DODATEK D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření D0. Nejistoty měření Výklad základů charakterizování přesnosti měření podaný v kap..3 je založen na pojmech chyba měření a správná hodnota měřené veličiny a zachycje základy klasického hodnocení měření, vyžívaného v měřicí technice déle než jedno století. Jeho základním nedostatkem je sktečnost, že sktečno, správno nebo pravo hodnot měřené veličiny v praxi nikdy neznáme. Proto se při rčování chyby měření nahrazovala konvenčně pravo hodnoto, rčeno měřením pomocí metody nebo přístroje podstatně přesnějšího, než je měření, jehož chyb chceme rčit. Od osmdesátých let minlého století se ale v měřicí technice postpně zavádí hodnocení přesnosti měření novým způsobem, ve kterém je klíčovým pojmem tzv. nejistota měření. Nejrůznější vlivy, které se v reálném měřicím proces vyskytjí spol s měřeno veličino, se projeví odchylko mezi naměřeno a sktečno hodnoto měřené veličiny. Výsledek měření se tak (po aplikování případných korekcí systematických chyb) pohybje v rčitém tolerančním pásm kolem sktečné hodnoty. Rozsah hodnot, které je možno racionálně přiřadit k měřené veličině, charakterizje právě nejistota měření. Pojem nejistota měření byl zaveden na základě doporčení 70. a 75. zasedání Mezinárodního výbor pro míry a váhy (CIPM Comité International des Poids et Mesres), která se konala v létech 98 a 985. V r. 993 vydala Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO) první vydání praktické přírčky pro rčování nejistot měření (Gide to the Expression of Uncertainty of Measrements, [D]). Tam jso definovány základní pojmy teorie nejistot měření, vedeny základní vztahy a na vybraných příkladech kázána aplikace těchto vztahů. Zároveň je tam doporčeno z výše vedeného důvod nepožívat pojmy chyba měření a pravá (správná) hodnota měřené veličiny. Pojem nejistota měření dnes již zdomácněl v oblasti metrologie a kalibrace, ale do praxe průmyslových a běžných laboratorních měření se začíná teprve zavádět. D. Definice základních pojmů Od minlého rok platí evropská norma Electrical and electronic measrement eqipment Expression of performance [D] a v tomto roce by měla vstopit v platnost její česká verze Elektrická a elektronická měřicí zařízení vyjadřování vlastností [D3]. Tato norma definje měřeno hodnot jako střední prvek sobor, který reprezentje měřeno veličin a nejistot měření jako parametr přiřazený k výsledk měření charakterizjící 33
rozptýlení hodnot, které lze odůvodněně pokládat za hodnot veličiny, která je objektem měření. Tímto parametrem může být standardní (směrodatná) odchylka nebo její daný násobek. Nejistota měření obecně obsahje řad složek. Některé z těchto složek moho být vyhodnoceny ze statistického rozložení výsledků měření a moho být charakterizovány experimentální standardní odchylko (čili experimentálně rčeným odhadem této standardní odchylky). Jiné složky (které moho být ale také charakterizovány standardní odchylko) se vyhodnocjí z jejich předpokládaného pravděpodobnostního rozložení. Typ toho rozložení se rčje na základě zkšeností nebo jiných informací. Analogické definice mají nejistoty údajů měřicích přístrojů, nejistoty hodnot pasivních prvků (etalonů, dekád, děličů apod.) měřicích obvodů, nejistoty konstant a nejistoty korekcí. Základní kvantitativní charakteristiko nejistoty měření je standardní nejistota. Je to standardní (směrodatná) odchylka veličiny, pro níž je nejistota dávána. Označje se symbolem (z angl. ncertainty, česky nejistota). Standardní nejistoty se podle způsob svého vyhodnocení dělí na: standardní nejistoty typ (kategorie) A (označení A ), které jso stanoveny z výsledků opakovaných měření statisticko analýzo série naměřených hodnot, obdobně jako v případě náhodných chyb měření. Jejich příčiny se považjí za neznámé a jejich hodnota klesá s počtem měření; standardní nejistoty typ (kategorie) B (označení B ), které jso získané jinak než statistickým zpracováním výsledků opakovaných měření. Jso vyhodnoceny pro jednotlivé zdroje nejistoty identifikované pro konkrétní měření a jejich hodnoty nezávisí na počt opakování měření (obdobně jako systematické chyby měření). Pocházejí od různých zdrojů a jejich společné působení vyjadřje výsledná standardní nejistota typ B. V praxi se jen zřídka vystačí s jedním nebo drhým typem nejistoty samostatně. Pak je třeba stanovit výsledný efekt kombinace nejistot měření obo typů, A i B. Kombinovaná standardní nejistota C se získá sločením standardní nejistoty typ A rovné A s výsledno standardní nejistoto typ B rovno B. dle vztah: A B ( x) = ( x) + ( x) (D) C Směrodatná odchylka (a tedy i standardní nejistota) veličiny x představje veličiny rozdělené podle normálního rozdělení pravděpodobnosti polovin šířky interval, v jehož střed leží střední hodnota veličiny x, a ve kterém s pravděpodobností přibližně 68 % leží každá hodnota veličiny x. Pokd je veličina x rozložena podle rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti a víme, že tato veličina nepřekročí interval o šířce x,
D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření bdo všechny hodnoty této veličiny ležet v interval ± x okolo střední hodnoty. V takovém případě je standardní odchylka této veličiny (čili příslšná složka standardní nejistoty typ B) rovna x 3, jak plyne z vlastností rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti. Vztah mezi maximální odchylko od střední hodnoty (polovino šířky interval, ve kterém moho ležet hodnoty veličiny) a standardní odchylko lze rčit i pro jiné než rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Abychom zajistili, že v pásm, jehož šířka je rčená nejistoto, leží větší procento hodnot než např. 68%, požijeme interval o šířce větší než. Standardní nejistot vynásobíme koeficientem rozšíření k r. Pro normální rozdělení odpovídá koeficient rozšíření k r = úrovni spolehlivosti 95 % a k r = 3 odpovídá úrovni spolehlivosti 99,7 %. Rozšířená nejistota označená U(x) je definována jako sočin kombinované standardní nejistoty C a koeficient rozšíření k r, tedy vztahem: U(x) = k r C (x) (D) kde U je rozšířená nejistota, k r koeficient rozšíření, C kombinovaná standardní nejistota a x měřená veličina. S rozšířeno nejistoto je ntno vždy vést číselno hodnot požitého koeficient rozšíření k r. Jeho hodnota bývá nejčastěji, popř. leží v interval <, 3>. D. Vyhodnocení standardních nejistot přímých měření D. Vyhodnocení standardních nejistot metodo A Metoda vyhodnocení tohoto typ nejistot (nejistot typ A) vychází ze statistické analýzy série opakovaných měření. Je-li n nezávislých stejně přesných pozorování (n > ), bde odhad výsledné hodnoty x měřené veličiny X reprezentován hodnoto výběrového průměr (aritmetického průměr). Nejistota příslšná k odhad x se rčí jako směrodatná odchylka této výsledné hodnoty, tedy výběrového průměr. Je tedy možné psát: kde ˆ n σ A ( x) = σˆ ( X ) = = ( ) ( ) x i x n n n i= (D3) x = n n x i i= (D4)
a kde σˆ ( X ) je odhad směrodatné odchylky aritmetického průměr X, σˆ je směrodatná odchylka libovolného odměr z výběrového sobor a n počet prvků výběrového sobor. Tato nejistota je způsobena kolísáním naměřených údajů. V případě malého počt měření (n < 0) je hodnota rčená dle vedeného vztah málo spolehlivá. Pokd tedy chceme vyhodnocovat nejistot měření metodo A, opakjeme měření pokd možno vícekrát. D. Vyhodnocení standardních nejistot metodo B Standardní nejistota typ B se odhadje pomocí úsdk na základě dostpných informací a zkšenosti. Nejčastěji se požijí: údaje výrobce měřicí techniky (technické parametry požitého zařízení, např. třída přesnosti elektromechanického měřicího přístroje nebo dvojice parametrů charakterizjích chyb číslicového přístroje), zkšenosti z předchozích měření, zkšenosti s vlastnostmi chování materiálů a techniky a poznatky o nich, údaje získané při kalibraci a z certifikátů, nejistoty referenčních údajů v přírčkách. Je-li výsledek měření získán z hodnot několika veličin, je výsledná standardní nejistota typ B rovna odmocnině sočt variancí (čili disperzí) a kovariancí těchto veličin. Tyto variance a kovariance jso násobeny váhovými koeficienty, jejichž hodnoty vyjadřjí, jak se výsledek měření mění se změnami těchto jednotlivých veličin. Toto se platní zejména tehdy, když se s přístrojem pracje mimo daný rozsah ovlivňjících veličin a je znám jejich vliv na údaj přístroje. V případě, že ovlivňjící veličiny nabývají hodnot v rozsah definovaném výrobcem, tj. požíváme-li přístroj za stanovených pracovních podmínek, rčí se provozní nejistota (údaje) přístroje z parametrů daných výrobcem. Jediným zdrojem nejistoty typ B je v tomto případě vlastní nepřesnost přístroje, tedy třída přesnosti přístroje TP rčkových přístrojů D, popř. dvojice parametrů charakterizjích chyb číslicového přístroje. Z těchto parametrů rčíme interval < z max, + z max >, ve kterém hodnota měřené veličiny s velko pravděpodobností leží, přičemž předpokládáme, že pravděpodobnost výskyt jakékoliv hodnoty z tohoto interval je stejná, tj. že se jedná o rovnoměrné rozložení. Nejistot údaje přístroje pak vypočteme ze vztah D Přístroj může být zařazen pro různé stanovené pracovní podmínky do různých tříd přesnosti
D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření σ z max = (D5) 3 V podstatě totéž platí i pro nejistoty hodnot pasivních prvků (etalonů, dekád, děličů apod.) měřicích obvodů, nichž je vedena třída přesnosti či toleranční pásmo. V případě, že nepožíváme přístroj za stanovených pracovních podmínek, tj. ovlivňjící veličiny nabývají hodnot mimo rozsah definovaný výrobcem a je znám jejich vliv na údaj přístroje, skládá se postp vyhodnocení nejistoty údaje přístroje metodo B (neboli rčení nejistoty typ B) z následjících kroků: Vybereme možné zdroje dílčích nejistot tohoto typ Z, Z, Z m. (Tyto zdroje v praxi odpovídají nezanedbatelným ovlivňjícím veličinám při daném měření.) Pro každo z těchto ovlivňjících veličin Z j rčíme interval < z j,max, + z j,max >, jehož meze velmi pravděpodobně nebdo překročeny odchylko z j veličiny Z j od jmenovité hodnoty této veličiny. Určíme standardní (směrodatno) odchylk σ j pro každé z j, a to na základě předpokládaného rozložení pravděpodobnosti veličiny Z j v interval < z j,max, + z j,max >. Pokd o této veličině nemáme žádné doplňjící informace, předpokládáme, že je rozdělena na interval < z j,max, + z j,max > rovnoměrně. Pro veličin rozloženo rovnoměrně v interval šířky z j,max (a tedy nlovo vně tohoto interval) je σ j z j,max = (D6) 3 Tato standardní odchylka je složko standardní nejistoty typ B způsobeno zdrojem Z j, tedy zj = σ j. (V některých případech však může být známa již přímo hodnota standardní nejistoty zj například z kalibračního certifikát měřidla. T pak požijeme jako další složk pro rčení standardní nejistoty typ B). Odhadnté nejistoty zj se přenášejí do nejistoty výsledk měření veličiny X a tvoří její složky x,zj = A x,zj zj (D7) kde A x,zj jso tzv. citlivostní koeficienty. V případě, že je známa závislost x = f(z,..., z m ), jso jednotlivé citlivostní koeficienty definovány vztahem
Ax, zj = f ( z,..., zm )/ z j, j =,..., m (D8) Pro výsledno standardní nejistot typ B (za předpoklad nekorelovanosti jednotlivých zdrojů nejistoty typ B, ktero v praxi nejčastěji předpokládáme) platí m m Bx = x, z z = A j j j= j= x, z j (D9) D3. Princip vyhodnocení nejistoty nepřímých měření Nepřímá měření jso měření, kterých se měřená veličina Y vypočítá pomocí známé fnkční závislosti z n veličin X i, rčených přímým měřením, jejichž odhady a nejistoty (případně i vzájemné kovariance) jso známy. Platí tedy Y = f X, X,..., X ) (D0) ( N kde f je známá fnkce. Odhad y hodnoty výstpní veličiny Y lze stanovit ze vztah: y = f ( x, x,..., x N ) (D) kde x, x,, x N jso odhady vstpních veličin X, X,, X N. Zákon šíření nejistot pro vztah (D) je v případě, že vstpní veličiny nejso mezi sebo korelovány, dán vztahem y = m i= f x i xi (D) kde y je kombinovaná standardní nejistota veličiny y a xi standardní kombinované nejistoty měřených veličin x i. Při slčování nejistot se ani při jejich malém počt nevažje jejich aritmetický sočet jako ve vztah (.8), ale vždy se požívá sočet geometrický (obdobně jako ve vztah (.3)). Zákon šíření nejistot vychází z aproximace fnkce f(x, x,, x N ) Taylorovým polynomem prvního řád.
D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření D4. Měření napětí elektromechanickým voltmetrem dané třídy přesnosti Magnetoelektrickým voltmetrem třídy přesnosti TP = 0,5 měříme napětí, rozsah přístroje je 0 V. Přístroj požíváme za stanovených pracovních podmínek, tj. ovlivňjící veličiny (např. teplota a vnější magnetické pole) jso v rozsah hodnot definovaných výrobcem, takže jejich vliv nebdeme važovat. Při opakovaných měřeních byly údaje přístroje stále stejné a rovné 5,05 V. Odhad měřené veličiny je tedy 5,05 V a nejistoty typ A v tomto případě nemsíme važovat. Jediným zdrojem nejistoty typ B je v tomto případě třída přesnosti přístroje TP. Z ní rčíme interval < z max, + z max >, v daném případě <- U x,max, + U x,max >. Podle vztah (.3) z kap. platí TP. Rozsah = 00 0,5.0 00 U x, max = = 0,05 (V) Protože údaje přístroje jso v pásm rčeném třído přesnosti rozloženy rovnoměrně, je standardní nejistota měřeného napětí dána vztahem B TP. rozsah 0,5.0 ( U x ) = = = 0,09 00 3 00 3 (V), Vyjádříme-li výsledek pomocí rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření k r =, bde U x = 5,05 V s rozšířeno nejistoto 58 mv pro koeficient rozšíření. D4. Měření napětí číslicovým voltmetrem Jak bylo vedeno v kap..4.., vyjadřje se přesnost číslicových voltmetrů v podstatě dvěma způsoby: a) chybo v procentech údaje a chybo v procentech rozsah, b) chybo v procentech údaje a chybo v kvantovacích krocích zvoleného rozsah (označované výrobci často ale nepřesně chybo v digitech ). Pokd měříme při jmenovité teplotě, stačí pro rčení nejistoty v obo případech rčit interval ve kterém se může pohybovat údaj voltmetr pomocí vztahů (.5) pro případ a způsobem vedeným v příklad na str. 0 pro
případ. Standardní nejistot typ B vypočteme jako šířk tohoto interval vyděleného 3. Při opakovaných měřeních napětí číslicovým voltmetrem ale v důsledk vysoké rozlišovací schopnosti laboratorních číslicových voltmetrů dostaneme odlišné hodnoty, a proto msíme rčit také standardní nejistot typ A. Předpokládejme, že stejně jako v příkladě na str. 0 dva číslicové voltmetry s maximálním údajem 99999 jso požity na rozsah 0 V. Chyba prvního voltmetr je dána jako ± 0,0 % údaje ± 0,0 % rozsah, chyba drhého voltmetr je dána jako ± 0,0 % údaje ± 7 kvantovacích kroků. Na požitém rozsah 0 V je přitom kvantovací krok (váha posledního místa číslicového zobrazovače) roven 0, mv. Údaje voltmetrů jso při deseti opakovaných měřeních následjící (zde bohžel dochází ke kolizi v odznačení rozšířené nejistoty měření (U) a měřeného napětí (U x ); malý počet odměrů je zvolen z důvod snadného opakování výpočt čtenářem): Voltmetr : U x,i : {5,0009; 5,0005; 4,999; 4,9998; 5,00; 4,999; 5,0007; 5,0003; 4,9995; 5,0004} (V). Voltmetr : U x,i : {5,0009; 5,009; 4,999; 4,9998; 5,00; 4,9989; 5,0007; 5,0003; 4,9995; 5,004} (V) Voltmetr : Odhad měřené veličiny je aritmetický průměr těchto hodnot, tedy U x = 5,0006 V. Standardní nejistota typ A tohoto odhad měřené veličiny se vypočte podle (D3) a je rovna Ux,A = 0,000 V. Standardní nejistota typ B se vypočte dle (D5). Pro U x,max zde platí U x,max = 5. 0,0. 0 - + 0. 0,0. 0 - = 0,005 V. Protože předpokládáme rovnoměrné rozdělení hodnot v tomto pásm, je standardní nejistota typ B prvního voltmetr Ux,B = 0,00087 V. Kombinovaná standardní nejistota vypočtená dle (D) Ux,C = 0,00090 V, protože příspěvek nejistoty typ A je podstatně menší než příspěvek nejistoty typ B. Rozšířená nejistota s koeficientem rozšíření je tedy U Ux = Ux,C = 0,008 V. Voltmetr : Odhad měřené veličiny je aritmetický průměr těchto hodnot, tedy U x = 5,00037 V. Standardní nejistota typ A tohoto odhad měřené veličiny se vypočte podle (D3) a je rovna Ux,A = 0,0003 V.
D4. Příklad výpočt nejistoty přímého měření Standardní nejistota typ B se vypočte dle (D5). Pro U x,max zde platí U x,max = 5. 0,0. 0 - + 0,.7. 0-3 = 0,00 V. Protože předpokládáme rovnoměrné rozdělení hodnot v tomto pásm, je standardní nejistota typ B prvního voltmetr Ux,B = 0,00069 V. Kombinovaná standardní nejistota vypočtená dle (D) Ux,C = 0,00076 V, protože příspěvek nejistoty typ A je menší než příspěvek nejistoty typ B. Rozšířená nejistota s koeficientem rozšíření je tedy U Ux = Ux,C = 0,005 V. Z výše vedeného vyhodnocení nejistot je zřejmé, že menší nejistoto je zatížen údaj voltmetr č.. Protože voltmetry měřily stejné napětí za stejných podmínek, je měření drhým voltmetrem v tomto případě přesnější než měření provedené voltmetrem prvním. Číselný příklad výpočt nejistoty při nepřímém měření je veden v Dodatk v [D4], podrobnější výklad a několik příkladů orientovaných většino na neelektrická měření lze nalézt v [D5]. Literatra [D] Gide to the Expression of Uncertainty of Measrements, ISO, Ženeva, 993 [D] IEC 60359:00; Electrical and electronic measrement eqipment Expression of performance ; [D3] ČSN EN 60359 Elektrická a elektronická měřicí zařízení vyjadřování vlastností ; ČSNI 003 [D4] HEJTMANOVÁ, D. - DRAXLER, K. - KAŠPAR, P. - ŠIMŮNEK, M.: Elektrická měření. Laboratorní cvičení. VČVUT, Praha 00 (vydání., přepracované) [D5] PALENČÁR, R. - VDOLEČEK, F. - HALAJ, M.: Nejistoty v měření I až V, sobor článků v časopise AUTOMA, č. 7-8/00, č. 0/00, č. /00, č. 4/00 a č. 5/00