d. α je měřítko zatížení (scaling factor), který převádí zatížení na stejné fyzikální N, potom α má fyzikální rozměr jednotky jako d. Je-li d v [ m ] a f v [ ] mn n α = K -1 dof dof i ii n je celkový počet stupňů volnosti (řád matice K ). edy α je převrácená hodnota aritmetického průměru diagonálních prvků matice K. Pro jednu neznámou vypadá parametrická rovnice následovně: Δ d + α Δγ f Δ s = (4.3.4) kde ( i+ 1) ( i) Δ d = d d (4.3.5) Z rovnice vidíme, že se jedná o rovnici kružnice v prostoru d, α f. 65